Почему в поле нет делителей нуля

Немного о делителях нуля и о делении на ноль. ⁠ ⁠

Друзья! Совсем недавно я прочёл в одном из комментариев о невозможности деления на ноль. Так ли это?
Для начала зададимся неким множеством M. В множестве может содержаться некоторое число объектов, конечное или бесконечное, или вообще не содержаться объектов. Нас будут интересовать только те множества, которые объекты содержат. В целом не важно, какие объекты содержатся в множестве — стая птиц, косяк рыб, или просто некий набор чисел.
Допустим, у нас есть спецмашинка, в которую мы можем загружать объекты из нашего множества. К примеру, кастрюля, в которую мы можем положить птицу. Пусть эта машинка забирает у нас два объекта, и выдаёт один. К примеру, человек съел два яблока, а на выходе. тоже органическая смесь. Так вот, если у нас есть множество объектов, и операция, которая любым двум объектам множества сопоставляет третий, также принадлежащий этому множеству, то это множество называется группой.
Если быть более точным, то для группы жёстко заданы три аксиомы:
1) Множество замкнуто относительно операции. Т.е. если мы запихнули в оператор два элемента множества, то на выходе обязательно получим некий элемент того же самого множества.
2) Операция ассоциативна. (ab)c=a(bc)
3) Для любого элемента a, принадлежащему M, существует хотя бы одна (левая) единица, такая что 1a=a
4) Для любого элемента a, принадлежащему M, существует хотя бы один (левый) обратный элемент b, такой что ba=1
Итак, это понятие группы. Вообще говоря, групповая операция не обязана быть коммутативной, т.е. ab!=ba в общем случае. Если операция коммутативна, то группа называется абелевой.
Сколько в нашем множестве элементов? Или бесконечно много, или некое конечное число.
Допустим, что мы взяли некий элемент, и начали применять к нему групповую операцию, беря в качестве второго элемента его же. Т.е. проще говоря, мы ищем значение выражения a*a. (Для определённости под a*b будем понимать применение групповой операции к элементам a и b, а не умножение числа a на b). Затем a*a*a. Затем a*a*a*a. Если повторить это (n-1) раз, то получим элемент a^n (не следует понимать под этим обычную степень! Если групповая операция есть сложение, то a^n=a*n).
Как следует из определения группы, a^n принадлежит множеству M. Если мы будем увеличивать n, и если в множестве M количество элементов не бесконечное, то рано или поздно мы найдём такие k и l, что a^k=a^l. Из чего следует, что a^(k-l)=1!
Т.е. взяв любой элемент множества и применяя к нему и ему групповую операцию, мы обязаны будем рано или поздно наткнуться на единицу! Заметьте, что в случае, если мы определяем групповую операцию как естественное сложение, то единицей такой операции будет естественный ноль! Т.е. умножив некий элемент на число мы получим ноль! Чувствуете, к чему всё идёт?
«Ну ладно, — скажет искушённый читатель, — это всё математическая ерунда. Вот попробуй найди такое конкретное множество, и определи на нём такую конкретную операцию, чтобы в нём возник делитель нуля, причём самым, что ни на есть естественным образом!» Друзья! Такое множество уже давно найдено, и успешно используется в криптографии (в частности, в кодировании и передаче данных в этих ваших интернетах). Итак, знакомьтесь: фактормножество остатков!
«Что такое фактормножество?», — наверняка возник у многих вопрос. Ну что же, вернёмся на исходные.
Пусть у нас по-прежнему есть некое конечное множество. Введём отношения между элементами этого множества. Какие отношения? Да какие хотите! Хоть любовные! Вот только у нас не будет аналогов жизненных ситуаций, типа любовного треугольника, ибо это, во-первых, геометрия, а во-вторых, мы рассмотрим особый класс отношений: отношения эквивалентности.
Итак, любые два элемента могут находиться в некоем отношении друг с другом. К примеру, жители одной деревни знакомы друг с другом, или не знакомы. Обозначается это как xRy, что значит «житель x знает жителя y». Если оно не так, то можно ввести отношение xGy, значащее что «x не знаком с y».
Отношение R называют отношением эквивалентности, если для любых трёх элементов множества M x, y и z выполняются три аксиомы:
1) xRx (рефлексивность)
Т.е. каждый элемент находится в отношении с самим собой.
2) xRy -> yRx (симметричность)
Т.е. если Паша безумно любит Машу, то Маша тоже его любит. Взаимность=)
3) aRb & bRc -> aRc (транзитивность)
Т.е. если Паша любит Машу, а Маша любит кота, то кот любит Пашу.
Если мы вводим на конечном множестве отношение эквивалентности, то согласно этому отношению всё множество можно разбить на конечное число подмножеств. В каждом подмножестве все элементы будут попарно находиться друг с с другом в этом отношении, а элементы разных подмножеств друг с другом — нет. В качестве примера представьте себе закрытые сообщества готов, клоунов, скинхедов, эмо и ботанов: каждый ботан есть друг самому себе и любому другому ботану, и аналогично для всех остальных. Нетрудно проверить, что отношение «дружба» является отношением эквивалентности на объединении множеств вышеупомянутых людей. Если же, допустим, некий ботан дружит с готом, то из вышеупомянутых трёх аксиом следует, что любой ботан дружит с любым готом, т.е. вместо пяти закрытых сообществ у нас четыре. Разбиение на сообщества по дружбе среди людей есть, в общем случае, разбиение на классы эквивалентности элементов множества.
Для выполнения некоторых задач может оказаться нужным не каждый элемент из подмножества, а лишь один, который ввиду отношения эквивалентности характеризует всё подмножество. К примеру, если мы хотим провести соцопрос о хобби и времяпровождении, то достаточно взять одного любого ботана, скинхеда, клоуна, гота и эмо, а результаты остальных будут одинаковые (условно). Т.е. вместо множества 100 или 1000 человек мы получили множество, состоящее из 5 его характерных представителей. Такое множество называется фактормножеством M/R, а отображение M->M/R есть отображение факторизации.
Зададимся теперь неким натуральным числом n, и разобьём множество всех целых чисел на фактормножества. Критерием отношения двух чисел выберем равенство остатков от деления числа на n. Чтобы не было путаницы, будем считать остатком от деления числа z на n число r такое, что z=q*n+r, причём n>r>0, а q есть некое целое число. Итак, если некие целые числа x и y находятся в нашем отношении R, (xRy), то x=q1*n+r и y=q2*n+r. Предлагаю читателям самим убедиться в том, что это действительно отношение эквивалентности.
Математики так часто использовали это отношение, что придумали для него особое обозначение. xRy (x=y)mod n
Сколько же будет элементов в нашем фактормножестве? Столько же, сколько может быть остатков от деления любого числа на n ! Их ровно n штук: 0, 1, 2, 3 . (n-1). Т.е. любому целому числу мы можем, согласно нашему отображению факторизации, сопоставить одно из n чисел. Да будет так!
Чем дальше заходим, тем мы ближе к делителям нуля. Вернёмся к нашим множествам с одной операцией, и добавим ещё одну операцию. Назовём одну из них, для определённости, сложением, а вторую умножением. Множество с двумя операциями называется кольцом. Вообще говоря, для кольца тоже заданы некоторые аксиомы (кольцо есть аддитивная абелева группа с дистрибутивным сложением-умножением и ассоциативным умножением).
Как же нам определить сложение и умножение на нашем фактормножестве остатков? Предлагаю особо не париться. Раз у нас уже все числа заменены их остатками от деления, то и вместо суммы, разности и умножения будем брать остатки от деления этих результатов на n. Теперь, когда в множестве заданы 2 операции, мы называем его кольцом вычетов.
Чтобы было проще понять, я составил таблицы сложения и умножения для двух примеров колец вычетов.
При n=4:

+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2

* 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1

+ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3

* 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1

Ии. Бинго! Что мы видим в таблице умножения для n=4? 2*2mod4=0! Т.е. произведение двух ненулевых элементов дало 0! Как же такое возможно?
Вся суть, на самом деле, в том, что число 4 — составное. В самом деле, для любого n равенство x mod n=0 означает, что n есть делитель x. Для колец вычетов над простыми числами такое невозможно, ведь если n — простое, то числа 2 . (n-1) не являются его делителями, а значит и их произведение тоже не будет делителем. Если же n=a*b (естественно a меньше n и b меньше n), то как раз произведение этих чисел (принадлежащих нашему кольцу) даёт n mod n=0.
«Но почему мне об этом не рассказывали в школе?!», — возмутится читатель. Потому что в школе мы изучали алгебраические операции над полями. И в курсе матанализа практически сразу вводится понятие поля действительных чисел (как дедекндовых сечений, к примеру). А в поле, согласно его аксиомам, делителей нуля нет! Более того, если у кольца нет делителей нуля (тогда его называют областью целостности), и если кольцо конечное, то оно тоже задаёт поле! Т.е. наше кольцо вычетов по модулю 5, 3, 2, 7, 13, и вообще любому простому числу есть поле. Собственно, эти поля и используются при кодировании данных.
Искушённый читатель наверняка уже заметил, что я немного отклонился от темы. В самом первом предложении было про деление на ноль, а теперь мы уже говорим о каких-то делителях нуля. Нехорошо.
Итак, что есть результат деления b/0=c ? Это есть решение уравнения b=0*c . Вообще говоря, в любом кольце результатом умножения на ноль некоего числа будет ноль. Но, вспомним что 0=a*b. b=a*b*c -> c=a^(-1) Казалось бы, вот оно, решение проблемы: найдено число, которое можно считать результатом деления на ноль! Но нет! Давайте обратимся к таблице умножения для n=4, и отыщем по ней элемент, обратный двойке. Его там нет! Несмотря на то, что мы нашли для наших полей положительные числа, дающие в произведении

Геометрия и алгебра (теория колец и полей)

Пожалуйста, используйте IE6/7/8 с плагином MathPlayer, Firefox с установленными математическими шрифтами или Opera 9.5 и выше.

Объявления		Последний пост
	Работодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий	26.03.2008 03:07
	Правила и принципы форума «Высшая математика»	28.10.2009 15:17
	Гранты для студентов и аспирантов мехмата и физфака МГУ на обучение в магистратуре Кембриджа 2023/2024	28.11.2022 13:56

04.12.2011 16:50
Дата регистрации:
11 лет назад
Геометрия и алгебра (теория колец и полей)

Всем доброго утра\дня\вечера.
Мне необходима некоторая помощь в доказательстве теоремы: Ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей является полем тогда и только тогда когда в нем нет делителей нуля. Первая часть (туда) доказана. А вот вторая ( Полем является ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, в котором у каждого ненулевого элемента есть обратный. ) вызывает некоторые затруднения связанные с доказательством принадлежности обратного элемента к этому кольцу: Если x,y обратимы и отличны от нуля => x*y тоже обратим: (x*y)^(-1)=x^(-1) * y^(-1) Если х обратим => x^(-1) (вот в этом месте и есть проблема: как доказать что x^(-1) принадлежит этому кольцу исходя из того, что в кольце нет делителей нуля? ) обратим и равен х. .
Прошу не судить слишком резко мои умозаключения, если они кажутся вам глупыми. Вполне возможно что оно так и есть на самом деле! )

04.12.2011 20:13
Дата регистрации:
12 лет назад
Неверное утверждение.

Конечно, поле не может иметь делителей нуля, но не всякое коммутативное ассоциативное кольцо с единицей без делителей нуля является полем. В качестве примера можно взять кольцо целых чисел (в нем нет обратимых элементов, кроме единицы).

Редактировалось 1 раз(а). Последний 04.12.2011 20:15.

04.12.2011 20:57
Дата регистрации:
11 лет назад

В том то и проблема что отсутствие делителей нуля в поле уже доказано, осталось доказать именно то что коммутативное ассоциативное кольцо с единицей БЕЗ ДЕЛИТЕЛЕЙ НУЛЯ является полем. Я практически доказал это, но встал вопрос о принадлежности обратного элемента к кольцу, и вот это я уже ни как не могу доказать. Преподаватель прямым текстом сказал, что опираться нужно как раз таки на отсутствие делителей нуля. Но я упорно не могу понять как именно это сделать. За сим и прошу помощи.

04.12.2011 21:13
Дата регистрации:
12 лет назад

Вы патаетесь доказать заведомо неверное утверждение. Повторюсь, кольцо целых чисел является ассоциативным, коммутативным, содержит единицу и не имеет делителей нуля, однако, оно не является полем, поскольку для всякого целого числа, отличного от нуля и единицы обратным элементом является не целое число. Возможно, Вы просто не правильно поняли преподавателя. Скорее всего, здесь речь шла о вложимости всякого кольца с указанными свойствами в некоторое поле.

05.12.2011 00:58
Дата регистрации:
14 лет назад
Посты: 2 928

Скорее всего, в задаче забыто одно условие: Конечное коммутативное ассоциативное кольцо тогда и только тогда является полем, когда не имеет делителей нуля.
Возможен вариант: конечномерная ассоциативная коммутативная алгебра над полем.

05.12.2011 08:59
Дата регистрации:
11 лет назад

Возможно я действительно понял что то не так. Вот сама теорема и доказательство необходимости.

Теорема: Ассоциативное и коммутативное кольцо с единицей является полем, тогда и только тогда, когда в нем нет делителей нуля.
Доказательство. Необходимость. Пусть Р – поле. Докажем, что в нем нет делителей нуля. Пусть a и b произвольные ненулевые элементы из поля P . Предположим, что их произведение равно нулю, то есть ab=0 . Так как элемент a отличен от нуля, то для него существует обратный элемент. Умножив равенство ab=0 на элемент a^-1 , имеем (a^-1)*ab=(a^-1)*0=0.С другой стороны, так как P – поле, то умножение в P ассоциативно и , следовательно, 0=(a^-1)*ab=((a^-1)*a)*b=1*b=b , то есть b=0 . Полученное противоречие доказывает необходимость.

Достаточность предлагается доказать самостоятельно. В процессе множественных попыток все доказательства сводились к тому что необходимо доказать принадлежность обратного элемента к этому кольцу.

алгебра — Является ли кольцо полем?

Правда ли, что конечное коммутативное кольцо без делителей нуля всегда является полем?

задан 11 Апр ’18 2:24

Hector
167 ● 5
100&#037 принятых

falcao
299k ● 9 ● 38 ● 53

1 ответ

Да, это верно, если исключить тривиальный случай нулевого кольца.

Пусть R — кольцо из условия. Положим S = R \ . Поскольку делителей нуля нет, S образует полугруппу относительно умножения. Известно, что всякая конечная полугруппа содержит идемпотент. Пусть e=ee. Тогда для любого x из R выполнено равенство e(x-ex)=0, откуда x=ex, то есть e — единица кольца.

Проверим обратимость ненулевых элементов. Для каждого ненулевого a рассмотрим отображение x -> ax из R в себя. Оно инъективно, так как ax=ay => a(x-y)=0 => x-y=0 ввиду отсутствия делителей нуля. Инъекция конечного множества в себя является биекцией. Поэтому e лежит в образе, то есть уравнение ax=e имеет решение. Значит, a обратим, и перед нами поле.

Можно дополнительно заметить, что если коммутативность не дана, то из этого же рассуждения следует, что R тело. Классическая теорема Веддербарна утверждает, что конечное тело является полем.

отвечен 11 Апр ’18 2:42

falcao
299k ● 9 ● 38 ● 53

Кольца. Поля. Идеалы и гомоморфизмы колец

Определение 1.11.1. Ассоциативное коммутативное кольцо K с 1 , в котором для любого ненулевого элемента существует обратный элемент a -1 , называется полем .

Лемма 1.11.2. Если K — поле , то уравнение ax=b , где , имеет одно и только одно решение (именно, a -1 b ).

Доказательство . Если ax=b , то x=a -1 ax=a -1 b . Если x=a -1 b , то ax=a(a -1 b)=b .

Теорема 1.11.3. В поле K нет делителей нуля.

Доказательство . Допустим, что , , и ab=0 . Тогда b=a -1 (ab)=a -1 0=0 , противоречие.

Замечание 1.11.4. Обратное утверждение неверно. В кольце Z целых чисел нет делителей нуля, но оно не является полем.

Пример 1.11.5. Q , R , Z₂ — поля.

Теорема 1.11.6. Кольцо вычетов Z_n является полем полем вычетов тогда и только тогда, когда n=p является простым числом.

Доказательство . Если n=p — простое число , то Z_p — кольцо без делителей нуля (действительно, если C_kC_l=C₀ , , , то kl=pq , но k и l не делятся на p , что приводит к противоречию). Доказательство завершает следующая лемма.

Лемма 1.11.7. Конечное коммутативное кольцо без делителей нуля является полем.

Доказательство . Пусть R=0=0,r₁=1. r_n-1> — кольцо из n элементов без делителей нуля. Для , , все произведения r_kr₁. r_kr_n-1 различны, поскольку r_k не является делителем нуля. Следовательно, найдется i , для которого r_kr_i=1 , т. е. , поля K является подполем.

Упражнение 1.11.9. Через , то говорят, что характеристика char K поля K равна 0 (т. е. для любых целых чисел из следует, что в K ). Если , то полагают char K=p и говорят, что K — поле конечной характеристики p (т. е. p — наименьшее натуральное число , для которого , в поле K , что противоречит отсутствию делителей нуля в поле .