Почему сумма всех натуральных чисел равна -1/12: изящная красота математики
Натуральных чисел бесконечно много, но несмотря на это ученые знают, чему равна их сумма. Но почему сумма всех натуральных чисел представляет собой такое странное число — -1/12?
Д умаете, что если сложить все натуральные числа, то получится бесконечность? Индийский математик еще в начале века показал, что эта сумма будет равна -1/12. Погрузимся в дебри математики и разберемся, что не так с этим значением
Натуральные числа представляют собой целые положительные числа от единицы и до бесконечности. Сумма таких чисел представляет собой классический расходящийся ряд, бесконечная сумма которого должны быть равна бесконечности. Однако существуют способы присвоить сумме этого ряда конечное значение. Но как вычислить сумму натуральных чисел?
Способы посчитать сумму всех натуральных чисел
Считать сумму расходящихся рядов математики научились еще в XIX веке. Так, например, метод суммирования по Чезаро помог найти сумму знакочередующегося ряда Гранди, который представляет собой последовательность «1-1+1-1+1-. ». Эта сумма оказалась равна 1/2. Метод Абеля, разработанный позже, позволяет считать и более сложные ряды, такие как «1-2+3-4+. ».
Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.
Десять букв
Интересные числа, занимательные математические факты и удивительные конструкции. Узнавайте каждый день что-то новое!
вторник, 14 июля 2015 г.
Сумма всех натуральных чисел
Для числа 12 на математических часах я выбрал одну их наиболее парадоксальных формул, согласно которой сумма всего бесконечного множества натуральных чисел равна конкретному (!) дробному (!) отрицательному (!) числу.
Чтобы разобраться, как такое может быть, начнём с ряда 1-1+1-1+1-1+1-1+.
Так как его сумма не стремится к какой-либо определённой величине, а принимает поочерёдно два различных значения: 1 или 0, он считается расходящимся.
Однако можно расширить понятие суммирования рядов и на расходящиеся, для начала приняв:
S = 1-1+1-1+1-1+1-1+.
Тогда этот же ряд можно записать как:
1-(1-1+1-1+1-1+1-1+. = 1-S
Имеем уравнение:
S = 1-S
S = 0,5
Таки образом, сумма натурального знакопеременного ряда 1-2+3-4+5-6+7-. равна 0,5 2 = 0,25
Теперь сделаем ещё один шаг. Какой ряд надо прибавить к натуральному знакопеременному ряду, чтобы получить натуральный?
Но прибавляемый ряд равен учетверённому натуральному ряду:
0+4+0+8+0+12+0+16+. = 4(1+2+3+4+. )
Впервые этот результат был получен Рамануджаном. И это не результат софизма и не пустое развлечение. Как оказалось, величина $-\frac$ для суммы всех натуральных чисел сейчас находит применение в квантовой механике.
Научный форум dxdy
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
Сумма всех натуральных чисел
Сумма всех натуральных чисел
11.10.2014, 21:10
Последний раз редактировалось Denis Russkih 11.10.2014, 21:19, всего редактировалось 4 раз(а).
Недавно наткнулся на вот эту статью:
Извините, но по-моему, такой результат может свидетельствовать лишь о неприменимости выбранных методов к данной задаче. 🙂 Ну никак невозможно — складывая целые числа — в итоге получить дробное, да ещё и отрицательное. 🙂 Это же явный бред и притягивание за уши.
Удивляет, конечно, что к одному и тому же бредовому результату можно прийти абсолютно разными способами. Но разве к одному и тому же ошибочному результату нельзя прийти разными путями? 🙂
Такой результат, на мой взгляд, говорит о том, что в современных математических методах что-то сильно не так. Или же их пытаются использовать за пределами их области применимости. Но никак не о том, какова сумма всех натуральных чисел. 🙂
Я сразу честно скажу, что объяснения со всякими дзета-функциями понять неспособен, мне для этого мозгов и знаний не хватает. Но вот нутром чувствую, что это полный бред. 🙂 Такой результат не просто расходится с интуицией и обыденным здравым смыслом, это было бы полбеды. (В науке очень многое с ними расходится.) Но это же просто бред! Что-то изначально лишённое смысла в принципе. 🙂
С таким же успехом можно сказать, что сумма всех натуральных чисел равна цветочному горшку. 🙂
Re: Сумма всех натуральных чисел
11.10.2014, 21:26
Видите ли, сумма бесконечной последовательности чисел в арифметике не определена. Если мы хотим использовать такие «суммы», мы должны их сначала определить. Обычный метод определения — предел частичных сумм. Однако остаётся множество расходящихся рядов, у которых сумма таким образом не определяется. Для них можно придумать много самых разных определений, которые могут давать всякие неожиданные результаты.
В трёхтомнике Г.М.Фихтенгольца «Курс дифференциального и интегрального исчисления» есть специальный параграф «Суммирование расходящихся рядов». Если интересуетесь, посмотрите.
Re: Сумма всех натуральных чисел
11.10.2014, 21:29
Нутро здесь не помощник. Будучи применённой к математике, наша интуиция часто даёт осечку, so, приступая к занятием математикой, интуицию лучше оставить за порогом, чтобы не вопить потом «Но это же бред!» чуть чаще, чем каждые полчаса. Сумма всех натуральных чисел на самом деле равна минус одной двенадцатой. В некотором , впрочем, вполне определённом смысле. Если с английским у вас всё хорошо, порекомендую к прочтению статью в блоге компании Wolfram Research, где разбирается этот пример и ещё три схожих и не менее обескураживающих. А ещё — книгу В. Босса «Интуиция и математика».
Re: Сумма всех натуральных чисел
11.10.2014, 21:42
Вот оно что. 🙂 Значит, всё зависит от того, какие правила игры заданы изначально.
Хм, спасибо, надо будет получше изучить этот вопрос. Хотя вряд ли я что-то пойму.
Почему сумма всех натуральных чисел равна -1/12 18.12.2020 13:19
Думаете, что если сложить все натуральные числа, то получится бесконечность? Индийский математик еще в начале века показал, что эта сумма будет равна -1/12. Погрузимся в дебри математики и разберемся, что не так с этим значением
Натуральные числа представляют собой целые положительные числа от единицы и до бесконечности. Сумма таких чисел представляет собой классический расходящийся ряд, бесконечная сумма которого должны быть равна бесконечности. Однако существуют способы присвоить сумме этого ряда конечное значение.
Считать сумму расходящихся рядов математики научились еще в XIX веке. Так, например, метод суммирования по Чезаро помог найти сумму знакочередующегося ряда Гранди, который представляет собой последовательность »1–1+1–1+1-…». Эта сумма оказалась равна ½. Метод Абеля, разработанный позже, позволяет считать и более сложные ряды, такие как »1–2+3–4+…». Согласно ему, сумма такого ряда будет равна ¼.
Но ни один из этих методов не позволяет посчитать сумму ряда натуральных чисел. Хорошо, что для этого есть другой метод, который называется регуляризацией дзета-функции Римана. Дзета-функция Римана представляет собой функцию от комплексного переменного s, которая определяется рядом Дирихле. Значение дзета-функции от s равно бесконечной сумме ∑n-s, где суммирование происходит по n от 1 до бесконечности. Если мы возьмем значение дзета-функции от -1, значение членов ряда станет равным натуральным числам: 1–1 = 1, (½)-1 = 2, (⅓)-1 = 3… Дзета-функция от -1 в этом случае равна 1 + 2 +3…, то есть сумме натурального ряда.