Формулы онлайн: Случайные величины
В данном разделе вы найдете формулы по теории вероятностей в онлайн-варианте (в формате для скачивания — см. на странице Таблицы и формулы по теории вероятностей).
Каталог формул по теории вероятности онлайн
- Случайные события
- Случайные величины
- Распределения случайных величин
- Другие формулы по теории вероятностей
Случайные величины. Способы задания
Спасибо за ваши закладки и рекомендации
Ряд распределения дискретной случайной величины
$$ \begin <|c|c|>\hline X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ \hline p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\ \hline \end $$
Сумма вероятностей всегда равна 1 (условие нормировки):
Функция распределения (интегральная функция распределения)
Функция распределения случайной величины $X$ определяется по формуле $F(x)=P(X\lt x)$. Это неубывающая функция, принимающая значения от 0 до 1. Если задана плотность распределения $f(x)$, то функция распределения выражается как интеграл от плотности:
Плотность распределения (дифференциальная функция распределения)
Плотность распределения случайной величины $X$ определяется по формуле $f(x)=F'(x)$. Существует только для непрерывной случайной величины. Для нее выполняется условие нормировки (площадь под кривой вероятности равна 1):
Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал
Может быть вычислена двумя способами:
1) через функцию распределения
$$P(\alpha \lt X \lt \beta) = F(\beta)-F(\alpha).$$
2) через плотность распределения
Случайные величины. Числовые характеристики
Математическое ожидание случайной величины
1) Для дискретной случайной величины $X$, заданной рядом распределения:
$$M(X) = \sum_^ x_i \cdot p_i.$$
2) Для непрерывной случайной величины $X$, заданной плотностью распределения:
Выполним теорию вероятностей на отлично
Дисперсия случайной величины
По определению дисперсия – это второй центральный момент:
$$ D(X) =M\left[ \left(X-M(X)\right)^2 \right] =M(X^2)-\left(M(X)\right)^2.$$
1) Для дискретной случайной величины $X$:
$$ D(X)= \sum_^ x_i^2 \cdot p_i — \left(M(X)\right)^2.$$
2) Для непрерывной случайной величины $X$:
Среднее квадратическое отклонение случайной величины
$$\sigma (X) = \sqrt.$$
Коэффициент вариации случайной величины
Начальный момент r–го порядка случайной величины
определяется по формуле:
В частности, первый начальный момент – это математическое ожидание: $\nu_1=M(X^1)=M(X).$
Центральный момент r – го порядка случайной величины
определяется по формуле:
$$\mu_r = M\left[ \left(X-M(X)\right)^r \right]$$
В частности, второй центральный момент – это дисперсия:
$$\mu_2 = M\left[ \left(X-M(X)\right)^2 \right] = D(X).$$
Асимметрия
Коэффициент асимметрии положителен, если правый хвост распределения длиннее левого (правая часть кривой более пологая), и отрицателен в противном случае. Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то его коэффициент асимметрии равен нулю.
Эксцесс
Коэффициент эксцесса нормального распределения равен нулю. Он положителен, если пик распределения около математического ожидания острый, и отрицателен, если пик гладкий.
Понравилось? Добавьте в закладки
Решенные задачи по теории вероятностей
Нужна готовая задача по терверу? Найдите на сайте-решебнике:
Математика и информатика. Учебное пособие по всему курсу
5.3.5. Вычисление вероятности заданного отклонения нормальной случайной величины
Задачи вычисления вероятности отклонения нормальной случайной величины от заданного значения связаны с различного рода ошибками (измерения, взвешивания). Ошибки разного рода обозначаются переменной e.
Пусть e – отклонение нормально распределённой случайной величины Х по модулю. Требуется найти вероятность того, что отклонение случайной величины Х от математического ожидания не превысит заданного значения e. Данная вероятность записывается в виде: P(|X-a|) ≤ e.
Предполагается, что в формуле (5.18) отрезок [х1; х2] симметричен относительно математического ожидания –а. Таким образом: a–х1=e; х2 –a =e. Отсюда можно выразить границы отрезка [х1; х2] , которые будут иметь вид:
В правую часть (5.18) подставляются значения х1, х2 из (5.19). Далее выражение в фигурных скобках левой части формулы (5.18) переписывается в виде двух неравенств:
1) х1 ≤ X и заменяется в нём х1 согласно (5.19), получится:
а–e ≤ X или а–X ≤ e.
2) X ≤ х2, аналогично заменяется х2 из (5.19), получится:
X ≤ а+e или X–a ≤ e.
В результате этих замен формулу (5.18) можно переписать в виде:
P (|X–a| ≤ e) = 2Ф( e /s) = 2Ф(t),
Через функцию Лапласа выражается и функция нормального распределения в общем случае N(a, s):
Далее рассматриваются несколько примеров вычисления вероятности отклонения нормально распределённой случайной величины от своего математического ожидания.
Производится измерение диаметра детали. Случайные ошибки измерения принимаются за случайную величину Х и подчинены нормальному закону с математическим ожиданием а=0, со средним квадратическоим отклонение s=1мм. Найти вероятность того, что измерение будет сделано с ошибкой, не превышающей по абсолютной величине 2мм.
Дано: e=2, s=1мм, а=0.
По формуле (5.20): P (|X–0| ≤ 2) = 2Ф(e/s) = 2Ф(2/1) = 2Ф(2,0).
По таблице Приложения 1 можно найти: Ф (2,0)=0,4772.
Вероятность того, что измерение будет сделано с ошибкой, не превышающей по абсолютной величине 1 мм равна:
P (|X| ≤ e) = 2×0,4772 = 0,9544.
Случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами: а=50 и s=15.
Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от своего математического ожидания – а будет меньше 5.
По формуле (5.20) вычисляем вероятность отклонения случайной величины:
Вероятность того, что отклонеиие случайной величина от своего математического ожидания будет меньше пяти, равна: P(|X–a|<5)=0,2586.
Имеется случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами а и s. Найти вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания – а не больше, чем на 3s.
По условию задачи e ≤ 3s. С учетом (5.20) будем иметь:
где Ф(3) вычисляется по таблице функции Лапласа (Приложение 1):
В итоге: P (| X — a | £ 3 s ) = 2Ф(3) » 0,9973.
Случайные величины. Дискретная случайная величина.
Математическое ожидание
Второй раздел по теории вероятностей посвящён случайным величинам, которые незримо сопровождали нас буквально в каждой статье по теме. И настал момент чётко сформулировать, что же это такое:
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно числовое значение, зависящее от случайных факторов и заранее непредсказуемое.
Случайные величины, как правило, обозначают через *, а их значения – соответствующими маленькими буквами с подстрочными индексами, например, .
* Иногда используют , а также греческие буквы
Пример встретился нам на первом же уроке по теории вероятностей, где мы фактически рассмотрели следующую случайную величину:
– количество очков, которое выпадет после броска игрального кубика.
В результате данного испытания выпадет одна и только грань, какая именно – не предсказать (фокусы не рассматриваем); при этом случайная величина может принять одно из следующий значений:
– количество мальчиков среди 10 новорождённых.
Совершенно понятно, что это количество заранее не известно, и в очередном десятке родившихся детей может оказаться:
, либо мальчиков – один и только один из перечисленных вариантов.
И, дабы соблюсти форму, немного физкультуры:
– дальность прыжка в длину (в некоторых единицах).
Её не в состоянии предугадать даже мастер спорта 🙂
Тем не менее, ваши гипотезы?
Коль скоро речь идёт о множестве действительных чисел, то случайная величина может принять несчётно много значений из некоторого числового промежутка. И в этом состоит её принципиальное отличие от предыдущих примеров.
Таким образом, случайные величины целесообразно разделить на 2 большие группы:
1) Дискретная (прерывная) случайная величина – принимает отдельно взятые, изолированные значения. Количество этих значений конечно либо бесконечно, но счётно.
…нарисовались непонятные термины? Срочно повторяем основы алгебры!
2) Непрерывная случайная величина – принимает все числовые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Примечание: в учебной литературе популярны аббревиатуры ДСВ и НСВ
Сначала разберём дискретную случайную величину, затем – непрерывную.
Закон распределения дискретной случайной величины
– это соответствие между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Чаще всего закон записывают таблицей:
Довольно часто встречается термин ряд распределения, но в некоторых ситуациях он звучит двусмысленно, и поэтому я буду придерживаться «закона».
А теперь очень важный момент: поскольку случайная величина обязательно примет одно из значений , то соответствующие события образуют полную группу и сумма вероятностей их наступления равна единице:
или, если записать свёрнуто:
Так, например, закон распределения вероятностей выпавших на кубике очков имеет следующий вид:
Возможно, у вас сложилось впечатление, что дискретная случайная величина может принимать только «хорошие» целые значения. Развеем иллюзию – они могут быть любыми:
Некоторая игра имеет следующий закон распределения выигрыша:
…наверное, вы давно мечтали о таких задачах 🙂 Открою секрет – я тоже. В особенности после того, как завершил работу над теорией поля.
Решение: так как случайная величина может принять только одно из трёх значений, то соответствующие события образуют полную группу, а значит, сумма их вероятностей равна единице:
– таким образом, вероятность выигрыша условных единиц составляет 0,4.
Контроль: , в чём и требовалось убедиться.
Ответ:
Не редкость, когда закон распределения требуется составить самостоятельно. Для этого используют классическое определение вероятности, теоремы умножения / сложения вероятностей событий и другие фишки тервера:
В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 1000 рублей, а остальные – по 100 рублей. Составить закон распределения случайной величины – размера выигрыша, если из коробки наугад извлекается один билет.
Решение: как вы заметили, значения случайной величины принято располагать в порядке их возрастания. Поэтому мы начинаем с самого маленького выигрыша, и именно рублей.
Всего таковых билетов 50 – 12 = 38, и по классическому определению:
– вероятность того, что наудачу извлечённый билет окажется безвыигрышным.
С остальными случаями всё просто. Вероятность выигрыша рублей составляет:
Проверка: – и это особенно приятный момент таких заданий!
Ответ: искомый закон распределения выигрыша:
Следующее задание для самостоятельного решения:
Вероятность того, что стрелок поразит мишень, равна . Составить закон распределения случайной величины – количества попаданий после 2 выстрелов.
…я знал, что вы по нему соскучились 🙂 Вспоминаем теоремы умножения и сложения. Решение и ответ в конце урока.
Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако на практике бывает полезно (а иногда и полезнее) знать лишь некоторые её числовые характеристики.
Математическое ожидание дискретной случайной величины
Говоря простым языком, это среднеожидаемое значение при многократном повторении испытаний. Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями соответственно. Тогда математическое ожидание данной случайной величины равно сумме произведений всех её значений на соответствующие вероятности:
или в свёрнутом виде:
Вычислим, например, математическое ожидание случайной величины – количества выпавших на игральном кубике очков:
В чём состоит вероятностный смысл полученного результата? Если подбросить кубик достаточно много раз, то среднее значение выпавших очков будет близкО к 3,5 – и чем больше провести испытаний, тем ближе. Собственно, об этом эффекте я уже подробно рассказывал на уроке о статистической вероятности.
Теперь вспомним нашу гипотетическую игру:
Возникает вопрос: а выгодно ли вообще играть в эту игру? …у кого какие впечатления? Так ведь «навскидку» и не скажешь! Но на этот вопрос можно легко ответить, вычислив математическое ожидание, по сути – средневзвешенный по вероятностям выигрыш:
, таким образом, математическое ожидание данной игры проигрышно.
Не верь впечатлениям – верь цифрам!
Да, здесь можно выиграть 10 и даже 20-30 раз подряд, но на длинной дистанции нас ждёт неминуемое разорение. И я бы не советовал вам играть в такие игры 🙂 Ну, может, только ради развлечения.
Из всего вышесказанного следует, что математическое ожидание – это уже НЕ СЛУЧАЙНАЯ величина.
Творческое задание для самостоятельного исследования:
Мистер Х играет в европейскую рулетку по следующей системе: постоянно ставит 100 рублей на «красное». Составить закон распределения случайной величины – его выигрыша. Вычислить математическое ожидание выигрыша и округлить его до копеек. Сколько в среднем проигрывает игрок с каждой поставленной сотни?
Справка: европейская рулетка содержит 18 красных, 18 чёрных и 1 зелёный сектор («зеро»). В случае выпадения «красного» игроку выплачивается удвоенная ставка, в противном случае она уходит в доход казино
Существует много других систем игры в рулетку, для которых можно составить свои таблицы вероятностей. Но это тот случай, когда нам не нужны никакие законы распределения и таблицы, ибо доподлинно установлено, что математическое ожидание игрока будет точно таким же. От системы к системе меняется лишь дисперсия, о которой мы узнаем во 2-й части урока.
Но прежде будет полезно размять пальцы на клавишах калькулятора:
Случайная величина задана своим законом распределения вероятностей:
Найти , если известно, что . Выполнить проверку.
Тогда переходим к изучению дисперсии дискретной случайной величины, и по возможности, ПРЯМО СЕЙЧАС!! – чтобы не потерять нить темы.
Решения и ответы:
Пример 3. Решение: по условию – вероятность попадания в мишень. Тогда:
– вероятность промаха.
Составим – закон распределения попаданий при двух выстрелах:
– два попадания. По теореме умножения вероятностей независимых событий:
Проверка: 0,09 + 0,42 + 0,49 = 1
Ответ:
Примечание: можно было использовать обозначения – это не принципиально.
Пример 4. Решение: игрок выигрывает 100 рублей в 18 случаях из 37, и поэтому закон распределения его выигрыша имеет следующий вид:
Вычислим математическое ожидание:
Таким образом, с каждой поставленной сотни игрок в среднем проигрывает 2,7 рубля.
Пример 5. Решение: по определению математического ожидания:
поменяем части местами и проведём упрощения:
таким образом:
Выполним проверку:
, что и требовалось проверить.
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2023. Копирование материалов сайта запрещено
Курс лекций по дисциплине «Математика и информатика». Математика
Часть 3. Дискретные и непрерывные случайные величины. Законы распределения
Глава 5. Случайные величины
5.1. Понятие случайной величины
В том случае, если случайное событие выражается в виде числа, можно говорить о случайной величине. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно возможное значение, наперёд неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Выпадение некоторого значения случайной величины Х это случайное событие: Х = хi. Среди случайных величин выделяют дискретные и непрерывные случайные величины.
Дискретной случайной величиной называется случайная величина, которая в результате испытания принимает отдельные значения с определёнными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным и бесконечным. Примеры дискретной случайной величины: запись показаний спидометра или измеренной температуры в конкретные моменты времени.
Непрерывной случайной величиной называют случайную величину, которая в результате испытания принимает все значения из некоторого числового промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Пример непрерывной случайной величины: измерение скорости перемещения любого вида транспорта или температуры в течение конкретного интервала времени.
Любая случайная величина имеет свой закон распределения вероятностей и свою функцию распределения вероятностей. Прежде, чем дать определение функции распределения, рассмотрим переменные, которые её определяют. Пусть задано некоторое х – действительное число и получена случайная величина X, при этом (x>X). Требуется определить вероятность того, что случайная величина Х будет меньше этого фиксированного значения х.
Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(х), определяющая вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньшее значения х, то есть:
где х – произвольное действительное число.
Случайная величина (непрерывная или дискретная) имеет численные характеристики:
Математическое ожидание М (Х). Эту характеристику можно сравнивать со средним арифметическим наблюдаемых значений случайной величины Х.
Дисперсия D(X). Это характеристика отклонения случайной величины Х от математического ожидания.
Среднее квадратическое отклонение s(Х) для дискретной и непрерывной случайной величины Х – это корень квадратный из ее дисперсии:
Далее рассматриваются отличия между дискретной и непрерывной случайными величинами.