Как определить четность числа уравнение

Как определить четность числа уравнение

ЗАДАЧИ НА ЧЕТНОСТЬ И НЕЧЕТНОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Выступление на школьной научно — практической конференции математического научного общества учащихся на тему:
«Задачи на четность и нечетность натуральных чисел»

Подготовила: Пелевина Екатерина ученица 9 класса
Руководитель: Фролова И.А. учитель математики

Четность, нечетность натуральных чисел
Теоретическая часть
Число называется четным, если оно делится на 2 без остатка.
Формула четного числа 2п.
Формула нечетного числа 2п+1.

1. Сумма четных слагаемых — четна.
2. Если число нечетных слагаемых четно, то и сумма четна.
3. Если сумма двух чисел — четное число, то и их разность тоже четное число.
4. Если сумма двух чисел — нечетное число, то и их разность тоже нечетное число.
5. Если число нечетных слагаемых нечетно, то и сумма нечетна.
6. Если один из множителей — четное число, то и произведение четно.
7. Если все множители нечетны, то и произведение нечетно.

Как проверить чётность числа с плавающей запятой?

Обратите внимание, что переменная numbers имеет тип float, но я проверил его на четность)))))). P.S. c++ , dev-c++.

#include
#include
#include
#include

>
int main()
setlocale(0, «»);
srand(time(NULL));
float numbers;
int size;
int *arraySize;
arraySize=new int [size];
cout cin>>size;
float numberArray[size];
cout filling( numberArray, numbers, size);
>

Решения вопроса 0
Ответы на вопрос 6

Чётность в теории чисел — характеристика целого числа

Ответ написан более трёх лет назад
Нравится 17 1 комментарий

Вероятно, имелась в виду чётность числа, хранящегося в переменной типов float или double , которое само по себе вполне может быть целым, например 5.0 .

Просто люблю качественно работать
Ну приведите к целому если не дробное
Ответ написан более трёх лет назад
Комментировать
Нравится 1 Комментировать

Tsiren Naimanov @ImmortalCAT
эм
а если до множить до целого числа
и x%2==0
будет ли работать?)
ПЫСЫ
можно сделать так

var myvar = 124124,2541; var strmyvar = myvar as string; var in = strmyvar[strmyvar.Count-1]; bool result = in%2==0;

долгий код, но его можно сократить 🙂
всего лишь взять ласт цифру и по ней судить о её кратности
Ответ написан более трёх лет назад

Можно округлить в большую/меньшую сторону или до ближайшего целого (в зависимости от потребностей ТС), а после уже проверять на четность.

Tsiren Naimanov @ImmortalCAT
mletov: нет, при округлении потеряется всё к черту 🙂

Вещественное число — это всегда приближённое значение, его нельзя сравнивать == . ни с каким значением, и с 0 особенно.

инженер, программист, преподаватель

Вещественное число не может быть чётным или нечётным. Вещественное число — это всегда приближённое значение (хотя бы поэтому, его остаток от деления на 2 всегда будет не нулевой).

Ответ написан более трёх лет назад
oldzhas777 @oldzhas777

Зацени и заметь, что переменная numbers имеет тип float, но я проверил его на четность. P.S. c++ , dev-c++.

#include
#include
#include
#include

>
int main()
setlocale(0, «»);
srand(time(NULL));
float numbers;
int size;
int *arraySize;
arraySize=new int [size];
cout cin>>size;
float numberArray[size];
cout filling( numberArray, numbers, size);
>

Заводчик кардиганов

double y=x/2; bool isEven=(fabs(y-round(y)) < EPS);

Ответ написан более трёх лет назад
Комментировать
Нравится Комментировать

Из контекста следует, что речь идёт о целых числах, представленных в вещественном формате. Если так, тогда переводить в целое число, как выше советовали, - это не универсальный метод, поскольку число может выходить за пределы разрядной сетки целого типа. Проверять нужно следующим образом:
0.5*x==round(0.5*x)

Ответ написан более года назад
Комментировать
Нравится Комментировать
Ваш ответ на вопрос

Войдите, чтобы написать ответ

• Математика
• +1 ещё

Как рассчитать нелинейную регрессию в Excel?

• 1 подписчик
• 21 час назад
• 27 просмотров

Четность и нечетность

Соображения четности (нечетности) часто используются при решении математических задач (и элементарных, и весьма "продвинутых"). В данной статье рассматриваются подходы к решению подобных задач.

Мы начнем с простейших примеров, а в заключительной части рассмотрим несколько "олимпиадных" заданий, в решении которых нам помогут соображения четности.

Четные и нечетные числа. Начальные сведения

В данной статье мы будем рассматривать главным образом натуральные или целые числа. Напомню, что число называется четным, если оно делится нацело на 2. Иначе говоря, любое четное число n можно представить в виде n = 2k, где k - целое число, а любое нечетное - в виде n = 2k + 1 (или n = 2k - 1). Ноль, естественно, будем считать четным числом.

Пример 1 . Числа 34 и 171 представьте в виде 2k или 2k + 1, где k-целое число.

34 = 2 • 17 (34 - четное число); 171 = 2 • 85 + 1 (171 - нечетное число).

Задание 1 . Числа 68, 133, -2246 и -8977 представьте в виде 2k или 2k+1, где k-целое число.

Задание 2 . Представьте число 18 в виде: а) суммы двух четных чисел, б) суммы двух нечетных чисел. Можно ли получить 18 при сложении четного и нечетного чисел?

Задание 3 . Представьте число 24 в виде: а) произведения двух четных чисел, б) произведения четного и нечетного чисел. Можно ли получить 24 при умножении двух нечетных чисел?

Сумма, произведение, частное четных (нечетных) чисел

Утверждение 1 . Сумма двух четных чисел - четное число.

Доказательство. Пусть числа m и n являются четными. Докажем, что число r = m + n также четно. m=2k, n=2p, где k и p - целые числа. Тогда r = m + n = 2k + 2p = 2(k + p) = 2s. Если числа k и p являются целыми, то их сумма s - тоже целое число. Мы доказали, что число r может быть представлено в виде произведения двойки и целого числа. Доказательство завершено.

Утверждение 2 . Сумма двух нечетных чисел - четное число. Докажите самостоятельно.

Утверждение 3 . Сумма четного и нечетного чисел - нечетное число. Докажите самостоятельно.

Утверждение 4 . Произведение двух нечетных чисел - нечетное число.

Доказательство. Пусть числа m и n являются нечетными. Докажем, что число r = m • n также нечетно.
m = 2k + 1, n = 2p + 1, где k и p - целые числа.
Тогда r = m • n = (2k+1) • (2p+1) = 4kp + 2k + 2p + 1 = 2(2kp + k + p) + 1 = 2s + 1.

Если числа k и p являются целыми, то число s = 2kp + k + p - тоже целое число.
Мы доказали, что число r может быть представлено в виде r = 2s + 1, следовательно, является нечетным. Ч. т. д.

Утверждение 5 . Произведение двух четных чисел - четное число. Докажите самостоятельно.

Утверждение 6 . Произведение четного и нечетного чисел - четное число. Докажите самостоятельно.

А если мы поделим четное число на четное (не равное нулю)? Что получим: чет или нечет? Естественно, однозначного ответа дать нельзя. Например, при делении 12 на 4 мы получаем нечетный результат, а при делении 32 на 4 - четный.

Если вы уже заскучали, переходите ко 2-й части статьи. Потом всегда сможете вернуться. Если же все эти теоретические построения вас не слишком утомили, давайте продолжим.

А почему, собственно, мы рассматриваем только два числа. Давайте мыслить шире!

Утверждение 7 . Сумма любого количества четных чисел четна.

Доказательство. Пусть числа M 1 , M 2 , . M N являются четными, тогда их можно представить в виде 2K 1 , 2K 2 , . , 2K N , где K 1 , K 2 , . K N - целые числа.

Тогда: M 1 + M 2 + . + M N = 2K 1 + 2K 2 + . + 2K N = 2( K 1 + K 2 + . + K N ) = 2S, где S-целое число. Четность доказана.

Утверждение 8 . Сумма четного количества нечетных чисел четна. Сумма нечетного количества нечетных чисел нечетна. Докажите самостоятельно.

Утверждение 9 . Произведение может быть нечетным только в том случае, если все сомножители нечетны. Докажите самостоятельно.

Так, сумма 2+4+6+. +1022+1024 четна, поскольку все слагаемые четны. Сумма 1+3+5+7+9 нечетна, т. к. содержит 5 нечетных слагаемых. Произведение 2*3*4*. *1001*1002 четно уже хотя бы по той причине, что первый сомножитель является четным.

Задание 4 . Четными или нечетными будут следующие выражения: а) 2+12+22+. +1002+1012+1022, б) 1+11+111+. +111111+1111111, в) 3*13*23*. *10003*10013*10023, г) 2*3*4*. *12357891 ?

Задание 5 . Докажите, что произведение всех простых чисел, не превосходящих 1000000, четно. Докажите, что произведение любого количества простых чисел, каждое из которых больше 100, нечетно. Напомню, что натуральное число называется простым, если делится только на себя и на 1.

И вновь о сумме и произведении

Пример 2 . Юный математик Петя сложил сумму двух целых чисел и их произведение. Он утверждает, что у него получилось число 56792. Возможно ли такое, если известно, что хотя бы одно из исходных чисел нечетно?

Решение. Обозначим исходные числа A и B. Очевидно, возможно 4 варианта:

• A и В - четные числа (но этот случай в задаче не рассматривается),
• A и B - нечетные числа,
• A четно, а B нечетно,
• A нечетно, B четно.

В принципе, два последних случая можно было бы безболезненно объединить, но для нас это сейчас несущественно. В предыдущем пункте мы выяснили все, что касается четности суммы и произведения. А теперь давайте составим таблицу. В первых двух колонках укажем четность чисел А и В, в 3-й колонке - четность суммы, в 4-й четность произведения, в 5-й - четность итогового числа.

A	B	A+B	AB	(A+B) + АВ
Ч	Ч	Ч	Ч	Ч
Н	Н	Ч	Н	Н
Ч	Н	Н	Ч	Н
Н	Ч	Н	Ч	Н

Во всех случаях (кроме первого) получаем нечетный результат!

Между прочим, наш юный друг Петя утверждает, что получил четное число. Мы доказали, что это невозможно. Петя ошибся.

Задание 6 . Юный математик Маша умножила произведение двух целых чисел на их сумму. Она утверждает, что получилось число 89999719. Права ли Маша?

Задание 7 . Юный математик Петя утверждает, что при сложении двух целых чисел получил 927, а при умножении - 6321. Возможно ли такое? Объясните ваш ответ.

Сознаю, что первая часть статьи может показаться читателю довольно утомительной и однообразной. К сожалению, обойтись без этих "скучных" базовых понятий нельзя. Обещаю, что дальше будет гораздо интереснее.

Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 второй коэффициент b является чётным, то решение этого уравнения можно немного упростить. Дискриминант для такого уравнения можно вычислить по формуле D₁ = k 2 − ac , а корни по формулам и .

Примеры

Решим квадратное уравнение x 2 + 6x − 16 = 0 . В нём второй коэффициент является чётным. Чтобы воспользоваться формулами для чётного коэффициента, нужно сначала узнать чему равна переменная k .

Любое четное число n можно представить в виде произведения числа 2 и числа k , то есть 2k .

Например, число 10 можно представить как 2 × 5 .

В этом произведении k = 5 .

Число 12 можно представить как 2 × 6 .

В этом произведении k = 6 .

Число −14 можно представить как 2 × (−7)

В этом произведении k = −7 .

Как видим, сомножитель 2 не меняется. Меняется только сомножитель k .

В уравнении x 2 + 6x − 16 = 0 вторым коэффициентом является число 6 . Это число можно представить как 2 × 3 . В этом произведении k = 3 . Теперь можно воспользоваться формулами для чётного коэффициента.

Найдем дискриминант по формуле D₁ = k 2 − ac

Теперь вычислим корни по формулам: и .

Значит корнями уравнения x 2 + 6x − 16 = 0 являются числа 2 и −8 .

В отличие от стандартной формулы для вычисления дискриминанта ( D=b 2 − 4ac ), в формуле D₁ = k 2 − ac не нужно выполнять умножение числа 4 на ac .

И в отличие от формул и формулы и не содержат в знаменателе множитель 2 что опять же освобождает нас от дополнительных вычислений.

Пример 2. Решить квадратное уравнение 5x 2 − 6x + 1=0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−3) . То есть k = −3 . Найдём дискриминант по формуле D₁ = k 2 − ac

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

Пример 3. Решить квадратное уравнение x 2 − 10x − 24 = 0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−5) . То есть k = −5 . Найдём дискриминант по формуле D₁ = k 2 − ac

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

Обычно для определения числа k поступают так: делят второй коэффициент на 2.

Действительно, если второй коэффициент b является чётным числом, то его можно представить как b = 2 k . Чтобы из этого равенства выразить сомножитель k , нужно произведение b разделить на сомножитель 2

Например, в предыдущем примере для определения числа k можно было просто разделить второй коэффициент −10 на 2

Пример 5. Решить квадратное уравнение

Коэффициент b равен . Это выражение состоит из множителя 2 и выражения . То есть оно уже представлено в виде 2k . Получается, что

Найдём дискриминант по формуле D₁ = k 2 − ac

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

При вычислении корня уравнения получилась дробь, в которой содержится квадратный корень из числа 2. Квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. Если выполнить это приближённое извлечение, а затем сложить результат с 2, и затем разделить числитель на знаменатель, то получится не очень красивый ответ.

В таких случаях ответ записывают, не выполняя приближённых вычислений. В нашем случае первый корень уравнения будет равен .

Вычислим второй корень уравнения:

Вывод формул

Давайте наглядно увидим, как появились формулы для вычисления корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом.

Рассмотрим квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 . Допустим, что коэффициент b является чётным числом. Тогда его можно обозначить как 2k

Заменим в уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент b на выражение 2k

Теперь вычислим дискриминант по ранее известной формуле:

Вынесем в получившемся выражении за скобки общий множитель 4

Что можно сказать о получившемся дискриминанте? При чётном втором коэффициенте он состоит из множителя 4 и выражения k 2 − ac .

В выражении 4(k 2 − ac) множитель 4 постоянен. Значит знак дискриминанта зависит от выражения k 2 − ac . Если это выражение меньше нуля, то и D будет меньше нуля. Если это выражение больше нуля, то и D будет больше нуля. Если это выражение равно нулю, то и D будет равно нулю.

То есть выражение k 2 − ac это различитель — дискриминант. Такой дискриминант принято обозначать буквой D₁

Теперь посмотрим как выводятся формулы и .

В нашем уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент b заменён на выражение 2k . Воспользуемся стандартными формулами для вычисления корней. То есть формулами и . Только вместо b будем подставлять 2k . Также на забываем, что D у нас равно выражению 4(k 2 − ac)

Но ранее было сказано, что выражение k 2 − ac обозначается через D₁ . Тогда в наших преобразованиях следует сделать и эту замену:

Теперь вычислим квадратный корень, расположенный в числителе. Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней. Остальное перепишем без изменений:

Теперь в получившемся выражении вынесем за скобки общий множитель 2

Сократим получившуюся дробь на 2

Аналогично вывóдится формула для вычисления второго корня: