Ладно, мне больше не хочется переливать из пустого в пороженное. Я надеюсь, автор темы понял правильное решение, а остальное уже не так важно.
Про скаляр Вы можете прочитать здесь, а свойство это то, что Вы можете вынести его за матрицу, если он умножен со всеми её элементами (следует из написаного мною равенства)

09.01.2007, 23:41
Capella ,
Lion прав, его доказательство является верным.
10.01.2007, 00:07

Я либо чего-то не понимаю, либо одно из двух. Вот доказательство:

Lion писал(а):

Очень просто: если , запишите неизвестную матрицу в виде
и возьмите .

Покажи мне момент, из которого следует единственность решения? По моему именно этот вопрос и спрашивался, как доказать единственность. Для меня это сигнал — как доказать несуществования других решений. Из существования какого-то решения не следует, что оно единственно — на мой взгляд надо рассмотреть случай для любой матрицы.

10.01.2007, 00:45
Capella писал(а):

(то, что Вы назвали ) и утверждается, что она коммутирует со всеми. Из этих условий выводится, что она имеет вид . Таким образом, любая матрица, коммутирующая со всеми остальными, имеет вид , что и требовалось доказать.

Страница 1 из 4

[ Сообщений: 49 ]

На страницу 1 , 2 , 3 , 4 След.

матрица — Найти все матрицы, коммутирующие с данной

Как решить это при помощи уравнений?
Если я правильно понимаю, то получаем $%AX=XA$%. Называю элементы матрицы $%X$% от $%x_1$% до $%x_9$%.
Составляю систему уравнений. Получаю, что $%x_1=x_9$%, $%x_3$%, $%x_4, x_5$%, $%x_6$% неизвестны, все остальные элементы равны $%0$%. И тупик. Дальше не знаю, как найти оставшиеся элементы.

задан 6 Окт ’14 19:26

1 ответ

Это близко к полному решению, но у Вас ещё не учтены два уравнения. Из того, что уже найдено, можно сделать вывод, что матрицы $$ \begin x_1 & 0 & x_3 \\ x_4 & x_5 & x_6 \\ 0 & 0 & x_1 \end\begin 1 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end=\begin x_1 & 0 & x_1+x_3 \\ x_4+x_5 & -x_5 & x_4+x_5+x_6 \\ 0 & 0 & x_1 \end$$ и $$\begin 1 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end \begin x_1 & 0 & x_3 \\ x_4 & x_5 & x_6 \\ 0 & 0 & x_1 \end=\begin x_1 & 0 & x_1+x_3 \\ x_1-x_4 & -x_5 & x_1+x_3-x_6 \\ 0 & 0 & x_1 \end$$ равны. Здесь всё совпадает кроме 4-го и 6-го элементов, поэтому надо рассмотреть ещё два уравнения. Одно из них даёт $%x_4+x_5=x_1-x_4$%, откуда $%x_1=2x_4+x_5$%, а второе выражает $%x_3=-x_1+x_4+x_5+2x_6=-x_4+2x_6$%. Таким образом, элементы второй строки задаются свободно, а все остальные элементы через них однозначно выражаются, то есть $$X=\begin 2x_4+x_5 & 0 & -x_4+2x_6\\ x_4 & x_5 & x_6 \\ 0 & 0 & 2x_4+x_5 \end.$$ Такую форму записи можно уже считать ответом, так как она описывает в точности все матрицы, перестановочные с $%A$%. Но можно пойти чуть дальше, разложив матрицу $%X$% по трём числовым матрицам с коэффициентами. Получится выражение вида $%X=x_4P+x_5Q+x_6R$%. Нетрудно при этом заметить, что $%Q=E$%. Поскольку с матрицей $%A$% заведомо перестановочна матрица $%A^2$%, можно её вычислить и прийти к выводу, что все три матрицы могут быть выражены через $%E$%, $%A$% и $%A^2$%. Таким образом, все матрицы, перестановочные с $%A$%, описываются формулой $%\lambda E+\mu A+\nu A^2$%, где $%\lambda,\mu,\nu\in\mathbb R$% — произвольные числа.

отвечен 6 Окт ’14 23:06

falcao
299k ● 9 ● 38 ● 53

Спасибо большое, оказалось достаточно просто. Почему-то я не попытался вывести х1 и х3 из остальных элементов, думал, что не получится. А ещё странно то, что в инете почти нет подобных примеров, буквально 3-4 страницы.

(6 Окт ’14 23:35) Mathman

Здесь всё сводится к решению систем линейных уравнений, и множество решений получается бесконечным, потому что как минимум матрицы вида $%\lambda E+\mu A$% всегда войдут. То есть надо понять, какие переменные можно выбирать свободно, а какие через них выражаются. Примеры такого типа в задачниках по линейной алгебре встречаются достаточно часто. Какие-то из них, наверное, где-то должны разбираться. Но здесь специальных знаний не требуется: вопрос решается при помощи расследования. Надо только заранее знать, какого результата можно ожидать в итоге.

Как найти коммутирующую матрицу

БлогNot. Mathcad: найти коммутативную матрицу для заданной

Mathcad: найти коммутативную матрицу для заданной

Матрицы A и B перестановочны (коммутативны), если A*B = B*A .

Например, нам нужно по заданной матрице

` | a b | A = | | | c d |

найти элементы матрицы B той же размерности

` | e f | B = | | | g h |

то есть, подобрать такие e , f , g , h , что A*B = B*A .

Так как эта система уравнений имеет бесконечно много решений (соответственно, перестановочная с данной матрица определена с точностью до постоянного множителя), один элемент искомой матрицы надо зафиксировать, например, положив e=1 . В остальном всё решится в символьном виде обычным блоком Given-Find:

поиск перестановочной матрицы в символьном виде (Mathcad)

А вот с дополнительными ограничениями вида «a,b. h не равны 0», или «определители A и B не равны 0», ничего не выйдет. Mathcad просто возьмёт «ближайшее» решение, состоящее из всех нулей.

Сказанное не значит, что Mathcad найдёт «наиболее короткое» или ещё в каком-то смысле «лучшее» решение задачи, имеющей бесконечное множество вариантов ответа. Например, такую простую перестановочную матрицу как

` | a-d b | B = | | | c 0 |

он не найдёт, если поставить до Given оператор h:=0 и искать значения e , f , g . Будут выданы всё те же нули, как «ближайшее подходящее» решение.

Если же матрица A задана не символьно, а в числах, всё ещё тривиальней (для удобства использован «дробный» формат при выводе матриц):

поиск перестановочной матрицы в аналитическом виде (Mathcad)

23.12.2015, 01:00 [13909 просмотров]