Сколько девяток встречается в ряду чисел от 1 до 100

Записаны подряд натуральные числа от 1 до 999.Сколько раз в записи всех чисел встречается цифра 9?

Среди однозначных чисел цифра 9 встречается 1 раз. Среди двузначных чисел: 9 раз в числе единиц (19, 29, 39 . 99) + 10 раз в числе десятков (от 90 до 99). Всего: 9 + 10 = 19 раз. Среди трехзначных чисел: В числе единиц: 90 раз (по 10 раз в каждой из 9 сотен). В числе десятков: 90 раз (по 10 раз в каждой из 9 сотен). В числе сотен: 100 раз (от 900 до 999). Всего: 90 + 90 + 100 = 280 раз. Итак, в числах от 1 до 999 число 9 встречается: 1 + 19 + 280 = 300 раз. Ответ: 300.

Связаться с нами
Правила проекта
Лицензионное соглашение
Политика конфиденциальности

Сколько раз встречается цифра 9 в промежутке от 10 до 100?

Цифра 9 в интервале от 10 до 100 повторяется встречается 19 раз.

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
в избранное ссылка отблагодарить
SANYAYA [144]
ответ не верный. — 9 лет назад
комментировать
Felik sa [70.2K]
2 года назад

Такие математические задачки чаще всего встречаются с каким-то подвохом, на проверку вашей внимательности, смышлёности и логики.

Самым разумным решением, сперва, мне показалось посчитать все «9», что присутствовали в числах от одного до 100. По количеству получилось бы 19.

Где другие авторы тут нашли 20? Я лично не вижу. 20 была бы в условии задачи было от 1 до 100, а не от 10.

Я больше склонна считать, что в решении задачи есть некая хитрость. Поэтому мой ответ бы был — не одного раза или 0, потому что цифры «9» вообще не было, отчет же начался с 10. Далее были другие числа. А если бы в условиях задачи стояло от 1 до 100, то можно было бы ответить 1.

комментировать
в избранное ссылка отблагодарить
Sagav aha [71.7K]
2 года назад

Задача на логику, при этом встечаются две интерпретации её в разных заданиях. К примеру, в задачнике Смаллиана просят посчитать все девятки в числах от одного до ста.

В нашем случае не попадает в выборку девятка из первой десятки, поэтому мы получаем всего 19 случаев.

Как посчитать правильно? Так как тут немного чисел, просто выписываем их все, где девятка будет второй цифрой в двухзначном числе — это 9 чисел.

Теперь выписываем случаи, где девятка — первая цифра. Таких чисел — 10.

Итого вместе получаем 19, при этом в 99 — две таких цифры.

Если же отвечаем на вопрос из задачника Смаллиана — добавляем к ответу единицу — будет 20.

комментировать
в избранное ссылка отблагодарить
Solom iyMon [93.1K]
2 года назад

Вопрос конечно интересный и довольно легкий, никаких сложных вычислений и логического мышления не подразумевает.

Для начала нужно подсчитать — сколько девяток содержит каждое двузначное число до 100.

В промежутке с 10 до 100 девяток получается десять — начиная с 19 и заканчивая 99.

В последнем десятке добавляется еще девять — 90-91-92-93-94-95-96-97-98.

Таким образом при точечном подсчете мы получили 19 девяток.

Странно только — почему промежуток подсчета не содержит первый десяток.

Так бы их было двадцать.

Но ответ на поставленный вопрос — сколько девяток в промежутке от 10 до 100 — будет девятнадцать.

комментировать
в избранное ссылка отблагодарить
Корне тОбол енски й [187K]
2 года назад

В записи чисел от 1 до 100 любая цифра, кроме 0 и 1 встречается 20 раз. Следовательно, в записи чисел от 10 до 100 цифра 9 встречается 19 раз. Из 20 девяток первой сотни нужно вычесть самую первую, не входящую в указанный промежуток.

комментировать
в избранное ссылка отблагодарить
Ира ЛДВО на БВ [267K]
2 года назад

Ира люблю длинные ответы для БВ,

Прежде надо разобраться со счётом. Мы живём в век ЭВМизации и компьютеризации человечества. Почему-то никого не удивляет, что в двоичном коде в одном бите два числа 0 и 1, а в шестнадцатеричном 15. Потому что счёт начинается с нуля, а не с единицы. Значит при подсчёте девяток их на одну меньше, то есть 18

Вот такой вовсе не парадоксальный, а логический ответ. В ряде целых чисел от 10 до 100 будет 18 девяток

Кстати в вопросе не отмечено про целые числа, значит я могу смело заявить бесконечность, а что разве 10,99999999999999999 9999999999999999999 не число? Но оно не целое, а дробное. Тоже самое относится и к дробному 99 и 99999999999999999999 999/9999999999999876 .

Ошибка 91,99% авторов Большого вопроса в том, что они ленятся заполнять поле «подробности». Я в 99,9 случаев заполняю, но и то зачастую недостаточно.

Сколько значений после запятой у числа пи. Что такое число пи

История числа Пи начинается еще с Древнего Египта и идет параллельно с развитием всей математики. Мы же впервые встречаемся с этой величиной в стенах школы.

Число Пи является, пожалуй, самым загадочным из бесконечного множества других. Ему посвящены стихи, его изображают художники, о нем даже снят фильм. В нашей статье мы рассмотрим историю развития и вычисления, а также области применения константы Пи в нашей жизни.

Число Пи – это математическая константа равная отношению длины окружности к длине ее диаметра. Первоначально оно называлось лудольфово числом, а обозначать его буквой Пи было предложено британским математиком Джонсом в 1706 году. После работ Леонарда Эйлера в 1737 году это обозначение стало общепринятым.

Число Пи является иррациональным, то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m/n, где m и n — целые числа. Впервые это доказал Иоганн Ламберт в 1761 году.

История развития числа Пи насчитывает уже порядка 4000 лет. Еще древнеегипетским и вавилонским математикам было известно, что отношение длины окружности к диаметру одинаково для любой окружности и значение его равно чуть больше трех.

Архимед предложил математический способ вычисления Пи, в котором он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. По его расчетам Пи примерно равнялась 22/7 ≈ 3,142857142857143.

Во II веке Чжан Хэн предложил два значения числа Пи: ≈ 3,1724 и ≈ 3,1622.

Индийские математики Ариабхата и Бхаскара нашли приблизительное значение 3,1416.

Самым точным приближением числа Пи на протяжении 900 лет было вычисление китайского математика Цзу Чунчжи, проведенное в 480-х годах. Он вывел, что Пи ≈ 355 / 113 , и показал, что 3,1415926 Число Пи — значение, история, кто придумал .

Число Пи — одно из самых популярных математических понятий. О нем пишут картины, снимают фильмы, его играют на музыкальных инструментах, ему посвящают стихи и праздники, его ищут и находят в священных текстах.

Кто и когда впервые открыл число π, до сих пор остается загадкой. Известно, что строители древнего Вавилона уже вовсю пользовались им при проектировании. На клинописных табличках, которым тысячи лет, сохранились даже задачи, которые предлагали решить с помощью π. Правда, тогда считалось, что π равно трем. Об этом свидетельствует табличка, найденная в городе Сузы, в двухстах километрах от Вавилона, где число π указывалось как 3 1/8 .

В процессе вычислений π вавилонцы обнаружили, что радиус окружности в качестве хорды входит в нее шесть раз, и поделили круг на 360 градусов. А заодно сделали то же самое с орбитой солнца. Таким образом, они решили считать, что в году 360 дней.

В Древнем Египте π было равно 3,16.
В древней Индии – 3,088.
В Италии на рубеже эпох считали, что π равно 3,125.

В Античности самое раннее упоминание π относится к знаменитой задаче о квадратуре круга, то есть о невозможности при помощи циркуля и линейки построить квадрат, площадь которого равна площади определенной окружности. Архимед приравнивал π к дроби 22/7 .

Ближе всего к точному значению π подошли в Китае. Его вычислил в V веке н. э. знаменитый китайский астроном Цзу Чунь Чжи. Вычислялось π довольно просто. Надо было дважды написать нечетные числа: 11 33 55, а потом, разделив их пополам, поместить первое в знаменатель дроби, а второе – в числитель: 355/113 . Результат совпадает с современными вычислениями π вплоть до седьмого знака.

Сейчас даже школьники знают, что число π — математическая константа, равная отношению длины окружности к длине её диаметра и равняется π 3,1415926535 … и далее после запятой – до бесконечности.

Свое обозначение π число обрело сложным путем: сначала этой греческой буквой в 1647 году математик Оутрейд обозвал длину окружности. Он взял первую букву греческого слова περιφέρεια — «переферия». В 1706 году английский преподаватель Уильям Джонс в работе «Обозрение достижений математики» уже называл буквой π отношение длины окружности к ее диаметру. А закрепил название математик XVIII века Леонард Эйлер, перед авторитетом которого остальные склонили головы. Так π стало π.

Пи — поистине уникальное число.

1. Ученые считают, что количество знаков в числе π бесконечно. Их последовательность не повторяется. Более того, найти повторения не удастся никому и никогда. Так как число бесконечно, оно может заключать в себе абсолютно все, даже симфонию Рахманинова, Ветхий Завет, ваш номер телефона и год, в котором наступит Апокалипсис.

2. π связано с теорией хаоса. К такому выводу пришли ученые после создания вычислительной программы Бэйли, которая показала, что последовательность чисел в π абсолютно случайна, что соответствует теории.

3. Вычислить число до конца практически невозможно – это заняло бы слишком много времени.

4. π – иррациональное число, то есть его значение нельзя выразить дробью.

5. π – трансцедентное число. Его нельзя получить, произведя какие-либо алгебраические действия над целыми числами.

6. Тридцать девять знаков после запятой в числе π достаточно для того, что вычислить длину окружности, опоясывающей известные космические объекты во Вселенной, с погрешностью в радиус атома водорода.

7. Число π связано с понятием «золотого сечения». В процессе измерений Великой пирамиды в Гизе археологи выяснили, что ее высота относится к длине ее основания, так же как радиус окружности — к ее длине.

Рекорды, связанные с π

В 2010 году сотрудник компании «Yahoo» математик Николас Чже смог вычислить в числе π два квадрильона знаков после запятой (2×10). На это ушло 23 дня, и математику понадобилось множество помощников, которые работали на тысячах компьютеров, объединенных по технологии рассеянных вычислений. Метод позволил произвести расчеты с такой феноменальной скоростью. Чтобы вычислить то же самое на одном компьютере, потребовалось бы больше 500 лет.

Для того, чтобы просто записать все это на бумаге, потребуется бумажная лента больше двух миллиардов километров длиной. Если развернуть такую запись, ее конец выйдет за пределы Солнечной системы.

Китаец Лю Чао установил рекорд по запоминанию последовательности цифр числа π. В течение 24 часов 4 минут Лю Чао назвал 67 890 знаков после запятой, не допустив ни одной ошибки.

У π много поклонников. Его воспроизводят на музыкальных инструментах, и оказывается, что «звучит» оно превосходно. Его запоминают и придумывают для этого различные приемы. Его ради забавы скачивают себе на компьютер и хвастаются друг перед другом, кто больше скачал. Ему ставят памятники. Например, такой памятник есть в Сиэтле. Он находится на ступенях перед зданием Музея искусств.

π используют в украшениях и в интерьере. Ему посвящают стихи, его ищут в святых книгах и на раскопках. Есть даже «Клуб π».
В лучших традициях π, числу посвящен не один, а целых два дня в году! В первый раз День π празднуют 14 марта. Поздравлять друг друга надо ровно в 1час, 59 минут, 26 секунд. Таким образом, дата и время соответствуют первым знакам числа- 3,1415926.

Во второй раз праздник π отмечают 22 июля. Этот день связывают с так называемым «приближенным π», который Архимед записывал дробью.
Обычно в этот день π студенты, школьники и ученые устраивают забавные флэш-мобы и акции. Математики, забавляясь, с помощью π вычисляют законы падающего бутерброда и дарят друг другу шуточные награды.
И между прочим, π в самом деле можно найти в святых книгах. Например, в Библии. И там число π равно… трем.

ЧИСЛО p – отношение длины окружности к ее диаметру, – величина постоянная и не зависит от размеров окружности. Число, выражающее это отношение, принято обозначать греческой буквой 241 (от «perijereia » – окружность, периферия). Это обозначение стало употребительным после работы Леонарда Эйлера , относящейся к 1736, однако впервые оно было употреблено Уильямом Джонсом (1675–1749) в 1706. Как и всякое иррациональное число, оно представляется бесконечной непериодической десятичной дробью:

p = 3,141592653589793238462643… Нужды практических расчетов, относящихся к окружностям и круглым телам, заставили уже в глубокой древности искать для 241 приближений с помощью рациональных чисел. Сведения о том, что окружность ровно втрое длиннее диаметра, находятся в клинописных табличках Древнего Междуречья. Такое же значение числа p есть и в тексте Библии: «И сделал литое из меди море, – от края до края его десять локтей, – совсем круглое, вышиною в пять локтей, и снурок в тридцать локтей обнимал его кругом» (3 Цар. 7. 23). Так же считали и древние китайцы. Но уже во 2 тыс. до н.э. древние египтяне пользовались более точным значением числа 241, которое получается из формулы для площади круга диаметра d :

Этому правилу из 50-й задачи папируса Райнда соответствует значение 4(8/9) 2 » 3,1605. Папирус Райнда, найденный в 1858, назван так по имени его первого владельца, его переписал писец Ахмес около 1650 до н.э., автор же оригинала неизвестен, установлено только, что текст создавался во второй половине 19 в. до н.э. Хотя каким образом египтяне получили саму формулу, из контекста неясно. В так называемом Московском папирусе, который был переписан неким учеником между 1800 и 1600 до н.э. с более древнего текста, примерно 1900 до н.э., есть еще одна интересная задача о вычислении поверхности корзины «с отверстием 4½». Неизвестно, какой формы была корзина, но все исследователи сходятся во мнении, что и здесь для числа p берется то же самое приближенное значение 4(8/9) 2 .

Чтобы понять, каким образом древние ученые получили тот или иной результат, нужно попытаться решить задачу, используя только знания и приемы вычислений того времени. Именно так поступают исследователи старинных текстов, однако решения, которые им удается найти, вовсе не обязательно «те самые». Очень часто для одной задачи предлагается несколько вариантов решения, каждый может выбрать себе по вкусу, однако никто не может утверждать, что именно им пользовались в древности. Относительно площади круга кажется правдоподобной гипотеза А.Е.Раик, автора многочисленных книг по истории математики: площадь круга диаметра d сравнивается с площадью описанного вокруг него квадрата, из которого по очереди удаляются малые квадраты со сторонами и (рис. 1). В наших обозначениях вычисления будут выглядеть так: в первом приближении площадь круга S равна разности между площадью квадрата со стороной d и суммарной площадью четырех малых квадратов А со стороной d :

В пользу этой гипотезы свидетельствуют аналогичные вычисления в одной из задач Московского папируса, где предлагается сосчитать

С 6 в. до н.э. математика стремительно развивалась в Древней Греции. Именно древнегреческие геометры строго доказали, что длина окружности пропорциональна ее диаметру (l = 2 p R ; R – радиус окружности, l – ее длина), а площадь круга равна половине произведения длины окружности и радиуса:

S = ½ l R = p R 2 .

Эти доказательства приписывают Евдоксу Книдскому иАрхимеду .

В 3 в. до н.э. Архимед в сочинении Об измерении круга вычислил периметры вписанных в окружность и описанных около нее правильных многоугольников (рис. 2) – от 6- до 96-угольника. Таким образом он установил, что число p находится между 3 10/71 и 3 1/7, т.е. 3,14084 L то мы можем приблизительно рассчитать значение числа Пи по формуле вероятности 2L/rPI. Только представьте – мы можем получить Пи из случайных событий. И между прочим Пи присутствует в нормальном распределении вероятностей, появляется в уравнении знаменитой кривой Гаусса. Значит ли это, что число Пи еще более фундаментально, чем просто отношение длины окружности к диаметру?

Мы можем встретить Пи и в физике. Пи появляется в законе Кулона, который описывает силу взаимодействия между двумя зарядами, в третьем законе Кеплера, который показывает период обращения планеты вокруг Солнца, встречается даже в расположении электронных орбиталей атома водорода. И что опять же самое невероятное – число Пи прячется в формуле принципа неопределенности Гейзенберга – фундаментального закона квантовой физики.

Тайны числа Пи

В романе Карла Сагана «Контакт», по которому снят одноименный фильм, инопланетяне сообщают героине, что среди знаков Пи содержится тайное послание от Бога. С некоторой позиции цифры в числе перестают быть случайными и представляют себе код, в котором записаны все секреты Мироздания.

Этот роман на самом деле отразил загадку, занимающую умы математиков всей планеты: является ли число Пи нормальным числом, в котором цифры разбросаны с одинаковой частотой, или с этим числом что-то не так. И хотя ученые склоняются к первому варианту (но не могут доказать), число Пи выглядит очень загадочно. Один японец как то подсчитал, сколько раз встречаются числа от 0 до 9 в первом триллионе знаков Пи. И увидел, что числа 2, 4 и 8 встречаются чаще, чем остальные. Это может быть одним из намеков на то, что Пи не совсем нормальное, и цифры в нем действительно не случайны.

Вспомним всё, что мы прочли выше, и спросим себя, какое еще иррациональное и трансцендентное число так часто встречается в реальном мире?

А в запасе имеются еще странности. Например, сумма первых двадцати цифр Пи равна 20, а сумма первых 144 цифр равна «числу зверя» 666.

Главный герой американского сериала «Подозреваемый» профессор Финч рассказывал студентам, что в силу бесконечности числа Пи в нем могут встретиться любые комбинации цифр, начиная от цифр даты вашего рождения до более сложных чисел. Например, на 762-ой позиции находится последовательность из шести девяток. Эта позиция называется точкой Фейнмана в честь известного физика, который заметил это интересное сочетание.

Нам известно также, что число Пи содержит последовательность 0123456789, но находится она на 17 387 594 880-й цифре.

Все это означает, что в бесконечности числа Пи можно обнаружить не только интересные сочетания цифр, но и закодированный текст «Войны и Мира», Библии и даже Главную Тайну Мироздания, если таковая существует.

Кстати, о Библии. Известный популяризатор математики Мартин Гарднер в 1966 году заявил, что миллионным знаком числа Пи (на тот момент еще неизвестным) будет число 5. Свои расчеты он объяснил тем, что в англоязычной версии Библии, в 3-й книге, 14-й главе, 16-м стихе (3-14-16) седьмое слово содержит пять букв. Миллионную цифру получили спустя восемь лет. Это было число пять.

Стоит ли после этого утверждать, что число Пи случайно?

Устный счёт на уроках математики

Нажмите, чтобы узнать подробности

Математика является одной из важнейших наук на земле и именно с ней человек встречается каждый день. Счет в уме является самым древним и простым способом вычисления. Знание упрощенных приемов устных вычислений остается необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоемких вычислительных процессов. Устные вычисления развивают в человеке память, культуру мысли, ее четкость, ясность и быстроту, сообразительность, умение отыскивать наиболее рациональные пути для решения поставленной цели, ясное понимание связи теории с практикой, уверенность в своих силах, помогают школьникам полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.

Просмотр содержимого документа
«Устный счёт на уроках математики»

Устный счёт на уроках математики

Подготовила: Винникова Н.В., учитель математики

МБОУ СОШ №11 г.о. Коломна

Из всего вышесказанного следует актуальность задачи разработки стратегии применения разного вида упражнений устного счета для лучшего усвоения нового материала и закреплении пройденного материала.

Обращая внимание на тот факт, что навыки устных вычислений формируются в процессе выполнения учащимися разнообразных упражнений. Ниже приведем их основные виды.

Нахождение значений математических выражений
Сравнение математических выражений
Решение уравнений
Решение задач

Разнообразие и комбинирование различных видов устных упражнений возбуждают интерес у детей, активизируют их мыслительную деятельность, что приводит к лучшему усвоению нового и закреплению пройденного ранние материала. Существуют различные формы восприятия информации:

беглый слуховой (читается учителем, учеником, записано на магнитофоне) – при восприятии задания на слух большая нагрузка приходится на память, поэтому учащиеся быстро утомляются. Однако такие упражнения очень полезны: они развивают слуховую память;
зрительный (таблицы, плакаты, записи на доске, счеты, диапозитивы) – запись задания облегчает вычисления (не надо запоминать числа). Иногда без записи трудно и даже невозможно выполнить задание. Например, надо выполнить действие с величинами, выраженными в единицах двух наименований, заполнить таблицу или выполнить действия при сравнении выражений;
комбинированный.

обратная связь (отображения ответов с помощью карточек).
задания по вариантам (обеспечивают самостоятельность)
упражнения в форме игры (молчанка, продолжи цепочку, стук-стук, хлопки).

Чтобы навыки устных вычислений постоянно совершенствовались, необходимо установить правильное соотношение в применении устных и письменных приёмов вычислений, а именно: вычислять письменно только тогда, когда устно вычислять трудно. Упражнения в устных вычислениях должны пронизывать весь урок. Их можно соединять с проверкой домашних заданий, закреплением изученного материала, предлагать при опросе. Особенно хорошо, если наряду с этим, специально отводить 5-7 минут на уроке для устного счёта. Материал для этого можно подобрать из учебника или специальных сборников. Устные упражнения должны соответствовать теме и цели урока и помогать усвоению изучаемого на данном уроке или ранее пройденного материала. В зависимости от этого учитель определяет место устного счета на уроке. Если устные упражнения предназначаются для повторения материала, формированию вычислительных навыков и готовят к изучению нового материала, то лучше их провести в начале урока до изучения нового материала. Если устные упражнения имеют цель закрепить изученное на данном уроке, то надо провести устный счет после изучения нового материала. Не следует проводить его в конце урока, так как дети уже утомлены, а устный счет требует большого внимания, памяти. Количество упражнений должно быть таким, чтобы их выполнение не переутомляло детей и не превышало отведенного на это времени урока. При подборе упражнений для урока следует учитывать, что подготовительные упражнения и первые упражнения для закрепления, как правило, должны формироваться проще и прямолинейнее. Здесь ненужно стремиться к особенному разнообразию в формулировках и приёмах работы. Упражнения для отработки знаний и навыков и особенно для применения их в различных условиях, наоборот должны быть однообразнее. Формулировки заданий, по возможности, должны быть рассчитаны на то, чтобы они легко воспринимались на слух. Для этого они должны быть чёткими и лаконичными, сформулированы легко и определённо, не допускать различного толкования. В случаях, когда задания всё-таки трудны для усвоения на слух, необходимо прибегать к записям или рисункам на доске. Помимо того, что устный счет на уроках математики способствует развитию и формированию прочных вычислительных навыков и умений, он также играет немаловажную роль в привитии и повышении у детей познавательного интереса к урокам математики, как одного из важнейших мотивов учебно-познавательной деятельности, развития логического мышления и развития личностных качеств ребенка. На мой взгляд, вызывая интерес и прививая любовь к математике с помощью различных видов устных упражнений, учитель будет помогать ученикам активно действовать с учебным материалом, пробуждать у них стремление совершенствовать способы вычислений и решения задач, менее рациональные заменять более совершенными. А это — важнейшее условие сознательного усвоения материала. С помощью устных упражнений учителю легче работать с отстающими детьми – в игровой обстановке ребенок не боится отвечать, даже если не знает правильного ответа. Устные упражнения позволяют обеспечить нужное количество повторений на разнообразном материале, постоянно поддерживая и сохраняя положительное отношение к математическому заданию. Все сталкиваются при устном счете с такой проблемой, как охват всех учащихся. При наполняемости классов в среднем 30 человек это довольно проблематично. Как правило, классы по силам неоднородны, сильные ученики выполняют все упражнения довольно быстро, это приводит к тому, что либо постоянно отвечают одни и те же, либо им становится скучно. Другие же имеют возможность либо вообще «отлынивать» от устных упражнений, либо выполнять их от случая к случаю. Смысл же заданий устного счета в том, чтобы каждый ученик выполнил весь объем вычислений, а учитель имел возможность быстро и легко проверить работу учащихся. Поэтому при планировании устной работы в начале урока можно поступить следующим образом: на доску выписываются номера заданий из учебника, предназначенные для устного счета. Учащимся дается определенное количество времени, в зависимости от количества заданий. Все вычисления и рассуждения учащиеся производят устно, записывая только конечные результаты, причем именно в той последовательности, в какой были предложены задания. Через отведенное время задания проверяются. Одновременно учитель берет на проверку 4–5 тетрадей с последующим выставлением отметок. Могу предложить для устного счета и такую форму работы, она применима в тех ситуациях, когда требуется «набить» руку на использовании определенных алгоритмов. Берется одинарный лист в клетку и складывается по длине пополам. Получается 4 страницы. В течение 4 уроков каждый ученик получает один из четырех вариантов (каждый день разный) одной и той же работы. Задания выполняются устно, записываются только ответы. Новый вариант работы выполняется на новой странице. Обычно берется 10 заданий в каждом варианте, которые охватывают все возможные случаи для данной темы. Учащимся дается ограниченное количество времени. После каждого урока работы проверяются, оцениваются и на следующем уроке возвращаются ученикам. В журнал выставляется итоговая отметка по результатам всех четырех работ. Такой вид работы позволяет к четвертому уроку существенно улучшить качество и увеличить процент выполнения работ. Устная работа на уроках математики весьма оживляет урок. На ней можно отдохнуть; в хорошем смысле этого слова, развлечься. Это самый «свободный» этап урока. Вопросы быстро сменяют друг друга, и если не знаешь ответ на один, то не беда, сможешь проявить себя на следующем. Это очень динамичный, активный вид деятельности, вносящий разнообразие в уроки математики. Кроме того, каждый ученик может отличиться «заработать» поощрение, высокий балл и т.п. Устные упражнения активизируют мыслительную деятельность учащихся, развивают внимание, наблюдательность, память, речь, быстроту реакции, повышают интерес к изучаемому материалу. Они дают возможность изучить большой по объему материал за более короткий промежуток времени, позволяют учителю судить о готовности класса к изучению нового материала, о степени его усвоения, помогают выявлять ошибки учащихся. Но далеко не всегда устные упражнения приводят к ожидаемым результатам. Причина этого в том, что методика проведения устных упражнений сложнее, чем письменных. Когда класс записывает решение задачи, учитель видит, кто работает и как работает, видит в тетрадях также и результаты работы. А как проверить, действительно ли все учащиеся активно думают над задачей при ее устном решении? Отвечает-то всегда чаще всего один ученик и сообщает он, как правило, только результат выполненного упражнения, а процесс его получения остается скрытым. Основные дидактические функции такого момента урока как устная работа дают ему, по моему мнению, существенные преимущества, позволяющие его считать неотъемлемой частью каждого практического урока: — актуализация опорных знаний учащихся и их подготовка к восприятию нового материала; — более сознательное, неформальное усвоение материала урока; — систематическое повторение изученного; — развитие у учащихся внимания, памяти, наблюдательности, сообразительности, инициативы и т.п.; — формирование интереса к предмету; — активизация учебной деятельности на уроке. Следовательно, в содержание устной работы, по-возможности, нужно включать упражнения следующих типов: • на закрепление и отработку текущего материала; • на повторение; • с элементами творчества (например, для подготовки к восприятию нового материала, с новой для ребят пространственной ситуацией и т.д.); • развивающего характера (в том числе нестандартные упражнения, на сообразительность, занимательные). Проводя устные упражнения, учитель должен быть уверен, что работают все, и притом активно. Он должен также получить обратную информацию: как выполнили упражнение, усвоен ли способ решения. Отсюда вывод: чтобы гарантировать участие в работе всех учащихся, нужно, очевидно, соблюдать ряд условий эффективности устных упражнений. Рассмотрим их. 1. Желательно, чтобы задачи для устных упражнений в 5-11 классах были заранее выписаны на отдельных листах или на доске, чтобы каждый ученик на протяжении всего процесса устного решения видел эти задания. 2. Условия геометрических задач, решаемых устно, желательно задавать хотя бы частично на чертеже. 3. Устные упражнения желательно чередовать с письменным выполнением упражнений аналогичного типа на самостоятельных и контрольных работах. Если это условие нарушается, то оказывается, что через какое-то время многие учащиеся не могут справиться на контрольной работе с такими же задачами, которые они решали устно. 4. Во время устных упражнений следует особенно тщательно соблюдать паузы, чтобы учащиеся успевали обдумать решения задач. 5. При устном решении задач особенно важно соблюдать принципы построения системы упражнений (однотипности, непрерывного повторения, использования контрпримеров и т.д.). Большое значение на каждом уроке имеет его организационный момент. Как быстро настроить детей на работу, но сделать это без понуканий и строгости? Можно провести оргмомент в виде математической зарядки. Заранее готовится несколько карточек с простейшими примерами. Примеры даются с ответами. На одних карточках ответы верные, на других – неверные. Каждое упражнение зарядки состоит их двух движений. Учитель поочередно показывает классу карточки, а ученики делают определенное движение. Например, если верный ответ – руки вверх, неверный – руки вперед. Сначала дети не могут собраться, не попадают в ритм. Но постепенно сосредотачиваются, а темп зарядки увеличивается. И в результате мы получаем класс, полностью подготовленный к работе. Комплекс математической зарядки по теме «Делители и кратные» предлагается ниже. 1 упр. Правильный ответ – руки вперед, неправильный ответ – руки вверх. 2·0,3=0,6 0,5·10=50 0,7·12=84 6:100=0,6 6 : 2=3 7+0,5=0,75 2 упр. Все стоят, руки на поясе. Правильный ответ – поворот направо, неправильный – поворот налево. 2 – делитель 222 1 имеет один делитель 15 кратно 10 любое число кратно 1. Хорошо развитые у учащихся навыки устного счета – одно из условий их успешного обучения в старших классах. Устный счет желательно проводить так, чтобы ребята начинали с легкого, а затем брались за вычисления все более и более трудные. Следует разделять два вида устного счета. Первый – это тот, при котором учитель не только называет числа, с которыми надо оперировать, но и демонстрирует их учащимся каким-то образом. Подкрепляя слуховые восприятия учащихся, зрительный ряд фактически делает ненужным удерживание данных в уме, чем существенно облегчает процесс вычислений. Однако именно запоминание чисел, над которыми производятся действия,- важный момент устного счета. Тот, кто не может удерживать чисел в памяти, в практической работе оказывается плохим вычислителем. Поэтому в школе нельзя недооценивать второй вид устного счета, когда числа воспринимаются только на слух. Учащиеся при этом ничего не записывают и никакими наглядными пособиями не пользуются. Естественно, что второй вид устного счета сложнее первого. Но он и эффективнее в методическом смысле – при том, однако, условии, что этим видом счета удастся увлечь всех учащихся. Последнее обстоятельство очень важно, поскольку при устной работе трудно контролировать каждого ученика. Желательно сделать так, чтобы устный счет воспринимался учащимися как интересная игра. Тогда они сами следят за ответами друг друга. Формы устного счета:

Беглый счет. (Учитель называет ряд чисел и действий над ними)
Равный счет. (Учитель записывает строчку: 25 + 63 – 18 = 70, далее он вызывает ученика и просит записать такую строчку, чтобы в ней получилось 70. “Теперь дети, все придумайте такую строчку, чтобы в ней получилось 70”)
Счет цепочкой. (Разновидность беглого счета с паузой перед каждым новым действием. Когда учитель ставит знак равенства ответ у большинства должен быть готов)
Прием дополнение. (Учитель пишет на доске число 1 или 100, а потом называет одно за другим числа, а учащиеся должны называть дополнения до 1 или 100)
Придумывание задач к данному примеру. (Учитель рисует круг с числами, показывает указкой число, а дети в уме производят указанное действие)
Устное решение простых задач.
Заполнение квадратов. (Квадрат в девять клеток изображается на доске. Дается ряд чисел 1, 2, 3,…9. Задание: заполнить данными числами все клетки квадрата так, чтобы и в горизонтальных и в вертикальных рядах было 15 – рис. 2)
Зрительные и зрительно-слуховые упражнения – счет по таблицам Шохор-Троцкого (рис.3), Пифагора, ряды чисел “Угадай-ка” (рис.4), счетные круги и фигуры (рис.5), занимательные квадраты и прямоугольники. (Учитель вывешивает одно из пособий, показывает числа указкой и предлагает считать молча. Вычислив, учащиеся молча поднимают руки )
Математические диктанты.
Устные контрольные работы.

Формы работы:

Устный фронтальный опрос по карточкам, проводимый как учителем, так и учащимися.
Письменный опрос (с записью ответа или записью ответов действий) по подготовленным таблицам.
Самостоятельная письменная работа (с записью ответа или ответов действий ) по вариантам или по карточкам с последующим анализом и работой над ошибками.
Решение у доски во время опроса.

5. Решение за первой партой. 6. Разбор образцов решений и их оформление. 7. Отработка алгоритмов вычислений. 8. Математические эстафеты. 9. Цепочные вычисления.

Работа в парах (по таблицам называют ответы).

11. Соревнование: «Кто быстрее?» 12. Математический диктант При этом учитывается, что: -на каждом уроке надо работать с каждым учеником. Для этого учитель должен выбрать формы работы и материал так, чтобы каждый ученик был занят делом, его работу можно было проконтролировать. Например, каждому ученику, работающему за первой партой, выдается карточка с таким заданием, чтобы он ликвидировал свои пробелы в знаниях. При этом ведется учет овладения вычислительными навыками каждым учеником (заносятся в ведомость, см. приложение); -очень важно научить школьников самоконтролю, т.е. умению контролировать решение, действия, а в результате и свои поступки; -только при выполнении самостоятельной работы наиболее прочно усваивается изучаемый материал. Поэтому учащиеся привлекаются к составлению заданий по изучаемым темам и на повторение; -для формирования устойчивого внимания желательно подбирать следующие задания: а) найдите в решении ошибку; б) выбери правильный ответ; в) истинно или ложно предложение; г) математические эстафеты. Используются различные формы проведения контроля: самостоятельные работы и устные контрольные работы. При регулярном проведении самостоятельных работ существует реальная возможность выяснить на ранней стадии пробелы в знаниях прочность усвоения, и скорректировать дальнейшую работу.
Опишу некоторые формы проведения устного счета. Беглый счет. Учитель показывает карточку с заданием и тут же громко прочитывает его. Учащиеся устно выполняют действия и сообщают свои ответы. Карточки быстро сменяют одна другую, но последние задания предлагаются уже не с помощью карточек, а только устно. Для таких упражнений полезно подобрать такие, в которых особенно заметен эффект прикидки. Равный счет. Учитель записывает на доске упражнения с ответом. Ученики должны придумать свои примеры с тем же ответом. Их примеры на доске не записываются. Ребята должны на слух определять, верно ли составлен пример, на слух воспринимать названные числа. «Лесенка». На каждой ступеньке записано задание в одно действие. Команда учащихся из пяти человек (столько ступенек у лесенки) поднимается по ней. Каждый член команды выполняет действие на своей ступеньке. Если ошибся – упал с лесенки. Вместе с неудачником может выбыть из игры и вся команда. Или команда заменяет своего выбывшего товарища другим игроком. В это время вторая команда продолжает подъём. Выигрывают те ребята, которые быстрее добрались до верхней ступеньки. По лесенке можно подниматься и с разных сторон, играя вдвоём. Побеждает тот, кто быстрее даст правильные ответы на всех ступеньках. «Молчанка». На доске изображаются фигуры. Вне каждой из них располагается четыре числа, а внутри записано действие, которое надо выполнить над каждым из «внешних» чисел. Ответы давать можно молча, написав рядом с данным числом верный результат указанного действия. Задания легко поменять, достаточно только заменить знаки арифметических действий, стоящие рядом с «внутренними» числами. 2×1/3 1/6×2 1/5×5 0,4:2 2:1/4 0,2×2 0,8×2
Рис. к «Лесенке»
4,1 0,8 7,2 8,3 12 :2 +1,91 -1,3
×0,4 1,2 ×0,4 9,2 :2 8,05 +1,91 12,9 -1,3
4,5 9,7 19,6 0,09 2,7 -7,3 Рис. к «Молчанке» «Торопись, да не ошибись». Эта игра – фактически математический диктант. Учитель медленно прочитывает задание за заданием, а учащиеся на листочках пишут свои ответы. При изучении курса геометрии большой популярностью пользуются, конечно, упражнения на готовых чертежах. Они позволяют быстро решить большое количество задач, подготавливают учащихся к построению более сложных чертежей. При изучении курса стереометрии визуальные барьеры учащихся минимизируются, если личный опыт их обогащён умениями: — видеть геометрическую конфигурацию в разных ракурсах, зрительно вычленять разные фигуры на одном и том же изображении; -абстрагироваться от фона на планиметрической или стереометрической конфигурации; — считывать с рисунка закодированную в обозначениях логическую информацию о свойствах фигур; — доверять логической информации в обозначениях больше, чем и изображению, воспринимаемому визуально достоверным или недостоверным; — восстанавливать визуально достоверное изображение, адекватное логической информации в обозначениях, на визуально недостоверном изображении. Формирование каждого из названных умений требует длительной кропотливой работы. Их стихийное формирование доступно лишь наиболее сильным учащимся. Планомерную работу по формированию этого комплекса умений нужно начинать как можно раньше, по крайней мере с первых уроков изучения систематического курса геометрии. С учётом сказанного разработана система упражнений к каждой теме курса планиметрии, начиная с 7 класса. Подводя итоги разговора по теме «Использование устных упражнений на уроках математики», приведу еще несколько практических рекомендаций по проведению устной работы на уроке: • Начинать устную работу следует с более легкого упражнения, постепенно усложняя задания. Это делается, с одной стороны, для того, чтобы учащиеся постепенно втянулись в относительно быстрый ритм устной работы, а с другой – чтобы не подавить их инициативу и активность. • Продолжительность не должна превышать 10 минут (оптимально 7-8 минут). • Планировать устную работу лучше в конце подготовки конспекта, чтобы представлять весь урок в целом, его основные общие и конкретные задачи. • Устная работа – это прекрасное, активное, мобилизующее, настраивающее на работу начало урока. Отчасти это связано с тем, что, как известно, в начале урока (приблизительно на третьей минуте) наступает первый кризис внимания школьников. Второй кризис внимания, как правило, бывает в середине урока (23-25 минут). В это время тоже хорошо отвлечь ребят несколькими уместными устными упражнениями. • Чтобы стимулировать активность, инициативу учащихся, дать возможность проявить себя, можно ввести соответствующую систему оценок во время устной работы (знаковую, балльную и т.д.). • В устной работе особенно ярко проявляется еще один аспект современного обучения – она дает возможность для формирования и развития диалоговой культуры учащихся, которая является элементом общей культуры современного человека. Она дает умение вести диалог с собеседником, т.е. умение общаться, убеждать, слушать его. Это умение необходимо при ведении диалога с компьютером.

Способы быстрого сложения и вычитания натуральных чисел. Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц. Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а второе уменьшить на столько же единиц, то сумма не изменится. Если вычитаемое увеличить на несколько единиц и уменьшаемое увеличить на столько же единиц, то разность не изменится. Если от суммы двух чисел отнять разность тех же чисел, то в результате получится удвоенное меньшее число, то есть . Если к сумме двух чисел прибавить их разность, то в результате получится удвоенное большее число, то есть . Сложение столбцами. Сумма цифр каждого разряда складывается отдельно. Цифра десятков в сумме предыдущего разряда складывается с цифрой единиц последующей суммы. Сложение с перестановкой слагаемых. 72+63+28=? Третье слагаемое является дополнением первого до 100. Мысленно переставим слагаемые. Сложим их 72+28+63=163. Соединяем слагаемые попарно: (3013+2118)+(74+126)=5200+200=5400. Сложение десятичных дробей. Складывать устно десятичные дроби следует подобно целым числам, то есть, начиная с высших разрядов: сначала поразрядно сложить целые части, затем – дробные десятичные доли. Способы быстрого умножения и деления натуральных чисел. Применение распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания к множителям, один из которых представлен в виде суммы или разности. Примеры: 8•318=8• (310+8)=2480+64=2544
7•196=7• (200-4)=1400 — 28=1372. Умножение методом Ферроля. Для получения единиц произведения перемножают единицы множителей, для получения десятков умножают десятки одного на единицы другого множителя и наоборот, и результаты складывают, для получения сотен перемножают десятки. Этот способ умножения следует из тождества . Методом Ферроля легко перемножать устно двузначные числа от 10 до 20. Можно умножать и трёхзначное число на двузначное. Умножение чисел, у которых число десятков одинаково, а сумма единиц равна 10. Число десятков любого множителя умножить на число, которое больше на 1, затем перемножить отдельно единицы этих чисел и, наконец, к первому результату справа приписать второй. Этот способ основан на тождестве . Умножение чисел на 11. Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр. Если одна из сумм соседних цифр окажется больше 9, то на соответствующем месте записывают цифру единиц полученной суммы, а к следующей сумме прибавляют 1. Прибавляют единицу и к последней цифре множителя, если предыдущая сумма превышала 9. Умножение на числа вида . Умножить данное число на , потом на 11. Умножение двузначного числа на 111. Справа налево нужно последовательно записать: последнюю цифру первого множителя (т.е. цифру из разряда единиц), сумму цифр первого множителя, снова сумму его цифр и, наконец, его первую цифру. Если сумма цифр двузначного числа больше 9, то записываем цифру единиц каждой суммы, а к следующему результату прибавляем 1. Умножение однозначного или двузначного числа на 37. Способ основан на равенствах 2• 37=74, 3• 37=111. Умножение на 5, 25, 125. Разделить число соответственно на 2, 4, 8 и результат умножить на 10, 100, 1000. Если множитель не делится нацело на 2, 4 или на 8, то деление производится с остатком. Затем частное умножают соответственно на 10, 100 или 1000, а остаток – на 5, 25 или 125. Умножение на 9, 99, 999. К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель. Умножение на 75. Нужно число разделить на 4 и результат умножить на 300. Умножение на 101. Чтобы умножить двузначное число на 101, надо к этому числу приписать справа это же число. Умножение на 1001. Чтобы умножить трёхзначное число на 1001, надо к этому числу приписать справа это же число. Умножение чисел, близких к 100 и 1000 Примеры. 245•998=245•(1000-2)=245000-490=244510
375•999=375• (1000-1)=375000-375=374625
225•999=225• (1000-3)=222000-675=224325. Умножение пары чисел, у которых цифры десятков одинаковые, а сумма цифр единиц составляет 10 Примеры: 83•87=8•9•100+3•106=10••207=20•21•100+3•7=42021 Умножение двух рядом стоящих чисел Правило. При умножении двух рядом стоящих чисел надо сначала перемножить цифры десятков, затем цифру десятков умножить на сумму цифр единиц и, наконец, надо перемножить цифры единиц. Умножение чисел, оканчивающихся на 1 Правило. При умножении чисел, оканчивающихся на 1, надо сначала перемножить цифры десятков и правее полученного произведения записать под этим числом сумму цифр десятков, а затем перемножить 1 на 1 и записать ещё правее. Сложив столбиком, получим ответ. Деление на 5, 25, 125 Умножить числа соответственно на 2, 4, 8 и разделить на 10, 100, 1000. Умножение чисел, оканчивающихся цифрой 5 При умножении чисел, оканчивающихся цифрой 5 (одна цифра десятков – чётная, а другая – нечётная), надо к произведению цифр десятков прибавить целую часть половины суммы цифр десятков. Получим число сотен, и тогда к числу сотен следует приписать 75.