Какие события называются зависимыми

1.6.2. Зависимые и независимые события

События являются независимыми, если вероятность наступления любого из них не зависит от появления / непоявления остальных событий рассматриваемого множества событий (во всех возможных комбинациях).

Так, например, при подбрасывании двух или бОльшего количества монет вероятность выпадения орла или решки на любой монете не зависит от того, что выпадет на других монетах. Вероятности выпадения граней кубика во 2-м испытании не зависят от того, какая грань выпала в 1-м испытании.

Теперь более любопытная ситуация. Событие называют зависимым, если его вероятность зависит от одного или бОльшего количества событий, которые уже произошли.

Например: – из неполной колоды игроку будет сдана карта червовой масти. Вероятность этого события зависит от того, какие карты уже были извлечены из колоды.

И, конечно, близкий многим пример:

– на экзамене студенту достанется простой билет.

Если идти не самым первым, то событие будет зависимым, поскольку его вероятность зависит от того, какие билеты уже вытянули однокурсники.

Как определить зависимость / независимость событий?

Иногда об этом прямо сказано в условии задачи, но чаще приходится проводить самостоятельный анализ. Какого-то однозначного ориентира тут нет, и факт зависимости либо независимости событий вытекает из естественных логических рассуждений.

Чтобы не валить всё в одну кучу, начнём с независимых событий:

Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате ,
а также курсы по другим темам можно найти после Оглавления.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

© mathprofi.ru — mathter.pro, 2010-2023, сделано в Блокноте.

Зависимые и независимые условия

Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого. Например, если в цехе работают две автоматические линии, по условиям производства не взаимосвязанные, то остановки этих линий являются независимыми событиями.

Монета брошена два раза. Вероятность появления «герба» в первом испытании (событие A) не зависит от появления или не появления «герба» во втором испытании (событие B). В свою очередь, вероятность появления «герба» во втором испытании не зависит от результата первого испытания. Таким образом, события A и B независимые.

При бросании кубика вероятность появления числа 2 при втором бросании не зависит от результатов первого бросания.

Несколько событий называются независимыми в совокупности, если любое из них не зависит от любого другого события и от любой комбинации остальных.

Причём, если А₁, А₂, …, А _n — независимые события, то и противоположные им события Ᾱ₁, Ᾱ₂, …, Ᾱ _n — независимы.

Если события независимы в совокупности, то из определения следует их попарная независимость, то есть любые два из них независимы. Обратное, вообще говоря, неверно, то есть из попарной независимости не следует их независимость в совокупности.

Пусть имеется тетраэдр (объемная фигура, сторонами которой являются правильные треугольники, всего — четыре стороны). Пусть три стороны раскрашены в красный, зеленый и синий цвета (по одному на каждую сторону), а четвертая содержит все три цвета. Будем бросать тетраэдр наудачу, и цвет, оказавшийся на нижней грани, назовем выпавшим. Очевидно, что вероятность выпадения красного цвета (а также вероятность выпадения зеленого и вероятность выпадения синего цветов) равны Р(К)=Р(С)=Р(К) (каждый цвет содержится на двух гранях из четырех). Вероятность одновременного выпадения двух цветов, например, красного и зеленого, равна Р(КЗ)=0,25 . Таким образом, имеем Р(КЗ)=Р(К)Р(З) ( Правая часть находится по теореме об умножении вероятностей, которую мы подробно рассмотрим в следующей теме) . Аналогично для других комбинаций из двух цветов, то есть события выпадение цвета — попарно независимы. Вероятность же выпадения всех трех цветов одновременно (Р(КЗС)) равна 0,25 и не равна произведению вероятностей выпадения каждого из трёх цветов (Р(В)Р(К)Р(С)) , то есть события не независимы в совокупности.

События называются зависимыми, если одно из них влияет на вероятность появления другого.

При вытягивании экзаменационных билетов вероятность вытащить самый простой билет (№ 13) восьмым студентом зависит от результатов всех предыдущих.

Две производственные установки связаны единым технологическим циклом. Тогда вероятность выхода из строя одной из них зависит от того, в каком состоянии находится другая.

Зависимые события. Вероятность произведения зависимых событий.

События A и B называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от того, произошло или не произошло другое событие. Рассмотрим пример. В коробке находится a белых и b черных шаров. По очереди один за другим извлекаются 2 шара и назад не возвращаются. Обозначим случайные события: A ‒ 1‒й шар белый; B ‒ 2‒й шар белый. Если событие A не произошло, то вероятность события B: Если событие A произошло, то есть первый шар белый, тогда Определение. Вероятность события B, вычисленная при условии, что событие A произошло, называется условной вероятностью, и обозначается или Для условной вероятности имеют место формулы: Теорема 4. Вероятность произведения зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого события, вычисленную при условии, что первое событие произошло. Теорема следует из предыдущих формул: или Распространим эту теорему на любое число зависимых событий: Пример. На складе 20 мешков с мукой высшего сорта. 12 мешков первого сорта. 5 мешков второго сорта. По очереди один за другим достают 3 мешка с мукой и назад не возвращают. Найти вероятность того, что первый мешок с мукой высшего сорта (событие ), второй мешок с мукой первого сорта (событие), третий мешок с мукой второго сорта (событие). Решение:

6.Основные формулы теории вероятностей. Формула полной вероятности.

Теорема 1.Вероятность события A, вычисленная при условии осуществления одного из несовместных событий H₁, H₂,H₃, …., H_n, образующих полную группу, находится по формуле: ‒ формула полной вероятности, где события ‒ гипотезы. Доказательство: Так как событие A,может произойти только с одним из несовместных событий или или, или, то Тогда по теореме о вероятности произведения зависимых событий, получим: Пример 1. Партия деталей изготавливается тремя рабочими. Причем первый рабочий изготовил 25% деталей. Второй 35% деталей. Третий 40% деталей. В продукции первого рабочего брак составляет 5%. У второго рабочего брак составляет 4%.У третьего рабочего брак составляет 2%. Случайно выбранная для контроля деталь оказалась бракованной. Найти, чей брак вероятнее всего. Решение: деталь изготовил первый рабочий. деталь изготовил второй рабочий. деталь изготовил третий рабочий. A ‒ взятая деталь бракованная.

Формула Байеса.

Пусть событие A может произойти с одним из несовместимых событий образующих полную группу. ‒ формула Байеса. Пример. В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в отношении 1:4:5. Телевизоры от первого, второго и третьего поставщиков не потребуют ремонта в течение гарантийного срока, в следующих 98%, 88% и 92% случаях. Найти: 1. Вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока (событие A). 2. Вероятность того, что проданный телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока (событие B). 3. От какого поставщика вероятнее всего этот телевизор. Решение: телевизор поступил от i ‒ й фирмы, i= 1, 2, 3. Тогда 2. Ответ: вероятнее всего брак второй фирмы, так как брак второй фирмы составил максимальную вероятность равную .

Учебник по теории вероятностей

Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В. То, что А является частным случаем В, записывается как $A \subset B$.

События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Равенство событий А и В записывается очевидно: А = В.

Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Заметим, что сформулированная теорема справедлива для любого числа несовместных событий:

Если случайные события $A_1, A_2, . A_n$ образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство $P(A_1)+P(A_2)+. +P(A_n)=1.$ Такие события (гипотезы) используются при решении задач на полную вероятность.

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.

Теорема о сложении вероятностей 2. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле

События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

Вероятность произведения зависимых событий вычисляется по формуле условной вероятности.

Примеры решений задач с событиями

Пример. В первом ящике 1 белый и 5 черных шаров, во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный.

Решение. Обозначим события: А – вынули белый шар из первого ящика,
;

— вынули черный шар из первого ящика,
;

В – белый шар из второго ящика,
;

— черный шар из второго ящика,
.

Нам нужно, чтобы произошло одно из событий или . По теореме об умножении вероятностей
, .
Тогда искомая вероятность по теореме сложения будет
.

Пример. Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0,8, у второго – 0,9. Стрелки делают по выстрелу. Найти вероятность: а) двойного попадания; б) двойного промаха, в) хотя бы одного попадания; г) одного попадания.

Пусть А – попадание первого стрелка, ;

В – попадание второго стрелка, .

Тогда — промах первого, ;

Найдем нужные вероятности.

а) АВ – двойное попадание,

б) – двойной промах, .

в) А+В – хотя бы одно попадание,

г) – одно попадание,

Пример. Решить задачу, применяя теоремы сложения и умножения. Мастер обслуживает 3 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок потребует внимания рабочего в течение смены, равна 0,4, второй — 0,6, третий – 0,3. Найти вероятность того, что в течение смены: а) ни один станок не потребует внимания мастера, б) ровно 1 станок потребует внимания мастера.

Вводим базовые независимые события $A_i$ = (Станок $i$ потребовал внимания рабочего в течение смены), $i=1, 2, 3$. По условию выписываем вероятности: $p_1=0,4$, $p_2=0,6$, $p_3=0,3$. Тогда $q_1=0,6$, $q_2=0,4$, $q_3=0,7$.

Найдем вероятность события $X$=(Ни один станок не потребует внимания в течение смены):

$$ P(X)=P\left(\overline \cdot \overline \cdot \overline\right)= q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 = 0,6\cdot 0,4 \cdot 0,7 = 0,168. $$

Найдем вероятность события $Z$= (Ровно один станок потребует внимания в течение смены):

$$ P(Z)= \\ = P(A_1) \cdot P\left(\overline \right) \cdot P\left(\overline \right) + P\left(\overline\right) \cdot P(A_2) \cdot P\left(\overline \right) + P\left(\overline \right) \cdot P\left(\overline \right) \cdot P(A_3)=\\ = p_1 \cdot q_2 \cdot q_3 + q_1 \cdot p_2 \cdot q_3 + q_1 \cdot q_2 \cdot p_3 =\\ = 0,4\cdot 0,4 \cdot 0,7+0,6\cdot 0,6 \cdot 0,7+0,6\cdot 0,4 \cdot 0,3 = 0,436. $$

Пример. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятности того, что формула содержится 1) только в одном справочнике; 2) только в двух справочниках; 3) во всех трех справочниках.

А – формула содержится в первом справочнике;

В – формула содержится во втором справочнике;

С – формула содержится в третьем справочнике.

Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

Вероятность наступления хотя бы одного события

Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), причем вероятности появления каждого из событий известны. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий?

Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий $A_1, A_2, . A_n$, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

$$ P(A)=1-P\left(\overline\right)\cdot P\left(\overline\right)\cdot . \cdot P\left(\overline\right)= 1-q_1 \cdot q_2 \cdot . \cdot q_n. $$

Если события $A_1, A_2, . A_n$ имеют одинаковую вероятность $p$, то формула принимает простой вид:

Примеры решений на эту тему

Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p1 = 0,8; p2 = 0,7; p3 = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события (попадание первого орудия), (попадание второго орудия) и (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям , и (т. е. вероятности промахов), соответственно равны:

Пример. В типографии имеется 4 плоскопечатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина (событие А).

Решение. События «машина работает» и «машина не работает» (в данный момент) — противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице:

Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна

Так как полученная вероятность весьма близка к единице, то на основании следствия из принципа практической невозможности маловероятных событий мы вправе заключить, что в данный момент работает хотя бы одна из машин.

Пример. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз?

Решение. Обозначим через А событие «при n выстрелах стрелок попадает в цель хотя бы один раз». События, состоящие в попадании в цель при первом, втором выстрелах и т. д., независимы в совокупности, поэтому применима формула .

Приняв во внимание, что, по условию, (следовательно, ), получим

Прологарифмируем это неравенство по основанию 10:

Итак, , т.е. стрелок должен произвести не менее 5 выстрелов.