Бином Ньютона. Треугольник Паскаля. Решение задач
Треугольник Паскаля – Это бесконечная числовая
таблица «треугольной формы», в которой по
боковым сторонам стоят единицы и всякое число,
кроме этих боковых единиц, получается как
сумма двух предшествующих чисел.
4.
5.
6.
Где применяется треугольник
Паскаля?
Правила:
— чтобы возвести сумму или разность одночленов в любую степень смотрим
соответствующую степени строчку в треугольнике Паскаля, она нам показывает
сколько будет слагаемых и какие будут коэффициенты
— если в скобках знак «+», то у всех слагаемых пишем тоже знак «+», если в скобках
знак «–», то знаки в результате чередуем
— у первого одночлена степень уменьшаем от наибольшей до 0, у второго –
наоборот увеличиваем.
7.
Правила:
— чтобы возвести сумму или разность одночленов в любую степень смотрим
соответствующую степени строчку в треугольнике Паскаля, она нам показывает
сколько будет слагаемых и какие будут коэффициенты
— если в скобках знак «+», то у всех слагаемых пишем тоже знак «+», если в скобках
знак «–», то знаки в результате чередуем
— у первого одночлена степень уменьшаем от наибольшей до 0, у второго –
наоборот увеличиваем.
(a b)5 1a 5 5a 4b 10a 3b 2 10a 2b 3 5ab 4 1b 5
2 x
4
4
3
2
2
3
4
2
3
4
1
2
4
2
x
6
2
x
4
2
x
1
x
16
32
x
24
x
8
x
x
8.
Задача 1: В урне находится 7 шаров: 2 белых, 4 черных и 1
красный. Вынимается один шар наугад. Какова вероятность
того, что вынутый шар будет чёрным?
m
Р( А)
n
9.
Задача 2: Вычислить вероятность выпадения в сумме 10 очков
при бросании пары костей.
Выпадение в сумме 10 очков (событие А) возможно в трёх случаях – 4 очка на
первой кости и 6 на второй, 5 очков на первой и 5 на второй, 6 очков на
первой и 4 на второй.
Рассмотрим все равновозможные исходы в результате бросания двух костей
(их число равно 36 )
6
*
6
= 36
10.
Задача 3: В коробке лежат 8 зеленых, 7 синих и 15 красных
карандашей. Вычислить вероятность того, что взятый наугад
карандаш будет, синим или зеленым.
А: взяли синий карандаш
В: взяли зеленый карандаш
С: взяли синий или зеленый карандаш
Событие С равно сумме событий А и В: С = А + В
15 1
7
8
P (C ) P ( A B ) P ( A) P ( B )
30 30 30 2
11.
Задача 4: В одной коробке находится 4 белых и 8 черных
шаров, а в другой – 3 белых и 9 черных. Из каждой коробки
вынули по шару. Вычислить вероятность того, что оба шара
окажутся белыми.
А: из первой коробки вынули белый шар
В: из второй коробки вынули белый шар
С: из коробок вынули белые шары
1 1 1
P (C ) P ( A B ) P ( A) P ( B ) 0.083
3 4 12
12.
Задача 5: В аквариуме плавает 100 рыбок. Известно, что из них
17 золотых, 4 исполняют желания. При этом золотых рыбок,
которые исполняют желания в аквариуме 3. Покупатель хочет
приобрести золотую рыбку, которая исполняет желания (как в
сказке). Найдите вероятность того, что выбранная наугад рыбка
будет соответствовать хотя бы одному требованию покупателя.
Вероятность наступления по крайней мере одного из двух событий равна
сумме вероятностей этих событий минус вероятность их одновременного
наступления
P( A B)
17
4
3
18
0.18
100 100 100 100
13.
Задача 6: Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень.
Вероятность попадания в нее первым стрелком равна 0,9,
вторым – 0,8. Составьте закон распределения случайной
величины Х – числа попаданий в мишень.
Число попаданий
Вероятность
0
0,02
1
0,26
2
0,72
Р(А) = 0,9 — вероятность попадания 1 стрелка
Р(А) = 0,1 — вероятность промаха 1 стрелка
Р(В) = 0,8 — вероятность попадания 2 стрелка
Р(В) = 0,2 — вероятность промаха 2 стрелка
Р(0) = 0,1*0,2=0,02 — вероятность того, что 2 стрелка промахнулись
Р(1) = 0,9*0,2 + 0,1*0,8 =0,18 + 0,08 = 0,26 — вероятность того, что один из стрелков
попал
Р(2) = 0,9*0,8=0,72 — вероятность того, что 2 стрелка попали
Самостоятельная работа «Элементарные события» (11 класс) УМК Мерзляк А. Г.
1) Перечислить все элементарные равновозможные события, которые могут произойти в результате подбрасывания тетраэдра с гранями, занумерованными 1, 2, 3, 4.
2) Бросается игральный кубик, у которого 2 грани красные, а 4 грани – желтые. Является ли равновозможными события «выпала желтая грань» и «выпала красная грань»?
3) Случайный опыт может закончиться одним из 4-х элементарных событий: А, В, С или D . Чему равна вероятность элементарного события А, если P ( B )=1/3, P ( C ) =2/5, P ( D ) =1/12?
4) Бросают одну игральную кость. Описать словами события A , В, А 
В, А 
В: Найти Р(А В), Р(А В), Р (В) если:
А – «выпало четное число очков»
В – «выпало число очков, большее 3»
5) В ходе некоторого опыта событию А благоприятствуют 10 исходов. Событию В благоприятствуют 8 исходов. При этом 2 элементарных исхода благоприятствуют А В. Изобразите условие задачи на диаграмме Эйлера. Сколько элементарных исходов благоприятствует событию А В?
6) В аквариуме плавает 100 рыбок. Известно, что из них 17 золотых, 4 исполняют желания. При этом золотых рыбок, которые исполняют желания в аквариуме 3. Покупатель хочет приобрести золотую рыбку, которая исполняет желания (как в сказке). Найдите вероятность того, что выбранная наугад рыбка будет соответствовать хотя бы одному требованию покупателя.
Самостоятельная работа №1 по теме «Элементарные события»
2 вариант
1) Перечислить все элементарные равновозможные события, которые могут произойти в результате раскручивания стрелки рулетки, поверхность которой разделена на 5 одинаковых секторов: А, В, С, D , E.
2) Бросается игральный кубик, у которого 3 грани – красные, 3 грани – желтые. Является ли равновозможными события «выпала желтая грань» и «выпала красная грань»?
3) Случайный опыт может закончиться одним из 4-х элементарных событий: А, В, С или D . Чему равна вероятность элементарного события С, если: P ( A )=1/6, P ( B )=2/7, P ( D )=1/4?
4) Бросают одну игральную кость. Описать словами события A , В, А В, А В: Найти Р(А В), Р(А В), Р (В) если:
А – «выпало нечетное число очков»
В – «выпало число очков, меньшее 4»
5) В ходе некоторого опыта событию А благоприятствуют 15 исходов. Событию В благоприятствуют 12 исходов. При этом 2 элементарных исхода благоприятствуют А В. Изобразите условие задачи на диаграмме Эйлера. Сколько элементарных исходов благоприятствует событию А В?
6) Среди десяти котят в коробке четверо мужского пола, у троих кончик хвоста белый. Известно, что ровно у 2 котят мужского пола кончик хвоста не белый. Таня выбирает себе одного котенка наугад. Какова вероятность того, что выбранный котенок будет мужского пола или с белым кончиком хвоста, или и то и другое?
В аквариуме плавает 100 рыбок известно что из них 17 золотых 4 исполняют желания
В аквариуме из 12 рыбок 4 золотых.Какова вероятность того,что из случайно отловленных 3 рыбок 1 золотая?
создана: 15.04.2016 в 22:25
.
В аквариуме из 12 рыбок 4 золотых.Какова вероятность того,что из случайно отловленных 3 рыбок 1 золотая?
16.04.2016 11:01
4 золотые рыбки, 8 — обычные. Исходом считаем выбор трех любых рыбок, а благоприятным исходом — выбор одной золотой рыбки и двух простых.
Количество способов выбрать 1 золотую рыбку из 4-х равно 4. Количество способов выбрать 2 простые рыбки из 8 равно С8 2 =8!/(2!*6!) = 8*7*6*5*4*3*2*1/(2*6*5*4*3*2)= 8*7/2=28. Всего благоприятных исходов m=4*28=112.
Количество всех исходов n=C12 3 = 12!/(3!*9!) = 12*11*10/(1*2*3)=220.
P= m/n = 112/220 = 0,509. ≈ 0,51
Уровень составитель ЕГЭ. Тренировочный вариант №5
Цена рулона бумажных полотенец \(40\) рублей, у Димы в кармане \(1600\) рублей. Какое наибольшее количество рулонов бумажных полотенец сможет купить Дима, если цена одного рулона вырастет на \(15\%\) ?
После того, как цена рулона вырастет, она станет \(40 \cdot (1 + 0,15) = 46\) рублей. По условию задачи надо найти наименьшее целое число, при умножении которого на \(46\) результат станет не больше \(1600\) . Так как \(1600\) не делится на \(46\) нацело, то это число получается после округления в меньшую сторону результата от деления \(1600\) на \(46\) и равно \(34\) .
На рисунке показано изменение скорости автомобиля в течение \(7\) минут после обгона троллейбуса. По вертикали отложена скорость автомобиля в километрах в час, по горизонтали – время в минутах. Определите по рисунку, через сколько минут после обгона скорость автомобиля стала \(55\, км/ч\) .
По рисунку видно, что скорость автомобиля стала \(55\, км/ч\) через \(6\) минут после обгона.
Из точки \(C\) параллелограмма \(ABCD\) опустили перпендикуляр на продолжение стороны \(AD\) за точку \(D\) . Этот перпендикуляр пересёк прямую \(AD\) в точке \(E\) , причём \(CE = DE\) . Найдите \(\angle B\) параллелограмма \(ABCD\) . Ответ дайте в градусах.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда \(\angle EDC = \angle DCE\) . Так как \(\angle DEC = 90^\) , а сумма углов треугольника равна \(180^\) , то \(\angle EDC = 45^\) , тогда \(\angle ADC = 180^ — 45^ = 135^\) . Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то \(\angle B = \angle ADC = 135^\) .
В аквариуме плавает \(100\) рыбок. Известно, что из них \(17\) золотых, \(4\) исполняют желания. При этом золотых рыбок, которые исполняют желания в аквариуме \(3\) . Покупатель хочет приобрести золотую рыбку, которая исполняет желания (как в сказке). Найдите вероятность того, что выбранная наугад рыбка будет соответствовать хотя бы одному требованию покупателя.
Вероятность наступления по крайней мере одного из двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их одновременного наступления, тогда искомая вероятность равна \[\dfrac + \dfrac — \dfrac = \dfrac = 0,18.\]
Найдите корень уравнения \(\sqrt> = \dfrac\) .
ОДЗ: \(\dfrac \geqslant 0\) , что равносильно \(x \leqslant 6,5\) . Решим на ОДЗ:
При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.
Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \[\dfrac = \dfrac\qquad\Leftrightarrow\qquad 13 — 2x = \dfrac\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 6,372.\] Подставим в исходное уравнение: \[\sqrt> = \dfrac\] – верное равенство, таким образом, ответ \(x = 6,372\) .
В четырёхугольник \(ABCD\) вписана окружность, \(AB = 3,5\) , \(AD = 4\) , \(BC = 6,5\) . Найдите длину \(CD\) .
Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны:
\(AB + CD = AD + BC\) , откуда получаем \(3,5 + CD = 4 + 6,5\) , значит, \(CD = 7\) .
На рисунке изображен график функции \(y = f(x)\) , определенной на интервале \((-3; 8,5)\) . Найдите сумму точек экстремума этой функции.
Точкой экстремума функции называется точка, в которой функция достигает локально минимальное или локально максимальное значение.
По рисунку можно определить, что функция \(f(x)\) достигает локально минимальные значения в точках \(0\) , \(4\) и \(8\) , а локально максимальные значения в точках \(-2\) , \(1\) и \(6\) . Таким образом, сумма точек экстремума этой функции равна \(0 + 4 + 8 + (-2) + 1 + 6 = 17\) .
\(ABCDE\) – пирамида, \(ABCD\) – параллелограмм со сторонами \(1\) и \(\sqrt\) , \(\angle BAD = 60^\) . Из точки \(E\) опущен перпендикуляр \(EN\) на плоскость \((ABCD)\) , причём точка \(N\) – точка пересечения диагоналей \(ABCD\) , \(AE = \sqrt<5 + 0,25\sqrt>\) . Найдите объем пирамиды.
Объем пирамиды может быть найден по формуле \(V = \dfracS\cdot h\) , где \(S\) – площадь основания пирамиды, \(h\) – высота пирамиды.
Площадь параллелограмма может быть найдена по формуле \(S_\text = ab\cdot\sin\alpha\) , где \(a\) , \(b\) – не параллельные стороны параллелограмма, \(\alpha\) – угол между ними. \[S_ = 1\cdot\sqrt\cdot\sin 60^ = \sqrt\cdot\dfrac<\sqrt> = \dfrac.\]
Найдем \(EN\) :
по теореме Пифагора для треугольника \(AEN\) : \[EN^2 = AE^2 — AN^2.\]
Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то \(AN = \dfracAC\) .
Найдем \(AC\) по теореме косинусов для треугольника \(ACD\) : \[AC^2 = AD^2 + DC^2 — 2\cdot AD\cdot DC\cdot\cos\angle ADC,\] но \(\angle ADC = 180^ — \angle BAD = 120^\) , тогда \[AC^2 = 1 + 3 — 2\cdot 1\cdot\sqrt\cdot\left(-\dfrac\right) = 4 + \sqrt,\] откуда \[AN = \dfracAC = \dfrac\sqrt<4 + \sqrt>.\] Теперь \(EN^2 = 5 + \dfrac<\sqrt> — 1 — \dfrac<\sqrt> = 4\) , тогда \(EN = 2\) , следовательно,
\[V_\text = \dfrac\cdot \dfrac\cdot 2 = 1.\]
Найдите значение выражения \(\log_\left(\dfrac\right)\) , если \(\log_x = 3\) .
По свойствам логарифма при \(\dfrac > 0\) , \(1 \neq xy > 0\) :
\(\log_\left(\dfrac\right) = \log_\left(\dfrac\right) = \log_(x^2y^2) — \log_x = \log_(xy)^2 — \log_x = 2\log_|xy| — \log_x = 2 — \log_x\) .
При \(\log_x = 3\) получим \(2 — 3 = -1\) .
Задание 10
Сила тока в неразветвлённой части некоторой полной цепи с \(n\) параллельно соединенными одинаковыми элементами ЭДС может быть найдена по формуле \[I = \dfrac<\mathcal>>,\] где \(\mathcal > 0\) – ЭДС каждого источника (в вольтах), \(R = 6\, Ом\) – сопротивление цепи в Омах, \(r = 4\, Ом\) – внутреннее сопротивление каждого источника. При каком наибольшем количестве элементов ЭДС в сети сила тока составит не более, чем половину от силы тока короткого замыкания одного источника \[I_> = \dfrac<\mathcal>?\]
Количество источников, при котором сила тока составит не более, чем половину от силы тока короткого замыкания одного источника, удовлетворяет неравенству \[\dfrac<\mathcal>> \leqslant \dfrac\cdot\dfrac<\mathcal>,\] которое с учётом известных данных принимает вид \[\dfrac<\mathcal>> \leqslant \dfrac\cdot\dfrac<\mathcal>,\] что в силу \(\mathcal > 0\) равносильно \[\dfrac> \leqslant \dfrac \qquad\Leftrightarrow\qquad 6 + \dfrac \geqslant 8\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac \geqslant 2,\] откуда \(0< n \leqslant 2\) . Таким образом, наибольшее допустимое число элементов ЭДС равно \(2\) .
Задание 11
В государстве \(\nabla\) в \(2014\) году ЕГЭ по физике не сдали \(1500\) выпускников. В \(2015\) году число не сдавших выросло на \(10\%\) , а в \(2016\) году – увеличилось на \(34\%\) по сравнению с \(2015\) годом. Сколько выпускников не сдали ЕГЭ по физике в \(2016\) году в государстве \(\nabla\) ?
В \(2015\) году число не сдавших составило \(100\%+10\%=110\%\) от числа не сдавших в \(2014\) году, тогда в \(2015\) году не сдали ЕГЭ по физике \[1500 \cdot \dfrac = 1650\ \text.\] В \(2016\) году число не сдавших составило \(100\%+34\%=134\%\) от числа не сдавших в \(2015\) году, тогда в \(2016\) не сдали ЕГЭ по физике \[1650 \cdot \dfrac = 2211\ \text.\]
Задание 12
Найдите наименьшее значение функции \(y = x\cdot e^\cdot e — 11\) .
1) \(y’ = e^\cdot e + x\cdot e^\cdot e = (x + 1)\cdot e^\) .
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[y’ = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (x + 1)\cdot e^ = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = -1\] (так как \(e^t > 0\) при любом \(t\) и на неё можно поделить). Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y’\) :
3) Эскиз графика \(y\) :
Таким образом, \(x = -1\) – точка минимума функции \(y\) .
\(y(-1) = -1\cdot e^0 — 11 = -12\) ,
Итого: наименьшее значение функции \(y\) равно \(-12\) .
Задание 13
a) Решите уравнение
\[\begin \sin(2x) + \sin x = 2\cos x + 1. \end\]
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left[-\pi; \dfrac<3\pi>\right]\) .
ОДЗ: \(x\) – произвольное.
По формуле синуса двойного угла:
\[2\sin x\cdot\cos x + \sin x — 2\cos x — 1 = 0.\] Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
\[\begin \sin x(2\cos x + 1) — (2\cos x + 1) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (\sin x — 1)(2\cos x + 1) = 0. \end\]
Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл:
\(\sin x — 1 = 0\) или \(2\cos x + 1 = 0\) .
Решениями уравнения \(\sin x = 1\) являются \(x = \dfrac<\pi> + 2\pi k, k\in\mathbb\) .
Решения уравнения \(\cos x = a\) имеют вид: \(x = \pm\mathrm\, a + 2\pi k\) , где \(k\in\mathbb\) , следовательно, решения уравнения \(\cos x = -\dfrac\) имеют вид \(x = \pm\dfrac<2\pi> + 2\pi k, k\in\mathbb\) .
б) \[-\pi \leqslant \dfrac<\pi> + 2\pi k \leqslant \dfrac<3\pi>\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac \leqslant k \leqslant \dfrac,\] но \(k\in\mathbb\) , тогда подходит \(x\) при \(k = 0\) : \(x = \dfrac<\pi>\) .
\[-\pi \leqslant \dfrac<2\pi> + 2\pi n \leqslant \dfrac<3\pi>\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac \leqslant n \leqslant \dfrac,\] но \(k\in\mathbb\) , тогда подходит \(x\) при \(n = 0\) : \(x = \dfrac<2\pi>\) .
\[-\pi \leqslant -\dfrac<2\pi> + 2\pi n \leqslant \dfrac<3\pi>\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac \leqslant n \leqslant \dfrac,\] но \(k\in\mathbb\) , тогда подходят \(x\) при \(n = 0\) и \(n = 1\) : \(x = -\dfrac<2\pi>\) , \(x = \dfrac<4\pi>\) .
а) \(\dfrac<\pi> + 2\pi k\) , \(\pm\dfrac<2\pi> + 2\pi k, k\in\mathbb\) .