Когда интеграл лебега равен 0

Интеграл Лебега

Рассмотрим одно из центральных понятий математического анализа — интеграл Лебега.

Понятие интеграла Лебега

Чтобы понять принцип устройства этого интеграла, рассмотрим следующий пример. Пусть имеется большое количество монет различного достоинства и требуется сосчитать общую сумму денег, заключенную в этих монетах. Это можно сделать двумя способами. Можно откладывать монеты подряд и прибавлять стоимость каждой новой монеты к общей стоимости всех ранее отложенных. Однако можно поступить и иначе: сложить монеты стопочками так, чтобы в каждой стопочке были монеты одного достоинства, затем сосчитать число монет в каждой стопочке, умножить это число на стоимость соответствующей монеты, а затем сложить полученные числа. Первый способ счета денег соответствует процессу интегрирования Римана, а второй — процессу интегрирования Лебега.

Переходя от монет к функциям, мы можем сказать, что для вычисления интеграла Римана производится деление на мелкие части области задания функции (оси абсцисс, рис. 2а), а для вычисления интеграла Лебега производится деление области значений функции (оси ординат, рис. 2б). Последний принцип применялся практически задолго до Лебега при вычислении интегралов от функций, имеющих колебательный характер, однако Лебег впервые развил его во всей общности и дал его строгое обоснование при помощи теории меры.

Рассмотрим, как связаны между собою мера множеств и интеграл Лебега. Пусть . Построим функцию равную 1 для

Функцию принято называть характеристической функцией множества

Мы уже привыкли считать, что интеграл равен площади фигуры и кривой . Так как в данном случае «высота» фигуры

Именно так и определяет Лебег интеграл от функции .

Мы должны твердо уяснить себе, что равенство (1) является определением интеграла как интеграла Лебега. Может случиться, что интеграл .

В качестве примера подсчитаем интеграл от функции Дирихле , равной 0 в рациональных точках отрезка [0, 1] и равной 1 в иррациональных точках этого отрезка. Так как, согласно (5), мера множества иррациональных точек отрезка [0, 1] равна 1, то интеграл Лебега равен 1. Нетрудно проверить, что интеграл Римана от этой функции не существует.

Пусть теперь — произвольная ограниченная измеримая функция, заданная на отрезке . Покажем, что всякую такую функцию можно сколь угодно точно представить в виде линейной комбинации характеристических функций множеств. Чтобы убедиться в этом, разобьем отрезок оси ординат между нижней и верхней гранями значений функции , на отрезки длины меньшей , где — произвольное фиксированное положительное число. Далее, если в точке

то положим в этой точке

а если в точке б то положим . Построение функции показано на рис. 3.

Согласно построению функции , в любой точке отрезка

Кроме того, так как функция принимает лишь конечное число значений , то её можно записать в виде

где — характеристическая функция того множества, где , т. е. (в каждой точке лишь одно слагаемое в правой части формулы (2) отлично от нуля!).

Определение интеграла Лебега

Переходим к определению интеграла Лебега от произвольной ограниченной измеримой функции. Так как функция мало отличается от функции , то в качестве приближенного значения интеграла от функции можно принять интеграл от функции . Но, замечая, что функции являются характеристическими функциями множеств, и пользуясь формально обычными правилами вычисления интеграла, получаем

где есть мера множества тех .

Итак, приближенным значением интеграла Лебега от функции является интегральная сумма Лебега

В соответствии с этим интеграл Лебега определяется как предел интегральных сумм Лебега , когда

что соответствует равномерной сходимости функций к функции .

Можно показать, что интегральные суммы Лебега имеют предел для любой ограниченной измеримой функции, т. е. любая ограниченная измеримая функция интегрируема по Лебегу. Интеграл Лебега можно также распространить на некоторые классы неограниченных измеримых функций, но мы не будем этим заниматься.

Свойства интеграла Лебега

Интеграл Лебега обладает всеми хорошими свойствами обычного интеграла, именно, интеграл от суммы равен сумме интегралов, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла и т. д. Однако интеграл Лебега обладает еще одним замечательным свойством, которым обычный интеграл не обладает : если измеримые функции ограничены в совокупности:

для любого и любого и последовательность сходится почти всюду к функции , то

Иными словами, интеграл Лебега допускает безотказный переход к пределу. Именно это свойство интеграла Лебега делает его весьма удобным, а часто и неизбежным инструментом во многих исследованиях. В частности, интеграл Лебега совершенно необходим в теории тригонометрических рядов, в теории функциональных пространств и других разделах математики.

Приведем пример. Пусть — периодическая функция с периодом — ее ряд Фурье.

Если, например, функция непрерывна, то, как нетрудно показать,

Это тождество носит название равенства Парсеваля .

Рассмотрим такой вопрос: для какого класса периодических функций справедливо равенство Парсеваля (3)? Ответ на этот вопрос гласит: равенство Парсеваля (3) выполняется в том и только в том случае, если функция измерима на отрезке и функция интегрируема по Лебегу на этом отрезке.

Некоторые элементарные свойства интеграла Лебега

Далее, для краткости, «определённый интеграл Лебега» будет означать интеграл Лебега от ограниченной измеримой функции по множеству конечной меры.

Учитывая, что [math]m \leq f(x) \leq M[/math] и [math]\mu E \geq 0[/math] , [math]\mu E = \sum\limits_^n \mu e_i [/math] , имеем набор неравенств [math] m\mu E \leq \underline(\tau) \leq \underline \leq \overline \leq \overline(\tau) \leq M\mu E[/math] .

То есть, [math]m \mu E \leq \int\limits_ f(x) d\mu \leq M \mu E[/math] .

Если [math]f(x) = c [/math] , то [math] \underline = \overline = c\mu E[/math] , и интеграл от постоянной — [math]\int\limits_E cd\mu = c\mu E[/math] .

Если [math] f [/math] неотрицательна, то интеграл от нее тоже неотрицателен.

Сигма-аддитивность

Пусть существует [math] \int\limits_E fd\mu[/math] , [math]E = \bigcup\limits_n E_n[/math] — измеримы и дизъюнктны. Тогда [math] \int\limits_E fd\mu = \sum\limits_n \int\limits_ fd\mu [/math] .

1) [math]E = \bigcup\limits_^p e_n[/math] (случай конечного объединения множеств).

Ясно, что достаточно рассмотреть [math]p=2[/math] : [math]\int\limits_E fd\mu = \int\limits_fd\mu+\int\limits_fd\mu[/math] . Дальнейшее доказательство делается тривиальной индукцией по числу множеств.

Раз [math]\exists \int\limits_E fd\mu[/math] , то [math]f[/math] — измерима на [math]E[/math] и ограничена там.

Значит, она будет такой же на частях [math]E_1[/math] и [math]E_2[/math] , поэтому, все интегралы существуют.

В силу определения интеграла, [math]\forall\varepsilon\ \exists\tau_i[/math] — разбиение [math]E_i[/math] .

[math]\int\limits_fd\mu -\varepsilon \lt \underline(\tau_1) \Rightarrow \int\limits_ + \int\limits_ — 2\varepsilon \lt \underline(\tau_1) + \underline(\tau_2)[/math]

Но [math]\tau = \tau_1 \cup \tau_2[/math] — разбиение [math]E[/math] . Значит, [math]\int\limits_ + \int\limits_ — 2\varepsilon \leq \underline(\tau) \leq \int\limits_E[/math] .

[math]\varepsilon \to 0[/math] — почти победа. Получили, что [math]\int\limits_ + \int\limits_ \leq \int\limits_E[/math] .

Обратное неравенство доказываем аналогично. Случай конечной суммы рассмотрен.

2) [math]E = \bigcup\limits_n E_n = \bigcup\limits_^p E_n + B_p[/math] , [math]B_p = \bigcup\limits_^\infty E_n[/math]

Теперь [math]E[/math] разбито на конечное число дизъюнктных частей.

По пункту 1, [math]\int\limits_E= \sum\limits_^p\int\limits_ + \int\limits_[/math]

[math]|f(x)| \leq M \Rightarrow |\int\limits_| \leq M\mu B_p[/math]

Так как [math]\mu E \lt +\infty[/math] , [math]\mu E = \sum\limits_^p \mu E_n + \mu B_p[/math] , по [math]\sigma[/math] -аддитивности.

[math]\mu E = \sum\limits_^\infty \mu E_n[/math] .

Так как остаток сходящегося числового ряда стремится к нулю, [math]\mu B_p \to 0[/math] .

Тогда, так как [math]\left|\int\limits_\right| \leq \mu B_p \cdot M[/math] , [math]\int\limits_ \xrightarrow[p\to \infty]<> 0[/math] .

В частности, из этой теоремы уже можно перейти к следующему факту:

Пусть [math]\exists\int\limits_E fd\mu, \int\limits_E gd\mu[/math] , [math]\mu E(f\ne g) = 0[/math] . Тогда [math]\int\limits_E fd\mu = \int\limits_E gd\mu[/math]

Действительно, [math]E_1 = E(f \ne g)[/math] — измеримо, так как [math]f[/math] и [math]g[/math] — измеримы. [math]E(f\ne g) = \bigcup\limits_^\infty (|f-g|\geq \frac1n)[/math] — счётное объединение измеримых множеств.

[math]E_2 = E \setminus E_1[/math] . [math]E[/math] разбито на две дизъюнктных части,

[math]\int\limits_E fd\mu = \int\limits_ fd\mu + \int\limits_fd\mu[/math] , [math]\mu E_1 = 0 \Rightarrow \int\limits_ fd\mu = \int\limits_ gd\mu = 0 [/math] .

Если вернуться к [math]f = \begin0, & x \in \mathbb\\1, & x \notin \mathbb\end[/math] и [math]g = 1[/math] , то, так как [math] f = g [/math] везде, кроме нульмерного множества, то [math]\int\limits_ fd\mu = \int\limits_1d\mu = 1[/math] .

Линейность

Теперь установим так называемую линейность интеграла:

Пусть [math]\exists\int f, \int g[/math] , [math]\alpha, \beta \in \mathbb[/math] . Тогда [math]\alpha\int\limits_E fd\mu + \beta\int\limits_E gd\mu = \int\limits_E(\alpha f + \beta g)d\mu[/math] .

Установим, что интеграл суммы равен сумме интегралов. То, что можно выносить множитель, доказывается аналогично.

В [math]\int\limits_E (f+g) = \int\limits_E f + \int\limits_E g [/math] все интегралы существуют, нужно только доказать, что равенство выполняется.

[math]E = \bigcup\limits_^p e_j[/math] .

[math] m_j(f) \le f(x) \le M_j(f) [/math] ;

[math] m_j(g) \le g(x) \le M_j(g) [/math] ;

Сложим эти неравенства:

[math]m_j(f) + m_j(g) \leq f(x) + g(x) \leq M_j(f) + M_j(g)[/math]

[math]m_j(f) + m_j(g) \leq m_j(f + g) \leq M_j(f + g) \leq M_j(f) + M_j(g)[/math]

Суммируем по [math]j[/math] :

[math]\underline(f) + \underline(g) \leq \underline(f+g) \leq \int\limits_E(f+g) \leq \overline(f+g) \leq \overline(f) + \overline(g)[/math] .

[math]\underline(f) + \underline(g) \leq \int\limits_Ef+\int\limits_Eg[/math] , [math]\int\limits_E(f+g)\leq \overline(f) + \overline(g)[/math] .

В силу определения интеграла от измеримой функции, [math]\forall\varepsilon \gt 0 \exists \tau : \overline(\tau, f) — \underline(\tau, f)\lt \varepsilon[/math] .

[math]\forall\varepsilon\gt 0\ \exists \tau_1 : \overline(\tau_1, f) — \underline(\tau_1, f) \lt \varepsilon[/math]

[math]\forall\varepsilon\gt 0\ \exists \tau_2 : \overline(\tau_2, g) — \underline(\tau_2, g) \lt \varepsilon[/math]

[math]\exists\tau_3 : \tau_3 \le \tau_1, \tau_2 [/math]

[math]\overline(f, \tau_3) — \underline(f, \tau_3) \lt \varepsilon[/math]

[math]\overline(g, \tau_3) — \underline(g, \tau_3) \lt \varepsilon[/math]

Теория функций действительного переменного/Интеграл Лебега

Понятие интеграла Римана не пременимо для измеримых функций, которые могут быть разрывны во всей области определения или заданы на таком абстрактном множестве, что понятие интегральных сумм не имеет смысла. В отличие от интеграла Римана, основная идея интеграла Лебега состоит в том, что точки группируются по признаку близости значений функции в этих точках. Такое определение позволяет применить интеграл Лебега к функциям, заданным на любом пространстве с мерой. Если специально не указано иное, будем считать, что дана некоторая полная σ -аддитивная мера μ , заданная на σ -алгебре множеств с единицей X . Все рассматриваемые множества A ⊂ X предполагаются измеримыми, а функции — определёнными и измеримыми на всём X . Интеграл Лебега строится следующим образом: сначала понятие интеграла вводится для так называемых простых функций, а затем распространяется на весь класс измеримых функций с помощью предельного перехода.

• 1 Простые функции
• 2 Интеграл Лебега для произвольных функций на множестве конечной меры
  • 2.1 Свойства интеграла Лебега
  • 3.1 σ-аддитивность интеграла Лебега
  • 3.2 Неравенство Чебышева
  • 3.3 Абсолютная непрерывность интеграла Лебега
  • 3.4 Выводы

  Простые функции править

  Функция f ( x ) , определённая на некотором пространтсве X с мерой, называется простой функцией, если она принимает конечное или счётное число различных значений. Следующая теорема даёт необходимый и достаточный признак измеримости простых функций.

  Теорема 1. Функция f ( x ) , принимающая конечное или счётное число различных значений

  измерима тогда и только тогда, когда все множества

  Доказательство.

  Необходимость указанного условия очевидна, так как любое множество A n > есть прообраз одноточечного множества < y n >\>> , а всякое одноточечное множество является борелевским.

  Достаточность следует из того, что при выполнении условий теоремы, прообраз f − 1 ( B ) (B)> произвольного борелевского множества B является объединением конечного или счётного числа измеримых множеств, а именно:

  f − 1 ( B ) = ⋃ y n ∈ B A n (B)=\bigcup _\in B>A_> ,

  а следовательно — измерим.

  Использование простых функций в конструкции интеграла Лебега основано на следующей теореме.

  Теорема 2. Для измеримости функции f ( x ) необходимо и достаточно, чтобы она могла быть представлена в ввиде предела равномерно сходящейся последовательности простых измеримых функций.

  Доказательство.

  Достаточность условия следует из того, что предел всюду сходящейся последовательности измеримых функций измерим.

  Для того, чтобы доказать необходимость, рассмотрим произвольную измеримую функцию f ( x ) и введём функции f n ( x ) (x)> , которые определяются следующим образом:

  Функции f n ( x ) (x)> являются простыми, так как принимают только рациональные значения, а множество рациональных чисел — счётно. Последовательность < f n ( x ) >(x)\>> равномерно сходится к f ( x ) , так как

  | f n ( x ) − f ( x ) | ≤ 1 / n (x)-f(x)\right|\leq 1/n> .

  Для простых функций интеграл Лебега определяется очевидным образом. Пусть функция f ( x ) принимает на множестве A конечное или счётное число различных значений

  обозначим множества, на которых функция принимает одно и то же значение, следующим образом

  абсолютно сходится, то функция f ( x ) называется интегрируемой или суммируемой по мере μ на множестве A , а интеграл от функции f по множеству A будет определяться равенством

  ∫ A f ( x ) d μ = ∑ n y n μ ( A n ) y_\mu \left(A_\right)> .

  Лемма. Пусть множество A представлено в виде объединения непересекающихся множеств:

  A = ⋃ k B k , i ≠ j ⇒ B i ∩ B j = ∅ B_,~i\neq j\Rightarrow B_\cap B_=\varnothing > ,

  причём на множестве B k > простая функция f ( x ) принимает одно значение — c k > , тогда имеет место равенство

  ∫ A f ( x ) d μ = ∑ k c k μ ( B k ) c_\mu (B_)> ,

  а функция f ( x ) интегрируема на множестве A в тогда и только тогда, когда ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

  Доказательство. Каждое множество

  является объединением тех множеств B k > , для которых c k = y k =y_> . Поэтому имеет место следующее равенство

  ∑ n y n μ ( A n ) = ∑ n y n ∑ c k = y n μ ( B k ) = ∑ k c k μ ( B k ) y_\mu (A_)=\sum _y_\sum _=y_>\mu (B_)=\sum _c_\mu (B_)> .

  Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов исходного ряда:

  ∑ n | y n μ ( A n ) | = ∑ n | y n | μ ( A n ) = ∑ n | y n | ∑ c k = y n μ ( B k ) = ∑ k | c k | μ ( B k ) |y_\mu (A_)|=\sum _|y_|\mu (A_)=\sum _|y_|\sum _=y_>\mu (B_)=\sum _|c_|\mu (B_)> .

  Таким образом, ряды

  абсолютно сходятся или расходятся одновременно. Лемма доказана.

  Докажем некоторые свойства интеграла Лебега от простых функций.

  Свойство 1. Интеграл Лебега от суммы простых функций равен сумме интегралов от слагаемых:

  ∫ A ( f ( x ) + g ( x ) ) d μ = ∫ A f ( x ) d μ + ∫ A g ( x ) d μ ,

  причём существование интегралов в правой части данного равенства влечёт за собой существование интеграла в левой части.

  Доказательство. Пусть функция f ( x ) принимает значения f i > на множествах F i ⊆ A \subseteq A> , функция g ( x ) принимает значения g j > на множествах G j ⊆ A \subseteq A> . Составим ряды из определения интеграла Лебега для простых функций:

  Функция f + g также является простой и принимает значения f i + g j +g_> на множествах F i ∩ G j ⊆ A \cap G_\subseteq A> . Из доказанной леммы следует, что

  I = ∫ A ( f ( x ) + g ( x ) ) = ∑ i ∑ j ( f i + g j ) μ ( F i ∩ G j ) \sum _(f_+g_)\mu (F_\cap G_)> .

  Системы множеств < F i >\>> и < G j >\>> являются покрытиями множества A , поэтому имеют места следующие равенства:

  ∑ i μ ( F i ∩ G j ) = μ ( G j ) \mu (F_\cap G_)=\mu (G_)> , ∑ j μ ( F i ∩ G j ) = μ ( F i ) <\displaystyle \sum _\mu (F_\cap G_)=\mu (F_)> .

  I = ∑ i f i ∑ j μ ( F i ∩ G j ) + ∑ j g j ∑ i μ ( F i ∩ G j ) = ∑ i f i μ ( F i ) + ∑ j g j μ ( G j ) f_\sum _\mu (F_\cap G_)+\sum _g_\sum _\mu (F_\cap G_)=\sum _f_\mu (F_)+\sum _g_\mu (G_)> .

  Это равенство означает, что из абсолютной сходимости рядов I f > и I g > следует абсолютная сходимость ряда I , причём I = I f + I g +I_> .

  Свойство 2. Для любого постоянного числа k и простой функции f ( x ) имеет место равенство

  ∫ A k f ( x ) d μ = k ∫ A f ( x ) d μ ,

  причём существование интеграла в правой части равенства влечёт существование интеграла в левой части.

  Доказательство. Если k = 0 , то функция f ( x ) везде равна нулю, поэтому равенство становится тривиальным. Рассмотрим случай k ≠ 0 . Если f ( x ) — простая функция, принимающая значение y n > на множестве A n > , то функция k f ( x ) на множестве A n > принимает значение k y n > . Так как умножение всех членов ряда на постоянное число не нарушает (абсолютной) сходимости, следовательно, если f ( x ) является суммируемой на множестве A , то функция k f ( x ) также является суммируемой на этом множестве.

  Свойство 3. Если простая функция f ( x ) ограничена на множестве A , то есть сущетсвует число M такое, что в любой точке x ∈ A выполняется неравенство

  то функция f ( x ) является суммируемой на множестве A и

  | ∫ A f ( x ) d μ | ≤ M μ ( A ) .

  Доказательство. Пусть функция f ( x ) принимает значения y n > на множествах A n > . По определению интеграла Лебега для простых функций:

  I = ∫ A f ( x ) d μ = ∑ n y n μ ( A n ) y_\mu (A_)> ,

  если последний ряд абсолютно сходится.

  Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов исходного ряда:

  ∑ n | y n μ ( A n ) | = ∑ n | y n | μ ( A n ) \left|y_\mu (A_)\right|=\sum _|y_|\mu (A_)> ,

  так как | f ( x ) | ≤ M , то и | y n | ≤ M |\leq M> , следовательно

  ∑ n | y n μ ( A n ) | ≤ ∑ n M μ ( A n ) = M ∑ n μ ( A n ) \left|y_\mu (A_)\right|\leq \sum _M\mu (A_)=M\sum _\mu (A_)> .

  является покрытием множества A , поэтому

  ∑ n | y n μ ( A n ) | ≤ M μ ( A ) \left|y_\mu (A_)\right|\leq M\mu (A)> .

  Это значит, что ряд

  сходится абсолютно, то есть простая функция, по определению, f ( x ) является суммируемой.

  По правилу треугольника для модуля:

  | I | = | ∑ n y n μ ( A n ) | ≤ ∑ n | y n | μ ( A n ) y_\mu (A_)\right|\leq \sum _\left|y_\right|\mu (A_)> .

  Из уже доказанного следует, что

  | I | ≤ ∑ n | y n | μ ( A n ) ≤ M μ ( A ) \left|y_\right|\mu (A_)\leq M\mu (A)> .

  Интеграл Лебега для произвольных функций на множестве конечной меры править

  Произвольная функция f ( x ) называется суммируемой (интегрируемой) на множестве A, если существует последовательность простых суммируемых на множестве A функций < f n ( x ) >(x)\>> , сходящаяся равномерно к f ( x ) . Предел

  называют интегралом функции f(x) по множеству A и обозначают

  ∫ A f ( x ) d μ .

  Для того, чтобы данное определение было корректным, необходимо выполнение следующих условий:

  1. Указанный в определении предел существует для любой равномерно сходящейся последовательности простых суммируемых на множестве A функций.
  2. Указанный предел не зависит от выбора последовательности < f n ( x ) >(x)\>> .
  3. Для простых функций данное определение переходит в определение интеграла Лебега от простой функции, данное в предыдущем разделе.

  Докажем, что данные условия действительно выполняются. Рассмотрим равномерно сходяющуюся последовательность суммируемых на множестве A простых функций

  Оценим разность интегралов от двух произвольных функций этой системы f n ( x ) (x)> и f m ( x ) (x)> . По Свойствам 1 и 2 интеграла Лебега от простых функций:

  ∫ A f n ( x ) d μ − ∫ A f m ( x ) d μ = ∫ A ( f n ( x ) − f m ( x ) ) d μ (x)d\mu -\int \limits _f_(x)d\mu =\int \limits _\left(f_(x)-f_(x)\right)d\mu > .

  По определению верхней грани, имеет место следующее неравенство:

  | f n ( x ) − f m ( x ) | ≤ sup x ∈ A | f n ( x ) − f m ( x ) | (x)-f_(x)\right|\leq \sup _\left|f_(x)-f_(x)\right|> ,

  следовательно, по Свойству 3 интеграла Лебега для простых функций:

  | ∫ A f n ( x ) d μ − ∫ A f m ( x ) d μ | ≤ sup x ∈ A | f n ( x ) − f m ( x ) | μ ( A ) (x)d\mu -\int \limits _f_(x)d\mu \right|\leq \sup _\left|f_(x)-f_(x)\right|\mu (A)> .

  Таким образом, если множество A имеет конечную меру, то предел из определения действительно существует.

  Независимость предела от выбора последовательности докажем от противного: пусть имеется две последовательности суммируемых на множестве A простых функций, сходящихся к функции f ( x ) , причём пределы последовательностей значений интеграла Лебега от этих функций не совпадают. Составим последовательность значений интегралов из обоих последовательностей. По доказанному эта последовательность будет иметь предел. С другой стороны, последовательность сходится к тому же пределу, что и любая её подпоследовательность, но по построению из полученной последовательности можно выбрать две подпоследовательности, сходящиеся к различным пределам — получили противоречие, значит предел действительно не зависит от выбора последовательности функций.

  Последнее условие выполняется, так как в случае простой функции f ( x ) можно взять стационарную последовательность, то есть такую, все члены которой равны f ( x ) .

  Свойства интеграла Лебега править

  Свойство 1. Интеграл от функции, тождественно равной единице, равен мере множества, по которому производится интегрирование:

  ∫ A 1 ⋅ d μ = μ ( A ) .

  Доказательство. Функция, тождественно равная единице, является простой, так как принимает только одно значение, а равенство получается непосредственно из определения интеграла Лебега для простых функций.

  Свойство 2. Для любого постоянного числа k имеет место равенство

  ∫ A k f ( x ) d μ = k ∫ A f ( x ) d μ ,

  причём существование интеграла в правой части равенства влечёт существование интеграла в левой.

  Доказательство. Для простых функций данное утверждение уже доказано. Рассмотрим функцию f ( x ) , не являющуюся простой. Если функция f ( x ) является суммируемой, то существует последовательность простых функций < f n ( x ) >(x)\>> , равномерно сходящаяся к f ( x ) , и выполняются равенства

  ∫ A f ( x ) d μ = lim n → ∞ ∫ A f n ( x ) d μ \int \limits _f_(x)d\mu > .

  Функции последовательности < k ⋅ f n ( x ) >(x)\>> также будут простыми, а сама последовательность будет равномерно сходится к функции k ⋅ f ( x ) . По Свойству 2 интеграла Лебега от простых функций

  ∫ A k ⋅ f n ( x ) d μ = k ⋅ ∫ A f n ( x ) d μ (x)d\mu =k\cdot \int \limits _f_(x)d\mu > .

  По определению интеграла Лебега

  ∫ A k ⋅ f ( x ) d μ = lim n → ∞ ∫ A k ⋅ f n ( x ) d μ \int \limits _k\cdot f_(x)d\mu > .

  Свойство 3. Аддитивность:

  ∫ A ( f ( x ) + g ( x ) ) d μ = ∫ A f ( x ) d μ + ∫ A g ( x ) d μ ,

  причём существование интегралов в правой части равенства влечёт существование интеграла в левой.

  ‘Доказательство. Рассмотрим две функции: f ( x ) и g ( x ) . Если эти функции являются суммируемыми, то существуют последовательности простых функций < f n ( x ) >(x)\>> и < g n ( x ) >(x)\>> , равномерно сходящиеся к функциям f ( x ) и g ( x ) соответственно, и выполняется равенства

  По Свойству 1 интеграла Лебега от простых функций:

  ∫ A ( f n ( x ) + g n ( x ) ) d μ = ∫ A f n ( x ) d μ + ∫ A g n ( x ) d μ (x)+g_(x)\right)d\mu =\int \limits _f_(x)d\mu +\int \limits _g_(x)d\mu > .

  По определению интеграла Лебега для произвольной функции:

  Объединяя два этих равенства, получим:

  Свойство 4. Ограниченная на множестве A функция f суммируема на A .

  Доказательство. Для простых функций — это свойство уже доказано. Для произвольной ограниченной суммируемой функции построим последовательность простых функций как в доказательстве теоремы 2:

  Каждая из функций f n > является простой и ограниченной, а следовательно (по свойству 3 простых функций) — суммируемой. Таким образом, функция f ( x ) — это предел последовательности простых суммируемых функций, а значит она является суммируемой.

  Свойство 5. Монотонность: если f ( x ) ≥ 0 на A , то

  ∫ A f ( x ) d μ ≥ 0

  (при условии, что интеграл сущетсвует).

  Доказательство.

  Для простых функций данное свойство следует из определения интеграла Лебега. В общем случае, если f ( x ) — измеримая неотрицательная функция, то найдётся последовательность неотрицательных простых функций, равномерно сходящаяся к f ( x ) . Действительно, последовательность < f n >\>> из доказательства Теоремы 2 будет состоять из неотрицательных простых функций, если f ( x ) ≥ 0 . По определению интеграла Лебега для простых функций, интеграл от неотрицательной простой функции есть неотрицательное вещественное число. Следовательно, интеграл Лебега от произвольной неотрицательной измеримой функции есть предел последовательности неотрицательных вещественных чисел, то есть неотрицательное число.

  ∫ A f ( x ) d μ ≥ ∫ A f ( x ) d μ .

  Доказательство.

  ∫ A ( f ( x ) − g ( x ) ) d μ .

  По свойствам 2 и 3:

  ∫ A ( f ( x ) − g ( x ) ) d μ = ∫ A f ( x ) d μ − ∫ A g ( x ) d μ .

  C другой стороны, так как

  следовательно, по свойству 5:

  ∫ A f ( x ) d μ − ∫ A g ( x ) d μ = ∫ A ( f ( x ) − g ( x ) ) d μ ≥ 0 ,

  откуда и получается, что

  ∫ A f ( x ) d μ ≥ ∫ A g ( x ) d μ .

  Свойство 5б. Если m ≤ f ( x ) ≤ M (почти) всюду на A , то

  m μ ( A ) ≤ ∫ A f ( x ) d μ ≤ M μ ( A ) .

  Доказательство.

  Свойство 6. Интеграл по множеству меры нуль равен нулю:

  μ ( A ) = 0 ⇒ ∫ A f ( x ) d μ = 0 .

  Доказательство.

  По определению меры:

  A n ⊂ A ⇒ 0 ≤ μ ( A n ) ≤ μ ( A ) \subset A\Rightarrow 0\leq \mu (A_)\leq \mu (A)> ,

  поэтому если мера множества A равна нулю, то нулю равна мера любого его подмножества. Таким образом, все члены ряда, определяющего интеграла Лебега для простых функций, будут равны нулю, что и доказывает данное свойство для простых функций.

  Интеграл Лебега произвольной измеримой функции есть предел последовательности интегралов простых измеримых функций, все интегралы этой последовательности, в данном случае, равны нулю как интегралы простых функций по множеству меры нуль. Следовательно, интеграл Лебега по множеству меры нуль произвольной измеримой функции равен нулю.

  Свойство 6а. Если почти всюду на множестве A выполняется равенство f ( x ) = g ( x ) , то имеет место равенство

  ∫ A f ( x ) d μ = ∫ A g ( x ) d μ ,

  причём интегралы существуют или не существуют одновременно.

  Доказательство.

  Пусть сначала f и g — простые функции. Множество A можно представить в виде объединения непересекающихся множеств

  где B — это множество, на котором f ( x ) ≠ g ( x ) , а на каждом из множеств A i > функции f и g принимают одно и тоже значение y i > . Множество B также можно представить в виде объединения непересекающихся множеств

  Рассмотрим два ряда:

  По условию теоремы : μ ( B n ) = 0 )=0> , так как B n > — это подмножества множества меры нуль, то

  Таким образом: ^ F = G . C другой стороны, по Лемме 2:

  Отсюда следует, что свойство действительно справедливо для простых функций.

  Свойство 7. Если функция f ( x ) суммируема на множестве A и почти всюду на этом множестве имеет место соотношение

  то функция g ( x ) также суммируема на множестве A и

  | ∫ A g ( x ) d μ | ≤ ∫ A f ( x ) d μ .

  Доказательство.

  Обозначим множество, на котором выполняется равенство f ( x ) = g ( x ) как B , тогда:

  Пусть сначала f и g — простые функции. В этом случае множество B можно представить в виде объединения конечного или счётного числа множеств B n > , на каждом из которых функции f и g постоянны:

  x ∈ B n ⇒ f ( x ) = f n \Rightarrow f(x)=f_> , x ∈ B n ⇒ g ( x ) = g n \Rightarrow g(x)=g_> ,

  причём, по условию теоремы, выполняется неравенство

  Так как функция f является суммируемой, то

  ∑ n | g n | μ ( B n ) ≤ ∑ n f n μ ( B n ) = ∫ B f ( x ) d μ |g_|\mu (B_)\leq \sum _f_\mu (B_)=\int \limits _f(x)d\mu >

  Свойство 8. Интегралы

  существуют или не существуют одновременно.

  Доказательство.

  то, по свойству 7, из существования интеграла I 2 > следует существование интеграла I 1 > .

  В случае простой функции, обратное вытекает из определения интеграла Лебега для простой функции.

  Рассмотрим теперь общий случай. Пусть интеграл I 1 > существует, тогда существует последовательность простых функций

  Рассмотрим последовательность модулей этих функций:

  По доказанному, функции | f n | |> являются суммируемыми. Воспользуемся неравенством

  Откуда следует, что последовательность простых суммируемых функций < | f n ( x ) | >(x)|\>> сходится к | f ( x ) | , а следовательно, по определению интеграла Лебега, функция | f ( x ) | является суммируемой, то есть существует предел

  Интеграл Лебега как функция множества править

  В предыдущих разделах рассматривался интеграл Лебега по фиксированному множеству. В данном разделе будут установлены некоторые свойства интеграла Лебега как функции множества

  F ( A ) = ∫ A f ( x ) d μ

  заданной на совокупности измеримых функций.

  σ-аддитивность интеграла Лебега править

  Теорема 3. Если множество A является объединением счётного набора непересекающихся множеств:

  A = ⋃ n A n , i ≠ j → A i ∩ A j = ∅ A_,~i\neq j\rightarrow A_\cap A_=\varnothing > ,

  то имеет место равенство

  ∫ A f ( x ) d μ = ∑ n ∫ A n f ( x ) d μ \int \limits _>f(x)d\mu > ,

  причём из существования интеграла в левой части вытекает существование и абсолютная сходимость ряда в правой части.

  Доказательство.

  Докажем сначала утверждение теоремы для простых функций, то есть функций, принимающих счётное множество значений

  Тогда интеграл Лебега от функции f ( x ) можно представить в виде ряда:

  ∫ A f ( x ) d μ = ∑ k y k μ ( B k ) = ∑ k y k ∑ n μ ( B n k ) = ∑ n ∑ k y k μ ( B n k ) = ∑ n ∫ A n f ( x ) d μ y_\mu (B_)=\sum _y_\sum _\mu (B_)=\sum _\sum _y_\mu (B_)=\sum _\int \limits _f(x)d\mu > .

  Таким образом, утверждение теоремы доказано для простых функций.

  Теперь рассмотрим произвольную (не являющуюся простой) суммируемую функцию f . Из интегрируемости функции на множестве A следует, что для любого вещественного ϵ > 0 0> существует простая интегрируемая на A функция g такая, что

  Из этого неравенства, по свойствам интеграла Лебега, следует

  | ∫ A f ( x ) d μ − ∫ A g ( x ) d μ | ≤ ϵ μ ( A ) .

  Так как утверждение теоремы доказано для простых функций, то имеет место равенство

  ∫ A g ( x ) d μ = ∑ n ∫ A n g ( x ) d μ \int \limits _>g(x)d\mu > ,

  причём функция g является интегриуемой на каждом из подмножеств A n > , а ряд в правой части последнего равенства сходится абсолютно. Отсюда следует, что функция f ( x ) интегрируема на каждом из A n > и

  ∑ n | ∫ A n f ( x ) d μ − ∫ A n g ( x ) d μ | ≤ ∑ n ϵ μ ( A n ) = ϵ μ ( A ) \left|\int \limits _>f(x)d\mu -\int \limits _>g(x)d\mu \right|\leq \sum _\epsilon \mu (A_)=\epsilon \mu (A)> .

  Из последнего неравенства с помощью неравенством треугольника можно получить оценку:

  | ∑ n ( ∫ A n f ( x ) d μ − ∫ A n g ( x ) d μ ) | ≤ ∑ n | ∫ A n f ( x ) d μ − ∫ A n g ( x ) d μ | ≤ ϵ μ ( A ) \left(\int \limits _>f(x)d\mu -\int \limits _>g(x)d\mu \right)\right|\leq \sum _\left|\int \limits _>f(x)d\mu -\int \limits _>g(x)d\mu \right|\leq \epsilon \mu (A)> .

  Рассмотрим теперь разность

  Воспользовавшись в первом слагаемом равенством

  ∫ A g ( x ) d μ = ∑ n ∫ A n g ( x ) d μ \int \limits _>g(x)d\mu > ,

  Применяя неравенство треугольника, получим:

  | ∑ n ∫ A n f ( x ) d μ − ∫ A f ( x ) d μ | ≤ 2 ϵ μ ( A ) \int \limits _>f(x)d\mu -\int \limits _f(x)d\mu \right|\leq 2\epsilon \mu (A)> .

  Так как число ϵ может быть выбрано произвольно малым, то

  ∑ n ∫ A n f ( x ) d μ = ∫ A f ( x ) \int \limits _>f(x)d\mu =\int \limits _f(x)> .

  Следствие. Если функция f интегрируема на некотором множестве A , то она интегрируема и на любом его измеримом подмножестве A ′ ⊂ A .

  Теорема 4. Если множество A представлено в виде объединения непересекающихся множеств:

  A = ⋃ n A n , i ≠ j ⇒ A i ∩ A j = ∅ A_,~i\neq j\Rightarrow A_\cap A_=\varnothing >

  ∑ n ∫ A n | f ( x ) | d μ \int \limits _>|f(x)|d\mu >

  сходится, то функция f является интегрируемой на множестве A и имеет место равенство

  ∫ A f ( x ) d μ = ∑ n ∫ A n | f ( x ) | \int \limits _>|f(x)|> .

  Доказательство. Как и в предыдущей теореме, сначала докажем утверждение для случая простой функции.

  Пусть функция f ( x ) принимает счётное множество значений < f 1 , f 2 , . . . , f n , . . . >,f_. f_. \>> . Пусть также

  Множества B i > по определению являются подмножествами A . С другой стороны, по условию теоремы множества A n > покрывают множество A , значит:

  B i = ⋃ n D n i =\bigcup _D_> . ∫ A n | f ( x ) | d μ = ∑ i | f i | μ ( D n i ) <\displaystyle \int \limits _|f(x)|d\mu =\sum _|f_|\mu (D_)> .

  Произведём суммирование по n :

  ∑ n ∫ A n | f ( x ) | d μ = ∑ n ∑ i | f i | μ ( D n i ) = ∑ i | f i | μ ( B i ) \int \limits _>|f(x)|d\mu =\sum _\sum _|f_|\mu (D_)=\sum _|f_|\mu (B_)> .

  Так как первый из рядов сходится по условию теоремы, то сходятся и остальные ряды. Последний ряд является, по определению, интегралом Лебега для простой функции | f | . А так как функции f и | f | являются или не являются суммируемыми одновременно, то существует интеграл

  ∫ A f ( x ) d μ = ∑ i f i μ ( B i ) f_\mu (B_)> .

  Таким образом, утверждение теоремы доказано для простых функций.

  Произвольную функцию f можно аппроксимировать с любой наперёд заданной точностью ϵ простой функцией g ( x ) : | f ( x ) − g ( x ) | < ϵ . Из этого неравенства следует, что

  ∫ A n | g ( x ) | d μ = ∫ A n | f ( x ) + g ( x ) − f ( x ) | d μ ≤ ∫ A n | f ( x ) | d μ + ϵ μ ( A n ) >|g(x)|d\mu =\int \limits _>|f(x)+g(x)-f(x)|d\mu \leq \int \limits _>|f(x)|d\mu +\epsilon \mu (A_)> .

  сходится по свойствам меры, а ряд

  ∑ n ∫ A n | f ( x ) | d μ \int \limits _>|f(x)|d\mu >

  сходится по условию теоремы. Из этого следует сходимость ряда

  что равносильно суммируемости простой функции g ( x ) на множестве A . Так как ϵ можно выбрать сколь угодно малым, то функция f ( x ) также является интегрируемой по определению интеграла Лебега для функции, не являющейся простой. Теорема доказана.

  Неравенство Чебышева править

  Если функция ϕ ( x ) — неотрицательна на множестве A и задано действительное число c > 0 0> , то

  По свойствам интеграла Лебега:

  откуда следует, что

  Следствие. Если имеет место равенство

  ∫ A | f ( x ) | d μ = 0 ,

  то функция f ( x ) почти всюду равна нулю.

  Абсолютная непрерывность интеграла Лебега править

  Теорема 5 (об абсолютной непрерывности интеграла Лебега). Если f ( x ) — суммируемая на множестве A функция, то для каждого вещественного числа ϵ > 0 0> существует такое вещественное число δ > 0 0> , что для всякого измеримого подмножества e ⊂ A такого, что μ ( e ) < δ , имеет место неравенство

  Доказательство

  В силу Теоремы 3:

  ∫ A | f ( x ) | d μ = ∑ n = 0 ∞ ∫ A n | f ( x ) | d μ ^<\infty >\int \limits _>|f(x)|d\mu > ,

  причём ряд в правой части сходится. Это означает, что можно выбрать натуральное число N так, чтобы

  ∫ C N | f ( x ) | d μ = ∑ n = N + 1 ∞ ∫ A n | f ( x ) | d μ ≤ ϵ 2 >|f(x)|d\mu =\sum _^<\infty >\int \limits _>|f(x)|d\mu \leq > .

  Пусть задано некоторое множество e , тогда

  | ∫ e f ( x ) d μ | ≤ ∫ e | f ( x ) | d μ = ∫ e ∩ B N | f ( x ) | d μ + ∫ e ∩ C N | f ( x ) | d μ f(x)d\mu \right|\leq \int \limits _|f(x)|d\mu =\int \limits _>|f(x)|d\mu +\int \limits _>|f(x)|d\mu > .

  Рассмотрим интегралы, стоящие в правой части по-отдельности. Начнём со второго из этих интегралов:

  Рассмотрим теперь первый интеграл, по определению множества B N > :

  Теперь нужно подобрать δ так, чтобы из μ ( e ) < δ следовало, что

  Очевидно, что для этого достаточно взять

  Выводы править

  Установленные результаты приводят к следующему выводу. Пусть неотрицательная функция f является суммируемой в пространстве X по мере μ . Тогда функция

  F ( A ) = ∫ A f ( x ) d μ

  определена для всех измеримых подмножеств A ⊂ X , неотрицательная и σ-аддитивна. Таким образом, интеграл от неотрицательной функции как функция множества обладает всем свойствами σ-аддитивной меры, определённой на той же σ-алгебере, что и мера μ . Кроме того

  Предельный переход под знаком интеграла править

  В математическом анализе устанавливается, что достаточным условием возможности предельного перехода под знаком интеграла является равномерная сходимость последовательности. В данном разделе рассматриваются обобщения соответствующих классических теорем на случай интеграла Лебега.

  Теорема 6 (Лебег). Если последовательность < f n ( x ) >(x)\>> сходится к некоторому пределу f на множестве A и для всех натуральных чисел n имеет место неравенство

  где ϕ ( x ) — интегрируемая на множестве A , то предельная функция f также интегрируема на A и

  ∫ A f n ( x ) d x → ∫ A f ( x ) d x (x)dx\rightarrow \int \limits _f(x)dx> .

  Доказательство.

  Пусть задано произвольное вещественно число ϵ > 0 0> . По теореме 5 можно указать такое вещественное число δ > 0 0> , что из μ ( B ) < δ следует, что

  | ∫ B f n ( x ) d μ | ≤ ∫ B | f n ( x ) | d μ ≤ ∫ B ϕ ( x ) d μ < ϵ 4 f_(x)d\mu \right|\leq \int \limits _\left|f_(x)\right|d\mu \leq \int \limits _\phi (x)d\mu > .

  Из условия теоремы следует, что | f ( x ) | ≤ ϕ ( x ) , а значит, по свойству 7, функция f является интегрируемой. Кроме того, выполняется следующее неравенство:

  | ∫ B f ( x ) d μ | ≤ ∫ B | f ( x ) | d μ ≤ ∫ B ϕ ( x ) d μ < ϵ 4 f(x)d\mu \right|\leq \int \limits _\left|f(x)\right|d\mu \leq \int \limits _\phi (x)d\mu > .

  В силу теоремы Егорова, множество B можно выбрать таким образом, чтобы последовательность < f n ( x ) >(x)\>> сходилась на множестве A ∖ B равномерно. Следовательно, можно указать такое целое число N , что для всех n ≥ N и x ∈ A ∖ B выполняется неравенство

  В силу аддитивности интеграла Лебега:

  ∫ A f ( x ) d μ − ∫ A f n ( x ) d μ = ∫ A ∖ B [ f ( x ) − f n ( x ) ] d μ + ∫ B f ( x ) d μ − ∫ B f n ( x ) d μ (x)d\mu =\int \limits _[f(x)-f_(x)]d\mu +\int \limits _f(x)d\mu -\int \limits _f_(x)d\mu > .

  Используя неравенство многоугольника и неравенства, полученные выше, получим:

  Следствие. Пусть дана последовательность ограниченных функций < f n ( x ) >(x)\>> , то есть | f n ( x ) | ≤ M = c o n s t (x)|\leq M=const> , и f n → f \rightarrow f> , тогда

  ∫ A f n ( x ) d μ → ∫ A f ( x ) d μ (x)d\mu \rightarrow \int \limits _f(x)d\mu > .

  Замечание. Так как значения функции на множестве меры нуль не влияют на значение интеграла Лебега, то в данной теореме достаточно предположить, что последовательность < f n ( x ) >(x)\>> сходится к функции f почти всюду и что неравенства | f n ( x ) | ≤ ϕ ( x ) (x)|\leq \phi (x)> выполняются почти всюду.

  Теорема 7 (Б. Леви). Пусть на множестве A задана последовательность интегрируемых функций < f n ( x ) >(x)\>> такая, что

  f 1 ( x ) ≤ f 2 ( x ) ≤ . . . ≤ f n ( x ) ≤ . . . (x)\leq f_(x)\leq . \leq f_(x)\leq . > .

  Причём интегралы этих функций ограничены в совокупности:

  ∫ A f n ( x ) d μ ≤ K (x)d\mu \leq K> .

  Тогда почти всюду на множестве A существует конечный предел

  функция f является интегрируемой и

  Теорема 8 (Фату). Если последовательность измеримых неотрицательных функций < f n ( x ) >(x)\>> сходится почти всюду на множестве A к функции f и

  ∫ A f n ( x ) d μ ≤ K (x)d\mu \leq K> ,

  то функция f является интегрируемой на множестве A и

  ∫ A f ( x ) d μ ≤ K .

  Сравнение интегралов Римана и Лебега править

  Всякая функция, интегрируемая по Риману на отрезке [ a ; b ] , интегрируема и по Лебегу на этом отрезке, и оба её интеграла равны между собой.

  Замечание. Обратное утверждение наверно [контрпример: функция Дирихле D i ( x ) ].

  Научный форум dxdy

  Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

  Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

  Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

  Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

  Интеграл Лебега (задачи)

  Интеграл Лебега (задачи)
  09.06.2007, 18:29

  

  09.06.2007, 21:06

  меняем на функцию тождественно равную $» />$» />$» />, меняя значения подынтегральной функции в рациональных числах с на $» />$» />$» />, то значение интеграла Лебега не меняется.

  Далее интеграл Лебега от непрерывной функции — это уже интеграл Римана
  2.а
  Функция не интегрируемуя, так как её вариация на множестве интегрирования бесконечна

  2.б
  Решение аналогично задаче 1.

  10.06.2007, 08:09

  А если в 2а ноль включен? Нам говорили что 0-точка разрыва и по критерию Лебега(если множество точек разрыва меры ноль, то ф-я интегрируема по Риману) ф-я интегрируема по Риману => и по Лебегу, это правильно? помоему нет

  10.06.2007, 08:56

  Критерий Лебега говорит, что функция тогда и только тогда, когда ограничена на отрезке , и множество её точек разрыва имеет меру 0 по Лебегу.
  Следовательно, функция даже по Риману интегрируема на (если её как-нибудь доопределить в нуле). Чему равен интеграл, я чё-то не соображу.

  10.06.2007, 10:56
  Вот и я на этом запоролся! Зачет не получил
  11.06.2007, 07:57

  А если такая функция (+случай когда ноль включен), будет так же?

  11.06.2007, 08:20
  RgWhite писал(а):
  (+случай когда ноль включен)

  Для интеграла Лебега множества меры 0 не играют никакой роли. Поэтому ответ не зависит от того, включать ноль или не включать.

  RgWhite писал(а):

  А если такая функция .

  Воспользуйтесь тем, что измеримая функция В частности, если функция непрерывна на , то она интегрируема по Лебегу на тогда и только тогда, когда несобственный интеграл (Римана) от функции по сходится абсолютно. Вот и проверьте, выполняется ли последнее условие (советую сделать замену переменной ).

  11.06.2007, 18:26
  Все, теперь разобрался, всем спасибо!
  11.06.2007, 18:41
  RIP писал(а):

  Критерий Лебега говорит, что функция тогда и только тогда, когда ограничена на отрезке , и множество её точек разрыва имеет меру 0 по Лебегу.
  Следовательно, функция даже по Риману интегрируема на (если её как-нибудь доопределить в нуле). Чему равен интеграл, я чё-то не соображу.

  Как запретить клик по элементу js

• Как создать файл в гит
• Какие сигналы нельзя перехватить в linux
• Почему в лиге легенд курсор не совпадает