Как найти условную вероятность

1.6.5. Условная вероятность

Случайное событие является зависимым, если помимо случайных факторов его вероятность зависит от появления либо непоявления события . Вероятность события , вычисленная в предположении того, что событие уже произошло, называется условной вероятностью наступления события и обозначается через .
При этом события и называют зависимыми событиями (хотя, строго говоря, зависимо только одно из них).

Задача 47
Из колоды в 36 карт последовательно извлекаются 2 карты. Найти вероятность того, что вторая карта окажется червой, если до этого:
а) была извлечена черва, б) была извлечена карта другой масти.

Решение: рассмотрим событие: – вторая карта будет червой. Совершенно понятно, что вероятность этого события зависит от того, черву вытянули ранее или нет.

а) Если сначала была извлечена черва (событие ), то в колоде осталось 35 карт, среди которых осталось 8 карт червовой масти. По классическому определению:
– вероятность того, что вторая карта окажется червой при условии, что до этого была извлечена черва.

б) Если же сначала была извлечена карта другой масти (событие ), то все 9 черв остались в колоде. По классическому определению:
– вероятность того, что вторая карта окажется червой при условии, что до этого была извлечена карта другой масти.

Ответ:

И здесь всё логично – если вероятность извлечения червы из полной колоды составляет , то при извлечении следующей карты аналогичная вероятность изменится: в первом случае – уменьшится: (т.к. черв стало меньше), а во втором – возрастёт: (т.к. все червы остались в колоде).

Зависимых событий, разумеется, может быть и больше. Пока задача не остыла, добавим ещё одно: – третьей картой будет извлечена черва. Предположим, что произошло событие , а затем событие ; тогда в колоде осталось 34 карты, среди которых 7 черв. По классическому определению:
– вероятность наступления события при условии, что до этого были извлечены две червы.
Для самостоятельной тренировки:

Задача 48
В конверте находится 10 лотерейных билетов, среди которых 3 выигрышных. Из конверта последовательно извлекаются билеты. Найти вероятности того, что:

а) 2-й извлечённый билет будет выигрышным, если 1-й был выигрышным;
б) 3-й будет выигрышным, если предыдущие два билета были выигрышными;
в) 4-й будет выигрышным, если предыдущие билеты были выигрышными.

Краткое решение с комментариями в конце книги.

А теперь обратим внимание на один принципиально важный момент: в рассмотренных примерах требовалось найти лишь условные вероятности, при этом предыдущие события считались достоверно состоявшимися. Но ведь в действительности и они являются случайными! Так, в демо-примере извлечение червы из полной колоды – есть событие случайное, вероятность которого равна

Поэтому на практике гораздо чаще требуется отыскать вероятность совместного появления зависимых событий. Как, например, найти вероятность события , состоящего в том, что из полной колоды будет извлечена черва и затем ещё одна черва? Ответ на этот вопрос даёт

Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате ,
а также курсы по другим темам можно найти после Оглавления.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

© mathprofi.ru — mathter.pro, 2010-2023, сделано в Блокноте.

Учебник по теории вероятностей

Случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий эксперимента может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий эксперимента, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события $B$ при дополнительном условии, что произошло событие $А$.

Условной вероятностью $P_A(B)=P(B|A)$ (два обозначения) называют вероятность события $В$, вычисленную в предположении, что событие $А$ уже наступило.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.

$$P(AB)=P(B)\cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A).$$

В частности, отсюда получаем формулы для условной вероятности:

Примеры решений на условную вероятность

Пример. В урне находятся 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар, а затем второй. Событие В – появление белого шара при первом вынимании. Событие А – появление белого шара при втором вынимании.

Решение. Очевидно, что вероятность события А, если событие В произошло, будет
.
Вероятность события А при условии, что событие В не произошло, будет
.

Пример. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность .

Этот же результат можно получить по формуле
.

Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании
.

Найдем вероятность того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором — белый. Общее число исходов — совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений . Из этого числа исходов событию благоприятствуют исходов. Следовательно, .

Искомая условная вероятность

Пример. В трамвайном парке имеются 15 трамваев маршрута №1 и 10 трамваев маршрута №2. Какова вероятность того, что вторым по счету на линию выйдет трамвай маршрута №1?

Решение. Пусть А — событие, состоящее в том, что на линию вышел трамвай маршрута №1, В — маршрута №2.

Рассмотрим все события, которые могут при этом быть (в условиях нашей задачи): . Из них нас будут интересовать только первое и третье, когда вторым выйдет трамвай маршрута №1.

Так как все эти события совместны, то:

отсюда искомая вероятность

Пример. Какова вероятность того, что 2 карты, вынутые из колоды в 36 карт, окажутся одной масти?

Решение. Сначала подсчитаем вероятность того, что две карты окажутся одной определенной масти (например «пики»). Пусть А — появление первой карты такой масти, В — появление второй карты той же масти. Событие В зависит от события А, т.к. его вероятность меняется от того, произошло или нет событие А. Поэтому придется воспользоваться теоремой умножения в ее общей форме:

,
где (после вынимания первой карты осталось 35 карт, из них той же масти, что и первая — 8).

События, состоящие в том, что будут вынуты две карты масти «пики», масти «треф» и т.д., несовместны друг с другом. Следовательно, для нахождения вероятности их объединения воспользуемся теоремой сложения:
.

Как найти условную вероятность

До сих пор мы рассматривали независимые события: действительно, число, выпавшее на грани кубика, никак не зависит от предыдущего броска. Но рассмотрим другой случай.

Пример 1

Пусть пять учеников вытягивают на экзамене пять билетов, один из которых очень лёгкий. Какова вероятность для того, кто идёт третьим, вытащить удачный билет?

• Пусть первый ученик вытянул лёгкий билет. Вероятность этого Тогда для третьего ученика вероятность удачи равна нулю.
• Пусть первый ученик не вытянул лёгкий билет, вероятность этого Пусть второй ученик вытянул лёгкий билет; поскольку он тянул его уже из 4 возможных вариантов, вероятность этого Тогда, опять же, третьему лёгкий билет не попадётся.
• Пусть второй ученик не вытянул лёгкий билет, вероятность этого Тогда у третьего ученика вероятность удачного исхода равна поскольку он тянет билет уже из трёх оставшихся.

Мы видим, что вероятность вытянуть лёгкий билет одинакова для всех учеников. Посмотрим внимательнее, как мы рассчитывали вероятность для третьего ученика вытянуть удачный билет. Мы перемножали три вероятности: вероятность того, что третий вытянет нужный билет, и вероятности того, что ни первый, ни второй его не вытянут. Вероятность события при условии того, что событие произошло, называется условной вероятностью и обозначается . В нашем примере Вероятность того, что второй ученик вытянул лёгкий билет,

Для условной вероятности можно записать так называемую формулу полной вероятности :

Здесь – попарно несовместные события, сумма – достоверное событие.

Таким образом, для вычисления полной вероятности события нужно перечислить все условия , при которых может наступить , и перемножить вероятности этих условий на соответствующие им условные вероятности

В случае, когда события независимы,

Пример 2

Вернемся к примеру с пятью билетами. Допустим, что после того, как ученик взял билет, он кладёт его обратно. Поставим два вопроса: какова вероятность того, что третьему ученику попадётся самый простой билет, и какова вероятность того, что он достанется первым трём ученикам?

Напомним, что, по определению независимых событий,

Если билеты возвращаются обратно, то мы имеем дело с независимыми событиями. Тогда безо всяких вычислений ясно, что для третьего ученика вероятность удачи равна 1/5, для всех троих – (1/5) 3 . Таким образом, для независимых событий

Можно привести и другую формулировку формулы полной вероятности.

Обозначим вероятность того, что событие вызвано именно событием , . Для того, чтобы вычислить , разделим количество случаев , вызванных , на общее количество случаев . Получим:

Пусть событие может быть вызвано набором причин . Тогда вероятность того, что к событию привело событие , пропорциональна произведению вероятности соответствующей причины на вероятность следствия.

Пример 3

Пусть из 10 урн в 5 урнах лежат только белые шары, в 2 урнах – только чёрные, а в 3 – одинаковое количество чёрных и белых шаров. Вытащим из произвольной урны один шар. Обозначим через ₁ тот факт, что мы вытащили шар из первых пяти урн, через ₂ – то, что мы вытащили шар из 2 урн с чёрными шарами, через – то, что мы вытащили шар из одной из «смешанных» урн. Вероятность того, что вытаскивается белый шар (событие ), равна:

Тогда, если мы вытащили белый шар, то:

• с вероятностью этот шар – из урн, в которых лежат только белые шары;
• с вероятностью этот шар – из урн, в которых лежат только чёрные шары;
• с вероятностью этот шар – из урн, в которых лежат и белые, и чёрные шары.

Пример 4 (Задача Пункаре)

В игорном клубе половина игроков честные, половина – шулеры. Вероятность вытащить из колоды короля равна 1/8. Для шулера эта вероятность равна 1. Сидящий перед вами игрок вытаскивает из колоды короля с первого раза. С какой вероятностью перед вами шулер?

Пусть событие заключается в том, что из колоды вытянут король, – в том, что игрок шулер. Тогда событие заключается в том, что игрок честный, и Если взять первого попавшегося игрока, то он вытянет короля с вероятностью Обозначим через событие, заключающееся в том, что игрок, вытянувший короля, – шулер. Тогда

Пуанкаре комментирует задачу словами, что, к счастью, обычно шулеров гораздо меньше, чем честных игроков.

Понятие «условная вероятность» требует введения четвёртой, последней аксиомы вероятностей:

4. Аксиома умножения вероятностей . Вероятность произведения событий

Условная вероятность. Формула Байеса

Условная вероятность является одним из важнейших понятий теории вероятностей.

Условная вероятность — вероятность наступления события А при условии, что событие В произошло.

Вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В уже произошло, обозначается .

Прежде чем привести формулу, позволяющую вычислить условную вероятность, проиллюстрируем это понятие с помощью кругов Эйлера:

Пусть для некоторого эксперимента красный круг обозначает множество всех возможных исходов. Зеленый круг обозначает множество исходов, благоприятствующих событию , синий круг обозначает множество исходов, благоприятствующих событию , область, лежащая в пересечении этих кругов обозначает множество исходов, благоприятствующих обоим событиям и , обозначим его .

Как мы знаем, вероятностью события называется отношение числа благоприятных исходов к числу всех возможных исходов.

То есть вероятность события показывает, какую часть благоприятные исходы составляют от всех возможных исходов.

Если мы вычисляем вероятность события в предположении, что событие уже произошло (то есть условную вероятность), то в этом случае для нас множество исходов, благоприятствующих событию событию окажется множеством всех возможных исходов, а благоприятными исходами будут те исходы, которые при этом еще благоприятствуют событию . То есть нам нужно найти, какую часть число исходов, благоприятствующих событиям и составляет от числа исходов, благоприятствующих событию .

Пусть , где — число исходов, благоприятствующих событию , — число всех возможных исходов. ( В нашей иллюстрации — число элементов множества )

Пусть , где — число исходов, благоприятствующих событию , — число всех возможных исходов. ( В нашей иллюстрации — число элементов множества )

Пусть , где — число исходов, благоприятствующих событиям и , — число всех возможных исходов. ( В нашей иллюстрации — число элементов множества , которое является пересечением множеств и ).

Тогда

Но по определению условной вероятности , следовательно

(1)

Заметим, что аналогично получим формулу для нахождения вероятности наступления события при условии, что событие произошло:

(2)

Очевидно, что

Формулы (1) и (2) для нахождения условной вероятности по сути одна и та же формула, это и есть формула Байеса.

Рассмотрим примеры задач на условную вероятность.

Пример 1. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых.

В задаче описана следующая ситуация: при производстве посуды часть тарелок имеют дефект. Но контроль качества отбраковывает не все дефектные тарелки, а только 80% из них, остальные (20%) поступают в продажу.

Нам нужно найти вероятность того, что что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. То есть нас интересует какая часть из всех тарелок, которые поступили в продажу, не имеют дефекта.

Нарисуем дерево вероятностей:

Красными веточками обозначены тарелки, которые поступили в продажу. Это тарелки без дефектов (они составляют 0,9 от всех тарелок) и тарелки с дефектами, которые пропустила система контроля. Их от всех тарелок.

Таким образом, вероятность того, что тарелка поступила в продажу равна . При этом вероятность того, что тарелка не имеет дефектов равна .

Следовательно, вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов равна

40% пакетов с молоком производят на молочном комбинате в Л., а остальные на молокозаводе в С. Известно, что в среднем 3% пакетов, поступивших в продажу протекают, а среди пакетов, изготовленных в Л. протекают в среднем 5%.

а) Найдите вероятность того, что протекающий пакет изготовлен на заводе в С.

б) Найдите вероятность того, что пакет, изготовленный на заводе в С протекает.

Решение. Нам нужно найти вероятность того, что протекающий пакет изготовлен на заводе в С. То есть нам нужно найти, какая часть из всех протекающих пакетов изготовлена на заводе в С. По условию задачи всего протекает 3%, то есть 0,03 часть всех пакетов. Пусть среди пакетов, изготовленных на заводе в С. протекает %.

Нарисуем дерево вероятностей:

Красными веточками обозначены пакеты, которые протекают. При этом на заводе в Л. изготовлено всех протекающих пакетов. На заводе в С. изготовлено от всех протекающих пакетов.

Получаем , отсюда . То есть вероятность того, что пакет, изготовленный на заводе в С. протекает, равна . Получим, что на заводе в С. изготовлено от всех протекающих пакетов. Это число мы могли бы получить, если бы из части всех протекающих пакетов (0,03) вычли бы часть протекающих пакетов, изготовленных на заводе в Л. (0,02). (Мы бы так и поступили, если бы нужно было бы ответить только на п. а) задачи)

Тогда вероятность того, что протекающий пакет изготовлен на заводе в С. равна .

Ответ: а) , б) .

Для вас другие записи этой рубрики:

• Задачи-шутки по теории вероятностей
• Элементы комбинаторики
• Новые задачи по теории вероятностей
• Математическое ожидание