Деление целых чисел: правила, примеры
Данная статья рассказывает о том, как делить без остатка целые числа, то есть нацело. Будут введены термины и обозначения для дальнейшего описания чисел, деление положительных и отрицательных чисел. В итоге произведем проверку вычислений.
Термины и обозначения
При делении целых чисел используются те же термины, что и при описании натуральных чисел.
Правило деления целых отрицательных чисел, примеры
Для формулировки правила необходимо применить рассуждения. Если необходимо поделить целые отрицательные числа a на b , то искомое частное получится равным с . Форма записи: a : b = c . После чего можно выяснить, чему равна абсолютная величина с .
Исходя из смысла деления равенство b · c = a справедливо. Значит, b · c = a . Благодаря свойствам модуля, можно записать равенство b · c = b · c , значит, и b · c = a . Отсюда получаем, что c = a : b . Абсолютная величина частного от деления равняется частному от деления модулей делимого и делителя.
Для определения знака числа с необходимо выяснить, какие знаки находятся перед делимым и делителем.
Исходя из смысла деления целых чисел, равенство b · c = a справедливо. Правило умножения целых чисел говорит о том, что частное должно быть положительным. Иначе, b · c будет производиться по правилам целых отрицательных чисел. Частное с от деления целых отрицательных целых чисел является положительным числом.
Объединить в правило деления: чтобы разделить целое отрицательное число на отрицательное, необходимо разделить делимый на делитель по модулю. Эта запись будет выглядеть так a : b = a : b , при а и b равными отрицательным числам.
Рассмотрим несколько примеров деления отрицательных чисел.
Правило деления целых чисел с разными знаками, примеры
Выделим правило деления целых чисел, содержащих разные знаки.
Если делим целое числа a и b с разными знаками, то получаем число с . Необходимо определить знак получаемого числа. Следует записать c = a : b .
Чтобы определить смысл деления равенства b · c = a , необходимо рассмотреть два варианта. Предположительно существует вариант, когда а – отрицательное, b – положительное или а – положительное, а b – отрициательное. Любой из случаев в итоге имеет отрицательный результат. Следуя из правил умножения, имеем, что b и с отрицательные, тогда произведение будет являться положительным. Если b положительное, с – отрицательное, тогда произведение является отрицательным числом.
Для формулировки применимо правило деления целых чисел с разными знаками. Отсюда получим: чтобы разделить целые числа с разными знаками, необходимо разделить делимое на делитель по модулю, перед полученным результатом поставить « — ». Получаем, что a и b являются целыми числами с разными знаками. Это запишем, как a : b = — a : b .
Детально разберем примеры, где необходимо применить правило деления целых чисел с разными знаками.
Разделить 56 на — 4 .
Решение
Исходя из правила, имеем, что 56 необходимо разделить на 4 по модулю. Значит, получим, что 56 : 4 = 14 . Для определения знака результата необходимо посмотреть наличие « — » перед делителем и делимым. Если имеется только один знак минуса, то результат запишем как отрицательное значение. То есть, — 14 .
Ответ: 56 : ( − 4 ) = − 14 .
Выполнить деление — 1625 на 25 .
Данный пример показывает правильное деление целых чисел с разными знаками. Для этого необходимо применить правило
— 1625 : 25 = — — 1625 : 25 = — 1625 : 25 = — 65
Деление числа 1625 можно производить в столбик или с помощью представления его в виде суммы 1500 + 125 , применив правило деления полученной суммы на число.
Ответ: ( − 1 625 ) : 25 = − 65 .
Деление нуля на целое число
Деление нуля на любое целое число рассматривается как отдельная тема, так как имеет свои нюансы. По правилу частное от деления на любое целое число, отличное от нуля, равно нулю. Иначе можем записать, что 0 : b = 0 , где значение числа b отлично от нуля.
Для углубления в правило рассмотрим некоторые пояснения.
Допустим, что результат деления нуля на целое число равен с, тогда равенство b · c = 0 считается верным. Произведение в итоге дает ноль тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Если по условию b не равно нулю, тогда множитель с = 0 . Отсюда следует, что частное, полученное делением нуля на целое число, отличное от нуля, равняется нулю.
Например, при делении нуля на целое число, частное получаем равное нулю: 0 : 4 или 0 : — 908 . Оба результаты будут равны нулю.
Не делить на нуль
Деление целого числа на нуль не определяется, поэтому и запрещено производить деление на 0 .
Например, если при делении целого числа а на ноль получим число с, то из смысла деления должно быть справедливо равенство c · 0 = a . Правило умножения на нуль говорит о том, что c · 0 = 0 при любом значении с . Сравнивая оба равенства, получим, что, если делимое анне равно нулю, тогда равенство c · 0 = a считается неверным. Поэтому можно делать вывод о том, что деление на нуль производить нельзя.
Возможно ли деление нуля на самого себя? Допустим, что при делении получаем целое число с, тогда равенство c · 0 = 0 должно быть верным. Оно считается действительным при любом значении с . Результат деления 0 на 0 принимается любое значение. Для уменьшения многозадачности данный вариант не рассматривается.
Проверка результата деления целых чисел
Проверку осуществляют умножением. Чтобы произвести проверку деления, нужно полученное частное умножить на делитель, если в результате получается число, равное делимому, тогда результат считается правильным.
Рассмотрим на примере решение с проверкой результата.
Результат деления 72 на — 9 равен — 7 . Произвести проверку данного выражения.
Решение
Выполняем проверку деления. Необходимо произвести умножение полученного частного и делителя, то есть ( − 7 ) · ( − 9 ) = 63 . Проверка показала, что 63 отлично от 72 , значит действие выполнено неверно.
Ответ: деление выполнено неверно.
Умножение и деление целых чисел
Ниже представлена схема (правило знаков при умножении):
Из данных примеров следует, что в результате умножения двух чисел с разными знаками получится отрицательное число, а результате умножения двух чисел с одинаковыми знаками – положительное.
При умножении любого числа на -1 получится число противоположное данному.
Деление
При делении одного целого числа на другое делят абсолютную величину первого на абсолютную величину второго. Перед частным ставится знак плюс, если знаки делимого и делителя одинаковы, и минус, если они разные.
При делении используется то же правило, что и для умножения. Ниже представлена схема (правило знаков при делении):
Из данных примеров следует, что частное двух чисел с разными знаками – отрицательное число, а частное двух чисел с одинаковыми знаками – положительное число.
При делении любого числа на -1 получится число противоположное данному.
Возведение в степень
При возведении в степень целого числа в результате может получится как положительное число, так и отрицательное.
Степень положительного числа всегда будет положительным числом.
4 3 = 4 · 4 · 4 = 64.
Степень отрицательного числа может быть как положительным, так и отрицательным числом.
Нечётный показатель степени:
| (-3) 3 = | (-3) · (-3) | · (-3) = |
| + |
Чётный показатель степени:
| (-4) 4 = | (-4) · (-4) | · | (-4) · (-4) | = |
| + | + |
следовательно, степень отрицательного числа положительна, если показатель степени чётный, и отрицательна, если показатель степени нечётный.
| Список литературы | | | contact@izamorfix.ru |
| 2018 − 2023 | © | izamorfix.ru |
Умножение целых чисел: правила, примеры
В этом материале мы покажем, как правильно выполнять умножение целых чисел. Начнем, как всегда, с основных понятий и обозначений и выясним, какой смысл вкладывается в умножение двух целых чисел. Затем сформулируем правила, по которым перемножают целые положительные и целые отрицательные числа, а также числа, имеющие разные знаки. Как всегда, нашу мысль будем пояснять наглядными примерами решений задач. Далее рассмотрим те случаи, когда один из множителей нулевой или равен единице, посмотрим, как можно проверить верность результата, полученного после умножения, а в конце объясним, как правильно перемножать 3 , 4 и большее количество целых чисел.
Основные определения при умножении целых чисел
При умножении целых чисел используются те же термины и знаки, о которых мы говорили ранее в статье об умножении натуральных чисел. У нас есть два множителя, которые являются целыми числами, результат, называемый произведением, и знак умножения в виде точки, звездочки или знака » x » (в целях единообразия в дальнейшем будем использовать точку).
Если обозначить множители и произведение буквами a , b и c , то действие умножения можем записать в виде равенства a · b = c . Само числовое выражение a · b тоже называется произведением. Произведение двух целых чисел также является целым числом.
В чем состоит смысл умножения целых чисел?
До этого мы уже объясняли смысл умножения на примере натуральных чисел. Произведение натуральных чисел a и b представляет собой сумму b слагаемых, каждое из которых равно a .
Целые положительные числа – это натуральные числа, поэтому смысл действия умножения для них точно такой же. В буквенном виде его также можно представить как
(значения a и b – целые положительные числа).
В принципе, этот смысл распространяется на все произведения, где одно слагаемое целое и положительное. Второе при этом также должно быть целым, однако оно может быть отрицательным или даже равным нулю. Так, схема умножения числа — 3 на 5 будет выглядеть как ( − 3 ) · 5 = ( − 3 ) + ( − 3 ) + ( − 3 ) + ( − 3 ) + ( − 3 ) .
Если вторым множителем является единица, то результат умножения – это сумма одного слагаемого, которое равно другому множителю. Это можно записать как a · 1 = a . Результат умножения целого числа на единицу есть само это число.
А как быть в случае, если одно из множителей нулевое? Получается, что в ответе будет сумма из 0 слагаемых. Очевидно, что это будет 0 . Запишем, что a · 0 = 0 для любого целого a . Умножение целого числа на ноль дает в результате ноль.
В случае с отрицательными числами общий смысл действия умножения сформулировать достаточно сложно. Примем это действие как данность и подчеркнем, что правила умножения в таком случае должны сохранять справедливыми свойства умножения для целых положительных чисел. В частности, такое числовое выражение должно обладать переместительным и сочетательным свойствами.
Основные правила, применяемые при умножении целых чисел
Можно выполнить умножение исходя из того, что оно по сути представляет собой сложение одинаковых слагаемых. Но, как мы уже отмечали, это долгий и трудный процесс, если таких слагаемых у нас много. А если одним из множителей является отрицательное число, то воспользоваться этим способом мы не можем. Поэтому нам надо вывести особые правила для умножения целых чисел. Сформулируем и запишем их.
Как умножать одно целое положительное число на другое
Целые положительные числа относятся к натуральным, поэтому правила умножения натуральных чисел распространяются и на них. В итоге мы, разумеется, получим целый положительный результат, т.е. натуральное число. Разберем конкретные примеры.
Как правильно перемножить целые числа, имеющие разные знаки
Для того чтобы вывести правило для такого случая, приведем пример.
Итак, нам надо вычислить произведение числа — 5 на 3 . Вспомним смысл умножения и запишем: ( − 5 ) · 3 = ( − 5 ) + ( − 5 ) + ( − 5 ) = − 15 . Если учесть переместительное свойство, то должно быть верным и ( − 5 ) · 3 = 3 · ( − 5 ) . Очевидно, что модуль числа, полученного в результате, соответствует произведению данных множителей. Таким образом, произведение двух чисел с разными знаками есть число отрицательное.
Как умножить целое число на единицу
Мы уже упоминали, что если мы умножим на единицу любое целое число, то результат будет равен этому же числу, то есть a · 1 = a . Так как числовое выражение с умножением обладает переместительным свойством, то a · 1 = 1 · a тоже должно быть верным. Получается, что 1 · a = a . Выведем основное правило и запомним его:
Как перемножить три целых числа и более
Зная, что числовое выражение с умножением имеет сочетательное свойство, мы можем точно подсчитать произведение 3 , 4 , 5 и большего количества множителей. А благодаря остальным свойствам можно сказать, что результат произведения не будет определяться положением множителей в примере и способом расстановки скобок. Ранее мы уже приводили обоснования этих утверждений в случае с натуральными числами. Для примера с целыми множителями эти правила работают таким же образом.
Посмотрим на конкретный пример.
Найдите произведение 5 -ти множителей: 5 , − 12 , 1 , − 2 и 15 .
Решение
Заменим соседние множители их произведением и запишем, что
5 · ( − 12 ) · 1 · ( − 2 ) · 15 = ( − 60 ) · 1 · ( − 2 ) · 15 = ( − 60 ) · ( − 2 ) · 15 = 120 · 15 = 1 800
С расстановкой скобок можно записать так: ( ( ( 5 · ( − 12 ) ) · 1 ) · ( − 2 ) ) · 15 . Это позволит нам делать вычисления быстрее и проще.
Можно было переставить множители и по-другому: 1 · 5 · ( − 12 ) · ( − 2 ) · 15 , в таком случае скобки надо было расставить так: ( ( 1 · 5 ) · ( − 12 ) ) · ( ( − 2 ) · 15 ) = ( 5 · ( − 12 ) ) · ( ( − 2 ) · 15 ) = ( − 60 ) · ( − 30 ) = 1 800 .
Мы видим, что результат будет одинаков вне зависимости от метода расстановки скобок и последовательности вычислений.
Ответ: 1800 .
Если хоть один из множителей в примере был бы нулевым, то подсчет не имел бы смысла. Мы сразу могли бы сказать, что результат будет равен 0 . Это не зависит от значения других множителей, они могли бы быть любыми. Обратное утверждение также будет справедливо: если произведение нескольких множителей равно 0 , то один из этих множителей будет нулевым.
Деление целых чисел. Делимое, делитель, частное.
Деление целых чисел отличается от деления натуральных чисел, только тем что у целых чисел нужно у частного посчитать знак. Как посчитать знак частного целых чисел? Рассмотрим подробно в теме.
Термины и понятия частного целых чисел.
Чтобы выполнить деление целых чисел нужно вспомнить термины и понятия. В делении есть: делимое, делитель и частное целых чисел.
Делимое – это то целое число, которое делят. Делитель – это целое число, на которое делят. Частное – это результат деления целых чисел.
Можно сказать “Деление целых чисел” или “Частное целых чисел” смысл этих фраз один и тот же, то есть нужно поделить одно целое число на другое и получить ответ.
Деление берет свое начало из умножения. Рассмотрим пример:
У нас есть два множителя 3 и 4. Но допустим нам известно, что есть один множитель 3 и результат умножения множителей их произведение 12. Как найти второй множитель? На помощь приходит деление.
Правило деления целых чисел.
Частное двух целых чисел равно частному их модулей, со знаком плюс в результате, если числа одинаковых знаков, и со знаком минус, если они разных знаков.
Важно учитывать знак частного целых чисел. Кратко правила деления целых чисел:
Плюс на плюс дает плюс.
“+ : + = +”
Минус на минус дает плюс.
“– : – =+”
Минус на плюс дает минус.
“– : + = –”
Плюс на минус дает минус.
“+ : – = –”
А теперь рассмотрим подробно каждый пункт правила деления целых чисел.
Деление целых положительных чисел.
Вспомним, что целые положительные числа это тоже самое, что натуральные числа. Мы пользуемся теми же правила, что и при делении натуральных чисел. Знак частного от деления целых положительных чисел всегда плюс. Иными словами, при делении двух целых чисел “плюс на плюс дает плюс”.
Пример:
Выполните деление 306 на 3.
Решение:
Оба числа имеют знак “+”, поэтому ответ будет со знаком “+”.
306:3=102
Ответ: 102.
Пример:
Разделите делимое 220286 на делитель 589.
Решение:
Делимое 220286 и делитель 589 имеет знак плюс, поэтому частное тоже будет иметь знак плюс.
220286:589=374
Ответ: 374
Деление целых отрицательных чисел.
Правило деления двух отрицательных чисел.
Пусть у нас будут два отрицательных целых числа a и b. Нам нужно найти их модули и выполнить деление.
Результат деления или частное двух отрицательных целых чисел будет со знаком “+” или “минус на минус дает плюс”.
Рассмотрим пример:
Найдите частное -900:(-12).
Решение:
-900:(-12)=|-900|:|-12|=900:12=75
Ответ: -900:(-12)=75
Пример:
Выполните деление одного целого отрицательного числа -504 на второе отрицательное число -14.
Решение:
-504:(-14)=|-504|:|-14|=504:14=34
Записать выражение можно короче:
-504:(-14)=34
Деление целых чисел с разными знаками. Правило и примеры.
При выполнении деления целых чисел с разными знаками, частное будет равно отрицательному числу.
Не важно положительное целое число делим на отрицательное целое число или отрицательное целое число делим на положительное целое число, результат деления всегда будет равен отрицательному числу.
Минус на плюс дает минус.
Плюс на минус дает минус.
Пример:
Найдите частное двух целых чисел с разными знаками -2436:42.
Пример:
Вычислите деление 4716:(-524).
Нуль деленный на целое число. Правило.
При деление нуля на целое число ответ будет равен нулю.
Пример:
Выполните деление 0:558.
Пример:
Разделите нуль на целое отрицательное число -4009.
На нуль делить нельзя.
Нельзя 0 разделить на 0.
Проверка частного деления целых чисел.
Как говорилось ранее деление и умножение тесно связаны. Поэтому чтобы проверить результат деления двух целых чисел, нужно выполнить умножение делителя и частного в результате должно получиться делимое.
Проверка результата деления краткая формула:
Делитель ∙ Частное = Делимое
Рассмотрим пример:
Выполните деление и сделайте проверку 1888:(-32).
Решение:
Обращаем внимание на знаки целых чисел. Число 1888 положительное и имеет знак “+”. Число (-32) отрицательное и имеет знак “–”. Поэтому при делении двух целых чисел с разными знаками ответ будет отрицательное число.
1888:(-32)=-59
А теперь выполним проверку найденного ответа:
1888 – делимое,
-32 – делитель,
-59 – частное,
Делитель умножаем на частное.
-32∙(-59)=1888
Вопросы по теме:
Что такое частное чисел?
Ответ: частное чисел – это результат деления деления двух чисел.
Как найти частное?
Ответ: нужно одно число поделить на другое, то есть делимое поделить на делитель и получим частное.
Чему равно частное от деления целых чисел?
Ответ: если целые числа делятся без остатка, то их частное равно целому числу. Иначе будет дробное число.
Что такое делимое и делитель?
Ответ: число которое делят называют делимым, а число на которое делят называют делителем.
Пример:
Найдите частное суммы и разности чисел 48 и 16.
Решение:
Находим сумму чисел 48 и 16.
48+16=64
Находим разность чисел 48 и 16.
48-16=32
Находим частное.
64:32=2
Ответ: 2.
You may also like:
Что такое уравнение и корни уравнения? Как решить уравнение?
Деление рациональных чисел примеры и правила.
Нужен репетитор по математике (алгебре) или геометрии?
Умножения рациональных чисел, математика, примеры.
Добавить комментарий Отменить ответ
Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.
Свежие записи
- Решение линейных уравнений с одной переменной.
- Определение числовой функции. Область определения функции. Область значения функции.
- Определение функции. Способы задания функции.
- Десятичные дроби. Разряды и классы десятичных дробей.
- Что такое уравнение и корни уравнения? Как решить уравнение?