Где используются матрицы
Перейти к содержимому

Где используются матрицы

  • автор:

Матрицы в математике: основные принципы и области применения

Матрицы в математике – это удобный инструмент, который позволяет представлять и анализировать сложные системы и взаимосвязи. Они используются для решения широкого круга задач, начиная от простых арифметических операций и заканчивая решением систем линейных уравнений. Понимая, как работать с матрицами, можно существенно упростить и ускорить решение математических задач и применять их в различных областях, включая физику, экономику, компьютерное моделирование и другие.

Матрицы — это одно из основных понятий линейной алгебры, которые широко используются в математике, физике, экономике и других науках. Они представляют собой таблицу чисел, расположенных в определенном порядке и разделенных на строки и столбцы. Матрицы играют важную роль в решении систем линейных уравнений, векторной алгебре, анализе данных и многих других областях.

Основное назначение матриц — представление и обработка данных, организованных в виде таблицы. Каждый элемент матрицы может быть числом, переменной или даже функцией. Матрицы могут быть одномерными (векторами) или двумерными (матрицами).

Векторы — это одномерные матрицы, состоящие из одной строки или одного столбца. Они представляют собой упорядоченные наборы чисел и используются для описания направления и магнитуды векторов в физике и геометрии.

Матрицы же обычно используются для представления и обработки многомерных данных. Они позволяют эффективно хранить и оперировать большими объемами информации. В матрицах можно выполнять арифметические операции, транспонирование, нахождение обратной матрицы и многое другое.

Что такое матрицы в математике

Матрицы используются для представления и обработки различных типов данных, таких как линейные системы уравнений, векторы и операции над ними, трансформации геометрических объектов и другие математические операции.

Матрицы состоят из строк и столбцов, и каждый элемент матрицы имеет свои координаты, которые указывают его положение в матрице. Обычно элементы матрицы обозначаются буквами и числами, например, aij, где i — номер строки, j — номер столбца.

Матрицы могут быть разных типов, в зависимости от их размерности. Квадратная матрица имеет одинаковое количество строк и столбцов, прямоугольная матрица имеет разное количество строк и столбцов, а столбцовая и строковая матрицы имеют только одну строку или столбец соответственно.

Определенные операции можно выполнять над матрицами, такие как сложение, вычитание, умножение на число, умножение матрицы на матрицу и другие. Эти операции позволяют решать математические задачи и решать системы уравнений.

Матрицы играют важную роль во многих областях науки и техники, таких как физика, экономика, компьютерная графика, статистика и другие. Понимание матриц и умение работать с ними является неотъемлемой частью математической подготовки.

Какие операции можно выполнять с матрицами

Какие операции можно выполнять с матрицами

  • Сложение матриц – это операция, при которой каждый элемент одной матрицы суммируется с элементом соответствующей позиции другой матрицы. Для выполнения сложения матриц необходимо, чтобы обе матрицы имели одинаковую размерность.
  • Умножение матрицы на скаляр – это операция, при которой каждый элемент матрицы умножается на заданное число, называемое скаляром. В результате получается новая матрица с тем же размером.
  • Умножение матриц – это операция, при которой элементы матрицы A умножаются на элементы матрицы B и складываются по правилу умножения матрицы. Результатом является новая матрица, размер которой определяется размерностью исходных матриц.
  • Транспонирование матрицы – это операция, при которой строки исходной матрицы становятся столбцами в новой матрице, а столбцы исходной матрицы становятся строками. Транспонирование не меняет значения элементов матрицы, но меняет их расположение.
  • Определитель матрицы – это число, которое вычисляется для квадратной матрицы и является мерой невырожденности системы линейных уравнений, представленных матрицей.
  • Обратная матрица – это такая матрица, при умножении на которую исходная матрица дает единичную матрицу. Обратная матрица существует только для квадратных матриц, определитель которых не равен нулю.

Читать далее: Как снять блокировку Роскомнадзора и получить доступ к заблокированным сайтам

Это лишь некоторые из основных операций, которые можно выполнять с матрицами. Знание этих операций позволяет математикам и инженерам эффективно работать с линейными системами, моделировать физические явления и решать различные задачи.

Применение матриц в физике

Одно из основных применений матриц в физике — описание линейных преобразований. Векторы в физике могут быть представлены в виде столбцов или строк матрицы, а линейные преобразования, такие как повороты, масштабирование и смещения, могут быть представлены с помощью матриц. Это позволяет удобно описывать и анализировать сложные пространственные трансформации.

Матрицы также используются для решения систем линейных уравнений, которые встречаются во многих физических задачах. Например, для определения движения тела в пространстве или распределения электрического потенциала внутри проводника.

В квантовой механике матрицы широко используются для описания квантовых состояний и операторов. Они позволяют предсказывать результаты измерений и процессы перехода между состояниями, что является ключевым в квантовой физике.

Кроме того, матрицы применяются в физических моделях и уравнениях, таких как уравнение Шредингера, уравнения Максвелла и другие. Они позволяют удобно и компактно записывать эти уравнения и решать их численно с помощью методов матричной алгебры.

Пример применения матриц в физике
Описание
Матрицы плотности Используются для описания квантовых состояний и эволюции системы во времени
Матрицы Гамильтона Описывают энергетические уровни и динамику квантовых систем
Матрицы Мюллера Используются для описания прохождения света через оптические системы

Применение матриц в компьютерной графике

Применение матриц в компьютерной графике

Одним из основных применений матриц в компьютерной графике является преобразование объектов. Например, чтобы переместить объект на плоскости, можно использовать матрицу смещения. Для изменения размера объекта используется матрица масштабирования, а для его вращения – матрица поворота.

Более сложные преобразования могут быть выполнены путем комбинирования нескольких матриц. Например, чтобы сначала сместить и затем повернуть объект, применяются матрицы смещения и поворота в определенной последовательности.

Читать далее: Как вычислить абсолютную и относительную погрешность в математике: практическое пособие

Матрицы также используются для реализации трехмерной графики. Они позволяют задать проекцию трехмерных объектов на двумерную плоскость, что позволяет создавать реалистичные изображения. Для этого применяются матрицы проекции, которые определяют, как трехмерные координаты должны быть преобразованы в двумерные.

В компьютерной графике матрицы часто используются для управления положением, размером и ориентацией объектов, а также для создания эффектов, таких как трансформации, иллюзии глубины и анимации. Они играют важную роль в разработке графических приложений, включая компьютерные игры, виртуальную реальность и визуализацию данных.

Примеры применения матриц в компьютерной графике:
1. Трансформация и перемещение объектов на экране.
2. Определение отражения и симметрии объектов.
3. Определение перспективы и пространственного положения объектов.
4. Создание анимации и эффектов.

Применение матриц в экономике

Одним из основных применений матриц в экономике является моделирование внешнеэкономических связей. С помощью матриц внешней торговли можно оценить влияние изменений в экспорте и импорте на внутреннюю экономику страны. Экономические модели на основе матриц позволяют предсказывать эффекты изменений в торговле и принимать решения по оптимизации экономической политики.

Еще одним важным применением матриц в экономике является анализ внутрифирменной структуры и производственных процессов. С помощью матриц планирования и учета затрат можно определить оптимальные структуры производства, распределение ресурсов и оценить эффективность предприятий.

Матрицы также широко используются в финансовом анализе. С помощью матриц рисков и доходности можно определить оптимальное распределение инвестиций и оценить финансовые риски. Матрицы корреляции позволяют оценить взаимосвязь между различными активами и портфельным риском.

Наконец, матрицы применяются в экономике для моделирования нелинейных процессов и систем. С помощью матриц дифференциальных уравнений можно описать динамику экономических переменных и исследовать их стабильность и устойчивость.

В итоге, применение матриц в экономике позволяет увидеть взаимосвязи между различными экономическими переменными, оценить их влияние на общий результат и принимать обоснованные экономические решения.

Применение матриц в теории игр

Матрицы широко применяются в теории игр для моделирования и анализа стратегических решений. Теория игр изучает математические модели конфликтов и взаимодействий между участниками игры, такими как игроки или компании.

Одним из основных инструментов теории игр являются матрицы оплат, которые представляют возможные результаты каждого игрока в зависимости от выбора вариантов действий. В этих матрицах игроки представлены как строки и столбцы, а каждая ячейка содержит вознаграждение или потерю для каждого игрока при определенном сочетании выбранных стратегий.

С помощью матриц оплат и других математических инструментов теории игр можно найти оптимальные стратегии для каждого игрока и предсказать итоговый результат игры. Например, с помощью таких методов можно определить, какие стратегии будут доминирующими для каждого игрока или найти равновесия Нэша, которые представляют собой такие комбинации стратегий, когда ни одному игроку нет выгоды менять свой выбор.

Теория игр находит применение в различных областях, таких как экономика, политика, биология и психология. Она помогает анализировать стратегические ситуации и принимать решения на основе математических моделей.

Читать далее: Подробная инструкция: Как правильно использовать шприц с пружиной

Таким образом, использование матриц в теории игр позволяет моделировать и анализировать сложные стратегические взаимодействия и предсказывать итоговые результаты различных игровых ситуаций.

Видео по теме:

Отзывы

Александр Петров

Статья очень понравилась! Она хорошо описывает основные принципы использования матриц в математике. Как женщина, я часто сталкиваюсь с применением матриц в своей повседневной жизни. Например, в работе с таблицами и организации данных. Матрицы позволяют удобно представлять информацию и выполнять операции над ней. Более того, матрицы являются важным инструментом в различных областях науки, таких как физика и компьютерная графика. Автор хорошо объяснил, как работать с матрицами и какие операции можно выполнять с ними. Оказывается, матрицы не такие сложные, как я думала! Статья очень информативная и понятная даже для неспециалиста. Она вызвала интерес и заставила задуматься о возможностях использования матриц в повседневной жизни. Спасибо за статью!

max007

Статья очень информативная и понятная даже для тех, кто не имеет специального математического образования. Матрицы в математике играют огромную роль и находят применение в различных областях, начиная от физики и экономики, и заканчивая компьютерной графикой и машинным обучением. Благодаря матрицам можно эффективно и удобно описывать и решать системы уравнений, а также проводить линейные преобразования и находить собственные значения и векторы. Использование матриц позволяет существенно упростить и оптимизировать вычисления, а также анализировать данные и находить структуры в сложных системах. В целом, статья является отличным исходным материалом для тех, кто хочет ознакомиться с основными принципами использования и назначением матриц в математике.

Liza123

Статья очень понравилась! Я ознакомилась с основными принципами использования матриц в математике и оказалось, что они находят широкое применение в разных областях, например, в физике, экономике и компьютерной графике. Это отличный инструмент для решения систем линейных уравнений и анализа данных. Было интересно узнать, что матрицы можно складывать, умножать, транспонировать и находить их обратную матрицу. Теперь я лучше понимаю, как работают математические модели и алгоритмы, основанные на матрицах. Статья хорошо структурирована и написана понятным языком. Спасибо за полезную информацию!

Елизавета Иванова

Статья очень интересно и доступно описывает основные принципы использования матриц в математике. Я, как женщина, всегда увлекалась математикой, но матрицы всегда казались для меня сложным и непонятным понятием. Однако после прочтения этой статьи, мне стало намного понятнее, как и когда использовать матрицы. Теперь я понимаю, что они помогают решать разнообразные задачи в физике, экономике, программировании и других областях. Особенно впечатлило то, что матрицы используются для решения систем уравнений. Это очень полезно и позволяет упростить решение сложных задач. Я постараюсь применять полученные знания в практике и надеюсь, что это поможет мне решать задачи более эффективно. В общем, спасибо за понятное объяснение принципов использования матриц в математике!

X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум — 2018

Матрицы проникли почти во все отрасли человеческой деятельности. Они используются в математике, в физике, в технике, в экономике, в теории управления, статистики, других областей науки и знаний. Для решения различных практических задач [2] используется всевозможное программное обеспечение, например, Microsoft Excel, MathСad, Maple, которые позволяют манипулировать целыми массивами без выполнения вычислений вручную.

Мы рассмотрим применения матриц в повседневной жизни. Пусть частный предприниматель имеет жилое (44м 2 ) и офисное помещения (71м 2 ). Каждый месяц ему необходимо оплачивать коммунальные услуги, вычислим значения платежей по каждому виду и общую сумму. Тарифы по предоставляемым услугам жилищной компанией для жилых помещений: холодное водоснабжение составляет 16,2 руб. за 1м 3 , горячее водоснабжение -117 руб., электроэнергия — 2,81 руб. за 1кВт.ч., отопление — 1389 руб. за 1Гкал. Для офисных помещений с владельцев взимается оплата в размере двойного тарифа от жилого фонда. Потребляемые ресурсы по данным помещениям представлены в таблице 1.

Что такое матрицы, откуда они взялись, и чем они полезны?

Что такое матрицы, откуда они взялись, и чем они полезны?

Первые упоминания о матрицах или «волшебных квадратах», как их тогда называли, были найдены на территории еще Древнего Китая, однако бум случился намного позже, в середине XVIII века, когда знаменитый математик Габриэль Крамер опубликовал свой труд под названием «Введение в анализ алгебраических кривых», в котором описывался алгоритм решения систем линейных уравнений совершенно новым методом.

Как следствие, в дальнейшем появляются «классический» метод решения Карла Фридриха Гаусса, теорема Гамильтона-Кели, работы Карла Вейерштрасса, Георга Фробениуса и других выдающихся ученых.

Занимательно, что только после всех этих открытий, а именно в 1850 году был непосредственно введен термин матрица, автором которого стал Джеймс Джозеф Сильвестр.

У всех на слуху

Сегодня термин «матрица» применяется во множестве разных областей: от программирования до кинематографии (здесь должно быть название фильма, о котором вы все подумали).

Матрица в математике – это таблица чисел, состоящая из определенного количества строк (m) и столбцов (n).

Вы встречаетесь с ними каждый день, так как любая числовая информация, занесенная в таблицу, уже в какой-то степени считается матрицей.

Примером могут служить:
список телефонных номеров;
различные статистические данные;
табель успеваемости ученика и многое другое.

Сами матрицы всегда обозначаются прописными латинскими буквами (A, B, C…), а элементы матрицы – строчными (a, b, c…). Индексы обозначают местоположение элемента матрицы в системе, причем первое число – это всегда номер строки, а второе – это всегда номер столбца. Например, а23 находится во второй строке и в третьем столбце, а31 в третьей строке и первом столбце и т.д.

Важно произносить элементы матриц правильно, так а23 будет звучать как «а два три», а не «а двадцать три».

Примеры записи матриц

Что такое матрицы, откуда они взялись, и чем они полезны?

Для чего нужны матрицы

Теперь выясним, для чего нам так нужны матрицы конкретно в математике?

В качестве примера рассмотрим простейшую систему двух линейных уравнений и решим ее методом сложения, который изучают в школьном курсе.

Что такое матрицы, откуда они взялись, и чем они полезны?

Оказывается, можно решить эту систему уравнений альтернативным способом, используя матрицы, и называется он метод Крамера.

Что такое матрицы, откуда они взялись, и чем они полезны?

Вы можете подумать, зачем усложнять решение какими-то матрицами?

В данном случае да, при желании можно эту систему и в уме решить. Но представьте себе систему, состоящую хотя бы из 5 линейных уравнений с пятью неизвестными. А если система состоит из 6, 7 или ещё больше уравнений? Решать её школьным методом, мягко говоря, трудоёмко. Зато применяя тот же метод Крамера, решение будет выглядеть достаточно компактно.

Система с тремя уравнениями

В подтверждение вышесказанного рассмотрим систему уравнений с тремя неизвестными и решим её метод Крамера.

Что такое матрицы, откуда они взялись, и чем они полезны?

Из этого следует, что матрицы – еще один способ решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

На основе второго примера убеждаемся в том, что матрицы могут применяться в тех случаях, когда применение школьных методов решения СЛАУ не является рациональным.

На самом деле за прошедшие столетия алгебра матриц изучена более, чем достаточно, и тот факт, что матрицы используются повсеместно однозначно подтверждает необходимость их изучения.

Применение матриц в различных областях науки

Нажмите, чтобы узнать подробности

Презентация предназначена для проведения занятий и внеклассных мероприятий.

Просмотр содержимого документа
«Применение матриц в различных областях науки»

ПРИМЕНЕНИЕ Матрицы в различных областях науки

ПРИМЕНЕНИЕ Матрицы в различных областях науки

Применение матриц Матричный язык, обозначения и матричные вычисления широко используются в различных областях современной математики и ее приложений. Матрицы являются основным математическим аппаратом линейной алгебры и применяются при исследовании линейных отображений векторных пространств, линейных и квадратичных форм, систем линейных уравнений. Матрицы используются в математическом анализе при интегрировании систем дифференциальных уравнений, в механике и теоретической электротехнике при исследовании малых колебаний механических и электрических систем, в теории вероятностей, в квантовой механике и др.

Матрицы в МАТЕМАТИКЕ Матрица в математике – это таблица чисел, состоящая из определенного количества строк (m) и столбцов (n). Вы встречаетесь с ними каждый день, так как любая числовая информация, занесенная в таблицу, уже в какой-то степени считается матрицей. Матрицы бывают различных видов: квадратная, вектор-строка, вектор-столбец, диагональная, единичная, нулевая, транспонированная

  • Матричный язык, обозначения и матричные вычисления широко используются в различных областях современной математики и ее приложений. Матрицы являются основным математическим аппаратом линейной алгебры и применяются при исследовании линейных отображений векторных пространств, линейных и квадратичных форм, систем линейных уравнений.
  • Матрицы используются в математическом анализе при интегрировании систем дифференциальных уравнений, в механике и теоретической электротехнике при исследовании малых колебаний механических и электрических систем, в теории вероятностей, в квантовой механике и др.

Матрицы в МАТЕМАТИКЕ

Таблица умножения это произведение матриц (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)Т ×(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)

  • Матрица в математике – это таблица чисел, состоящая из определенного количества строк (m) и столбцов (n).
  • Вы встречаетесь с ними каждый день, так как любая числовая информация, занесенная в таблицу, уже в какой-то степени считается матрицей.
  • Матрицы бывают различных видов: квадратная, вектор-строка, вектор-столбец, диагональная, единичная, нулевая, транспонированная

это произведение матриц (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)Т ×(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)

Метод Крамера

Метод Гаусса

Матрицы в экономики Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики – матричная алгебра – имеют чрезвычайно важное значение для экономистов. Объясняется это тем, что значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное – компактной матричной форме. С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости. Например, таблица распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики (усл. ед.):

Матрицы в экономики

Матрицы в экономике Может быть записана в компактной форме в виде матрицы распределения ресурсов по отраслям:

  • Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики – матричная алгебра – имеют чрезвычайно важное значение для экономистов. Объясняется это тем, что значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное – компактной матричной форме.
  • С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости. Например, таблица распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики (усл. ед.):

Матрицы в экономике

Корреляционная матрица Корреляционная матрица — это квадратная (или прямоугольная) таблица, в которой на пересечении соответствующих строки и столбца находится коэффициент корреляции между соответствующими параметрами.

  • Может быть записана в компактной форме в виде матрицы распределения ресурсов по отраслям:

Матрицы в биологии Например, биологическая или миграционная матрица Каждая точка в этой матрице представляет ту часть населения, в процентах, которая перемещается с одного места на другое за единицу времени.

  • Корреляционная матрица — это квадратная (или прямоугольная) таблица, в которой на пересечении соответствующих строки и столбца находится коэффициент корреляции между соответствующими параметрами.

Матрицы в биологии

Например, биологическая или миграционная матрица

Каждая точка в этой матрице представляет ту часть населения, в процентах, которая перемещается с одного места на другое за единицу времени.

Матрицы в биологии Эти части умножаются на значения ( число людей или ещё чего-либо) в местах А, В, С и в результате получаются значения А, В и С спустя единицу времени: Это матричное уравнение для миграции (переселения).

Матрицы в биологии

  • Эти части умножаются на значения ( число людей или ещё чего-либо) в местах А, В, С и в результате получаются значения А, В и С спустя единицу времени:

Это матричное уравнение для миграции (переселения).

Применение матриц Теория случайных матриц — раздел математической статистики, изучающий свойства ансамблей матриц, элементы которых распределены случайным образом, она имеет множество применений в физике, в особенности в приложениях квантовой механики к изучению неупорядоченных и классически хаотических динамических систем.

Матрицы в физике Матрицы используются в квантовой механике и называются матричной механикой . В матричной механике считается, что физическая система может находиться в одном из дискретного набора состояний n или в суперпозиции этих состояний, поэтому в целом состояние квантовомеханической системы задается вектором состояния: конечной или бесконечной совокупностью комплексных чисел.

  • Теория случайных матриц — раздел математической статистики, изучающий свойства ансамблей матриц, элементы которых распределены случайным образом, она имеет множество применений в физике, в особенности в приложениях квантовой механики к изучению неупорядоченных и классически хаотических динамических систем.

Матрицы в физике

Матрицы в физике Каждой физической величине A, которую можно наблюдать в эксперименте, соответствует определенная матрица

  • Матрицы используются в квантовой механике и называются матричной механикой . В матричной механике считается, что физическая система может находиться в одном из дискретного набора состояний n или в суперпозиции этих состояний, поэтому в целом состояние квантовомеханической системы задается вектором состояния: конечной или бесконечной совокупностью комплексных чисел.

Матрицы в физике

Каждой физической величине A, которую можно наблюдать в эксперименте, соответствует определенная матрица

Матрицы в информатике В программировании – в написании программ. Они еще называются массивами. Описание массивов на языке Паскаль

Матрицы в информатике

Матрицы в информатике Например, любая картинка на экране – это двумерная матрица, элементами которой являются цвета точек.

  • В программировании – в написании программ. Они еще называются массивами.
  • Описание массивов на языке Паскаль

Матрицы в информатике

Заключение Матричная алгебра применима к решению большого круга важных задач, ведь она упрощает процедуру вычисления и облегчает понимание процесса. Если в математике и физике они используются в качестве компактной записи, то в биологии в решении реальных задач генетики, популяции и систематики. В экономике матрицы позволяют с минимальными затратами труда и времени обрабатывать огромный и весьма разнообразный статистический материал (особенность социально-экономического комплекса, исходные данные, характеризующий уровень и структура), а также вести расчеты с ними. Все эти сведения и примеры ведут к тому, что матрицы использовались и будут использоваться в будущем.

  • Например, любая картинка на экране – это двумерная матрица, элементами которой являются цвета точек.

Интернет-источники https://yandex.ru/images/search?text=% D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B%20%D0%B2%20%D0%B6%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B8%20%D1%87%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D0%B0&stype=image&lr=45&source=wiz https://mod-book.ru/info/primenenie-matric-v-razlichnyh-oblastjah-nauki / https:// topuch.ru/interesnie-primeneniya-matrici-v-matematike-fizike-ekonomike-b/index.html https://yandex.ru/images/search?text=% D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%20%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC&stype=image&lr=45&source=wiz

  • Матричная алгебра применима к решению большого круга важных задач, ведь она упрощает процедуру вычисления и облегчает понимание процесса. Если в математике и физике они используются в качестве компактной записи, то в биологии в решении реальных задач генетики, популяции и систематики. В экономике матрицы позволяют с минимальными затратами труда и времени обрабатывать огромный и весьма разнообразный статистический материал (особенность социально-экономического комплекса, исходные данные, характеризующий уровень и структура), а также вести расчеты с ними. Все эти сведения и примеры ведут к тому, что матрицы использовались и будут использоваться в будущем.
  • https://yandex.ru/images/search?text=%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B%20%D0%B2%20%D0%B6%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B8%20%D1%87%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D0%B0&stype=image&lr=45&source=wiz
  • https://mod-book.ru/info/primenenie-matric-v-razlichnyh-oblastjah-nauki/
  • https://topuch.ru/interesnie-primeneniya-matrici-v-matematike-fizike-ekonomike-b/index.html
  • https://yandex.ru/images/search?text=%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%20%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC&stype=image&lr=45&source=wiz

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *