Что такое фибоначчи

Числа Фибоначчи — что это и для чего они нужны?

Научитесь грамотно оценивать стоимость компании не только с фундаментальной точки зрения, но и «со стороны рынка».

История чисел Фибоначчи

Леонардо Пизано, по прозвищу Фибоначчи, — итальянский математик — родился в Пизе в 1170 году. Его отец работал в торговом порту на северо-востоке Алжира и часто путешествовал.

Фибоначчи изучал математику и во время обширных путешествий познакомился с индийско-арабской системой счисления. Оттуда математик и узнал о числовой последовательности, которую в древней Индии использовали в стихосложении.

Названа последовательность в честь итальянца, потому что именно он представил ее европейскому обществу в труде «Книга абака».

Что такое числа Фибоначчи?

Числа Фибоначчи — это ряд, состоящий из целых чисел. Их особенность заключается в том, что каждый элемент представляет собой сумму двух предыдущих чисел.

Последовательность Фибоначчи начинается с 0 и 1. Продолжить ряд легко: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и так до бесконечности.

Математик обратил внимание на числовую последовательность, когда думал о разведении кроликов.

Задача была поставлена следующим образом: «Если новорожденную пару кроликов, самца и самку, поместить в поле, то сколько пар кроликов будет через год?». Но как известно, ни одну практическую задачу невозможно решить без некоторых ограничений и предположений. Поэтому, к условию задачи добавились следующие допущения:

• Кролики не умирают;
• Кролики достигают половой зрелости за один месяц;
• Срок беременности у кроликов – один месяц;
• Достигнув половой зрелости, кролики-самки рожают ежемесячно кролика-самца и кролика-самку.

Схема разведения кроликов выглядит следующим образом:

Так как по условию задачи в поле поместили новорожденных кроликов, то спариваться они не могут, так как не достигли половой зрелости. Через месяц кролики начинают спариваться и еще через один – рождается первая пара потомков. «Родители» продолжают наращивать потомство, а дети месяц ждут своего взросления, чтобы тоже стать родителями. В итоге, через 3 месяца по полю будут бегать три пары кроликов. Через 4 месяца уже 5 пар, а через 5 месяцев – 8.

Уже прослеживается закономерность. В конце каждого месяца количество пар кроликов будет больше, чем в предыдущем месяце ровно на столько, сколько пар было два месяца назад.

С точки зрения математики — это красивая последовательность. Но больший интерес для исследователей представляет не сам ряд, а частное соседних чисел, равное, примерно 1,618 для всех элементов ряда. Эта пропорция больше известна как золотое сечение.

Это соотношение можно найти во предметах, которые нас отгружают: гармония в гранях снежинок, в расположении лепестков цветов, ячеек ананаса, завитки раковин у улитки — все подчиняется правилу золотого сечения. Даже строение нашего тела гармонично: если измерить наш рост и разделить на расстояние от пояса до ступней или длину руки на расстояние от локтя до кончиков пальцев, получится известное нам соотношение 1,618.

Научитесь грамотно оценивать стоимость компании не только с фундаментальной точки зрения, но и «со стороны рынка».

Если мы видим человека и его внешность кажется красивой, то скорее всего пропорции его лица соотносятся с соотношением чисел Фибоначчи.

Природа полагается на эту врожденную пропорцию для поддержания баланса.

Финансовые рынки имеют ту же математическую основу, что и перечисленные природные явления. Давайте рассмотрим некоторые способы применения золотого сечения к финансам и покажем несколько диаграмм в качестве доказательства.

Числа Фибоначчи в трейдинге

Впервые изучением графиков биржевых котировок и поиском взаимосвязей занялся Ральф Hельсон Эллиотт, американский финансист. Ему удалось обнаружить в поведении фондового рынка особую гармонию. Как вы уже догадались – гармонию золотого сечения.

Мы рассмотрим четыре инструмента технического анализа, использующих последовательность Фибоначчи, активно применяемые трейдерами – это уровни, дуги, веер и временные зоны Фибоначчи.

Сначала поговорим об уровнях коррекции.

1. Коррекции Фибоначчи

Коррекция Фибоначчи — популярный инструмент, используемый трейдерами. Еще больше об инструментах, которые используют трейдеры, можно узнать на открытом курсе «Трейдинг и личные инвестиции».

Как это работает: берутся экстремальные точки на графике акций: нижний и верхний уровни цены долгосрочного тренда, и вертикальное расстояние между ними делится на коэффициенты Фибоначчи: 23,6%, 38,2%, 50%, 61,8% и 100%. После определения уровней соотношений на графике рисуются горизонтальные линии, представляющие уровни, указывающие на возможные уровни поддержки (цена перестает идти ниже) и сопротивления (цена перестает идти выше).

Откуда берутся эти значения процентов?

• Как мы уже сказали, в последовательности чисел Фибоначчи каждое число примерно в 1,618 раза больше предыдущего. Например, 21/13 = 1,615, а 55/34 = 1,618.
• Соотношение 61,8% получается делением одного числа в ряду на число, которое следует за ним. Например, 8/13 = 0,615 (61,5%), а 21/34 = 0,618 (61,8%).
• Соотношение 38,2% получается путем деления одного числа в ряду на число, расположенное двумя позициями позже. Например, 5/13 = 0,385 (38,5%), а 55/144 = 0,3818 (38,2%).
• 23,6% рассчитывается путем деления одного числа в последовательности на число на три позиции выше. Например, 13/55 = 0,236 (23,6%), а 2/8 = 0,23076 (23,1%).
• 0% – это начало отката, а 100% – полный разворот исходной части движения.

Трейдеры используют уровни коррекции Фибоначчи для определения стратегических моментов для получения выгодной цены. Если тренд возрастает, то уровни коррекции Фибоначчи используются как потенциальные точки покупки при откатах, если тренд убывающий, то как точки входа для коротких продаж.

2. Дуги Фибоначчи

Дуги Фибоначчи учитывают как время, так и цену, также указывая на потенциальные области поддержки и сопротивления.

Поиск максимума и минимума графика — это первый шаг к построению дуг Фибоначчи. Затем рисуются три изогнутые линии, похожие на полукруги, на расстоянии 38,2%, 50% и 61,8% от желаемой точки. Полукруглые дуги показывают, где цена находит поддержку или сопротивление в будущем.

После роста цены дуги показывают до чего цена может откатиться, прежде чем снова начнет расти. После снижения цены дуги показывают, куда цена может подняться, прежде чем снова начнет падать.

3. Веера Фибоначчи

Веера Фибоначчи — это диагональные линии, образующие веер. Как и в предыдущих методах, сначала находятся максимум и минимум тренда. Если траектория возрастающая, то через точку максимума, если убывающие – через точку минимума условно проводится вертикальная линия.

Затем на линии отмечаются уровни: 38,2%, 50% и 61,8%. Дальше соединяются точки первого экстремума и точки, условно отмеченные на невидимой прямой. Получившиеся диагональные линии также указывают на области поддержки и сопротивления.

4. Временные зоны Фибоначчи

Временные зоны — это серия линий, параллельных оси ОУ, отстоящих друг от друга на расстоянии, пропорциональном элементам последовательности Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 и т. д.).

Трейдер отмечает на графике очевидный ценовой тренд (его минимум и максимум). Расстояние между этими точками будет задавать единичный отрезок. Дальше рисуются прямые линии соответственно последовательности Фибоначчи: представьте, что вы строите график на координатной плоскости OXY. Ось OX разбита на длины единичного отрезка от 0 до бесконечности: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8…. и так далее.

Теперь вспомним, как выглядит ряд Фибоначчи: 0, 1, 2, 3, 5, 8…. Теперь именно в этих точках на оси OX и будут строиться вертикальные линии, соответствующие временным зонам. Каждая линия указывает время, в которое можно ожидать резкий скачок или спад цены.

Описанные инструменты далеко не единственные методы анализа графиков, использующих золоте сечение и числа Фибоначчи. Возможно, вы слышали и о таких инструментах, как клин, канал, спираль, также названных в честь Фибоначчи. Они отличаются способами построения и внешним видом, но смысл остается один — оценить области поддержки и сопротивления цены. Часто используют несколько методов одновременно для улучшения качества прогнозирования. Подробнее об инструментах, которые используются в трейдинге, можно узнать в бесплатной демо-версии книги по трейдингу.

Надеемся, вы тоже найдете собственное «нишевое» применение исследованиям Фибоначчи и добавите эти методы в свой набор инвестиционных инструментов.

Автор: Алексанян Андрон, эксперт SF Education

Научитесь грамотно оценивать стоимость компании не только с фундаментальной точки зрения, но и «со стороны рынка».

Магия чисел: что такое последовательность Фибоначчи

Леонардо Пизанский (ок. 1170 — ок. 1250) был математиком. Он жил в Италии, а в 1190-х годах переехал в Алжир, где узнал об арабских и индийских приемах вычисления. В 1200 году Леонардо вернулся в Пизу, а в 1202 дописал свой первый труд по математике — «Книгу абака» (абаком он называл арифметику). Именно в этой работе была описана последовательность чисел, которую впоследствии назвали последовательностью Фибоначчи.

Фибоначчи — это прозвище Леонардо Пизанского, которое появилось только в XVI веке. Оно происходит от слов filius Bonacci, которые стояли на обложке «Книги абака». Их можно перевести как «сын Боначчо» (или «Боначчи», если трактовать это слово как фамилию, а не как имя). По другой версии, Bonacci нужно тоже понимать как прозвище — в итальянском это слово означает «удача».

Последовательность Фибоначчи впервые была рассмотрена на примере вымышленной популяции кроликов. Математик сформулировал задачу: в загоне есть пара кроликов, которая каждый месяц производит на свет новую пару. Сколько всего кроликов будет через год? При этом надо учесть несколько условий:

• Кролики могут принести потомство только на третий месяц жизни.
• Кролики всегда рождаются парами — самка и самец.
• Кролики не умирают в течение года.

При решении этой задачи возник ряд чисел, который выглядит так:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 — в конце года будет 233 пары кроликов.

Это и есть последовательность Фибоначчи, которую можно продолжать бесконечно.

Золотое сечение и спираль Фибоначчи

Если последовательно делить одно число ряда Фибоначчи на предыдущее, в конце концов (с деления 89 на 55) мы начнем получать число 1,618. Именно этот коэффициент принято называть золотым сечением, или золотой пропорцией. А если мы попробуем изобразить это графически, то получим золотой прямоугольник — длины его сторон будут относиться друг к другу как 1,618 : 1.

С помощью золотого прямоугольника можно построить спираль Фибоначчи.

И золотая пропорция, и спираль Фибоначчи интересны тем, что они часто встречаются в природе. Например, семена в центре подсолнечника организованы в спираль и идут по и против часовой стрелки. Если анализировать каждую спираль отдельно, окажется, что это и есть спирали Фибоначчи. То же самое касается раковин некоторых улиток и даже строения человеческого уха. А если посчитать, как соотносится расстояние от точки пупа до коленей и от коленей до ступней в нашем теле, мы получим золотую пропорцию — 1 : 1,618.

Числа Фибоначчи в искусстве

Золотое сечение и спираль Фибоначчи часто используются в живописи или архитектуре. Пожалуй, самый известный пример — это работы Леонардо да Винчи. Композиция «Моны Лизы» построена на основе спирали Фибоначчи, а «Витрувианский человек» буквально изображает связь пропорций тела и золотого сечения.

С использованием золотой пропорции построены, например, египетские пирамиды Гизы, Собор Парижской Богоматери и Храм Василия Блаженного. А в 2005 году в Корнуолле (Великобритания) появился образовательный комплекс The Core («Ядро»). Его архитекторы вдохновлялись формой цветка подсолнечника. В итоге получилось здание, построенное по принципу спирали Фибоначчи.

Считается, что золотое сечение используется также в музыке и поэзии. В некоторых произведениях, например поэме Лермонтова «Бородино» или этюдах Шопена, кульминационные моменты разделяют композицию на части, соотношение которых близко к золотой пропорции.

Что такое числа Фибоначчи, золотое сечение?

Фибоначчи числа иногда называют “секретным кодом природы” и “общем правилом природы”. Говорят, что данная последовательность руководит размерами всего сущего, в том числе обьясняет Великую пирамиду в Гизе, так и многие вещи, с которыми мы сталкиваемся каждый день.

Числа Фибоначчи: богатая история

Поэтому какова реальная история стоит за этой знаменитой последовательностью?

Многие источники утверждают, что ее впервые обнаружил или “изобрел” Леонардо Фибоначчи.

Итальянский математик, родился около 1170 года нашей эры и первоначально был известен как Леонардо из Пизы. Лишь в 19 веке историки придумали прозвище Фибоначчи, чтобы отличить математика от другого известного Пизарського Леонардо.

Но Леонардо из Пизы на самом деле не изобрел последовательность. Ее впервые упоминают древние санскритские тексты, в которых использовалась индуистско-арабская система числения, еще много веков до Леонардо Пизы.

Однако в 1202 Леонардо из Пизы опубликовал большой том “Liber Abaci,” книгу по математике “о том, как производить вычисления”. “Liber Abaci”, написанная для торговцев, где изложена индуистско-арабский арифметика, которая является полезной для отслеживания прибыли, убытков, остатков по кредитам и тому подобное.

В книге Леонардо из Пизы вводит последовательность с задачей о кроликах. Проблема заключается в следующем: начнем с самца и самки кролика. Через месяц они созревают и дают помет в результате которого мы имеем еще самца и самку кролика. Через месяц эти кролики размножаются и получается – вы догадались – еще один самец и самка, которые также могут спариваться через месяц. Через год сколько бы у вас было кроликов? Ответ, 144, спрятан в формуле, которая сейчас известна как последовательность Фибоначчи.

“Liber Abaci” впервые представила эту последовательность западному миру. Но после нескольких скудных абзацев о разведении кроликов Леонардо из Пизы больше никогда не вспоминал ее.

На самом деле эти числа Фибоначчи были забыты до 19 века, когда математики подробнее изучили математические свойства последовательности. В 1877 году французский математик Эдуард Лукас официально назвал задачу о кроликах “последовательностью Фибоначчи”.

Числа Фибоначчи и золотое сечение

Мы узнали что такое числа Фибоначчи, но какое же значение имеет последовательность Фибоначчи?

Кроме как учебный инструмент, она проявляется во многих случаях в природе. Однако, это не какой-то секретный код, который руководит архитектурой Вселенной.

Это правда, что последовательность Фибоначчи тесно связана с тем, что сейчас известно как “золотое сечение”. Проще говоря, отношение чисел в последовательности, поскольку последовательность идет к бесконечности, приближается к золотому сечению, который составляет +1,6180339887498948482 … Оттуда математики могут вычислить то, что называется золотой спиралью, или логарифмической спирали, коэффициент роста которой равен золотому сечению.

Золотое сечение объясняет рост некоторых растений. Например, спиральное расположение листьев или лепестков на некоторых растениях соответствует золотому сечению. Но есть также растения, которые не соблюдают этого правила.

Мистификации и выдумки

Когда люди начинают связывать человеческое тело, искусство и архитектуру, много вымышленных теорий и мистификаций ссылаются на последовательность Фибоначчи.

“Понадобится большая книга, чтобы задокументировать всю дезинформацию о золотом сечении, многие из которой – это просто повторение одних и тех же фантазий разных авторов”, – написал Джордж Марковский, математик из университета Мэн в 1992 году.

Значительная часть этой дезинформации может быть отнесена к книге 1855 года немецкого психолога Адольфа Зейзинга. Он утверждал, что пропорции человеческого тела основана на золотом сечении.

Золотое соотношение проросло в “золотые прямоугольники”, “золотые треугольники” и всевозможные теории об этих знаковых размерах.

С тех пор люди говорят, что золотое соотношение или золотое сечение можно найти в размерах Пирамиды в Гизе, Парфеноне, “Витрувийським человеке” Леонардо да Винчи и ренессансных сооружениях.

Под сомнение можно поставить и беспрекословное утверждение о том, что золотое сечение является “однозначно приятным” для человеческого глаза – на чем часто настаивают фотографы.

Часто все эти утверждения, когда их проверяют, являются ошибочными. Люди часто выдают желаемое за действительное.

Глава 9. Числа Фибоначчи

Требуется написать программу, вычисляющую и выводящую на экран число Фибоначчи с заданным номером в последовательности. Номер передаётся в программу через командную строку:

% ./fibonacci.pl 6 8 % ./fibonacci.pl 11 89

Готовая программа

Идеи реализации