Как умножить матрицу на вектор

Умножение матрицы на вектор

Умножение матрицы на вектор производится по правилу «строка на столбец». При умножении матрицы на вектор-столбец число столбцов в матрице должно совпадать с числом строк в векторе-столбце. Результатом умножения матрицы на вектор-столбец есть вектор-столбец:

$A \cdot B =\left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \\ \end{matrix} \right)\cdot \left( \begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \ldots \\ b_{1n} \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} a_{11}\cdot b_{1}+a_{12}\cdot b_{2}+\ldots +a_{1n}\cdot b_{n} \\ a_{21}\cdot b_{1}+a_{22}\cdot b_{2}+\ldots +a_{2n}\cdot b_{n} \\ \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \\ a_{m1}\cdot b_{1}+a_{m2}\cdot b_{2}+\ldots +a_{mn}\cdot b_{n} \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ \ldots \\ c_{1m} \\ \end{matrix} \right)$

При умножении матрицы на вектор-строку, умножаемая матрица может быть только вектором-столбцом, причем количество строк в векторе-столбце должно совпадать с количеством столбцов в векторе-строке. Результатом такого умножения будет квадратная матрица соответствующей размерности:

$A \cdot B =\left( \begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \ldots \\ a_{n} \\ \end{matrix} \right)\cdot \left( b_{1}\quad b_{2}\quad \ldots \quad b_{n} \right)=\left( \begin{matrix} a_{1}\cdot b_{1}\quad a_{1}\cdot b_{2}\quad \ldots \quad a_{1}\cdot b_{n} \\ a_{2}\cdot b_{1}\quad a_{2}\cdot b_{2}\quad \ldots \quad a_{2}\cdot b_{n} \\ \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \\ a_{n}\cdot b_{1}\quad a_{n}\cdot b_{2}\quad \ldots \quad a_{n}\cdot b_{n} \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} c_{11} & c_{12} & \ldots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \ldots & c_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ c_{n1} & c_{n2} & \ldots & c_{nn} \\ \end{matrix} \right)$

Примеры умножения матриц на вектора

$A=\left( \begin{matrix} 2 & 4 & 0 \\ -2 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right),\text{ } B=\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -1 \\ \end{matrix} \right)$

$A\cdot B=\left( \begin{matrix} 2 & 4 & 0 \\ -2 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\cdot \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -1 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 2\cdot 1+4\cdot 2+0\cdot \left( -1 \right) \\ -2\cdot 1+1\cdot 2+3\cdot \left( -1 \right) \\ -1\cdot 1+0\cdot 2+1\cdot \left( -1 \right) \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 2+8+0 \\ -2+2-3 \\ -1+0-1 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 10 \\ -3 \\ -2 \\ \end{matrix} \right)$

$A=\left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 0 \\ -1 \\ \end{matrix} \right) ,\text{ } B=\left( \begin{matrix} -1 & 1 & 0 & 2 \\ \end{matrix} \right)$

$A \cdot B =\left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)\cdot \left( \begin{matrix} -1 & 1 & 0 & 2 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 3\cdot \left( -1 \right) & 3\cdot 1 & 3\cdot 0 & 3\cdot 2 \\ 2\cdot \left( -1 \right) & 2\cdot 1 & 2\cdot 0 & 2\cdot 2 \\ 0\cdot \left( -1 \right) & 0\cdot 1 & 0\cdot 0 & 0\cdot 2 \\ 1\cdot \left( -1 \right) & 1\cdot 1 & 1\cdot 0 & 1\cdot 2 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -3 & 3 & 0 & 6 \\ -2 & 2 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 2 \\ \end{matrix} \right)$

Умножение матриц: примеры, алгоритм действий, свойства произведения

Произведение матриц (С= АВ) — операция только для согласованных матриц А и В, у которых число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В:

C ⏟ m × n = A ⏟ m × p × B ⏟ p × n

A = a ( i j ) размеров m × n ;
B = b ( i j ) размеров p × n

Матрицу C , элементы c i j которой вычисляются по следующей формуле:

c i j = a i 1 × b 1 j + a i 2 × b 2 j + . . . + a i p × b p j , i = 1 , . . . m , j = 1 , . . . m

Вычислим произведения АВ=ВА:

А = 1 2 1 0 1 2 , В = 1 0 0 1 1 1

Решение, используя правило умножения матриц:

А ⏟ 2 × 3 × В ⏟ 3 × 2 = 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 = 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 = = 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2

В ⏟ 3 × 2 × А ⏟ 2 × 3 = 1 0 0 1 1 1 × 1 2 1 0 1 2 = 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 2 = 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3 × 3

Произведение А В и В А найдены, но являются матрицами разных размеров: А В не равна В А .

Свойства умножения матриц

Свойства умножения матриц:

( А В ) С = А ( В С ) — ассоциативность умножения матриц;
А ( В + С ) = А В + А С — дистрибутивность умножения;
( А + В ) С = А С + В С — дистрибутивность умножения;
λ ( А В ) = ( λ А ) В

Проверяем свойство №1: ( А В ) С = А ( В С ) :

( А × В ) × А = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 × 1 0 0 2 = 19 44 43 100 ,

А ( В × С ) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 5 12 7 16 = 19 44 43 100 .

Проверяем свойство №2: А ( В + С ) = А В + А С :

А × ( В + С ) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 6 6 7 10 = 20 26 46 58 ,

А В + А С = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 2 3 4 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 + 1 4 3 8 = 20 26 46 58 .

Произведение трех матриц

Произведение трех матриц А В С вычисляют 2-мя способами:

найти А В и умножить на С : ( А В ) С ;
либо найти сначала В С , а затем умножить А ( В С ) .

Перемножить матрицы 2-мя способами:

4 3 7 5 × — 28 93 38 — 126 × 7 3 2 1

Алгоритм действий:

найти произведение 2-х матриц;
затем снова найти произведение 2-х матриц.

1). А В = 4 3 7 5 × — 28 93 38 — 126 = 4 ( — 28 ) + 3 × 38 4 × 93 + 3 ( — 126 ) 7 ( — 28 ) + 5 × 38 7 × 93 + 5 ( — 126 ) = 2 — 6 — 6 21

2). А В С = ( А В ) С = 2 — 6 — 6 21 7 3 2 1 = 2 × 7 — 6 × 2 2 × 3 — 6 × 1 — 6 × 7 + 21 × 2 — 6 × 3 + 21 × 1 = 2 0 0 3 .

Используем формулу А В С = ( А В ) С :

1). В С = — 28 93 38 — 126 7 3 2 1 = — 28 × 7 + 93 × 2 — 28 × 3 + 93 × 1 38 × 7 — 126 × 2 38 × 3 — 126 × 1 = — 10 9 14 — 12

2). А В С = ( А В ) С = 7 3 2 1 — 10 9 14 — 12 = 4 ( — 10 ) + 3 × 14 4 × 9 + 3 ( — 12 ) 7 ( — 10 ) + 5 × 14 7 × 9 + 5 ( — 12 ) = 2 0 0 3

Ответ: 4 3 7 5 — 28 93 38 — 126 7 3 2 1 = 2 0 0 3

Умножение матрицы на число

Определение 2

Произведение матрицы А на число k — это матрица В = А k того же размера, которая получена из исходной умножением на заданное число всех ее элементов:

b i , j = k × a i , j

Свойства умножения матрицы на число:

1 × А = А
0 × А = нулевая матрица
k ( A + B ) = k A + k B
( k + n ) A = k A + n A
( k × n ) × A = k ( n × A )

Найдем произведение матрицы А = 4 2 9 0 на 5.

5 А = 5 4 2 9 0 5 × 4 5 × 2 5 × 9 5 × 0 = 20 10 45 0

Умножение матрицы на вектор

Определение 3

Чтобы найти произведение матрицы и вектора, необходимо умножать по правилу «строка на столбец»:

если умножить матрицу на вектор-столбец число столбцов в матрице должно совпадать с числом строк в векторе-столбце;
результатом умножения вектора-столбца является только вектор-столбец:

А В = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а m 1 а m 2 ⋯ а m n b 1 b 2 ⋯ b 1 n = a 11 × b 1 + a 12 × b 2 + ⋯ + a 1 n × b n a 21 × b 1 + a 22 × b 2 + ⋯ + a 2 n × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 × b 1 + a m 2 × b 2 + ⋯ + a m n × b n = c 1 c 2 ⋯ c 1 m

если умножить матрицу на вектор-строку, то умножаемая матрица должна быть исключительно вектором-столбцом, причем количество столбцов должно совпадать с количеством столбцов в векторе-строке:

А В = а а ⋯ а b b ⋯ b = a 1 × b 1 a 1 × b 2 ⋯ a 1 × b n a 2 × b 1 a 2 × b 2 ⋯ a 2 × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n × b 1 a n × b 2 ⋯ a n × b n = c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ c n 1 c n 2 ⋯ c n n

Найдем произведение матрицы А и вектора-столбца В :

А В = 2 4 0 — 2 1 3 — 1 0 1 1 2 — 1 = 2 × 1 + 4 × 2 + 0 × ( — 1 ) — 2 × 1 + 1 × 2 + 3 × ( — 1 ) — 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × ( — 1 ) = 2 + 8 + 0 — 2 + 2 — 3 — 1 + 0 — 1 = 10 — 3 — 2

Найдем произведение матрицы А и вектора-строку В :

А = 3 2 0 — 1 , В = — 1 1 0 2

А В = 3 2 0 1 × — 1 1 0 2 = 3 × ( — 1 ) 3 × 1 3 × 0 3 × 2 2 × ( — 1 ) 2 × 1 2 × 0 2 × 2 0 × ( — 1 ) 0 × 1 0 × 0 0 × 2 1 × ( — 1 ) 1 × 1 1 × 0 1 × 2 = — 3 3 0 6 — 2 2 0 4 0 0 0 0 — 1 1 0 2

Ответ: А В = — 3 3 0 6 — 2 2 0 4 0 0 0 0 — 1 1 0 2

Правило умножения матриц: примеры с решением

Мы помним, что матрицы – это таблицы взаимосвязанных элементов, которые позволяют упростить математические вычисления и систематизировать определённую информацию. Их можно складывать, вычитать, умножать между собой. В этой статье подробнее остановимся на последнем алгоритме – матричном произведении.

Умножение матриц — определение

Матричное умножение – это одна из основных операций, которая проводится исключительно с согласованными матрицами.

При произведении матриц A и B получается новая матрица C. В математическом виде формула будет выглядеть так:

Но для начала разберёмся, что такое согласованные матрицы.

Согласованные матрицы

Согласованными матрицами называют матрицы вида A = [m ☓ n] и B = [n ☓ k], где количество столбцов А равно количеству строк В.

Индексы показывают координаты равных элементов.

Матрица 2

Для того, чтобы умножить А и В, нужно взять строку в первой матрице и столбец во второй, перемножить одинаковые элементы и сложить полученные произведения.

Основные свойства матричного произведения

Размеры, то есть количество строк (m) и столбцов (n), влияют на особенности матричного произведения. Следовательно, для двух главных видов – квадратных и прямоугольных – действуют разные свойства произведения. Однако умножение любого вида всегда некоммуникативное. Это означает, что матрицы нельзя менять местами (АВ ≠ ВА).

Умножение квадратных матриц

Для квадратных матриц существует единичная матрица Е. В ней элементы по главной диагонали равны единице, а оставшиеся – нулю. Произведение любой квадратной матрицы на неё не влияет на результат.

В математическом виде это выглядит так: ЕА = АЕ = А

Также существует обратная матрица А (-1), при умножении на которую исходная A = [m ☓ n] даёт в результате единичную матрицу E.

Следовательно, формула такова: АА(-1) = Е

Умножение прямоугольных матриц

Существуют четыре основных свойства умножения:

Сочетательное свойство, или ассоциативность: (AB)C = A(BC)
Распределительное свойство, или дистрибутивность: А(В+С) = АВ + АС / (А+В)С = АС + ВС
Умножение на единичную матрицу: ЕА = А
Умножение на нулевую матрицу: 0А = 0

Напомним, что у нулевой матрицы все элементы равны нулю.