5 логико-математических задач, которые поставят в тупик
Собрали для вас пять интересных логико-математических задач, которые кажутся сложными лишь на первый взгляд. Сумеете решить?
А давайте отвлечёмся от кода и перещёлкаем 5 логико-математических задач. Попробуйте решить их в уме и напишите свои ответы в комментариях.
1. Возраст мальчика
Обилечивая человека, кондуктор поинтересовался, сколько лет его сыну. Человек ответил уклончиво:
– Моя дочь в пять раз младше моего сына, а моя жена — в 5 раз его старше. Я, в свою очередь, вдвое старше своей жены. Моя мама сегодня отмечает день рождения — ей исполнился 81 год — столько, сколько мне, жене, дочери и сыну вместе взятым.
Так сколько же лет мальчику?
х + 5х + 25х + 50х = 81 81х = 81 х=1 Получается, что дочери один год, тогда мальчику 1 * 5 = 5 лет.
2. Вёдра с водой
Стоит два ведра ёмкостью 5 л и 9 л. Из реки необходимо набрать 3 литра воды. Как это сделать, если в распоряжении есть только эти два ведра?
Сначала заполним водой из реки девятилитровое ведро, и выльем из него воду в пятилитровое. Выходит, что в девятилитровом останется 4 литра. Выливаем всё из пятилитрового обратно в реку и переливаем в него из девятилитрового оставшиеся 4 литра. Снова наполняем водой из реки девятилитровое ведро и доливаем в меньшее литр воды. Итого в большом ведре остаётся 8 литров. Из меньшего выливаем всю воду обратно в реку и переливаем из девятилитрового в пятилитровое 5 л, после чего в большом ведре останется как раз 3 л воды.
3. Лампочки и переключатели
Есть две комнаты с низкими потолками. В первой висит три лампы накаливания, а в другой установлено три переключателя. Можно сколько угодно раз щёлкать переключатели, но в комнату с лампочками разрешено перейти только один раз.
Как узнать, к какому переключателю подсоединена каждая из лампочек?
В условии сказано, что комнаты с низкими потолками, а перед нами лампы накаливания — то есть они нагреваются. Нам достаточно включить любую из них на некоторое время, затем выключить её и включить любую другую. После этого переходим в комнату с лампочками:
- выключенная тёплая соединена с первым переключателем;
- горящая лампочка связана со вторым;
- та лампочка, которая не горит, соединена с выключателем, который мы не трогали.
4. Время по верёвкам
А как насчёт такой логико-математической задачи? Предположим, у нас есть две верёвки и бесконечное множество спичек. Каждая из этих верёвок сгорает за один час. Но вот беда — горят они неравномерно, поэтому невозможно узнать наверняка, за какое время сгорит какая-то часть веревки.
Можно ли отмерить этими двумя верёвками 45 минут, и если да, то как это сделать?
Отмерить можно. Пусть верёвки и горят неравномерно, но сгорают они точно за 1 час. В этом случае можно:
- Поджечь одну верёвку с двух концов.
- На второй верёвке поджечь только 1 конец.
- Первая верёвка сгорит за 30 минут, и в этот момент поджигаем второй конец второй верёвки: на это уйдут оставшиеся 15 минут.
5. Баночки с таблетками
Есть двадцать баночек с таблетками. Почти во всех таблетки весят по 1 г, и только в одной — по 1,1 г. У нас есть точные кухонные весы, с помощью которых нужно определить баночку, каждая таблетка которой весит 1,1 г. Как это сделать, если можно взвесить только 1 раз?
Представим, что у нас 2 баночки, в одной из которых таблетки более тяжёлые. Даже если мы поставим их обе на весы, мы ничего не узнаем. Но если мы достанем из одной баночки одну таблетку, а также одну таблетку из другой, и положим их на весы — вот тогда-то и откроется истина. В данном случае вес будет 2,1 г или 2 г (в зависимости от того, какие по весу таблетки мы взяли). Так и определяем нашу баночку.
Вернёмся к задаче. Из каждой баночки нужно доставать разное количество таблеток. То есть из первой баночки 1 таблетку, из второй — 2, из третьей — 3 и так далее. Если бы каждая таблетка весила по 1 г, общий вес составил бы 210 г. Но поскольку в одной из баночек таблетки тяжелее, вес будет больше. Для определения нужной баночки просто воспользуемся формулой:
№ тяжелой баночки = (вес - 210) * 10 Понравилось решать логико-математические задачи? Тогда вас могут заинтересовать хитрые задания на логику с собеседований.
Следите за новыми постами по любимым темам
Подпишитесь на интересующие вас теги, чтобы следить за новыми постами и быть в курсе событий.
7 самых сложных логических задач, которые решит только один человек из десяти
В связи с началом учебного года мы решили проверить, насколько наши подписчики умны и изобретательны. А ты сможешь решить все, представленные нами, задачи?
Давай проверим, умеешь ли ты считать?
Реши без помощи калькулятора вот этот пример: К 1000 нужно прибавить 40, потом еще 1000. Затем приплюсуйте 30. Есть? Теперь снова 1000. Добавьте 20. Еще раз 1000. И напоследок 10.
А теперь проверь все еще раз с помощью своего телефона. Совпало?
«ЧТО БОДРИТ УТРОМ?»
А теперь задачка на логику.
Женщина уронила в стакан, полный кофе, свой перстень. Как он мог остаться сухим?
Как ты думаешь, в чем тут секрет?
«СПИЧКИ ДЕТЯМ НЕ ИГРУШКА»
Сколько спичек на картинке?
«ЗЕЛЕНЫЙ ЧЕЛОВЕЧЕК»
Это та загадка, которую ты решишь с помощью детской наивностью. Мы уверены, её можно отгадать с первого раза! Ответь на вопрос: что нужно сделать, когда видишь зеленого человечка?
Учитель рисует на листке бумаги несколько кружков и спрашивает одного ученика: «Сколько здесь кружков?». «Семь» — отвечает ученик. «Правильно. Так сколько здесь кружков?» — опять спрашивает учитель другого ученика. «Пять» — отвечает тот. «Правильно» — снова говорит учитель. Так сколько же кружков он нарисовал на листке?
Думаешь все так легко? А теперь попробуй решить задачи, которые считаются самыми сложными в мире!
«СУПЕР СУДОКУ»
Первое, над чем мы предлагаем тебе поломать голову – это самая сложная судоку в мире.
Судоку – это японская головоломка с числами. Принцип ее совсем не замысловат. Но ту, которую предложили тебе мы, сможет решить точно не каждый!
«БОГИ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ»
Есть три бога, A, B, и C, один из которых бог истины, другой бог лжи и третий бог случая, причём неясно, кто из них кто. Бог истины всегда говорит правду, бог лжи обманывает, а бог случая может сказать и то, и другое в произвольном порядке. Необходимо определить, кем является каждый из богов, задав три вопроса, на которые можно ответить «да» или «нет», при этом каждый вопрос задаётся только одному богу. Боги понимают вопросы, но отвечают на своём языке, в котором есть слова «da» и «ja», но неизвестно, какое слово обозначает «да», а какое «нет».
Эта логическая задача за авторством американского философа и логика Джорджа Булоса была впервые опубликована в итальянской газете «la Repubblica» в 1992-м году. Так же в загадке есть комментарии создателей:
– Можно задавать одному богу более чем один вопрос (поэтому другим богам может быть не задано ни одного вопроса вообще).
– Каков будет следующий вопрос и кому он будет задан, может зависеть от ответа на предыдущий вопрос.
– Бог случая отвечает случайным образом, зависящим от подбрасываний монетки, спрятанной в его голове: если выпадет аверс, то отвечает правдиво, если реверс — то врёт.
– Бог случая отвечает «da» или «ja» на любой вопрос, на который можно ответить «да» либо «нет».
Правда ли, что 25-летний студент Джордж Данциг случайно решил две нерешённые математические задачи?
Вот что сообщается в популярном сетевом тексте: «В 1939 году 25-летний математик Джордж Данциг учился в Калифорнийском университете. Однажды он на 20 минут опоздал на пару по статистике. Тихонько вошёл, сел за парту и завертел головой, пытаясь понять, что пропустил. На доске были записаны условия двух задач. «Ага, — подумал Данциг, — ясно, это, видимо, домашнее задание к следующей паре». Студент переписал задачи в тетрадь и стал слушать профессора.
Дома он трижды пожалел о том, что опоздал на пару. Задачи были действительно сложными. Данциг думал, что, вероятно, пропустил что-то важное для их решения. Однако делать было нечего. Через несколько дней напряжённой работы он всё же решил эти задачи. Довольный, он заскочил к профессору и отдал тетрадь.
Профессор — его звали Ежи Нейман, если кому интересно, — рассеянно принял задание: да, мол, хорошо. Он как-то не смог сразу вспомнить, что не задавал студентам ничего подобного. Когда спустя некоторое время он таки просмотрел то, что принёс ему ученик, у него просто глаза на лоб полезли. Он вспомнил, что действительно в начале одной из лекций рассказывал студентам условия двух этих задач. Двух неразрешимых задач! Двух задач, которые не мог решить не только сам профессор, но и остальные выдающиеся умы того времени. Однако Данциг просто прослушал ту часть лекции, в котором говорилось о неразрешимости этих задач. И решил их.
Иногда вы можете сделать невозможное. Если только не убедите себя сами в том, что это невозможное — невозможно».
Эта мотивационная история довольно популярна в таких социальных сетях, как Facebook (много сотен репостов), «ВКонтакте» и Telegram, а также на сайте anekdot.ru. Известный ЖЖ-блогер mi3ch добавляет, что она была использована в фильме «Умница Уилл Хантинг». На Западе история часто ходит в форме городской легенды без упоминания имени математика.
Кто фигуранты этой истории? Уроженец Бессарабии и специалист по математической статистике профессор Ежи Нейман (не путать с другим выдающимся математиком-эмигрантом Джоном фон Нейманом) действительно работал в Калифорнийском университете с 1938 года, а с 1955 года возглавлял соответствующее отделение. Позднее, если верить энциклопедии «Британника», он вместе со своими выпускниками организовал в городе Беркли настоящий мировой центр по изучению этого раздела математики.
Не менее известен и Джордж Данциг — создатель алгоритма решения задач симплекс-методом и один из основоположников линейного программирования. Первое, что может броситься в глаза при чтении нашей истории, — то, что в ней он назван 25-летним студентом. На самом деле ещё в 22 года он получил степень бакалавра математики и физики в Мэрилендском университете, год спустя стал магистром уже в Мичиганском университете и даже успел поработать два года в Бюро трудовой статистики США. К Нейману он попросился в 1939 году уже в рамках работы над докторской.
Что же произошло дальше? Об этом почти полвека спустя, в 1986 году, сам Джордж Бернард Данциг поведал в интервью College Mathematics Journal. Вот что он рассказал: «Это случилось вследствие того, что однажды в свой первый год в Беркли я опоздал на лекцию Неймана. На доске были две задачи, которые, как я предположил, представляли собой домашнее задание. Я их переписал. Через несколько дней я извинился перед Нейманом за то, что так долго делал домашнюю работу, — задачи оказались немного сложнее, чем обычно. Я спросил, нужны ли ему мои решения. Он сказал мне бросить их на стол. Я сделал это неохотно: его стол был завален такой кучей бумаг, что я опасался потерять свою домашнюю работу навсегда. Примерно шесть недель спустя, в воскресенье, около 8 часов утра [мою жену] Энн и меня разбудил стук во входную дверь. Это был Нейман. Он вбежал с бумагами в руках, весь взволнованный: «Я только что написал предисловие к одной из ваших статей. Прочтите его, чтобы я мог сразу же отправить статью на публикацию». В течение минуты я не мог понять, о чём он говорит. Короче говоря, задачи с доски, которые я решил, думая, что это домашнее задание, оказались двумя известными нерешёнными задачами по статистике. Я сразу заподозрил, что с ними что-то не так. Год спустя, когда я обеспокоился темой своей диссертации, Нейман только пожал плечами, сказав, чтобы я положил обе задачи в папку и он примет их как мою диссертацию».
Незадолго до интервью Данциг узнал о том, что его история превратилась в городскую легенду: «На днях во время утренней прогулки меня окликнул Дон Кнут (знаменитый теоретик программирования Дональд Кнут. — Прим. авт.), проезжавший мимо на своём велосипеде. Он мой коллега по Стэнфорду. Он остановился и сказал: «Привет, Джордж, я недавно был в Индиане и слышал в церкви проповедь о тебе. Ты знал о том, что оказываешь влияние на христиан Среднего Запада?» Я смотрел на него, поражённый. «После проповеди, — продолжал он, — подошёл священник и спросил меня, знаю ли я Джорджа Данцига из Стэнфорда, потому что так звали человека, о котором была его проповедь».
Происхождение этой проповеди связано с другим лютеранским священником, преподобным Шулером (орфография Данцига; на самом деле фамилия пишется как Шуллер. — Прим. авт.) из Хрустального собора в Лос-Анджелесе. Он поделился со мной своими идеями о позитивном мышлении, и я рассказал ему свою историю о домашнем задании и диссертации. Несколько месяцев спустя я получил от него письмо с просьбой разрешить включить мою историю в книгу о силе позитивного мышления, которую он писал. Опубликованная Шулером версия содержит ряд искажений и преувеличений, но в целом верна. Мораль его проповеди была такова: если бы я знал, что это не домашнее задание, а две известные нерешённые задачи по статистике, то, вероятно, не мыслил бы позитивно, впал бы в уныние и никогда бы не решил их».
Действительно, история о Джордже Данциге, которую поведал в своей книге знаменитый телеевангелист Роберт Шуллер, содержит немало значительных неточностей. В частности, у Шуллера Данциг опоздал не на обычную лекцию, а на выпускной экзамен, причём решил на месте восемь обычных задач, а две неразрешимые (он ещё об этом не знал) попросил дать ему на дом. Более того, в этой версии Данциг, почему-то приписанный к физфаку Стэнфорда, справился лишь с одной из двух сложных задач, на что безымянный профессор якобы ответил: «Даже Эйнштейн не смог раскрыть их секрет». После интервью 1986 года авторская версия случая с Данцигом обрела не меньшую популярность и в какой-то мере вытеснила версию проповедника: так, именно её в наши дни можно встретить в ряде мотивационных книг. Оба варианта легенды упоминаются в «Энциклопедии американского фольклора». И, действительно, считается, что на её основе построена завязка сюжета популярного фильма «Умница Уилл Хантинг» с Мэттом Дэймоном в главной роли.
Правда
Почитать по теме:
Кто из вас хочет стать миллионером? Для этого не нужно покупать лотерейный билет или грабить банк. Математический институт Клэя в США готов с радостью выплатить миллион тем, кто просто решит хотя бы одну из их математических задач. Звучит настолько просто, что вы уже готовы набросать решение любой из них? А давайте-ка сначала узнаем так ли просты эти задачки…
Как обычно, немного истории…
В начале 20 века знаменитый немецкий математик Давид Гильберт на одной из конференций представил миру 26 открытых математических проблем, требующих хорошенько пораскинуть мозгами. К концу столетия 20 из них были решены математиками всего мира. Последней, кстати, была теорема Ферма, знакомая многим из курса линейной алгебры и аналитической геометрии.
Новый список задач, представленный американским институтом Клэя в 1998 году, стал в несколько раз «скромнее» — всего 7 задач – но, как видно, и намного сложнее, ведь за 21 год существования, лишь одна из них была решена…
Так что собой представляют эти 7 задач?
Каждая из них касается какой-либо из областей математики: от теории алгоритмов до топологии и математической физики. И пусть некоторые на первый взгляд могут показаться простыми, но не просто же так за решение любой из них присуждается 1 миллион долларов! Но, пожалуй, начнем описание с той самой единственной решенной задачи. Итак…
1. Гипотеза Пуанкаре
Область изучения – топология.
Эта гипотеза доказана в 2002 году российским математиком Григорием Перльманом. Очень часто можно встретить и другое название этой знаменитой задачи – «проблема бублика». Гипотеза утверждает следующее: всякий трёхмерный объект, обладающий некоторыми свойствами трёхмерной сферы, обязан быть сферой с точностью до деформации. Сама же история решения этой задачи тысячелетия прямо-таки, как сюжет фильма: гениальный математик из Санкт-Петербурга на несколько лет обрывает все связи с внешним миром, а потом триумфально возвращается с решением одной из 7 задач, навсегда занося своё имя в историю мировой науки! Что ещё более любопытно: от награды в 1 миллион долларов Григорий Перльман отказался.
2. Равенство классов P и NP
Область изучения – теория алгоритмов.
Перед вами два класса: P и NP. P – это множество задач, которые компьютер может решить за полиномиальное время, т.е. довольно быстро. NP – это класс задач, правильность ответа, которых можно быстро проверить.
Для простоты понимания вот вам пример: у вас есть по одной монетке номиналом 2, 3, 5, 6 и 7. Ваша задача – оплатить покупку без сдачи на сумму 21 денежной единицы. Можно ли набрать из этих монет сумму, равную 21? Задача решается методом перебора, и вот плавно мы подходим к вопросу одной из задач тысячелетия: равны ли классы N и NP? Многие ученые уверены в отрицательном ответе, но доказать свою точку зрения так пока никто и не смог. Только вот что будет, если окажется, что P=NP.
3. Уравнение Навье-Стокса
Задача, которая может быть известна некоторым по фильму «Одарённая». В решении данного уравнения заложена одна из сложнейших проблем современной физики – проблема турбулентности. Турбулентность хоть и является довольно распространённым явлением, но до сих пор остаётся почти неизученной, отчего и совершенно непредсказуемой.
Помимо самого уравнения, задача ставит перед нами и такой вопрос: если известно состояние жидкости в определённый момент времени и характеристики её движения – существует ли решение, которое будет верно для всего будущего времени? Так что, помимо проблемы турбулентности, решение этой задачи помогло бы метеорологам делать более точные прогнозы погоды, а нам – всегда вовремя брать с собой зонтик.
4. Гипотеза Римана
Область – теория чисел.
Задача, посвященная нашим любимым простым числам. Если проследить их последовательность в общем строю всех чисел, то можно прийти к тому, что какой-либо закономерности их распределения нет.
Немецкий математик Бернхард Риман предложил гипотезу, которая утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции распределения простых чисел лежат на прямой линии. Гипотеза Римана уже была проверена для 10 триллионов решений, но полное доказательство ещё не было подтверждено, но математики утверждают, что уже совсем близко подошли к решению этой задачи тысячелетия.
5. Гипотеза Ходжа
Область – алгебраическая геометрия.
«На любом невырожденном проективном комплексном алгебраическом многообразии любой класс Ходжа представляет собой рациональную линейную комбинацию классов алгебраических циклов». Так звучит формулировать данной гипотезы. Немного запутанно, да?
Суть в чем: в мире нас окружают простые и сложные объекты. И, вполне логично, что сложные объекты можно описать с помощью определённого количества простых. Основная идея гипотезы состоит в том, чтобы выяснить, до какой степени мы можем приближаться к форме сложного объекта, склеивая вместе простые тела возрастающей размерности.
6. Теория Янга-Миллса
Область – физика элементарных частиц.
Физики Янг Чжэньнин и Роберт Миллс обнаружили связь между геометрией и физикой элементарных частиц и написали уравнения, объединяющие теории электромагнитного, слабого и сильного воздействия, что до этого казалось невозможным. По сути, уравнения теории Янга-Миллса пытаются предсказать поведение элементарных частиц и дать общее описание 3 из 4 фундаментальных взаимодействий. Проведённые эксперименты полностью подтверждают выдвинутую теорию, однако полное обоснование до сих пор так и не найдено.
7. Гипотеза Бёрча-Свиннертон-Дайера
Область – алгебраическая геометрия. Снова.
Гипотеза связана с описанием алгебраических уравнений 3 степени – эллиптических кривых – и является единственным простым общим способом ранга эллиптических кривых.
Суть задачи такова: множество решений эллиптической кривой связано с поведением L-функции, которая вычисляется, как и дзета-функция гипотезы Римана, и количество рациональных решений бесконечно тогда, когда функция равна 0.
Главный вопрос: возможно ли вообще решить все задачи тысячелетия?
Как говорится: нет ничего невозможного! Терпение, труд и отличная математическая база всё перетрут. Кто знает, дорогие студенты ХНУРЭ, может быть именно вы благодаря своим знаниям разрешите оставшиеся 6 задач тысячелетия? И это касается не только тех, кто обучаться по профилю «Прикладная математика», а студентов всех факультетов ВУЗа. Так что, достаём листочки и начинаем решать – за кем будущее, как не за нами?
По материалам: Wikipedia.org, naked-science.ru, habr.com