Бинарной операцией называется операция которая выполняется

Бинарная операция

В математике , A бинарная операция или двоично — операция представляет собой вычисление , которое сочетает в себе два элемента (называемые операнды ) , чтобы произвести другой элемент. Более формально, бинарная операция является операцией по арности два.

Более конкретно, бинарная операция над набором — это операция, в которой два домена и кодомен являются одним и тем же набором. Примеры включают знакомые арифметические операции из сложения , вычитания , умножения . Другие примеры легко найти в различных областях математики, таких как сложение векторов , умножение матриц и групповое сопряжение .

Операция арности два, которая включает несколько наборов, иногда также называется бинарной операцией . Например, скалярное умножение в векторных пространствах принимает скаляр и вектор для получения вектора, и скалярное произведение принимает два вектора для получения скаляра. Такие бинарные операции можно назвать просто бинарными функциями .

Бинарные операции являются краеугольным камнем большинства алгебраических структур , которые изучаются в алгебре , в частности в полугруппах , моноидах , группах , кольцах , полях и векторных пространствах .

1 Терминология
2 Свойства и примеры
3 Обозначения
4 Пара и кортеж
5 Бинарные операции как тернарные отношения
6 Внешние бинарные операции
7 См. Также
8 Примечания
9 ссылки
10 Внешние ссылки

Терминология [ править ]

Точнее, бинарная операция на множестве S — это отображение элементов декартового произведения S × S в S : [1] [2] [3]

Поскольку результат выполнения операции над парой элементов S снова является элементом S , операция называется закрытой (или внутренней ) бинарной операцией над S (или иногда выражается как имеющая свойство замыкания ). [4]

Если f не функция , а частичная функция , то f называется частичной бинарной операцией . Например, деление действительных чисел является частичной бинарной операцией, потому что нельзя делить на ноль : a / 0 не определено для каждого действительного числа a . В обеих универсальной алгебре и модели теории , бинарные операции должны быть определены на всех S × S .

Иногда, особенно в информатике , термин двоичная операция используется для обозначения любой двоичной функции .

Свойства и примеры [ править ]

Типичными примерами бинарных операций являются сложение (+) и умножение (×) чисел и матриц, а также композиция функций на одном наборе. Например,

На множестве действительных чисел R , F ( , б ) = + Ь является бинарной операцией , так как сумма двух действительных чисел является действительным числом.
На множестве натуральных чисел N , F ( , б ) = + Ь является бинарной операцией , так как сумма двух натуральных чисел является натуральным числом. Это другая бинарная операция, чем предыдущая, поскольку наборы разные.
На множестве M (2, R ) матриц 2 × 2 с действительными элементами f ( A , B ) = A + B является бинарной операцией, поскольку сумма двух таких матриц является матрицей 2 × 2 .
На множестве M (2, R ) матриц 2 × 2 с действительными элементами f ( A , B ) = AB является бинарной операцией, поскольку произведение двух таких матриц является матрицей 2 × 2 .
Для заданного множества С , пусть S множество всех функций часов : С → С . Определим f : S × S → S как f ( h₁ , h₂ ) ( c ) = ( h₁ ∘ h₂ ) ( c ) = h₁ ( h₂ ( c )) для всех c ∈ C , композиция две функции h₁и ч₂ в S . Тогда f является бинарной операцией, поскольку композиция двух функций снова является функцией на множестве C (то есть членом S ).

Многие бинарные операции, представляющие интерес как для алгебры, так и для формальной логики, коммутативны , удовлетворяя f ( a , b ) = f ( b , a ) для всех элементов a и b в S , или ассоциативны , удовлетворяя f ( f ( a , b ), c ) = f ( a , f ( b , c )) для всех a , b ис в S . Многие также имеют элементы идентичности и обратные элементы .

Первые три приведенных выше примера коммутативны, а все приведенные выше примеры ассоциативны.

На множестве действительных чисел R , вычитание , то есть F ( , б ) = а — Ь , является бинарной операцией , которая не является коммутативной , так как, в общем, — б ≠ б — . Он также не ассоциативен, поскольку, вообще говоря, a — ( b — c ) ≠ ( a — b ) — c ; например, 1 — (2-3) = 2, но (1-2) — 3 = −4 .

На множестве натуральных чисел N , бинарная операция возведения в степень , F ( , б ) = а б , не является коммутативным , так как, в б ≠ б (ср Уравнение X = Y ), а также не ассоциативно , так как F ( f ( a , b ), c ) ≠ f ( a , f ( b , c )) . Например, при a = 2 , b= 3 и c = 2 , f (2 3 , 2) = f (8,2) = 8 2 = 64 , но f (2,3 2 ) = f (2,9) = 2 9 = 512 . Путем изменения заданного N к множеству целых чисел Z , эта бинарная операция становится частичной бинарной операцией , так как он теперь не определен , когда = 0 и Ь любое отрицательное целое число. Для любого набора эта операция имеет правильную идентичность (которая равна 1), поскольку f ( a , 1) = a для всех a в наборе, что не является тождеством (двустороннее тождество), поскольку f (1, b ) ≠ b в общем случае.

Деление (/), частичная бинарная операция над множеством действительных или рациональных чисел, не является коммутативной или ассоциативной. Тетрация (↑↑) как бинарная операция над натуральными числами не является коммутативной или ассоциативной и не имеет элемента идентичности.

Обозначение [ править ]

Бинарные операции часто записываются с использованием инфиксной записи, такой как a ∗ b , a + b , a · b или (путем сопоставления без символа) ab, а не с использованием функциональной записи формы f ( a , b ) . Полномочия обычно также записываются без оператора, но со вторым аргументом в виде надстрочного индекса .

Бинарные операции иногда используют префиксную или (вероятно, чаще) постфиксную нотацию, причем в обоих случаях не используются круглые скобки. Их также называют, соответственно, польской нотацией и обратной польской нотацией .

Пара и кортеж [ править ]

Бинарная операция ab зависит от упорядоченной пары ( a, b ) и, следовательно, ( ab ) c (где круглые скобки здесь означают, что сначала выполняются операции с упорядоченной парой ( a , b ), а затем обрабатываются ее результаты, используя упорядоченные пара (( ab ), c )), вообще говоря, зависит от упорядоченной пары (( a , b ), c ). Таким образом, в общем, неассоциативном случае бинарные операции могут быть представлены бинарными деревьями .

Если операция ассоциативна, ( ab ) c = a ( bc ), то значение ( ab ) c зависит только от кортежа ( a , b , c ).
Если операция коммутативная, ab = ba , то значение ( ab ) c зависит только от a , b >, c >, где фигурные скобки обозначают мультимножества .
Если операция является одновременно ассоциативной и коммутативной, то значение ( ab ) c зависит только от мультимножества < a , b , c >.
Если операция ассоциативная, коммутативная и идемпотентная , aa = a , то значение ( ab ) c зависит только от множества < a , b , c >.

Бинарные операции как тернарные отношения [ править ]

Бинарная операция f на множестве S может рассматриваться как тернарное отношение на S , то есть набор троек ( a , b , f ( a, b )) в S × S × S для всех a и b в S .

Внешние бинарные операции [ править ]

Внешняя бинарная операция является двоичной функцией из K × S до S . Это отличается от бинарной операции над множеством в том смысле, что K не обязательно должно быть S ; его элементы приходят извне .

Примером внешней бинарной операции является скалярное умножение в линейной алгебре . Здесь K — поле, а S — векторное пространство над этим полем.

В качестве альтернативы внешняя бинарная операция может рассматриваться как действие ; K действует на S .

Скалярное произведение двух векторов отображение из S × S с K , где K является полем , и S представляет собой векторное пространство над K . От авторов зависит, считается ли это бинарной операцией.

См. Также [ править ]

Таблица истинности # Бинарные операции
Итерированная бинарная операция
Оператор (программирование)
Тернарная операция
Унарная операция

Заметки [ править ]

^ Ротман 1973 , стр. 1
↑ Харди и Уокер, 2002 , стр. 176, Определение 67
^ Fraleigh 1976 , стр. 10
↑ Холл-младший, 1959 , стр. 1

Ссылки [ править ]

Фрали, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли, ISBN 0-201-01984-1
Холл-младший, Маршалл (1959), Теория групп , Нью-Йорк: Macmillan
Харди, Дарел В .; Уокер, Кэрол Л. (2002), Прикладная алгебра: коды, шифры и дискретные алгоритмы , Верхняя река Сэдл, Нью-Джерси: Прентис-Холл, ISBN 0-13-067464-8
Ротман, Джозеф Дж. (1973), Теория групп: Введение (2-е изд.), Бостон: Аллин и Бэкон

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Двоичная операция» . MathWorld .

Формальный язык
Правило формирования
Формальное доказательство
Формальная семантика
Правильная формула
Набор
Элемент
Учебный класс
Классическая логика
Аксиома
Правило вывода
Связь
Теорема
Логическое следствие
Теория типов
Символ
Синтаксис
Теория

Формальная система
Дедуктивная система
Аксиоматическая система
Системы гильбертового стиля
Естественный вычет
Последовательное исчисление

Предложение
Вывод
Аргумент
Срок действия
Силлогизм
Площадь оппозиции
Диаграмма Венна

Логические функции
Исчисление высказываний
Пропозициональная формула
Логические связки
Таблицы истинности
Многозначная логика

Первый заказ
Квантификаторы
Предикат
Второго порядка
Монадическое исчисление предикатов

Набор
Пустой набор
Элемент
Перечисление
Расширяемость
Конечный набор
Бесконечный набор
Подмножество
Набор мощности
Счетный набор
Бесчисленное множество
Рекурсивный набор
Домен
Codomain
Изображение
карта
Функция
Связь
Упорядоченная пара

Основы математики
Теория множеств Цермело – Френкеля.
Аксиома выбора
Общая теория множеств
Теория множеств Крипке – Платека.
Теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя.
Теория множеств Морса – Келли
Теория множеств Тарского – Гротендика

Модель
Интерпретация
Нестандартная модель
Теория конечных моделей
Правдивая ценность
Срок действия

Формальное доказательство
Дедуктивная система
Формальная система
Теорема
Логическое следствие
Правило вывода
Синтаксис

Рекурсия
Рекурсивный набор
Рекурсивно перечислимый набор
Проблема решения
Тезис Черча – Тьюринга
Вычислимая функция
Примитивная рекурсивная функция

Бинарные операции, их свойства

В данном параграфе главной целью является изучение основ теории групп. Группа – это множество, на котором задана некоторая бинарная (зависящая от двух аргументов) алгебраическая операция, удовлетворяющая определенным условиям. Понятие бинарной алгебраической операции лежит, следовательно, в основе всего задания теории групп.

Каждому ученику средней школы, известно слово «операция» и, одним из первых его значений, приходящих в голову, являются понятия арифметических операций – сложения, умножения, вычитания или деления. Операции можно производить не только над числами, но и над другими объектами: дизъюнкции и конъюнкции высказываний, композиции преобразований и т.д.

Во всех названых примерах операций мы имеем дело с некоторым множеством А (множество чисел, высказываний, преобразований и т.д.). При выполнении операции по двум элементам этого множества находят третий элемент того же множества (по двум заданным числам находят их сумму, по двум заданным высказываниям их конъюнкцию и т.д.). При этом ответ, зависит от порядка этих элементов (например, при вычитании чисел).

Дадим определение бинарной алгебраической операции.

Определение 1. 1. 1. Пусть А – непустое множество, тогда всякое отображение φ: A × A → A называют бинарной алгебраической операцией, заданной на множестве А.

Другими словами, бинарной операцией на А является правило или закон, согласно которому каждой упорядоченной паре элементов a и b из А ставится в соответствие однозначно определенный элемент d из A (φ: (a, b)→ d). Следуя арифметической традиции, результат применения бинарной операции φ к элементам a и b обозначают a φ b и называют композицией элементов a и b. В каждом конкретном случае композиция элементов получает свое название – сумма, произведение и т.п.

Определение 1.1.2. Множество А вместе с заданной на нем бинарной алгебраической операцией * называется группоидом и обозначается < A, *>.

Нетрудно заметить, что вычитание на множестве N не является бинарной операцией. Действительно, по определению бинарной алгебраической операции должно выполнятся условие: ( (а, b) N 2 ) ( d N 2 ) d = a – b. Составим отрицание: (а, b) N 2 ( d є N) d ≠ a – b. При a = 2, b = 3 отрицание истинно, значит исходно утверждение – ложное. Следовательно, можно утверждать, что вычитание не является бинарной операцией на множестве N и < N, — > не является группоидом.

На конечных множествах, содержащих не слишком много элементов, бинарную алгебраическую операцию удобно задавать с помощью таблицы, которая называется таблицей Кэли (А. Кэли (1821-1895) английский алгебраист). Эта таблица для группоида < A, *>, A = < a ₁, a ₂, …, a_n > заполняется следующим образом:

*	a₁	a ₂	…	a_n
a ₁	a₁ a₁*	a₁ a₂*	…	a₁ a_n*
a ₂	a₂ a₁*	a₂ a₂*	…	a₂ a_n*
…	…	…	…	…
a_n	a_n a₁*	a_n	…	a_n a_n*

Например, следующая таблица задает операцию * на множестве A = < a, b >:

*	a	b
a	b	a
b	b	b

Причем a * a = b * b= b* a= b и a* b= b. Поскольку результаты операции

принадлежат А, следовательно, < A, *> — группоид.

Свойства операций. Полугруппы

Известны свойства арифметических действий – переместительный (коммутативный) и сочетательный (ассоциативный) законы сложения и умножения действительных чисел. Сформулируем эти свойства для произвольной бинарной алгебраической операции. Поскольку мы рассматриваем, в определении группоида, операции на определенном множестве, то, чтобы не вводить дополнительных определений, и группоидом будем называть в соответствии с названием свойства операции.

Определение 1. 1. 3. Группоид < A, *> называется коммутативным (а сама операция коммутативной), если для любых двух элементов из A выполняется условие: ( a, b А) а * b = b * а.

Определение 1. 1. 4. Группоид < А, *> называется ассоциативным или полугруппой (а сама операция ассоциативной), если выполняется условие:

Пусть < А,? > — полугруппа. Легко доказать следующие свойства.

1. (Обобщённый ассоциативный закон). Для любого конечного семейства элементов a ₁ . a_к из А произведение a ₁? a ₂. a_к не зависит от расстановки скобок, т. е. от последовательности умножений по два сомножителя.

2. Естественным образом вводится понятие степени с натуральным показателем: а n = a? a. a (n сомножителей а) для любых а А и n N, причём выполняются обычные свойства степеней:

3. Если полугруппа коммутативна, то имеет место обобщённый коммутативный закон: произведение любого конечного числа элементов из А не зависит от порядка сомножителей.

Можно сформулировать аналогичные свойства для полугруппы < А,+ >.

Ещё из школы известны два правила: правило сложения любого числа с нулём и правило умножения любого числа на единицу. 0 и 1 — это нейтральные

элементы для операции сложения и умножения в R.

Определение 1. 1. 5. Элемент е А группоида А, * > называется нейтральным элементом, если для любого элемента a A a* e= e* a= a.

Теорема 1. 1. 1. Каждый группоид < А, * > содержит не более одного нейтрального элемента.

Доказательство. Предположим, что в группоиде А существуют два различных нейтральных элемента e ₁ и е ₂. Дважды воспользовавшись определением нейтрального элемента, получим: e ₁ = е ₁ ? e _{2 =} е ₂ .

Поэтому, если в группоиде существует нейтральный элемент, то он единственный.

Чтобы установить, имеет ли группоид нейтральный элемент, надо выяснить, является ли группоид коммутативным, если да, то достаточно проверить одно условие: ( е А) ( а А) а * е = а. Если же нет, то надо проверять два условия: а * е = а и е * а = а.

Пример. На множестве R операция * задана правилом: a * b = a + b – 1. Покажем, что < R, *> является группоидом, содержащим нейтральныйэлемент.

1. ( a, b R) (! (а + b — 1) R), следовательно, * — бинарная операция;

2. ( a, b R) a * b = a+b -1= b * а в силу коммутативности сложения в R;

3. Условие e R a R a* е = а + е — 1= a выполняется при е — 1 = 0, т.к. нейтральным элементом на R относительно сложения является 0. Таким образом, е = 1 является нейтральным элементом относительно операции *.

Определение 1. 1. 6. Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом.

Равенства а + (- а) = 0 и а? 1 = а напоминают нам о таких понятиях, как

противоположный и обратный элементы соответственно относительно операций сложения и умножения. Эти термины есть конкретизация такого математического понятия, как симметричный элемент. Правомерны следующие вопросы: каждый ли элемент множества имеет симметричный относительно операции в группоиде? При каких условиях элемент множества имеет симметричный?

Понятие симметричного элемента

Определение 1. 1. 7. Пусть группоид < А, * > имеет нейтральный элемент е, тогда элемент a A называется симметризуемым, если для него существует а’ А такой, что а* а’ = а’ * а = е. Сам элемент а’ называется в этом случае симметричным для а.

Теорема 1. 2. Если в полугруппе < А, * > элемент а симметризуем, то симметричный для него элемент а’ единственный.

Доказательство. Допустим, что для а А, существуют два симметричных элемента и и v. Тогда, учитывая, что дана полугруппа, получим:

Исторически сложились и существуют два языка для выражения различных фактов, касающихся бинарных алгебраических операций: мультипликативный и аддитивный.

Формы записи бинарной операции

Произвольная Аддитивная Мультипликативная

* а * b называется композицией a’ -симметричный элемент для а е нейтральный элемент + называется сложением а + b называется суммой -а -противоположный элемент для a нулевой элемент (нуль) ? называется умножением а • b называется произведением а -1 — обратный элемент для а единичный элемент (единица)

Далее в качестве основного языка выбран мультипликативный.

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

Бинарная операция

Бинарная операция (от лат. bi — два) — математическая операция, принимающая два аргумента и возвращающая один результат (то есть с арностью два).

Определение

Пусть $A,\;B,\;C$ — тройка непустых множеств. Бинарной операцией или двуме́стной опера́цией в паре $A,\;B$ со значениями в называется отображение $P \to C$ , где $P \subset A\times B$

Если , то действие называется внутренним, если или — внешним. В частности, любое внутреннее действие является внешним.

Замечание

Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами (инфиксная форма записи). Например, для произвольной бинарной операции $\circ$ результат её применения к двум элементам и записывается в виде $x\circ y$ .

Это не значит, что не используются другие формы записи бинарных операций. Существуют и другие виды записи:

префиксная (польская запись) — $\circ\,x\;y$ ;

постфиксная (обратная польская запись) — $x\;y\,\circ$ .

Типы бинарных операций

Коммутативная операция

Основная статья: Коммутативная операция

$\circ$

Бинарная операция называется коммутативной, если её результат не зависит от перестановки операндов, то есть

$x\circ y=y\circ x,\quad\forall x,\;y\in M.$

Ассоциативная операция

Основная статья: Ассоциативная операция

$\circ$

Бинарная операция называется ассоциативной, если

$(x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z),\quad\forall x,\;y,\;z\in M.$

Для ассоциативной операции $\circ$ результат вычисления $x_1\circ x_2\circ\ldots\circ x_n$ не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение $x_1\circ x_2\circ\ldots\circ x_n$ при

Бинарная операция называется альтернати́вной если

$(x\circ x)\circ y=x\circ(x\circ y)$ и $y\circ(x\circ x)=(y\circ x)\circ x,\quad\forall x,\;y\in M$ .

Примеры

Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на поле вещественных чисел. Сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.

Записи

Мультипликативная запись

Если абстрактную бинарную операцию на называют умноже́нием, то её результат для элементов $x,\;y\in M$ называют их произведе́нием и обозначают $x\cdot y$ или . В этом случае нейтральный элемент $e\in M$ , то есть элемент удовлетворяющий равенствам

$x\cdot e=e\cdot x=x,\quad\forall x\in M,$

называется едини́чным элеме́нтом относительно выбранной бинарной операции.

Аддитивная запись

Если бинарную операцию называют сложе́нием, то образ пары элементов $x,\;y\in M$ называют су́ммой и обозначают . Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. Нейтральный элемент в аддитивной записи обозначают символом 0, называют нулевы́м элеме́нтом и пишут

$x+0=0+x= x,\quad\forall x\in M.$

Обратная операция

Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Если операция обладает биективностью, то у неё существуют обратные операции. Для бинарной операции может быть до двух обратных операций (левая и правая), в случае коммутативной операции — они совпадают.

Теорема 1

Для любой бинарной операции, существует не более одного нейтрального элемента

Теорема 2

Если бинарная операция ассоциативна, то для каждого элемента существует не более одного обратного

См. также

арность

унарная операция

тернарная операция

Литература

Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних и учебных заведений. — М.: Наука, 1988. — 430 с. — ISBN 5-02-013792-8.

Бинарная операция

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое «Бинарная операция» в других словарях:

бинарная операция — двуместная операция Операция, выполняемая над двумя аргументами. Например, сложение аргументов «х», «у». Кроме двуместных выполняются и одноместные операции. Двуместную операцию также называют бинарной. [Гипертекстовый… … Справочник технического переводчика

Операция (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Операция. Операция отображение, ставящее в соответствие одному или нескольким элементам множества (аргументам) другой элемент (значение). Термин «операция» как правило применяется к… … Википедия

Коммутативная операция — Первое известное использование термина коммутативность … Википедия

Унарная операция — В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка… … Википедия

Ассоциативная операция — Ассоциативная операция это бинарная операция , обладающая ассоциативностью (лат. associatio соединение), или сочетательностью: для любых элементов . Для ассоциативной операции результат вычисления не зависит от порядка вычисления … Википедия

Логическая операция — В логике логическими операциями называют действия, вследствие которых порождаются новые понятия, возможно с использованием уже существующих. В более узком, формализованном смысле, понятие логической операции используется в математической логике и … Википедия

БЭРА УМНОЖЕНИЕ — бинарная операция на множестве классов эквивалентных расширений модулей; предложена Р. Бэром [1]. Пусть Л и В произвольные модули. Расширением Ас ядром Вназ. точная последовательность: Расширение (1) наз. эквивалентным расширению если существует… … Математическая энциклопедия

Антикоммутативность — Бинарная операция, определённая в кольце, называется антикоммутативной, если в кольце выполняется тождество . Из этого вытекает тождество . Если в кольце не является делителем нуля, тогда первое тождество следует из второго, и они равносильны. Но … Википедия

Битовые операции — Не следует путать с булевой функцией. Битовая операция в программировании некоторые операции над цепочками битов. В программировании, как правило, рассматриваются лишь некоторые виды этих операций: логические побитовые операции и… … Википедия

Калькулятор — У этого термина существуют и другие значения, см. Калькулятор (значения). Современный инженерный калькулятор Калькулятор … Википедия

Обратная связь: Техподдержка, Реклама на сайте

�� Путешествия

Экспорт словарей на сайты, сделанные на PHP,
WordPress, MODx.

Пометить текст и поделитьсяИскать в этом же словареИскать синонимы

Искать во всех словарях

Искать в переводах

Искать в ИнтернетеИскать в этой же категории

Бинарной операцией называется операция которая выполняется

6. Универсальные алгебры с одной бинарной операцией

определения математической системы, модели и алгебры;

носитель и сигнатура алгебры, тип алгебры, примеры;

гомоморфизм и изоморфизм математических систем;

полугруппы и группы, аксиоматика;

система образующих, циклическая группа;

построение и исследование группы самосовмещений;

таблицы Кэли.

Математическая система или структура формально определяется, как кортеж определенного вида, обычно записываемого в угловых скобках. В общем виде это

где М — множество, которое должно быть задано одним из возможных строгих способов, R и F — символы отношений и функций, используемых в данной системе. По сути этим способом можно только обозначить некоторую систему, да и то лишь в самом общем виде. Чтобы свойства отношений и функций были однозначно определены, нужно дополнительно указать перечень аксиом, отдельно по каждому отношению и по каждой функции.

Некогда аксиомы понимались, как очевидные истины, не требующие доказательства, однако после появления неэвклидовой геометрии Лобачевского и ряда других революционных теорий эта наивность исчезла. Современная математика исходит из принципов конструктивизма, т.е. признает только такие объекты, для которых может быть показан конечный алгоритм построения. В конструктивной математике аксиома — всего лишь некоторое правило, условие игры, принятое в начале построения алгоритма. Это напоминает шахматные правила: слон ходит по диагонали, хотя ни из каких экспериментов со слонами, живыми или деревянными, это не выводится.

Моделью называется математическая система, в которой используются только отношения и нет ни одной функции. Этот вид систем мы рассмотрим позже, когда будем определять свойства отношений.

Алгеброй называется система, использующая только функции, причем все функции должны задавать связь вида М n ® M . Не случайно изо всех соответствий именно функции выбраны для построения алгебр. Свойство однозначности образа необходимо для получения однозначных результатов в практических приложениях.

Множество М называется носителем алгебры. В континуальной математике это — бесконечное множество составляют действительные или комплексные числа, а в дискретной — количественный смысл элементов вовсе не обязателен.

Кортеж ( F₁, F₂, . F_n ) называется сигнатурой алгебры (от signum — знак). Сами функции, образующие сигнатуру называются операциями, определенными в данной алгебре. В зависимости от числа мест различают унарные, бинарные и многоместные операции, а кортеж арностей алгебры называют её типом m . Например, используя обычное сложение и умножение на множестве действительных чисел можно получить алгебру

Несмотря на то, что сложение и умножение можно представить как многоместные операции, главные их особенности раскрываются и при минимально для них возможном числе аргументов, чем объясняется и указанный тип этой алгебры.

Множество — носитель должно быть замкнутым относительно всех операций, т. е. всегда должно соблюдаться условие

а М ; F(a) M.

Число различных алгебр велико. Придумывая различные множества — носители, по-разному определяя состав операций и устанавливая разные аксиомы относительно их свойств можно построить много алгебр, но лишь некоторые из них будут представлять практический интерес.

При сравнении одной алгебры с другой иногда выясняется, что одна из них может заменить другую. Эта способность называется гомоморфизмом.

Чтобы объяснить явление гомоморфизма, рассмотрим две алгебры:

A = М; F , и B = N; Ф .

Гомоморфизм из А в В существует, т.е. В гомоморфна алгебре А, если одновременно выполняются два условия:

существует отображение из M в N , т.е. каждому элементу из M однозначно соответствует некоторый элемент в N,

результат операции одинаков, независимо от того, выполнена ли она сперва в M с помощью операции F , с последующим отображением в N , или наоборот, сперва выполнено отображение в N с последующим выполнением операции Ф .

Гомоморфизм существует, например: из алгебры L; + (множество логарифмов по сложению) в алгебру (множество положительных и отрицательных чисел по умножению). Алгебра с умножением здесь может заменить алгебру со сложением, но не наоборот, т.к. отрицательные числа не имеют логарифмов. Здесь алгебра с умножением гомоморфна алгебре со сложением.

Другой пример гомоморфизма: из алгебры N; + в алгебру ; ₁₀ . Здесь первая алгебра — множество натуральных чисел по сложению, а вторая — множество чисел от 0 до 9 со сложением по модулю 10. Получается так, что алгебра с конечным и при этом очень небольшим носителем гомоморфна алгебре с бесконечным носителем, но не наоборот.

Изоморфизм — это взаимный, т.е. двусторонний гомоморфизм. Он возможен только при равной мощности носителей. С теоретической точки зрения изоморфные системы одинаковы, разница состоит лишь в условностях названий и обозначений.

Одна из основных задач математики как раз и состоит в выявлении гомоморфизмов и изоморфизмов в различных прикладных теориях, благодаря чему происходит обмен достигнутыми результатами и унификация научного языка. Перейдем к описанию различных универсальных алгебр, начиная с наиболее простых.

Полугруппой называется алгебра с одной бинарной операцией

Здесь для операции * установлена только одна аксиома — аксиома ассоциативности А ₁.

a*(b*c) = (a*b)*c.

Прикладной смысл операции * может быть различным. Самое простое её истолкование, это — конкатенация, т.е. приписывание букв или слов к уже имеющимся словам. В континуальной математике эта операция неизвестна, но она широко применяется в теории цифровых автоматов.

Абелевой полугруппой называется алгебра такого же вида, но уже с двумя аксиомами: А ₁ (ассоциативности) и А ₂ (коммутативности)

Здесь операция * уже больше похожа на сложение или умножение. Примером абелевой полугруппы может служить множество слов из букв некоторого алфавита, из которого исключены слова, отличающиеся только порядком букв. Например, из двух слов: aba и aab должно быть оставлено только одно.

Моноидом или полугруппой с единицей, называется полугруппа, для которой наряду с аксиомой ассоциативности А ₁ принята аксиома А ‘₃ о существовании нейтрального элемента е, такого, что е*а = а. Такой нейтральный элемент называется левой единицей. Можно эту аксиому выразить иначе, как А «₃: а*е = а. Тогда нейтральный элемент должен называться правой единицей. Если же операция * коммутативна, т.е. кроме аксиом А ₁ и А ₃ принята аксиома А ₂ , то нейтральный элемент будет называться просто единицей и е*а = а*е = а .

Называя нейтральный элемент единицей мы заметно сближаем полугрупповую операцию * с обычным умножением, ведь единица играет роль нейтрального элемента в обычном умножении. Если мы хотим свести полугрупповую операцию к сложению, то должны называть нейтральный элемент нулем, соответственно левым, правым или просто нулем: е+а = а+е = а. Сводя операцию * к умножению мы получаем мультипликативную полугруппу, а к сложению — аддитивную.

Некоторые полугруппы можно получить неоднократным применением операции * к элементам некоторого подмножества М ₀ М. В этом случае подмножество М ₀ называется семейством образующих полугруппы, а элементы: а М ₀ называются образующими. В дискретной математике роль образующих играют символы или буквы некоторого алфавита, который по определению должен быть подмножеством носителя М.

Алфавит чаще всего определяется как конечное множество, тогда как носитель бывает бесконечным.

Иногда семейство образующих состоит из одного единственного элемента, а все остальные элементы носителя М получаются многократным применением операции *. В этом случае полугруппа называется циклической, а её элементы называются степенями образующей а ₀ . Примером циклической группы является множество натуральных чисел, определенное, как N; * , где образующая а ₀ = 1, а операция * сведена к инкременту (прибавлению единиц).

Группой называется алгебра М ; * , у которой для операции * приняты аксиомы А ₁, А ‘₃ или А «₃ и дополнительно — аксиома А ₄ о существовании обратного элемента а —1 , такого, что

а -1 * а = е; или А «₄: a*a -1 = e.

Если считать группу мультипликативной, то нейтральный элемент е можно называть единицей, а если аддитивной, то нейтральный элемент будет называться нулем, а вместо обратного элемента а -1 принимается противоположный элемент —а .

Абелевой группой называется коммутативная группа, т.е. мультипликативная или аддитивная группа, у которой для операции * принята аксиома А ₂ . Абелевыми группами являются: множество действительных чисел по сложению, множество рациональных чисел без нуля по умножению. Эти группы имеют бесконечные носители, так как иначе не обеспечивается замкнутость М относительно операции *.

В дискретной математике часто используются конечные группы. В качестве примера рассмотрим так называемую группу самосовмещений. Возьмем квадрат с вершинами A, B, C, D . Закрепим его в центре и будем вращать против часовой стрелки. При каждом повороте на 90 0 будет происходит замена одних букв другими, но всего возможны только четыре расположения, которые будут циклически повторяться. Обозначим поворот на 0 0 буквой а, на 90 0 — буквой b , на 180 0 — буквой с и на 270 0 — d.

Получим четыре унарные операции вращения, из которых составим носитель алгебры: М = a, b, c, d >. В качестве групповой операции примем композицию

Считая композицию вращений операцией ассоциативной и коммутативной, имея в виду наличие нейтрального элемента и противоположного элемента, можно показать, что полученная алгебра является абелевой группой. Но можно поступить иначе. Используя те свойства композиции вращений, которые кажутся очевидными, можно составить таблицу, содержащую все возможные здесь ситуации (табл. 6.1).

a b c d

a a b c d

b b c d a

c c d a b

d d a b c

Таблицы подобного вида были введены в 1854 г. специально для групп англичанином Кэли (A. Cayley), который считается изобретателем матричной алгебры. Таблица Кэли в неявном виде задает все аксиомы алгебры, для которой она построена. На коммутативность групповой операции указывает симметричность таблицы относительно главной диагонали, на существование обратного элемента указывает присутствие нейтрального элемента: а в каждой строке и каждом столбце таблицы.

Группа самосовмещений является циклической группой, так как все её элементы могут быть получены как степени b: a = b 4 , c = b 2 , d = b 3 .

Взятая нами в качестве примера группа самосовмещений не имеет прикладного значения, но в дальнейшем мы встретим важные для практики конечные группы.

Похожие публикации:

Devops практики что это

Как использовать ноутбук как монитор для xbox

Как переустановить radmin vpn

Как сделать временное сообщение в телеграмм