Как перевернуть уравнение

Как повернуть уравнение плоскости относительно точки?

Добрый день.
Есть уравнение плоскости вида Ax+By+Cz+D=0
так же есть её базисы, если нужно,
есть некоторая точка M(x, y,z)
необходимо повернуть эм уравнение плоскости на угол Y U W (относительно осей ox, oy, oz)

Подскажите, пожалуйста, алгоритм.

P.S. Кватернионы не предлагать =)
Скорее всего мне помогут матрицы.

• Вопрос задан более трёх лет назад
• 4136 просмотров

1 комментарий

Оценить 1 комментарий

xmoonlight @xmoonlight
заодно и тест аудитории тостера сделаем. ))
Решения вопроса 3

Любые ответы на любые вопросы

В этом уравнении A B C — координаты вектора нормали. Крутнуть нормаль можно путем обычного умножения на матрицу поворота.

Ответ написан более трёх лет назад
Комментировать
Нравится 1 Комментировать

Заводчик кардиганов

повернуть уравнение плоскости на угол Y U W (относительно осей ox, oy, oz)

— что имеется в виду? Повернуть плоскость на угол Y относительно ox, потом на U относительно oy, и потом на W относительно oz?
Предположим, что так.
Первым делом, надо сдвинуть систему координат так, чтобы точка M оказалась началом координат:
x=x1+MX, y=y1+MY, z=z1+MZ. Уравнение плоскости в этой системе будет A*x1+B*y1+C*z1+(D+A*MX+B*MY+C*MZ)=0.
Теперь выполним поворот относительно оси Ox: A1=A, B1=B*cos(Y)+C*sin(Y), C1=-B*sin(Y)+C*cos(Y). Свободный член в уравнении не изменится (расстояние до начала координат и длина вектора нормали не изменились), получилось уравнение A1*x+B1*y+C1*z+D1=0 (где D1=D+A*MX+B*MY+C*MZ). Аналогично выполняем повороты относительно Oy и Oz. Получится уравнение A3*x+B3*y+C3*z+D1=0. Осталось сдвинуть систему координат обратно, чтобы начало координат перешло в точку M: A3*x+B3*y+C3*z+(D1-A3*MX-B3*MY-C3*MZ)=0. Это есть ответ. Надо только убедиться, что повороты идут в правильные стороны.

Ответ написан более трёх лет назад
Комментировать
Нравится 1 Комментировать
Pavel K @PavelK Автор вопроса

Спасибо всем! Я адцки затупил =)))
Если кому будет полезно, матрица поворота по всем осям сразу:
this.rotate = function(u,v,w)
<
var cu = Math.cos(u);
var su = Math.sin(u);
var cv = Math.cos(v);
var sv = Math.sin(v);
var cw = Math.cos(w);
var sw = Math.sin(w);

_a[0][0]= cu*cv; _a[1][0]= cu*sv*sw — su*cw; _a[2][0]= cu*sv*cw + su*sw;
_a[0][1]= su*cv; _a[1][1]= su*sv*sw + cu*cw; _a[2][1]= su*sv*cw — cu*sw;
_a[0][2]= -sv; _a[1][2]= cv*sw; _a[2][2]= cv*cw;

Что бы вращение шло вокруг точки, нужно сначала создать матрицу перемещения и умножить её на матрицу вращения.

Модуль

Модуль числа — это великая математическая мудрость, которая показывает дружбу и соперничество противоположных знаков: минуса и плюса. О том, что держит число в рамках, узнаем в статье.

Модуль

Мы легко можем найти расстояние от точки до точки, достаточно просто измерить его линейкой. Но можно ли найти расстояние от 0 до любого числа?

Представим, что наш дом находится посередине между школой и магазином. И до школы, и до магазина 500 метров, но они стоят по разные стороны от дома.

Расположим их на координатной прямой. Поскольку и школа, и магазин располагаются на одинаковом расстоянии, то от дома до них мы будем идти 500 метров. Но на координатной прямой до школы мы пройдем −500 метров, поскольку движемся против направления оси, а до магазина 500 метров.

Будет ли являться полученный результат противоречием? Нет, поскольку когда мы ищем расстояние, нам неважно направление движения и знак. В математике существует специальное определение — это модуль, или абсолютная величина.

Модуль — расстояние от любой точки на координатной прямой до начала координат.

Поскольку на координатной прямой мы можем отложить расстояние в две стороны, то такое расстояние можно найти и с отрицательными точками, и с положительными. Расстояние измеряет длину отрезка, то есть оно всегда будет положительно.

Можно сказать, что от любого числа модуль берет только цифры, а на знаки не обращает внимания. Например, |−8| = 8 и |8| = 8.

Может возникнуть вопрос: куда исчезает минус? Чтобы избавиться от минуса, достаточно умножить число на −1: (-8) * (-1) = 8. Значит, модуль просто умножает число на -1.

Отсюда получается, что модулем числа а называют выражение:

Возьмем два случая: a = 8 и a = -8. Для первого получаем |8| = 8, а для второго |-8| = -(-8) = 8, то есть определение выполняется.

Можно ли взять модуль функции? Да. Модулем произвольной функции называют выражение:

Свойства модуля

Модуль, как и все понятия в математике, обладает своими свойствами.

Свойство 1. |a| >= 0.

Как мы уже говорили, модуль всегда будет положительным числом, поскольку он не обращает внимания на знак числа.

Свойство 2. |a| = |-a|.

Это свойство также подтверждает рассуждения выше. Модули противоположных чисел, то есть чисел с разными знаками, равны.

Свойство 3. |a| >= a.

Если число а будет положительным, например, 5, то неравенство |5| >= 5 \(\rightarrow\) 5 >= 5 выполняется, поскольку знак неравенства нестрогий.

Если число а будет отрицательным, например, -5, то неравенство |-5| >= -5 \(\rightarrow\) 5 >= -5 выполняется, поскольку положительное число всегда больше отрицательного.

Свойство 4. |a * b| = |a| * |b|.

Пусть a = 5, b = -2, тогда |5 * (-2) | = |-10| = 10, и |5| * |-2| = 5 * 2 = 10, то есть выражения равны между собой.

Рассуждения такие же, как и в предыдущем свойстве. Пусть a = 10, b = -5, тогда \(|\frac| = |-2| = 2 и \frac<|10|> <|-5|>= \frac = 2\).

Почему появилось неравенство, а не уравнение, как в предыдущих двух свойствах? Разберем два примера.

Пусть a = 1, b = 2, тогда |1 + 2| = |3| = 3 и |1| + |2| = 1 + 2 = 3 — неравенство выполняется, поскольку знак нестрогий.

Но если a = -1, b = 2, тогда |-1 +2| = |1| = 1 и |-1| + |2| = 1 + 2 = 3, откуда получаем 1 < 3.

Свойство 7. \(\sqrt = |a|\).

Докажем это свойство. Пусть \(\sqrt = x\), тогда x₀, поскольку квадратный «Корень» не может быть отрицательным. Возведем полученное уравнение в квадрат: a 2 = x 2
a 2 — x 2 = 0
(a — x)(a + x) = 0

Из уравнения x = a, из-за ограничений на x получаем a >= 0.

И x = -a, из-за ограничений на x получаем a < 0.

То есть получается выражение модуля.

Свойство 8. |a| 2 = a 2 .

Поскольку и модуль, и квадрат числа дают положительный результат, модуль в квадрате можно заменить просто квадратом числа.

График модуля

Как изобразить функцию с модулем? Для начала разберемся, что делает модуль с графиком функции.

Рассмотрим функцию y = x — это прямая. При этом у может быть и положительным, и отрицательным.

Занесем х под знак модуля: y = |x|. Теперь у может быть только положительным. Что происходит с частью графика, которая лежит ниже оси х? Она зеркально отражается. В итоге мы получаем галочку:

Модуль отражает любой график относительно оси х.

Что будет, если перед х будет стоять коэффициент? Построим графики:

Галочка будет сужаться и расширяться. Причем чем больше коэффициент перед х, тем ýже будет галочка.

Попробуем добавить слагаемое к подмодульному выражению.

График модуля будет двигаться вдоль оси х. Причем:

• если мы прибавляем число, то график сдвигается влево;
• если мы вычитаем число, то график сдвигается вправо.

Добавим число к модулю, а не подмодульному выражению:

График будет двигаться вдоль оси у.

Для этого достаточно добавить перед модулем минус. Важно, чтобы минус стоял именно перед модулем, а не внутри него. Тогда график будет отзеркален относительно оси х и лежать только ниже нее.

Уравнения с модулем

1. Возьмем уравнение вида |f(x)| = a. Поскольку модуль не может быть отрицательным, то и а не может быть отрицательным. Получаем следующий переход:

Пример 1. Решите уравнение |4x + 5| = 7.

Решение. В уравнении f(x) = 4x + 5, a = 7. Воспользуемся переходом:

Из первого уравнения x = 0,5, а из второго уравнения x = -3.

Ответ: 0,5: -3.

2. В уравнениях и неравенствах можно встретить два разных модуля. Как быть в этом случае?

Шаг 1. Находим нули подмодульных выражений.

Шаг 2. Чертим числовую прямую и ищем знаки на промежутках для каждого модуля. Если подмодульное выражение отрицательно на промежутке, то ставится минус, если положительно — ставится плюс.

Шаг 3. Для каждого промежутка раскрываем модули. Если подмодульное выражение на промежутке отрицательно, то модуль раскрывается со знаком минус. Если положительно — модуль раскрывается со знаком плюс. Важно: полученные корни должны принадлежать промежуткам, на которых раскрывается модуль, иначе они не будут решениями уравнения.

Пример 2. Решите уравнение |x — 2| — |x + 2| = 4x — 5.

Решение. Найдем, в каких точках модули будут равны 0. Для этого подмодульное выражение также должно быть равно 0:

x — 2 = 0 \(\rightarrow\) x = 2
x + 2 = 0 \(\rightarrow\) x = -2

Нарисуем числовую прямую с этими точками:

У нас получилось три промежутка:

• (-\(\infty\);-2)
• [-2;2)
• [2;+\(\infty\))

Обратим внимание, какие знаки имеет первый модуль на промежутках: x — 2 > 0 при x > 2. Следовательно, на первых двух промежутках модуль будет отрицательным, а на третьем положительным. Расставим его знаки красным цветом.

Проанализируем второй модуль: x + 2 > 0 \(\rightarrow\) x>-2. Получается, подмодульное выражение будет положительно на втором и третьем промежутке, и отрицательным на первом промежутке. Расставим его знаки синим цветом.

Теперь мы можем рассмотреть уравнение на всех трех промежутках. Однако для этого обязательно ввести ограничения: полученные точки должны принадлежать только этому промежутку, поскольку на следующем модули будут раскрываться уже по-другому.

-(x — 2) — (-(x + 2)) = 4x — 5
-x + 2 + x + 2 = 4x — 5
4 = 4x — 5
4x = 9
x = 2,25

Точка не удовлетворяет ограничению, поскольку не лежит в промежутке (-\(\infty\);-2):

Рассмотрим второй промежуток: [-2;2). Первый модуль раскрывается с минусом, а второй с плюсом:

-(x — 2) — (x + 2) = 4x — 5
-x + 2 — x — 2 = 4x — 5
-2x = 4x — 5
6x = 5
\(x = \frac\)

Эта точка лежит в заданном промежутке и является решением уравнения.

Рассмотрим третий промежуток [2;+\(\infty\)). Оба модуля раскрываются со знаком плюс, мы получаем уравнение:

(x — 2) — (x + 2) = 4x — 5
x — 2 — x — 2 = 4x — 5
-4 = 4x — 5
4x = 1

x = 0,25 — эта точка не лежит в промежутке, то есть не является решением уравнения.

Решением уравнения будет только \(x = \frac\).

Ответ: \(\frac\)

Разбивая прямую на промежутки, может возникнуть вопрос: а что делать с точками, в которых модуль равен 0? Их обязательно нужно проверять. Можно сделать это как отдельно, подставив точки в уравнение, так и сразу включить их в условие раскрытия модуля.

3. Уравнения вида |f(x)| = g(x)

Поскольку вместо функций могут стоять любые выражения, раскрыть модуль можно двумя способами. Выбор одного из них зависит от того, какая функция проще: f(x) или g(x).

Как можно раскрыть модуль?

• Можно раскрыть его в зависимости от знаков подмодульного выражения: если подмодульное выражение отрицательное, то модуль раскрывается с минусом, если положительное, то с плюсом.
• Можно возвести уравнение в квадрат. Но здесь необходимо ввести ограничения на g(x) — поскольку функция равна модулю, она не может быть отрицательной.

Для удобства можно пользоваться следующей схемой:

Пример 3. Решите уравнение |8 — x| = x 2 — 5x + 11.

Решение. Заметим, что подмодульное выражение значительно проще функции справа, в этом случае удобнее будет раскрыть модуль. Получаем совокупность двух систем:

Рассмотрим первую систему.

8 — x >= 0 \(\rightarrow\) x

8 — x = x 2 — 5x + 11
x 2 — 4x + 3 = 0
D = 16 — 12 = 4
\(x_1 = \frac = 3\)
\(x_2 = \frac = 1\)

Оба корня уравнения удовлетворяют условию x

Рассмотрим вторую систему.

8 — x = -x 2 + 5x — 11
x 2 — 6x + 19 = 0
D = 36 — 76 = -40 — при отрицательном дискриминанте решения уравнений нет.

Решением всего уравнения будут x = 1 и x = 3.

Ответ: 1, 3

4. Разберем еще один тип уравнений, когда модуль равен модулю. Неужели придется рассматривать целых 4 случая раскрытия модуля? Нет, достаточно будет возвести в квадрат обе части уравнения. Таким образом, мы получаем следующий переход:

Пример 4. Решите уравнение |x — 2| = |2x + 8|.

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат. Для этого воспользуемся свойством 8.

(x — 2) 2 = (2x + 8) 2
(x — 2) 2 — (2x + 8) 2 = 0

Воспользуемся формулой сокращенного умножения:

((x — 2) — (2x + 8))((x — 2) + (2x + 8) = 0

Если произведение множителей равно 0, то каждый множитель равен 0. Тогда:

x — 2 — (2x + 8) = 0 \(\rightarrow\) x — 2 = 2x + 8
x — 2 + (2x + 8) = 0 \(\rightarrow\) x — 2 = -(2x + 8)

Решим первое уравнение совокупности:

x — 2 = 2x + 8
x = -10

Решим второе уравнение совокупности:

x — 2 = -2x — 8
3x = -6
x = -2

Решением уравнения будут x = -10 и x = -2

Ответ: -2, -10

Неравенства с модулем

Разобравшись, как решаются уравнения с модулем, можно приступать к неравенствам.

Пример 5. Решите неравенство x 2 — |3x — 7| + 7 >= 0.

Решение. Найдем, при каких значениях х модуль равен 0. Получаем 3x = 7 \(\rightarrow\) \(x = \frac\).

Определим, с какими знаками модуль будет раскрываться на каждом промежутке.

Осталось рассмотреть неравенство на двух промежутках.

1. \(x \leq \frac\), тогда
x 2 — (-(3x — 7)) + 7 >= 0
x 2 + 3x — 7 + 7 >= 0
x 2 + 3x >= 0
x(x + 3) >= 0

Решим это неравенство «Методом интервалов». Сразу учтем ограничение \(x \leq \frac\).

Получаем, что решением неравенства на заданном промежутке будет \(x \in (-\infty; -3] U[0; \frac]\).

2. \(x > \frac\), тогда
x 2 — 3x + 7 + 7 >= 0
x 2 — 3x + 14 >= 0
x 2 — 3x + 14 = 0
D = 9 — 56 = -47 — корней на заданном отрезке не будет.

Вспомним, что корни квадратного уравнения — это точки пересечения параболы и оси х. Если парабола не пересекает ось х, то неизбежно лежит выше или ниже ее. Поскольку в нашем случае ветви параболы направлены вверх, мы можем нарисовать ее примерный график.

Однако не стоит забывать про ограничение \(x > \frac\). Накладывая его, получаем решение \((\frac; + \infty)\).

Осталось только объединить полученные на промежутках решения:

Получаем, что \(x \in (-\infty;- 3] U [0; +\infty)\).

Ответ: \(x \in (-\infty;- 3] U [0; +\infty)\)

Рассмотрим неравенства вида |f(x)| > a и |f(x)| < a, где а — некоторое число и a >= 0. Модуль можно раскрыть двумя способами и получить два неравенства. Но будет это совокупность или система?

Это зависит от знака. Разберем случай |f(x)| > a. Заметим, что строгость знака может быть любой. Тогда модуль раскрывается как:

f(x) > a и -f(x) > a \(\rightarrow\) f(x) < -a.

Отметим эти промежутки на числовой прямой:

В ответе должны оказаться оба промежутка — их нужно объединить. В этом случае модуль раскрывается в совокупности.

В в ответе должен оказаться промежуток от —а до а. Следовательно, необходимо воспользоваться системой, чтобы “отсечь” лишние промежутки.

Можно ли обойтись в этом случае без раскрытия модуля? Да, но необходимо возвести неравенство в квадрат.

|f(x)| ⋁ a | \(\uparrow\) 2 — вместо ⋁ может стоять любой знак неравенства.
f 2 (x) ⋁ a 2
f 2 (x) — a 2 ⋁ 0

Воспользуемся формулой сокращенного умножения:

Однако стоит помнить, что обе части неравенства можно возвести в квадрат только в том случае, если они неотрицательны. То есть обязательно должно выполняться условие a0.

Мы получили равносильный переход. Но существуют ли равносильные переходы, если вместо числа а стоит другая функция или даже модуль? Да. Они выводятся таким же способом, как и переход для неравенства с числом. Получаем еще два равносильных перехода:

• |f(x)| ⋁ g(x) \(\rightarrow\) (f(x) — g(x))(f(x) + g(x)) ⋁ 0

g(x) обязательно должно быть неотрицательным, чтобы можно было возвести неравенства в квадрат.

• |f(x)| ⋁ |g(x)| \(\rightarrow\) (f(x) — g(x))(f(x) + g(x)) ⋁ 0

Разберем на примере, как можно использовать равносильный переход. Для этого возьмем то же неравенство, что и в примере 5, но решим его по-другому.

Пример 6. Решите неравенство x 2 — |3x — 7| + 7 >= 0.

Решение. Перенесем модуль в другую часть неравенства:

Повторим действия, чтобы прийти к равносильному переходу:

(3x — 7) 2 (3x-7) 2 — (x 2 + 7) 2 (3x — 7 — (x 2 + 7))(3x — 7 + x 2 + 7) (3x — 7 — x 2 — 7)(3x + x 2 ) (-x 2 + 3x — 14) * x(3 + x) -(x 2 — 3x + 14) * x(3 + x) (x 2 — 3x + 14) * x(3 + x)

Рассмотрим первую скобку:

D = 9 — 56 = -47 — корней нет. Выражение всегда будет положительно, то есть на него можно разделить все неравенство. Получаем:

Тогда \(x \in (-\infty;- 3] U [0; +\infty)\)

Ответ: \(x \in (-\infty;- 3] U [0; +\infty)\)

При решении можно сразу использовать равносильный переход, не расписывая его.

Итак, неравенства с модулем можно решить двумя способами: раскрывать модуль и воспользоваться равносильным переходом. Выбор способа зависит от личных предпочтений и удобства решения.

Фактчек

• Модуль — расстояние от любой точки на координатной прямой до начала координат. Модуль обозначается двумя вертикальными черточками: |a| = a и |-a| = a.
• Модулем числа называют выражение:

• График модуля представляет собой “галочку”, которая лежит выше оси х. Модуль отражает график любой функции зеркально оси х так, что значения у всегда больше 0.
• Модуль можно раскрыть двумя способами. Этим свойством можно пользоваться при решении уравнений с модулем.
• При решении неравенств с модулем можно раскрывать его, либо воспользоваться равносильным переходом, если в неравенстве выполняются все условия для него.

Проверь себя

Задание 1.
Чему равно выражение |-16 * 2|?

Задание 2.
Какой график имеет функция y = |x|?

Задание 3.
Решите уравнение |x| = -3.

Задание 4.
Решите уравнение |x + 2| = 15.

Задание 5.
Какой равносильный переход можно использовать для неравенства вида |f(x) |⋁ |g(x)|?

1. f(x) ⋁ g(x)
2. f(x) ⋀ g(x)
3. f 2 (x) — 2 * f(x) * g(x) + g 2 (x) ⋁ 0
4. (f(x) — g(x))(f(x) + g(x)) ⋁ 0

Ответы: 1. — 1 2. — 4 3. — 3 4. — 3 5. — 4

Раскройте скобки и решите уравнение картинку нужно перевернуть и уменьшить
решите пожалуйста❤❤❤

4 — 5/7 — (m — 1) = 11/14
4 — 5/7 — m + 1 = 11/14
5 — 5/7 -m = 11/14
4 2/7 — m = 11/14
-m = 11/14 — 4 2/7
— m = — (4 4/14 — 11/14)
m = 3 7/14
m= 3 1/2
m = 3.5
=========================
4 — 5/7 — ( 3.5 — 1) = 11/14
3 2/7 — 2.5 = 11/14
3 2/7 — 2 1/2 = 11/14
3 4/14 — 2 7/14 = 11/14
11/14 = 11/14

1 5/6 — (y + 2/3) = 1 1/2
1 5/6 — y — 2/3 = 1 1/2
1 5/6 — y — 4/6 = 1 1/2
1 1/6 — y = 1 1/2
-y = 1 1/2 — 1 1/6
-y = 1 3/6 — 1 1/6
-y = 2/6
y = — 1/3
======================
1 5/6 — ( — 1/3 + 2/3) = 1 1/2
1 5/6 — 1/3 = 1 1/2
1 5/6 — 2/6 = 1 1/2
1 3/6 = 1 1/2
1 1/2 = 1 1/2

Решение уравнений с дробями

Порой кажется, что на уроках по математике чем дальше, тем сложнее. Но на самом деле все темы, как кирпичики: если разобрался с дробями и уравнениями — решать дробные уравнения будет легко. Об этом и расскажем. Поехали!

· Обновлено 9 марта 2023

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

• обыкновенный вид — ½ или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут
10 минут — и ты разберёшься, как стать тем, кем захочешь

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Выберите идеального репетитора по математике
15 000+ проверенных преподавателей со средним рейтингом 4,8. Учтём ваш график и цель обучения

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

• Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
• Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Что поможет в решении:

• если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = −b : а;
• если а равно нулю, а b не равно нулю — у уравнения нет корней;
• если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

• подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
• умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

• если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
• делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

1. Определить область допустимых значений.
2. Найти общий знаменатель.
3. Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.
4. Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.
5. Решить полученное уравнение.
6. Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.
7. Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х. 1 + 2x = 5х
4. Решим обычное уравнение. 5x — 2х = 1 3x = 1 х = 1/3

Пример 2. Найти корень уравнения

1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.
4. Переведем новый множитель в числитель..
5. Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2. 4 = х + 2 х = 4 — 2 = 2

Пример 3. Решить дробное уравнение:

1. Найти общий знаменатель: 3(x-3)(x+3)
2. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось: 3(x+3)(x+3)+3(x-3)(x-3)=10(x-3)(x+3)+3*36
3. Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение: x 2 -9=0
4. Решим полученное квадратное уравнение: x 2 =9
5. Получили два возможных корня: x₁=−3, x₂=3 х = 4 — 2 = 2
6. Если x = −3, то знаменатель равен нулю: 3(x-3)(x+3)=0 Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.
7. Вывод: числа −3 и 3 не являются корнями уравнения, значит у данного уравнения нет решения.