Какие три способа определения вероятностей событий вы знаете

1. Классическое определение вероятности

Когда неизвестно, произойдёт в ходе испытания данное событие или нет, то говорят, что это случайное событие .

Например, случайное событие — выпадение решки при бросании монеты.
Достоверное событие — событие, которое в ходе испытания обязательно наступит.
Невозможное событие — событие, которое в ходе испытания точно не произойдёт.

Если при проведении испытаний наступает исход, который влечёт за собой появление события \(A\), то этот исход назовём благоприятствующим событию \(A\).

Дадим классическое определение вероятности.

Вероятность события \(A\) — отношение количества благоприятствующих событию \(A\) исходов к общему количеству всех равновозможных исходов.

P ( A ) = m n , где
\(m\) — количество исходов испытания, в которых наступает событие \(A\),
\(n\) — количество всех равновозможных исходов.
Бросают игральный кубик. Какова вероятность, что выпадет \(3\) очка?

Решение. Количество элементарных исходов \(n=6\). Событие \(A\) — выпадение трёх очков. Число случаев, благоприятствующих событию \(A\) равно \(m=1\). Получаем:

P ( A ) = m n = 1 6 .

Существует связь между терминами теории вероятностей и теории множеств. Соответствия заключаются в следующем:

• испытание с N исходами — множество из N элементов;
• отдельный исход испытания — элемент множества;
• случайное событие — подмножество;
• невозможное событие — пустое множество;
• достоверное событие — подмножество, которое совпадает со всем множеством;
• вероятность события — доля (часть) элементов подмножества среди всех элементов множества.

Случайные события называются не совместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Теорема

Если события \(A\) и \(B\) не совместны, то вероятность того, что наступит или \(A\), или \(B\), равна \(P(A) + P(B)\).

Теорема

Для нахождения вероятности противоположного события следует из единицы вычесть вероятность самого события: \(P(B) = 1-P(A)\).

Но встречаются испытания и с бесконечным множеством исходов. К ним классическая вероятностная схема уже неприменима. В таком случае применяют правило нахождения геометрической вероятности .

Пусть фигура \(X\) является частью фигуры \(Y\). Тогда вероятность того, что случайно выбранная из фигуры \(Y\) точка будет принадлежать фигуре \(X\), равна P = S ( X ) S ( Y ) , где \(S(X)\) — площадь фигуры \(X\), \(S(Y)\) — площадь фигуры \(Y\).

Аналогично поступают с множествами на числовой прямой (тогда площади заменяем на длину числовых множеств) и с пространственными телами (тогда площади заменяем на объёмы пространственных тел).

в прямоугольник \(5×4\) cm 2 помещён круг радиуса \(1,5\) \(cm\). В прямоугольник случайным образом поставили одну точку. Какова вероятность того, что эта точка будет находиться внутри круга?

Решение: по определению геометрической вероятности искомая вероятность равна отношению площади круга (в который точка должна попасть) к площади прямоугольника (в которой точка ставится), т. е. P = S круга S прямоугольника = π ⋅ 1,5 2 5 ⋅ 4 = 0,353 .

Рис. 1. Прямоугольник и круг

Рис. 1. Прямоугольник и круг. © ЯКласс.

Учебник по теории вероятностей

Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. Например, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием.

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит. Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.

Случайные события называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.

Рассмотрим полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие события будем называть исходами или элементарными событиями. Исход называется благоприятствующим появлению события $А$, если появление этого исхода влечет за собой появление события $А$.

Пример. В урне находится 8 пронумерованных шаров (на каждом шаре поставлено по одной цифре от 1 до 8). Шары с цифрами 1, 2, 3 красные, остальные – черные. Появление шара с цифрой 1 (или цифрой 2 или цифрой 3) есть событие, благоприятствующее появлению красного шара. Появление шара с цифрой 4 (или цифрой 5, 6, 7, 8) есть событие, благоприятствующее появлению черного шара.

Вероятностью события $A$ называют отношение числа $m$ благоприятствующих этому событию исходов к общему числу $n$ всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу $$P(A)=\frac. \quad(1)$$

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству $0 \le P(A) \le 1$ .

Полезные материалы

Онлайн-калькуляторы

Большой пласт задач, решаемых с помощью формулы (1) относится к теме гипергеометрической вероятности. Ниже по ссылкам вы можете найти описание популярных задач и онлайн-калькуляторы для их решений:

• Задача про шары (в урне находится $k$ белых и $n$ черных шаров, вынимают $m$ шаров. )
• Задача про детали (в ящике находится $k$ стандартных и $n$ бракованных деталей, вынимают $m$ деталей. )
• Задача про лотерейные билеты (в лотерее участвуют $k$ выигрышных и $n$ безвыигрышных билета, куплено $m$ билетов. )

Обучающие статьи с примерами

• Как найти вероятность в задачах про подбрасывания монеты?
• Как найти вероятность в задачах про игральные кости?

Примеры решений на классическую вероятность

Пример. В урне 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превосходит 10?

Решение. Пусть событие А = (Номер вынутого шара не превосходит 10). Число случаев благоприятствующих появлению события А равно числу всех возможных случаев m=n=10. Следовательно, Р(А)=1. Событие А достоверное.

Пример. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность, что оба шара белые?

Решение. Вынуть два шара из десяти можно следующим числом способов: .
Число случаев, когда среди этих двух шаров будут два белых, равно .
Искомая вероятность
.

Пример. В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар?

Решение. Так как синих шаров в урне нет, то m=0, n=15. Следовательно, искомая вероятность р=0. Событие, заключающееся в вынимании синего шара, невозможное.

Пример. Из колоды в 36 карт вынимается одна карта. Какова вероятность появления карты червовой масти?

Решение. Количество элементарных исходов (количество карт) n=36. Событие А = (Появление карты червовой масти). Число случаев, благоприятствующих появлению события А, m=9. Следовательно,
.

Пример. В кабинете работают 6 мужчин и 4 женщины. Для переезда наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц три женщины.

Решение. Общее число возможных исходов равно числу способов, которыми можно отобрать 7 человек из 10, т.е.
.

Найдем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию: трех женщин можно выбрать из четырех способами; при этом остальные четыре человека должны быть мужчинами, их можно отобрать способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно .

Аксиоматическое и геометрическое определение теории вероятности

Рассмотренные ранее классическое и статистическое определения вероятности события позволяют создавать основные соотношения, используемые в теории вероятностей и математической статистике.

Однако существует и иной подход к построению основ теории вероятностей, опирающийся на специально вводимые в рассмотрение аксиомы. Этот подход был предложен А.Н. Колмогоровым.

При аксиоматическом построении теории вероятностей первичным понятием является не элементарное случайное событие, а просто элементарное событие любой природы. Множество таких событий образует поле элементарных событий P (Ø) = 0. Из подмножества данного множества составляются некоторые ансамбли, которые и носят название случайного события. Множество таких событий образует поле событий S . На этом поле случайных событий вводится числовая функция, называемая вероятностью и определяемая следующими аксиомами.

Аксиома 1. Каждому случайному событию A из поля событий S поставлено в соответствие неотрицательное число называемое вероятностью, такое, что

∪

Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице:

Аксиома 3. Вероятность суммы (объединения) двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Примечания:

• Рассмотрим теперь следствие, которое служит примером использования этих аксиом. Пусть Ø – пустое множество событий, иначе говоря, Ø означает отсутствие событий. Тогда ∪, и Ω не имеет общих элементов с Ø. Отсюда следует

∪

• Аксиоматический подход позволяет с более общих позиций подойти к построению теории вероятностей и преодолевает некоторые недостатки классического и статистического определений вероятности событий. Однако для большинства практических задач рассмотренные ранее определения вероятностей событий оказываются достаточно удобными и надежными, так что в дальнейшем будем опираться именно на них. В этом случае третья аксиома должна быть выражена на основе доказательной базы, что и будет сделано позднее.

Геометрическое определение теории вероятности

Множество всех задач, возникающих при изучении случайных событий, к сожалению, не сводится только к рассмотренным выше определениям вероятности. Геометрическое определение вероятности применяется в тех случаях, когда множество всех исходов (возможных и благоприятных) бесконечно и эти исходы определяются одним или несколькими числовыми параметрами.

Геометрической вероятностью события A называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события A, к мере всей области:

Рассмотрим несколько примеров подсчета геометрических вероятностей.

ПРИМЕР 1 . Предположим, что на отрезок длиной L действительной прямой наугад бросается точка, которую обозначим ξ. Какова вероятность того, что она отклонится не дальше, чем на расстояние l, от середины указанного отрезка?

К задаче имеется рисунок:

Решение. Здесь имеется бесконечное множество возможных исходов: ведь точка ξ может попасть в любую точку рассматриваемого отрезка длиной L. Кроме того, условия опыта таковы, что ξ с одинаковой вероятностью может оказаться в любой точке этого отрезка, расположенного на оси абсцисс. Событие А – точка ξ находится от середины отрезка на расстоянии не больше , наступает в результате попадания в любую точку , отстающую от середины не далее, чем на величину . «Доля» таких точек на всем отрезке может быть определена как отношение , где – длина всего рассматриваемого отрезка. – длина отрезка, попадание в который влечет за собой наступление события А. Таким образом, искомая вероятность равна:

ПРИМЕР 16. Найти вероятность того, что сумма двух случайно выбранных чисел из промежутка [–1, 1] больше нуля, а их произведение отрицательно.

Решение. Чтобы ответить на поставленный вопрос, построим следующую модель. Координаты первого числа отложим на отрезке [–1, 1] оси абсцисс, а другое число отложим на отрезке [–1, 1] оси ординат. Множество всех возможных значений двух чисел лежит в квадрате. Множество чисел, произведение которых отрицательно, а сумма положительная расположено во втором и четвертом квадранте выше прямой . Получается следующий рисунок:

Таким образом, интересующая нас вероятность равна отношению площади фигуры (заштрихована) к площади квадрата:

Ответ: вероятность равна 0,25 или 25%

ПРИМЕР 17. Из промежутка [0; 2] наудачу выбраны два числа x и y. Найти вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенству:

Решение . Испытание состоит в случайном выборе из промежутка [0; 2] пары чисел x и у. Будем интерпретировать это как выбор наудачу точки М(х, y) из множества всех точек квадрата со стороной равной двум. Построим фигуру, представляющую все точки квадрата, удовлетворяющие исходному неравенству, которое для простоты представим эквивалентной системой:

Очевидно, что событие произойдет тогда и только тогда, когда точка попадет в заштрихованную область. Тогда по формуле искомая вероятность равна:

Ответ: вероятность равна 1/3 или 33,33%

Лекция по теме «Случайные события. Классическое определение вероятности»

— содействовать усвоению элементов комбинаторики: соединения без повторений и с повторениями, вывести формулы для этих соединений; познакомить студентов с основными понятиями теории вероятностей, дать классическое и статистическое определение вероятности;

— научить решать различные задачи, используя элементы комбинаторики, теории вероятностей;

— содействовать привитию интереса к данным наукам, применяя исторические моменты, решая задачи практического содержания, тем самым показывая прикладное значение математики.

Структура занятия.

1. Организационный момент.

3. Повторение и систематизация материала.

4. Закрепление знаний.

5. Подведение итогов занятия.

6. Домашнее задание.

1. Апанасов П.Т., Орлов М.И. Сборник задач по математике: Учеб.пособие для техникумов. – М.: Высш. шк., 1987. – 303с.: ил.

2. Бычков А. Г. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистики и методам оптимизации: учебное пособие. – М.: ФОРУМ. 2008. – 224с.: ил. – («Профессиональное образование»)

3. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб.пособие. – 2 – е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ.–мат. лит., 1989. – 576 с.: ил.

4. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика: Учеб. для студ. сред. спец. учеб. заведений. – 3-е изд., испр. –М.: Высш. шк. 2001.- 336 с.: ил.

5. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. – М.: ФОРУМ: ИНФРА – М, 2003. – 240 с.: ил. – (Серия «Профессиональное образование»)

Ход занятия

1. Организационный момент.

Сообщение темы и цели занятия

2. Мотивация изучения.

О теории вероятностей

Человечество всегда стремилось к некоторого рода предсказаниям. Любая наука основана на этом. Однако предвидение фактов не может быть абсолютным, каким бы обоснованным оно не казалось. У нас не может быть абсолютной уверенности в том, что наше предвидение не будет опровергнуто опытом.

Допустим, что некоторый простой закон подтверждается для большого числа случаев. Является ли это просто случайным совпадением, или все-таки это — закономерность? Получается, что ученый часто находится в положении игрока; опираясь на метод индукции, он сознательно или не очень вычисляет вероятность.

История теории вероятности содержит очень много неожиданных парадоксов. По мнению Карла Пирсона, в математике нет другого такого раздела науки, в котором так же легко совершить ошибку. Даже само высказывание «вычислить вероятность» содержит парадокс. Ведь вероятность, в противоположность достоверности, есть то, чего не знают. Как же можно вычислять то, о чем нет никаких знаний?

Пользуясь классическим определением, можно сказать, что вероятность — это отношение числа случаев, благоприятствующих изучаемому событию, к полному числу возможных случаев. Однако это определение весьма неполно, что может подтвердить простой пример. Давайте посчитаем вероятность того, что при бросании двух игральных костей по крайней мере на одной выпадет 6. Очевидно, что каждая кость может выпасть шестью различными способами. Число всех возможных случаев равно 6*6 = 36; число благоприятствующих случаев равно 11 (6-1, 6-2, 6-3, 6-4, 6-5, 6-6, 5-6, 4-6, 3-6, 2-6, 1-6). Таким образом, вероятность равна 11/36. Мы знаем, что это правильное решение.

Но ведь можно рассуждать и по-другому. Числа очков, выпавшие на обеих костях, могут образовать 6*7/2 = 21 различных комбинаций. 6 из них благоприятствующие (6-6, 6-5, 6-4, 6-3, 6-2, 6-1). Вероятность равна 6/21. Этот результат явно отличается от предыдущего. Однако пользуясь нашим определением, мы не сможем найти ошибку.

Таким образом, придется дополнить определение: вероятность — это отношение числа случаев, благоприятствующих изучаемому событию, к полному числу возможных случаев, при условии, что эти случаи равновероятны. И вот мы определили вероятное при помощи вероятного.

Но как узнать, равновероятны ли два возможных случая? Не является ли это результатом некоторого условного соглашения? Если мы явно укажем условное соглашение перед вычислениями, то все будет хорошо. Но как мы применим результат на практике? Ведь тогда придется доказать состоятельность данного соглашения.

Некоторые могут предположить, что простого здравого смысла достаточно, чтобы указать верное соглашение. Но описанные далее парадоксы противоречат, казалось бы, всякому здравому смыслу.

Тем не менее без теории вероятности не сможет существовать наука как таковая, ведь без нее мы не сможем ни открыть какой-нибудь закон, ни применять его.

Исторические сведения

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр ( орлянка , кости , рулетка ). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам , как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей . [1]

Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли : он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышёв , А. А. Марков и А. М. Ляпунов . В это время были доказаны закон больших чисел , центральная предельная теорема , а также разработана теория цепей Маркова . Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации , предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым . В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики .

3. Повторение и обобщение материала .

Принцип умножения

Пусть необходимо выполнить одно за другим одновременно r действий. Если первое действие можно вы­полнить n ₁ способами, после чего второе — n ₂ способами и т.д. до r — того действия, которое можно выполнить n_r спосо­бами, то все r действий вместе можно выполнить n ₁ , n ₂ … n_r способами.

Пример : Сколько существует двузначных чисел?

Способ 1 : (принцип умножения)

Выбирается две цифры, поэтому r = 2. Первая цифра может быть любой, кроме 0. Потому n ₁ = 9. Вторая цифра может быть любой, т.е . n ₂ =10. итак двузначных чисел: n₁ n ₂ =9 . 10=90.

Способ 2. (перо6ора)

11 21 31 …………91 прямоугольная таблица 10 . 9=90

Пример : Бросают три игральные кости и наблюдают за числом очков, появившихся на каждой кости. Сколько различных исходов опы­та возможно?

Решение : Бросают три игральные кости, поэтому по принципу умножения r = 3, На выпавшей грани «первой» игральной кости может появить­ся одно очко, два очка, . шесть очков. Поэтому n ₁ = 6. Анало­гично n ₂ = 6, n ₃ = 6. Итак, число всех исходов опыта n ₁ n ₂ n ₃ = 6 . 6 . 6=216.

Пример : Сколько существует нечетных трехзначных чисел?

Решение : По принципу умножения r = 3 ; n ₁ = 9, т.к. первая цифра может быть любой, кроме 0; n ₂ = 10, т. к. вторая цифра может быть любой ; n ₃ = 5, т.к. третья цифра должна быть нечетной. Итак, всех возмож­ностей

Замечания к принципу умножения . Если на выполнение какого-ли­бо из r действий наложено ограничение, то подсчет удобнее начи­нать с выполнения именно этого действия.

Пример : В машине 7 мест, одно место водителя. Сколькими спо­собами могут сесть в машину 7 человек, если место водителя могут занять только трое из них?

Решение : По принципу умножения r = 7. Начнем с места водителя n ₁ = 3, следующее место может занять любой из 6 оставшихся человек, т.е. n ₂ = 6, следующее место может занять любой из 5 оставшихся человек и т.д. Поэтому n ₃ = 5, n ₄ = 4, n ₅ = 3, n ₆ = 2 , n ₇ = 1.

Размещения (упорядоченные выборки).

Пусть А – множество, состоящее из элементов а₁, а₂,…, а _n .

Определение : Упорядоченные наборы, состоящие из r элементов множество А, будем называть размещениями из n элементов множества А по r элементов.

– число размещений из n элементов по r элементов( r £ n ). Вычислим по принципу умножения:

n_r = n -( r -1) = n — r +1.

Здесь n , n -1, n -2,…, n -r+1 есть число возможностей для выбора первого, второго, третьего,… r – того элементов.

Перестановки

Определение : Размещения из n элементов по n элементов называются перестановки из n элементов.

P_n – число перестановок из n элементов.

Пример : Сколькими способами могут 4 человека разместиться в 4-х местном купе железнодорожного вагона?

Решение : А = (4 места в купе вагона);

Сочетания (неупорядоченные выборки)

Определение : Неупорядоченные наборы, состоящие из r элементов множества А, называются сочетаниями из n элементов по r элементов. ( r n ).

Пример : Студенту необходимо сдать 4 экзамена за 10 дней. Сколькими способами можно составить ему расписание, если в один день нельзя сдать более одного экзамена?

Решение : А = (10 дней). Поскольку в расписании учитывается порядок экзаменов, то мы имеем дело с упорядоченными выборками, т.е. с размещениями.

Пример : Подрядчику нужны 4 плотника, к нему с предложениями своих услуг обратилось 10 человек. Сколькими способами можно набрать рабочую силу?

Пример . В розыгрыше первенства по футболу участвуют 10 команд. Известно, что те, кто займет первые 3 места, получают золотую, серебряную и бронзовую медали, а последние двое выбывают. Сколько различных результатов первенства может быть?

Решение : Нужно выполнить одно за другими два действия:

I. Из десяти команд выбрать три на три первых места.

II. После выполнения первого действия из оставшихся семи команд выбрать две на два последних места.

Итак, по принципу умножения r = 2 ;

Различных результатов первенства может быть:

События

Событие в теории вероятностей – это множество, состоящее из элементарных событий.

События обычно имеют свои словесные описания. Например, при бросании двух игральных костей можно рассматривать событие A , состоящее в суммарном выпадении четного числа очков, а при вытаскивании игральной карты из колоды событием является выпадение карты бубновой масти. Все эти события состоят из элементарных событий. Так, при бросании игральных костей событие A состоит из элементарных событий , , , , , , , , , , , , , , , , .

Достоверным событием называется событие, состоящее из всех элементарных событий.

Достоверное событие происходит всегда, поскольку в результате случайного выбора какое-то элементарное событие всегда реализуется. Обозначим достоверное событие буквой Ώ.

Невозможным событием называется событие, которое не может произойти никогда.

Обозначим его V . Оно представляет собой пустое множество элементарных событий.

Противоположным событию А Ώ событием называется событие , состоящее в том, что событие А не произошло.

состоит из элементарных событий, не входящих в А.

Суммой (или объединением) событий А и В называется событие А + В, состоящее в том, что из двух событий А и В происходит по крайней мере одно (либо А, либо В, либо А и В вместе).

Этому событию соответствует множество элементарных событий А В. Поэтому, иногда мы будем использовать знак объединения, вместо знака суммирования.

Пример. По мишени стреляют 3 раза. События А, В, С – попадание при 1-ом, 2-ом и 3 выстрелах соответственно. Сумма событий А, В и C означает хотя бы одно попадание.

Классическое определение вероятности

Пусть некоторый опыт может приводить лишь к одному из конечного множества результатов. Эти результаты будем называть элементарными исходами. Предположим, что элементарные исходы удовлетворяют следующим условиям:

1) образуют полную группу, т.е. в каждом испытании обязан появиться какой-нибудь из этих исходов;

2) попарно несовместны, т.е. два различных элементарных исхода не могут появиться в одном испытании;

3) равновозможные, т.е. шансы на появление у всех элементарных исходов одинаковы.

В этих условиях может использоваться классическое определение вероятности.

Определение : Элементарные исходы, в которых появляются интересующее нас событие, называются благоприятными этому событию.

Определение : Вероятностью события А называются число P (А), равное отношению числа исходов испытания, благоприятствующих событию А к общему числу исходов:

где n – общее число исходов испытания, m – число исходов, благоприятствующих событию А.

Пример : Бросается один раз игральная кость. Какова вероятность выпадения нечетного числа очков?

Решение : Опыт состоит в бросании игральной кости 1 раз и наблюдении за числом очков, появившихся на верхней грани.

Все исходы опыта: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Число всех исходов: n = 6.

Рассмотрим событие А – выпало нечетное число очков. Исходы благоприятствующие А: 1, 3, 5.

Число исходов, благоприятствующих А : m = 3

Пример : Ребенок играет с шестью буквами разрезной азбуки А, В, К, М, О, С. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд получится слово «МОСКВА»?

Решение : Опыт состоит в случайном расположении шести букв в ряд. Все исходы опыта – множество перестановок из шести различных букв.

Число всех исходов: n = P ₆ =6! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6=720.

Рассмотрим событие А – при случайном расположении шести букв в ряд получено слово «МОСКВА». Очевидно, что такое расположение букв единственно, т.е. m =1. Найдем вероятность события А: P ( A )= .

Пример : В ящике находится 20 деталей, из них 8 бракованных. Из ящика наудачу извлекают 5 деталей. Найти вероятность того, что среди них окажутся две бракованные детали.

Решение : Опыт состоит в выборе наудачу 5 деталей из 20. Все исходы опыта – множество сочетаний из 20 деталей (находящихся в ящике) по 5.

Число всех исходов опыта n = =

Рассмотрим событие А – среди 5 деталей, извлеченных из ящика, две бракованные.

Если среди 5 деталей две бракованные, то остальные 3 небракованные. Тогда число исходов, благоприятствующих событию А, можно найти по принципу умножения. Нужно выполнить одно за другим два действия: из 8 бракованных выбрать 2 детали и затем из 12 небракованных выбрать 3 детали. Первое действие можно выполнить n ₁ = второе действие можно выполнить n ₂ = способами. Итак, m = n ₁ . n ₂ = .

Найдем вероятность события А:

4. Закрепление новых знаний.

Задачи на закрепление материала:

5. Упростить выражение:

6. Упростить выражение:

7. Упростить выражение:

8. Решить уравнение: .

Решить комбинаторные уравнения:

Задачи на классическое определение вероятности

Буквой A обозначаем событие, фигурирующее в условии задачи.

Задача. Корреспонденция разносится в 5 адресов. Разносчик забыл дома очки и разнес корреспонденцию случайным образом. Какова вероятность того, что вся корреспонденция попала к своим адресатам?

Решение . Элементарным событием является перестановка из 5 адресов. Их число равно По смыслу задачи все они равновероятны. Поэтому P ( A )= 1/120.

Задача. Цифры 0,1,2,3 написаны на четырех карточках. Карточки расположили в случайном порядке. Какова вероятность того, что из них сложено 4-х-значное число?

Решение . Элементарным событием является перестановка из 4 карточек. Их всего 4!. Поскольку четырехзначное число не может начинаться с нуля, то событие A состоит из тех перестановок, которые начинаются с карточки с не равной нулю цифрой. Их всего 4!-3!=18. Поэтому P ( A )= 18/4! =18/24=3/4.

Задача. В хоккейном турнире участвуют 6 равных по силе команд. Каждая команда должна сыграть с каждой одну игру. У Вас есть любимая команда. Вы пришли «поболеть» на турнир на одну из игр, выбранных случайно. Какова вероятность того, что в этой игре будет играть Ваша любимая команда?

Решение . Общее число проведенных игр равно C ₆ 2 =15. Любимая команда участвует в 5 играх из 15. Поэтому P ( A )= 5/15 = 1/3.

Задача . В ящике разложено 20 деталей. Известно, что 5 из них являются стандартными. Рабочий случайным образом берет 3 детали. Какова вероятность того, что хотя бы одна деталь стандартная ?

Решение . Элементарным событием является сочетание из 20 деталей по 3. Количество таких сочетаний равно C ₂₀ 3 . В соответствии с решением задачи 11, число сочетаний, содержащих хотя бы одну стандартную деталь равно C ₂₀ 3 — C ₁₅ 3 =685. Поэтому P ( A )=

Задача . Из 7 карточек разрезной азбуки составлено слово колокол. Эти карточки рассыпали и затем собрали в случайном порядке. Какова вероятность того, что снова получится слово колокол?

Решение . На карточках имеется 3 буквы о, 2 буквы к, 2 буквы л. Поэтому, первая буква слова колокол может быть выбрана двумя способами, вторая – 3 способами, третья – 2 способами. При уже выбранных первых трех буквах четвертая буква может быть выбрана еще 2 способами (поскольку одна буква о уже выбрана). Остальные буквы могут быть выбраны только одним способом. Таким образом (см. решение задачи 12), число перестановок карточек, реализующих слово колокол равно произведению чисел 3, 2, 2, 2 т.е. равен 24. Общее число перестановок карточек равно 7!.Поэтому P ( A )=

5. Подведение итогов занятия.

1. Сформулируйте принцип умножения.

2. Сформулируйте замечание к принципу умножения.

3. Приведите пример задачи на принцип умножения.

4. Размещения (упорядоченные выборки). Определение, формула.

5. Перестановки. Определение, формула

6. Сочетания (неупорядоченные выборки). Определение, формула.

7. Что такое случайное событие?.

8. Какие виды событий вы знаете?

9. Дайте классическое определение вероятности.