Что такое множество в информатике

Объекты и множества — что это?свойства и совокупность

Объекты и множества — что это? свойства и совокупность

Мир, который нас окружает, — это мир предметов, явлений и процессов. С самого рождения человек познаёт окружающий его мир. Растения и животные, горы и реки, материки и страны, планеты и звёзды, полёт птицы или строительство дома – всё это становится для нас объектами познания.

Объект – это любая часть окружающей действительности, которую человек воспринимает как единое целое. Другими словами, объект – это то, на что обращено наше внимание: предметы, процессы и явления

Например, компьютерный стол, учебник, окно, попугай – это объекты-предметы; гроза, дождь, град, лунное затмение – объекты-явления; отпуск, прослушивание музыкальной композиции, высаживание рассады – это объекты-процессы.

Задание. Назовите предметы, явления и процессы, с которыми имеет дело человек, когда:

пишет и отправляет письмо;
сдаёт ЕГЭ;
загорает на пляже;
разводит костёр;
наблюдает за звёздами в телескоп.

Совокупность объектов, объединённых каким-либо общим признаком, называется множеством, а каждый из этих объектов – элементом множества.

Так, грибы – это множество объектов, а подберёзовик – это один из элементов этого множества. У множества месяцев его элементами являются январь, февраль, март, апрель и т. д.

Вопрос. Если врач – это множество, то каковы элементы этого множества?

Множество может быть конечным и бесконечным (множество страниц книги и множество действительных чисел), упорядоченным и неупорядоченным (то есть элементы которого выстроены по какому-либо порядку или выстроены беспорядочно), пустым и непустым.

Пустое множество – множество, не содержащее ни одного элемента: например, множество сиамских кошек, множество решений уравнения x 2 – 5x + 6 = 0. Говорят, что пустое множество является своим подмножеством, но не является своим элементом.

Задание.Распределите данные примеры множеств таким образом, чтобы в каждой группе множеств находилось по два примера.

Конечное множество

Бесконечное множество

Непустое множество

Пустое множество

Множество звёзд во Вселенной; множество двоечников в классе; множество букв английского алфавита; фруктовых деревьев; множество чисел, которые делятся на нуль; множество съедобных грибов; множество натуральных чисел; множество домашних животных.

Имена объектов

Человек может сообщить самые разнообразные сведения о том или ином объекте. Но чтобы сделать это, нужно сначала как-то обозначить, выделить объект из ряда других объектов – дать ему имя.

Имя объекта люди называют, отвечая на вопрос что это такое? или кто это такой? Например, так: это – град, это – тетрадь, это – труд и т. д. Но в разных ситуациях один и тот же объект мы обозначаем разными именами. Например, собаку можно назвать Тузиком, пёсиком, щенком, другом человека или просто животным. Чем отличаются эти имена и от чего зависит выбор имени объекта в каждом случае?

Прежде всего, существуют имена общие и единичные. Общее имя обозначает множество объектов (страна, прозвище, планета), а единичное имя обозначает один конкретный объект в некотором множестве объектов (столица России, Александр Сергеевич Пушкин).

Имена также могут быть собственными и нарицательными. Собственные имена даются объектам только некоторых видов, например, людям (Александр Сергеевич Пушкин), домашним животным (Пушок), географическим объектам (Москва), планетам (Юпитер) и т. д. Нарицательные имена используются для называния целой группы объектов, например, человек, книга, лицо, буква. Вспомните, что в соответствии с правилами русского языка собственные имена вы пишете с прописной (заглавной) буквы, а нарицательные – со строчной.

Задания

1. Какие из нижеперечисленных имён объектов относятся к собственным именам, какие – к нарицательным?

Дуб, Византия, Урал, река, колодец, улица Почтовая, мультфильм «В стране невыученных уроков», Мухтар, облако, информатика.

2. Выделите на помещённом ниже рисунке два множества объектов. Дайте общее имя каждому множеству и единичное имя каждому объекту. Какие из выбранных вами имён будут являться собственными?

Признаки объектов

Признаком любого объекта может быть его свойство, действие, поведение или состояние.

Свойства объекта помогают описать его характеристики и возможности, то есть назвать отличительные признаки этого объекта. Например, в сообщении о черёмухе, взятом из ботанической энциклопедии, сказано: «Черёмуха обыкновенная – дерево или крупный кустарник высотой 0,6-10 м; крона удлинённая, густая, кора матовая, чёрно-серая, с беловатыми чечевичками; молодые ветви оливковые или вишнёво-красные; листья простые, очерёдные, яйцевидно-ланцетные или продолговато-эллиптические, длиной 3-15 см, тонкие, на коротких черешках, заострённые; цветки белые (реже розоватые), собраны в длинные густые поникающие кисти длиной 8-12 см, с сильным запахом, на цветоножках». Такое подробное описание свойств объекта помогает отличить объект «черёмуха» от других деревьев и кустарников.

Каждое свойство определяется некоторой величиной и её значением. Например, в описании черёмухи обыкновенной присутствуют такие величины, как высота, длина, цвет и форма. Значениями данных величин будут являться: 0,6-10 м, чёрно-серая, розоватые, матовая, удлинённая, продолговато-эллиптические и др.

Признаки (свойства) могут быть существенными – необходимыми, крайне важными для выделения данного объекта из множества других, похожих на него. Так, существенными признаки, которые помогают отличить карликовую берёзу от других видов берёз, являются малая высота (до 1,2 м), маленький размер листьев (от 5 мм до 1,5 см), кустарниковая форма, стелящиеся по земле побеги.

В таблице приведены характеристики объектов и величины, которыми эти свойства могут быть обозначены:

Объект	Характеристика	Величина	Значение величины
Стол	Деревянный	Материал	Дерево
Стол	С тремя выдвижными ящиками	Количество выдвижных ящиков	3
Человек	Темноволосый	Цвет волос	Тёмный (чёрный)
Кошка	Породистая	Порода	Сиамская, египетская и т. д.
Монитор	Широкоформатный, с диагональю 23″	Диагональ экрана монитора (дюймов)	23 дюйма

Имена действий обозначают процессы, которые могут происходить с объектом: «самолёт летает», «мяч отскакивает», «в записной книжке можно хранить номера телефонов». Имена действий также помогают подробно описать какой-либо объект.

Задание

Попробуйте обозначить характеристики приведённых ниже объектов, воспользовавшись школьными учебниками:

стебель растения;
цветок растения;
растение семейства розоцветных;
имя существительное;
глагол;
прямоугольник;
десятичная дробь;
физическое тело;
молекула.

Тема 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И КОМБИНАТОРИКА

Под множеством понимают объединение в одно целое объектов, связанных между собой неким свойством. Термин «множество» в математике не всегда обозначает большое количество предметов, оно может состоять и из одного элемента и вообще не содержать элементов, тогда его называют пустым и обозначают Ж .
Множество B называют подмножеством множества А, если любой элемент множества В является элементом множества А. Обозначается В М А.

Свойства включения множеств:

Пустое множество является подмножеством любого множества: Ж М А.
Любое множество является подмножеством самого себя, т. е. для любого множества А справедливо включение А М А.
Если А — подмножество множества В, а В — подмножество множества С, то А — подмножество множества С.

Универсальное множество — это самое большее множество, содержащее в себе все множества, рассматриваемые в данной задаче.
На диаграмме Эйлера — Венна универсальное множество обозначают в виде прямоугольника и буквы U:

7.2. Операции над множествами

Равными называются множества, состоящие из одних и тех же элементов.

Два множества равны, если каждое из них является подмножеством другого (A = B Ы (A М B и В М А)).

Множества не равны, если хотя бы в одном множестве существует хотя бы один элемент, не принадлежащий другому множеству.

Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В. Обозначается AB.

Отметим разницу в употреблении союза «или» в математике и в обыденной речи. В обыденной речи союз «или» употребляется чаще в разделительном смысле — «либо… либо», тогда как в математике — в объединительном.

Свойства объединения множеств:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих обоим множествам А и В. Обозначается А З В.

Свойства пересечения множеств:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Разностью множеств А и В называется множество элементов, принадлежащих множеству А, которые не принадлежат множеству В. Обозначается А \ В.

Свойства разности множеств:
1. Если то А \ В = А.
2. Если А М В, то А \ В = Ж .
3. А \ В = А \ (АВ).
Разность между универсальным множеством U и множеством А называется дополнением множества А. Обозначается = U \ A.

Свойства разности и дополнения:

7.3. Основные формулы комбинаторики

На практике часто приходится выбирать из некоторого множества объектов подмножества элементов, обладающих теми или иными свойствами, располагать элементы одного или нескольких множеств в определенном порядке и т. д. Поскольку в таких задачах речь идет о тех или иных комбинациях объектов, их называют «комбинаторные задачи».

Комбинаторика занимается различного рода соединениями, которые можно образовать из элементов некоторого конечного множества. Термин «комбинаторика» происходит от латинского combina — сочетать, соединять.

Комбинаторика — область математики, в которой рассматриваются задачи о тех или иных комбинациях объектов.

Правило суммы: пусть имеется n попарно непересекающихся множеств A₁, A₂, …, A_n, содержащих m₁, m₂, …, m_n элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать один элемент из всех этих множеств, равно

Кортеж — конечная последовательность (допускающая повторения) элементов какого-нибудь множества.
Правило произведения: пусть имеется n множеств A ₁ , A ₂ , …, A _n содержащих m ₁ , m ₂ , …, m _n элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать по одному элементу из каждого множества, т. е. построить кортеж (а ₁ , а ₂ , . а _n ), где а _i О А _i1 (i = 1, 2, …, n), равно

Размещения с повторениями (n различных элементов, элементы могут повторяться):

Пример. Возьмем буквы Б, А, Р. Какие размещения из этих букв, взятых по две, можно получить? Сколько таких наборов получиться, если: 1) буквы в наборе не повторяются; 2) буквы могут повторяться?
1) Получатся следующие наборы: БА, БР, АР, АБ, РБ, РА.

2) Получатся наборы: ББ, БА, БР, АА, АБ, АР, РР, РБ, РА.

Перестановками из n элементов называются размещения из этих n элементов по n. Перестановки — частный случай размещений.
Перестановки без повторений (n различных элементов):

Перестановки c повторениями (k различных элементов, где элементы могут повторяться m ₁ , m ₂ , …, m _k раз и m ₁ + m ₂ + … + m _k = n, где n — общее количество элементов):

Пример. Возьмем буквы Б, А, Р. Какие перестановки из этих букв можно получить? Сколько таких наборов получится, если: 1) буквы в наборе не повторяются; 2) буква А повторяется два раза?
1) Получатся наборы: БАР, БРА, АРБ, АБР, РАБ, РБА.

2) Получатся наборы: БАРА, БРАА, БААР, ААРБ, ААБР, АБАР, АРАБ, АРБА, АБРА, РАБА, РААБ, РБАА.

Сочетаниями из n элементов по m элементов называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые различаются хотя бы одним элементом.
Отличие сочетаний от размещений в том, что в сочетаниях не учитывается порядок элементов.
Сочетания без повторений (n различных элементов, взятых по m):

Сочетания c повторениями (n элементов, взятых по m, где элементы в наборе могут повторяться):

Пример. Возьмем плоды: банан (Б), ананас (А) и репа (Р). Какие сочетания из этих плодов, взятых по два, можно получить? Сколько таких наборов получится, если: 1) плоды в наборе не повторяются; 2) можно брать по два одинаковых плода?
1) Получатся наборы: БА («банан, ананас» и «ананас, банан» — один и тот же набор), АР и РБ.

2) Получатся наборы: ББ, БА, БР, АА, АР, РР.

Вопросы

1. Приведите примеры множеств и их подмножеств.
2. Проиллюстрируйте примерами «из жизни» пересечение, объединение и разность множеств.
3. Постройте диаграммы Эйлера — Венна на свойства разности и дополнения множеств.
4. Назовите виды комбинаций, где важен порядок при составлении наборов и где он не важен.

Множества

Пример. Теперь можно приступить к реализации операции пересечения двух множеств. Напомним, что пересечение двух множеств — это множество, образованное элементами, которые одновременно принадлежат и первому, и второму множествам. Обозначается пересечение множеств A и B через AB. В математических обозначениях это выглядит следующим образом: AB=A и xB>. На рисунке пересечение множеств A и B обозначено штриховкой.
Рис. 9.2. Пересечение множеств A и B У предиката, реализующего эту операцию, как и у предиката, осуществляющего объединение двух множеств, есть три параметра: первые два — исходные множества, третий — результат пересечения двух первых аргументов. В итоговом множестве должны оказаться те элементы, которые входят и в первое, и во второе множество одновременно. Этот предикат, наверное, будет немного проще объединения. Его мы также проведем рекурсией по первому множеству. Базис рекурсии: пересечение пустого множества с любым множеством будет пустым множеством. Шаг рекурсии так же, как и в случае объединения, разбивается на два случая в зависимости от того, принадлежит ли первый элемент первого множества второму. В ситуации, когда голова первого множества является элементом второго множества, пересечение множеств получается приписыванием головы первого множества к пересечению хвоста первого множества со вторым множеством. В случае, когда первый элемент первого множества не встречается во втором множестве, результирующее множество получается пересечением хвоста первого множества со вторым множеством. Запишем это. intersection([],_,[]). /* в результате пересечения пустого множества с любым множеством получается пустое множество */ intersection([H|T1],S2,[H|T]):– member3(H,S2), /* если голова первого множества H принадлежит второму множеству S2 */ !, intersection(T1,S2,T). /* то результатом будет множество, образованное головой первого множества H и хвостом, полученным пресечением хвоста первого множества T1 со вторым множеством S2 */ intersection([_|T],S2,S):– intersection(T,S2,S). /* в противном случае результатом будет множество S, полученное объединением хвоста первого множества T со вторым множеством S2 */ Если пересечь множество [1,2,3,4] со множеством [3,4,5], то в результате получится множество [3,4]. Пример. Следующая операция, которую стоит реализовать, — это разность двух множеств. Напомним, что разность двух множеств — это множество, образованное элементами первого множества, не принадлежащими второму множеству. Обозначается разность множеств A и B через A–B или AB. В математических обозначениях это выглядит следующим образом: AB=A и хB>. На рисунках разность множеств A и B (B и A) обозначена штриховкой.
Рис. 9.3. Разность множеств A и B
Рис. 9.4. Разность множеств В и А В этой операции, в отличие от двух предыдущих, важен порядок множеств. Если в объединении или пересечении множеств поменять первый и второй аргументы местами, результат останется прежним. В то время как при A=, B=, AB=, но BA=. У предиката, реализующего разность, как и у объединения и пересечения, будет три аргумента: первый — множество, из которого нужно вычесть, второй — множество, которое нужно отнять, третий — результат вычитания из первого аргумента второго. В третий параметр должны попасть те элементы первого множества, которые не принадлежат второму множеству. Рекурсия по первому множеству поможет нам реализовать вычитание. В качестве базиса рекурсии возьмем очевидный факт: при вычитании произвольного множества из пустого множества ничего кроме пустого множества получиться не может, так как в пустом множестве элементов нет. Шаг рекурсии, как и в случае объединения и пересечения, зависит от того, принадлежит ли первый элемент множества, из которого вычитают, множеству, которое вычитают. В случае, когда голова первого множества является элементом второго множества, разность множеств получается путем вычитания второго множества из хвоста первого. Когда первый элемент множества, из которого производится вычитание, не встречается в вычитаемом множестве, ответом будет множество, образованное приписыванием головы первого множества к результату вычитания второго множества из хвоста первого множества. Запишем эти рассуждения. minus([],_,[]). /* при вычитании любого множества из пустого множества получится пустое множество */ minus([H|T],S2,S):– member3(H,S2), /* если первый элемент первого множества H принадлежит второму множеству S2*/ !, minus(T,S2,S). /* то результатом S будет разность хвоста первого множества T и второго множества S2 */ minus([H|T],S2,[H|S]):– minus(T,S2,S). /* в противном случае, результатом будет множество, образованное первым элементом первого множества H и хвостом, полученным вычитанием из хвоста первого множества T второго множества S2 */ Можно попробовать реализовать пересечение через разность. Из математики нам известно тождество AB=A(AB). Попробуем проверить это тождество, записав соответствующий предикат, реализующий пересечение множеств, через взятие разности. intersection2(A,B,S):– minus(A,B,A_B), /*A_B=AB */ minus(A,A_B,S). /* S = AA_B = A(AB) */ Проверка на примерах показывает, что этот предикат, так же, как, впрочем, и ранее созданный предикат intersection, возвращает именно те результаты, которые ожидаются. Пример. Не помешает иметь предикат, позволяющий проверить, является ли одно множество подмножеством другого. В каком случае одно множество содержится в другом? В случае, если каждый элемент первого множества принадлежит второму множеству. Тот факт, что множество A является подмножеством множества B, обозначается через AB. В математической записи это выглядит следующим образом: ABx(xA xB). Предикат, реализующий данное отношение, будет иметь два параметра, оба входные. В качестве первого параметра будем указывать множество, включение которого мы хотим проверить. То множество, включение в которое первого аргумента нужно проверить, указывается в качестве второго параметра. Решение, как обычно, будет рекурсивным. Базис рекурсии будет представлен фактом, утверждающим, что пустое множество является подмножеством любого множества. Шаг рекурсии: чтобы одно множество было подмножеством другого, нужно, чтобы его первый элемент принадлежал второму множеству (проверить это нам позволит предикат member3, рассмотренный нами ранее в седьмой лекции), а его хвост, в свою очередь, должен быть подмножеством второго множества. Этих рассуждений достаточно, чтобы записать предикат, реализующий операцию включения. subset([],_). /* пустое множество является подмножеством любого множества */ subset([H|T],S):– /* множество [H|T] является подмножеством множества S */ member3(H,S), /* если его первый элемент H принадлежит S */ subset(T,S). /* и его хвост T является подмножеством множества S */ Можно также определить это отношение, воспользовавшись уже определенными предикатами union и intersection. Из математики известно, что ABAB=B. То есть одно множество является подмножеством другого тогда и только тогда, когда их объединение совпадает со вторым множеством. Или, аналогично, ABAB=A. То есть одно множество является подмножеством другого тогда и только тогда, когда их пересечение совпадает с первым множеством. Запишем эти математические соотношения на Прологе. subsetU(A,B):– union(A,B,B). /* объединение множеств совпадает со вторым множеством */ subsetI(A,B):– intersection(A,B,A). /* пересечение множеств совпадает с первым множеством*/ Проверка на примерах показывает, что оба предиката, как и ранее созданный предикат subset, возвращают именно те результаты, какие и должны возвращать. Используя только что написанный предикат, реализующий отношение включения множеств, можно создать предикат, осуществляющий проверку совпадения двух множеств. Напомним, что два множества A и B называются равными, если одновременно выполнено AB и BA, т.е. множество A содержится во множестве B и множество B содержится во множестве A. Другими словами, два множества равны, если все элементы первого множества содержатся во втором множестве, и наоборот. Отсюда следует, что эти множества состоят из одних и тех же элементов. Напишем предикат, реализующий отношение равенства двух множеств. equal(A,B):– /* множество A совпадает со множеством B, */ subset(A,B), /* если множество A содержится во множестве B */ subset(B,A). /* и множество B является подмножеством множества A*/ Убедимся, что множество [1,2,3] и множество [3,4,5] не равны, а множества [1,2,3] и [2,1,3] совпадают. Если множество A содержится во множестве B, причем во множестве В имеются элементы, не принадлежащие множеству А, то говорят, что А — собственное подмножество множества В. Обозначается этот факт как AB. Закодируем это отношение: Prop_subset(A,B):– subset(A,B), /* множество A содержится во множестве B */ not(equal(A,B)). /* множества A и B не совпадают*/ Проверим, что множество [1,3] является собственным подмножеством множества [1,2,3], в отличие от множеств [1,4] и [2,1,3]. Пример. Рассмотрим еще одну операцию на множествах. Она называется симметрическая разность и, как видно из ее названия, в отличие от обычной разности, не зависит от порядка ее аргументов. Симметрической разностью двух множеств называется множество, чьи элементы либо принадлежат первому и не принадлежат второму множеству, либо принадлежат второму и не принадлежат первому множеству. Она не столь известна, как предыдущие рассмотренные нами операции, однако тоже имеет право на существование. Обозначается симметрическая разность множеств A и B через AΔB. В математических обозначениях это выглядит следующим образом: AΔB=A и xB) или (xB и xA)>. В отличие от обычной разности, в симметрической разности, если поменять аргументы местами, результат останется неизменным (AΔB=BΔA).
Рис. 9.5. Симметрическая разность множеств А и В Например, при A=, B=, AΔB=BΔA=. Воспользуемся тем, что симметрическую разность можно выразить через уже реализованные нами операции. А именно, AΔB=(AB)(BA). Словесно эта формула читается так: симметрическая разность двух множеств есть разность первого и второго множеств, объединенная с разностью второго и первого множеств. Запишем это на Прологе: Sim_minus(A,B,SM):– minus(A,B,A_B), /* A_B — это разность множеств A и B */ minus(B,A,B_A), /* B_A — это разность множеств B и A */ union(A_B,B_A,SM). /* SM — это объединение множеств A_B и B_A */ Убедимся, что симметрическая разность множеств [1,2,3,4] и [3,4,5] равна множеству [1,2,5], а симметрическая разность множеств [3,4,5] и [1,2,3,4] равна множеству [5,1,2]. Множество [1,2,5] с точностью до порядка элементов совпадает с множеством [5,1,2]. Таким образом, мы выяснили, что результат не зависит от порядка аргументов. Пример. Еще одна операция, которую обычно используют при работе со множествами, это дополнение. Дополнениеммножества обычно называется множество, чьи элементы не принадлежат исходному множеству. Обозначается дополнение множества A через A. В математических обозначениях это выглядит следующим образом: A=A>. Обычно имеет смысл говорить о дополнении только в ситуации, когда имеется некоторое универсальное множество, т.е. множество, которому принадлежат все рассматриваемые элементы. Оно может зависеть от решаемой задачи. Например, в качестве такого множества может выступать множество натуральных чисел, множество русских букв, множество символов, обозначающих арифметические действия и т.д. Давайте, для определенности, возьмем в качестве универсального множества множество цифр (). Напишем дополнение над этим универсальным множеством. Воспользуемся при этом очередным тождеством, которое известно в математике. А именно, тем, что A=UA, где символ U обозначает универсальное множество. Операция разности двух множеств у нас уже реализована. Закодируем вышеприведенную формулу на Прологе. supp(A,D):– U=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9], minus(U,A,D). /* D — это разность универсального множества U и множества A */ Проверяем, что дополнение множества [1,2,3,4] равно множеству [0,5,6,7,8,9]. Имея дополнение, можно выразить операцию объединения через пересечение и дополнение, или, наоборот, операцию пересечения через объединение и дополнение, используя законы де Моргана (AB=AB и AB=AB). Запишем эти соотношения на Прологе. unionI(A,B,AB):– supp(A,A_), /* A_ — это дополнение множества A */ supp(B,B_), /* B_ — это дополнение множества B */ intersection(A_,B_,A_B), /* A_B — это пересечение множеств A_ и B_ */ supp(A_B,AB). /* AB — это дополнение множества A_B */ intersectionU(A,B,AB):– supp(A,A_), /* A_ — это дополнение множества A */ supp(B,B_), /* B_ — это дополнение множества B */ «5.3. Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости» — тут тоже много полезного для Вас. union(A_,B_,A_B), /* A_B — это объединение множеств A_ и B_ */ supp(A_B,AB). /* AB — это дополнение множества A_B */ Проверка на примерах показывает, что оба предиката работают на множествах, являющихся подмножествами универсального множества (в нашем примере это множество), как и ранее созданные предикаты union и intersection. Самостоятельные задания

Создайте предикат, порождающий всевозможные перестановки исходного множества.
Создайте предикат, порождающий всевозможные подмножества исходного множества.

Поделитесь ссылкой:

ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ИНФОРМАТИКИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Кривоплясова Е.В., Давлетова Р.А.

В статье рассмотрена одна из интереснейших тем в курсе математики и информатики — теория множеств . Изучение элементов теории множеств способствует развитию логического мышления детей в любом возрасте. Проведет анализ ряда учебно-методических комплексов по информатике на вопрос изучения элементов теории множеств в школе.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ИНФОРМАТИКИ»

Кривоплясова Е.В., канд.пед.наук, доцент Давлетова Р.А., студентка 5 курса ФГБОУВО ОГПУ (Оренбург, Россия)

ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ

Аннотация. В статье рассмотрена одна из интереснейших тем в курсе математики и информатики — теория множеств. Изучение элементов теории множеств способствует развитию логического мышления детей в любом возрасте. Проведет анализ ряда учебно-методических комплексов по информатике на вопрос изучения элементов теории множеств в школе.

Ключевые слова, методика обучения информатике, теория множеств, элементы множеств, диаграмма Эйлера-Венна

На сегодняшний день в качестве одного из планируемых предметных результатов изучения курса информатики в основной школе, согласно действующей версии примерной основной образовательной программы основного общего образования, является умение «определять количество элементов во множествах, полученных из двух или трех базовых множеств с помощью операций объединения, пересечения и дополнения», достигаемое в процессе изучения следующего содержания. «Множество. Определение количества элементов во множествах, полученных из двух или трех базовых множеств с помощью операций объединения, пересечения и дополнения»[6]. Кроме того, элементы теории множеств включены в государственную итоговую аттестацию по информатике (задание № 8 в ОГЭ). Поэтому необходимо уделить внимание изучению теории множеств в школьном курсе информатики. Из вышеуказанного следует актуальность выбранной темы.

Множество — это совокупность объектов, объединенных некоторыми общими признаками. Примерами множеств могут служить, множество целых чисел, множество букв русского алфавита, множество всех жителей Оренбурга и т.п. Для наглядного изображения множеств часто используют диаграммы Эйлера-Венна, названные в честь авторов Леонарда Эйлера и Джона Венна. Точками внутри могут обозначать за элементы данного множества (рис. 1).

Рис. 1. Множество А

Множества, содержащие конечное число элементов, называют конечными множествами. Примером такого множества может являться множество студентов физико-математического факультета. Количество элементов в конечном множестве А называется мощностью этого множества.

Проанализируем основные учебно-методические комплекты (далее УМК), используемые в обучении, на предмет изучения элементов теории множеств в основной школе.

В УМК по предмету «Информатика» 7-9 класс, автором которого является Босова Л.Л., множества изучаются в 8 классе [1, 3].

В учебнике по информатике для 8 класса данная тема представлена в главе 1 «Математические основы информатики» в §1.3 «Элементы теории множеств и комбинаторики» перед изучением элементов алгебры логики. Основные понятия, рассматриваемые на уроке: множество, подмножество, объединение множеств, пересечение множеств, дополнение. Весь материал разбивается три пункта: «Множество», «Операции над множествами», «Правила суммы и произведения».

В первом пункте вводится понятие «множество», выделены 2 способа задания множеств: перечисление всех его элементов и словесное описание. Здесь же рассматриваются и круги Эйлера. Далее автор знакомит обучающихся с понятиями элемента множества, подмножества, пустого множества, универсального множества. Для операций над множествами даны чёткие определения и их наглядное изображение с помощью кругов Эйлера. Также автор вводит понятие мощности множества. В конце параграфа зафиксированы основные определения, изученные на уроке.

После изложения материала к параграфу имеются вопросы и задания. В рабочей тетради этого же автора также можно найти задания по данной теме.

Материал всего параграфа сопровождается достаточным количеством примеров. При представлении материала автор использует наглядность. Тема изложена доступным языком.

В УМК по предмету «Информатика» 7-9 класс, автором которого является Угринович Н. Д., множества изучаются в 9 классе [1,7].

В учебнике по информатике для 9 класса данная тема представлена в главе 3 «Логика и логические основы компьютера» в пункте 2 «Алгебра множеств» после изучения алгебры логики. Знакомство с темой начинается с введения понятий «множество», «элемент множества», «пустое множество», «универсальное множество». Автор также выделяет способы задания множеств и операции над множествами. В конце проводится аналогия между логическими операциями и операциями над множествами, что позволяет обучающимся видеть связь с изученной ранее темой.

После изложения материала к параграфу имеются вопросы и задания. В рабочей тетради этого же автора задания по данной теме отсутствуют.

При представлении материала используется наглядность (круги Эйлера). Тема изложена доступным языком.

В УМК по предмету «Информатика» 7-9 класс, автором которого является Поляков К. Ю., множества изучаются в 9 классе [1,4].

В учебнике по информатике для 9 класса данная тема представлена в главе 2 «Математическая логика» в §12 «Множества и логика» после изучения «Логических выражений». Основные понятия, рассматриваемые на уроке: множество, дополнение, пересечение, объединение, диаграмма Эйлера-Венна, поисковый запрос. Весь материал разбивается четыре пункта: «Множества», «Диаграммы Эйлера-Венна», «Количество элементов во множестве», «Сложные запросы в поисковых системах».

Понятие «множество» вводится в первом пункте. Для конечных, бесконечных и пустых множеств автор не даёт чёткого определения, они описываются через количество элементов, содержащихся в них. Второй пункт посвящён диаграммам Эйлера-Венна. Операции над множествами вводятся с помощью этих диаграмм. Далее автор показывает, как вычислить количество элементов множества в тех или иных случаях. В последнем пункте рассматриваются задачи, решаемые с помощью множеств. А именно задачи, связанные с запросами для поисковых систем. В конце параграфа даются краткие выводы.

После изложения материала предлагается выполнить задание: зафиксировать в тетради интеллект-карту этого параграфа. В рабочей тетради этого же автора также можно найти задания по данной теме.

Результаты анализа отобразим в таблице 1.

Сравнительный анализ УМК на предмет изучения элементов теории множеств

^^^^^АвторУМК Критерий сравнения ^^^^^^^^ Босова Л.Л. Угринович Н.Д. Поляков К.Ю.

Уровень материала Базовый Базовый Базовый/ Углублённый

Основные понятия множество, подмножество, объединение множеств, пересечение множеств, дополнение. множество, универсальное множество, пересечение множеств, объединение множеств, дополнение, множество, дополнение, пересечение, объединение, диаграмма Эйлера-Венна, поисковый запрос.

вопросов и заданий к параграфу в учебнике + + ±

Наличие заданий в рабочей + +

На примере этих же УМК рассмотрим методические особенности обучения элементам теории множеств.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что тема, связанная с теорией множеств, наиболее удачно раскрывается в учебниках Босовой Л.Л. и Полякова К. Ю.. Однако во всех трёх УМК отсутствуют задачи с занимательным содержанием. Задания, предлагаемые авторами, скорее носят «тренировочный» характер. Для развития обучающихся нужно ставить нестандартные задачи «практического» характера, способ решения которых они не знают. Отсюда возникает необходимость в разработке системы таких задач, которые позволят освоить обучающимся теорию множеств не на поверхностном, а на более глубоком уровне.

Система задач по теме «Элементы теории множеств» будет включать:

1) задачи на понятие множества, элемента множества;

2) задачи на операции над множествами;

3) задачи на запросы в поисковых системах;

4) задачи, решаемые с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Задания на понятие множества, элемента множества:

1) Путем перечисления всех элементов задайте:

а) множество букв в слове «информатика»;

б) множество всех цифр, которые используются для записи чисел в

шестеричной системе счисления;

в) множество нечётных двухзначных чисел, кратных семи.

2) Определите количество элементов в следующих множествах:

а) множество героев сказки «Колобок»;

б) множество решений уравнения: (х-3)(х+4)(х-2)=0.

3) В данном множестве все элементы, кроме одного, обладают некоторым свойством. Опишите это свойство и найдите элемент, не обладающий им.

Задачи на операции над множествами

1) Множество А — школьники, участвующие в соревновании по лёгкой атлетике, множество В — школьники, участвующие в соревновании по шахматам. Осуществите следующие операции АПВ, А иВ, А\В, В\А и дайте им графическую интерпретацию с помощью диаграмм Эйлера-Венна, если A = ^ = .

2) Определите, из каких элементов состоит множество С, если известно, что: А -множество студентов филологического факультета, В — множество всех студентов педагогического университета и С = А П В?

3) Согласно статистике 60% города владеют английским языком, а 30% — немецким. На обоих языках могут разговаривать 10%. Каков процент людей этого города, не владеющих ни одним из языков?

Задачи на запросы в поисковых системах

1) Ниже приведены результаты поисковых запросов в сети Интернет (символ « » обозначает операцию И, а «|» — операцию ИЛИ)._

Запрос Найдено страниц (в тысячах)

соборы замки 800

соборы замки 210

Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу соборы?

2) Ниже приведены результаты поисковых запросов в сети Интернет (символ « » обозначает операцию И, а «|» — операцию ИЛИ)._

Запрос Найдено страниц (в тысячах)

подарки ёлки 430

фейерверки ёлки 390

(фейерверки подарки)ёлки 560

Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу фейерверки подарки ёлки? 3) Ниже приведены результаты поисковых запросов в сети Интернет (символ « » обозначает операцию И, а «|» — операцию ИЛИ)._

Запрос Найдено страниц (в тысячах)

Италия Греция 350

Греция (Италия Чехия) 558

Италия Греция Чехия 220

Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Греция Чехия?

Задачи, решаемые с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

1) 100 человек принимали участие в опросе. Цель опроса заключалась в том, чтобы выяснить, каким социальным сетям люди отдают предпочтение: «Вконтакте», «Instagram» или «^кТок». В результате 12 человек назвали «Вконтакте», 21 — «Instagram», 29 — «ЛкТок». Однако среди опрошенных были и те, кто не смог до конца определиться с выбором. Так, 7 человек сказали, что отдают одинаковое предпочтение «Вконтакте» и «Instagram», 15 человек — «^кТок» и «Instagram», 5 человек — «Вконтакте» и «^кТок», а четверо из опрошенных утверждали, что социальными сетями не пользуются вообще. Некоторые ответили, что отдают одинаковое предпочтение и «Вконтакте», и «Instagram», и «^кТок». Сколько было таких людей?

Решение: Решим задачу с помощью кругов Эйлера (Рис. ).

Рис. 2. Решение задачи

Обозначим за I область людей, которые предпочитают «Вконтакте», II — «Instagram», III — «TikTok», IV — «Вконтакте» и «Instagram», V — «TikTok» и «Instagram», VI — «Вконтакте» и «TikTok», VII — «Вконтакте», «Instagram» и «TikTok».

Значит, чтобы узнать, какое количество людей предпочитают все три социальные сети, нужно:

2) У троих друзей имеется общее поле (прямоугольной формы), на котором они вместе выращивают картофель. Друзья поливают картофель по очереди, заранее договариваясь. На этот раз договориться им не удалось, так как следующий день обещал быть нестерпимо жарким и никто не захотел работать в такую погоду. На следующее утро один из друзей, решив, что его товарищи не станут ездить на поле, поехал поливать картофель. Однако из-за жары он не смог закончить работу и полил всего лишь 80 % поля. Через несколько часов, когда вода уже успела впитаться, на поле приехал второй из друзей. Он, как и первый, решил сам полить картофель. Однако работу он не закончил и успел полить лишь 70 % от всего поля. Спустя некоторое время точно также поступил и третий, при этом он полил 60 % поля. Сколько процентов поля заведомо было полито 3 раза за этот день? Считается, что нет участка земли, которое не было полито.

1. Авторские мастерские. Информатика. — Текст: электронный // Издательство «БИНОМ. Лаборатория знаний»: [сайт]. — URL: https://lbz.ru/metodist/authors/informatika/ (дата обращения: 21.01.2022).

2. Босова Л.Л. Занимательные задачи по информатике / Л. Л. Босова, А. Ю. Босова, Ю. Г. Коломенская. — 5-е изд. — Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. -152 c.

3. Босова Л.Л. Информатика. 8 класс: учебник / Л. Л. Босова, А. Ю. Босова. — 6-е изд. — Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2016. — 176 c.

4. Поляков К.Ю. Информатика. 9 класс / К. Ю. Поляков, Е. А. Еремин. — Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2019. — 288 c.

5. Поляков К.Ю. Информатика. 9 класс: рабочая тетрадь в 2-х ч. Ч. 1 / К. Ю. Поляков, Е.А. Еремин. — Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2019. — 96 c.

6. Примерная основная образовательная программа основного общего образования (одобрена решением федерального учебно-методического объединения по общему образованию, протокол от 08.04.2015 № 1/15). — Текст: электронный // Судебные и нормативные акты РФ: [сайт]. — URL: https://sudact.ru/law/primernaia-osnovnaia-obrazovatelnaia-programma-osnovnogo-obshchego-obrazovaniia/1/1.2/1.2.5/1.2.5.9/ matematicheskie-osnovy-informatiki/ (дата обращения: 20.01.2022).

7. Угринович Н.Д. Информатика: учебник для 9 класса / Н.Д. Угринович. — 4-е изд. — Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2016. — 152 c.

Что такое множество в информатике

Объекты и множества — что это?свойства и совокупность

Объекты и множества — что это? свойства и совокупность

Имена объектов

Признаки объектов

Тема 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И КОМБИНАТОРИКА

7.2. Операции над множествами

Свойства разности и дополнения:

7.3. Основные формулы комбинаторики

Вопросы

Множества

Рекомендуемые лекции

ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ИНФОРМАТИКИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Кривоплясова Е.В., Давлетова Р.А.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Кривоплясова Е.В., Давлетова Р.А.

Текст научной работы на тему «ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ИНФОРМАТИКИ»

Добавить комментарий Отменить ответ