1. Основные понятия
2) мы имеем формулу для расчёта расстояния между двумя точками, если знаем координаты точек AB = x A − x B 2 + y A − y B 2 , а если так, то квадрат расстояния AB 2 = x A − x B 2 + y A − y B 2 .
Допустим, что центр окружности находится в точке C x C ; y C , а радиус окружности равен \(R\).
Любая точка P x ; y на этой окружности находится на расстоянии \(R\) от центра \(C\), значит, справедливо равенство
x − x C 2 + y − y C 2 = R 2 .
Это и есть уравнение окружности с центром \(C\) и радиусом \(R\). Координаты всех точек, которые находятся на окружности, удовлетворяют уравнению.
Если центр окружности находится в начале координат 0 ; 0 , то уравнение имеет вид
x 2 + y 2 = R 2 .
Уравнение прямой
Для выведения уравнения прямой проведём эту прямую как серединный перпендикуляр некоторому отрезку с данными координатами конечных точек отрезка.
Известно, что все точки серединного перпендикуляра находятся на равных расстояниях от концов отрезка.
Координаты концов отрезка A x A ; y A и B x B ; y B . Любая точка P x ; y находится на равных расстояниях от конечных точек PA = PB , конечно, равны и квадраты расстояний PA 2 = PB 2 , значит, справедливо равенство
x − x A 2 + y − y A 2 = x − x B 2 + y − y B 2 , которое и есть уравнение прямой.
После возведения выражений в скобках и приведения подобных слагаемых
x 2 − 2 ⋅ x ⋅ x A + x A 2 + y 2 − 2 ⋅ y ⋅ y A + y A 2 =
= x 2 − 2 ⋅ x ⋅ x B + x B 2 + y 2 − 2 ⋅ y ⋅ y B + y B 2 ;
2 ⋅ x ⋅ x B − 2 ⋅ x ⋅ x A + 2 ⋅ y ⋅ y B − 2 ⋅ y ⋅ y A + x A 2 − x B 2 + y A 2 − y B 2 = 0 ;
Как найти координаты центра по двум точкам
Как можно найти координаты центра окружности которая бы проходила через эти две точки?
Дополнен 4 года назад
Голосование за лучший ответ
по двум точкам можно найти только одну из двух координат. и то, как функцию другой
ЦарьУченик (177) 4 года назад
посмотрите пожалуйста по рисунку, вопрос не в том)
viv2537 Оракул (85623) не найти без 3ей точки или радиуса.
нужен радиус
ЦарьУченик (177) 4 года назад
радиус нужно подобрать, не важно какой
Молли Маллоун Мыслитель (7968) если не важно, то можно принять эти точки как лежащие на противоположных концах диаметра окружности и центр будет в середине соединяющего их отрезка х=(х1+х2)/2 у=(у1+у2)/2
Деточка, вся беда в том, что через две точки на плоскости можно провести только ОДНУ прямую. А вот окружностей можно провести БЕСЧИСЛЕННОЕ МНОЖЕСТВО.
Похожие вопросы
Определение координат центра окружности
При выполнении геодезических работ, связанных с измерениями «круглых» объектов — часто бывает необходимо точно рассчитать геометрический центр этого объекта. То есть задача сводится к определению центральной точки окружности, имея координаты нескольких точек «по контуру» этой окружности.
Например, при работах, по определению вертикальности стенок РВС (резервуар вертикальный стальной) геодезист набирает данные по стенкам резервуара. То есть по сути «обходит вокруг резервуара». Но для оформления исполнительной необходимо начертить этот самый резервуар. Большинство программ способно чертить окружность «по трем точкам», но часто этого бывает не достаточно.
Решать эту проблему я предлагаю с помощью програмки в экселе.
Слева в колонке «окружность» можно ввести координаты 10-ти точек по контуру этой окружности. Далее программа переберет все варианты использования этих точек и в колонке «центр» выведет координаты центра для каждого варианта из 3-х точек. В графе «радиус» считаются рабочие радиусы окружности для каждого варианта.
Внизу в желтых ячейках можно видеть окончательные варианты решений (слева-направо):
- Координаты «усредненного центра окружности» на основании всех наблюдений.
- Вычисленный «средний радиус» окружности (9,98706м)
- Средне квадратическое отклонение для вашего набора измерений (30,835..мм). По сути — это ваша точность определения центра радиуса окружности.
Таким образом можно получить координаты центра окружности по координатам точек на «контуре» окружности, получить средний радиус окружности по результатам измерений и оценить точность ваших измерений.
Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах
Уравнение окружности — это алгебраический способ описания всех точек, лежащих на некоторой окружности. То есть если координаты точки x и y обращают уравнение окружности в равенство — эта точка принадлежит данной окружности. Существуют разные формы записи уравнения окружности:
- общее уравнение окружности
- стандартное уравнение окружности 1
- параметрическое уравнение окружности
- уравнение окружности в полярных координатах
Общее уравнение окружности
Общее уравнение окружности с центром и радиусом выглядит так:
,
где
В таком виде довольно сложно судить о свойствах заданной этим уравнением окружности, а именно, о координатах центра и радиусе. Но эту форму достаточно легко привести к стандартной форме (ниже), которая гораздо нагляднее.
Стандартное уравнение окружности
Стандартное уравнение окружности с центром и радиусом выглядит так:
Переход от общей формы к стандартной заключается в применении метода выделения полного квадрата. Получив стандартную форму, можно легко узнать координаты центра и радиус. Подробнее можно посмотреть здесь — Метод выделения полного квадрата и здесь — Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности.
Параметрическое уравнение окружности
Параметрическое уравнение окружности с центром и радиусом выглядит так:
Уравнение называется «параметрическим», потому что и x и y зависят от «параметра» тета. Это переменная, которая может принимать любые значения (но конечно это должно быть одно и то же значение в обоих уравнениях). Для параметрического уравнения используется определение синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике построенном на радиусе и перпендикуляров от точки на окружности до координатных осей.
Уравнение окружности в полярных координатах
Для записи уравнения окружности в полярных координатах требуются полярные координаты центра окружности по отношению к началу координат. Если полярные координаты центра окружности — это , то полярные координаты точки окружности должны удовлетворять следующему уравнению:
,
где a — радиус окружности.
- Так, во всяком случае, его называют в англоязычной литературе. Насчет русского термина я не уверен, по-моему эту форму рассматривают просто как еще один способ записи общего уравнения окружности, тем более что переход от общего уравнения к стандартному довольно простой. ↩