Любимое число шелдона 73 почему

В поисках числа лучше, чем у Шелдона Купера

Любимое число Шелдона Купера — 73, т.к. оно обладает рядом занимательных особенностей. Можно ли найти число, у которого их будет ещё больше?

Александр Клименков
кандидат технических наук, Tech Lead Bercut

Шелдон Купер — человек, который обожает свой разум

Сериал «Теория Большого взрыва» мало кого оставил равнодушным, как и его главный герой Шелдон Купер — гениальный физик-теоретик и доктор наук, программист с эйдетической памятью и интроверт, большой любитель правил и систематизации, идеального порядка и чистоты. Кстати, в нашей нынешней реальности зацикленность Шелдона на гигиене, обработка рук санитайзером и распыление антисептика на своих коллег и знакомых с малейшими признаками простуды нам уже не кажутся такими уж эксцентричными действиями.

Шелдон не только влюблён в науку, но и как истинный последователь Ричарда Фейнмана, постоянно изобретает множество увлекательных вещей, игр и занятий. Например, он придумал игру «Камень — ножницы — бумага — ящерица — Спок», трёхмерные шахматы и карнавальный костюм эффекта Доплера (его, правда, на той вечеринке все принимали за зебру).

Ещё Шелдон обожает пошутить (вспомним его «Бугагашеньку!» — Bazinga!), и по всем вопросам во Вселенной у него есть своё оригинальное мнение. Например: «Когда мы убиваем в детях способность критически мыслить, говоря, что кролики появляются из шляп, мы создаём взрослых, которые верят в астрологию и гомеопатию». Или как тут не вспомнить его замечательное высказывание «На моём новом компьютере стоит Windows 7. В ней более дружелюбный интерфейс, чем в Windows Vista. Мне это не нравится…».

Естественно, Шелдон, как и любой настоящий учёный, обожает математику и числа. Однажды он сказал, что «чувствует себя как функция арктангенса, которая приближается к асимптоте». В сериале есть множество смешных моментов, посвященных науке, и конечно же математических шуток. Одна из них — про любимое число Шелдона Купера.

Лучшее число — 73

Давайте вспомним, какие аргументы привёл Шелдон в защиту этого смелого утверждения. Итак:

• 73 — это 21-е простое число;
• зеркальные отражения, или переставленные местами разряды, 73 и 21 — это 37 и 12;
• при этом 37 — это 12-е простое число;
• перемножив цифры 73, можно получить 21;
• двоичное представление 73 — это 1001001, что является палиндромом.

В сериале это звучит эффектно, особенно в исполнении харизматичного Шелдона. Но, если это напечатать и перечитать внимательно, то аргументы выглядят не особо убедительно. Сразу возникает вполне резонный вопрос: почему сценаристы сериала выбрали именно это число в качестве любимого числа Шелдона? Неужели такой умный и гениальный учёный, в будущем лауреат Нобелевской премии, не смог найти число поинтереснее?

Ответ на этот вопрос я нашёл в книге Дэйва Зобеля «Теория Большого взрыва: наука в сериале». Оказывается, таким нехитрым способом сценаристы решили отметить 73-ий эпизод сериала, а заодно и упомянуть год рождения исполнителя главной роли Джима Парсонса — 1973. Всё встало на свои места, но число 73 от этого не стало более уникальным. Конечно, сами свойства числа выглядят занимательными. Более того, математики доказали, что 73 — это единственное число, обладающее указанными Шелдоном свойствами. Но можно ли подобрать более интересное число, у которого будет еще больше особенностей?

Лучшее число — 89

Новогодние каникулы — самое подходящее время для того, чтобы решать подобные задачи. Сначала у меня возникла идея написать программу, которая последовательно проверяла бы все числа на соответствие разным гипотезам. Гипотезы могли бы быть самыми разными. Самые простые: это вхождение числа в известные последовательности. Например, в ряд простых чисел или чисел Фибоначчи. Можно было придумать и что-нибудь посложнее. Например, сумма цифр числа является простым числом. Также интересно проверить на «особенность» первые вхождения рассматриваемого числа в дробную часть чисел e и pi. Таких гипотез можно придумать очень много. В итоге самым интересным будет число, для которого подтвердится наибольшее число гипотез.

Но неожиданно программу писать не пришлось. Чтобы поэкспериментировать с числами, я взял первое попавшееся число до 100, которое одновременно является простым числом и числом Фибоначчи. Им оказалось число 89. Для него я начал проверять разные пришедшие в голову гипотезы, и вот, что у меня получилось:

1. 89 — это простое число.
2. 89 — это 11-е число Фибоначчи. 11 — это тоже простое число.
3. Сумма цифр 8 + 9 = 17 — это тоже простое число.
4. 89² = 7921 — это число, хоть и не простое, но сумма его чисел — простое число 19.
5. Но, что интереснее, если число 7921 записать наоборот, то получится число 1297 — оно тоже простое.
6. В дробной части числа e число 89 впервые встречается на месте 218. Сумма цифр этого числа — тоже простое число 11. Кстати, про число 11 — смотри пункт 2.
7. Угадайте, на каком месте число 89 впервые встречается в дробной части числа π? На 11-м!
8. В двоичной форме число 89 записывается как 1011001. Если прочитать это двоичное число наоборот, то получится 1001101. Это число 77, которое является суммой первых восьми простых чисел. Согласен, по сравнению с предыдущими, этот пункт выглядит натянутым, но всё равно интересно.

Это те гипотезы, которые я проверил сразу. На моё удивление, все они дали положительный результат. Если само полученное число было ничем не примечательным, то я прибегал к уже испытанному Шелдоном способу — придумывал различные производные от числа (как, например, в случае с квадратом числа 89). Осечка случилась только в одной гипотезе — перемножение цифр 8 и 9 дало число 72. С ним я ничего такого сделать не смог. Хотя, постойте, давайте проверим, какое там 72-е простое число. Нет, опять мимо — 359 нам никак не подходит.

На этом идеи у меня кончились, и я пошёл в Википедию за дополнительной информацией. Оттуда я почерпнул ещё два пункта:

1. 89 равняется сумме 8 в первой степени и 9 во второй степени.
2. 89 — это число Маркова — вместе с числами 1 и 34 оно является решением уравнения x²+y²+z²=3xyz.

Думаю, моё число является гораздо более замечательным, чем число Шелдона Купера! Заметьте, я специально не выбирал число, просто взял первое, показавшееся мне интересным. Как сказал Леонард Хофстедтер, сосед и лучший друг Шелдона в сериале, это было настоящее «чудо сатурналий».

Так что теперь моё любимое число теперь — 89. Пока я не нашёл другое, ещё более интересное.

Лучшее число — x

На самом деле, таким образом можно экспериментировать практически с любыми числами. У многих есть такое любимое или «счастливое» число с детства, например, удачный номер билета на экзамене. Можно поупражняться в преобразовании этого числа. В результате тех или иных изменений с этим числом будут получаться всякие интересные результаты, которые можно записать в список. Например, можно проверить число 42, которое, как известно, является «ответом на главный вопрос жизни, вселенной и всего такого». Причины «интересности» числа могут быть самыми неожиданными. Мир чисел — это вообще крайне загадочная и захватывающая вещь, как и вся математика в целом.

Я думаю, что если всё же написать программу проверки разных гипотез, то можно найти и ещё более интересные числа. Для простых гипотез можно использовать обычные программные вычисления, а для проверки более сложных гипотез подойдут уже готовые массивы чисел в текстовых файлах. Например, такие:

• Огромные списки простых чисел от 10 тысяч до 2 миллиардов штук.
• Число e с точностью от 2 до 10 миллионов знаков.
• Число π с точностью до миллиардного знака.

Только нужно учесть, что файлы будут немаленькими. Например, текстовый файл с числом π (последний в списке) имеет размер 954 мегабайта.

Последовательность чисел Фибоначчи можно получить с помощью несложной программы. Кстати, Tproger недавно описывал получение такой последовательности как одну из задач для начинающих программистов.

Идеи для разных гипотез можно почерпнуть на ещё одном интересном ресурсе: онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей (сокращённо OEIS) — oeis.org. В этой энциклопедии собрано множество разных последовательностей, в которые складываются целые числа. В ней есть не только известные последовательности, такие как простые числа или числа Фибоначчи, но и менее известные, как, например, числа Белла.

Кстати, гипотезы для проверки чисел не обязательно забивать напрямую в программный код. Возможно, их можно было бы генерировать случайным образом.

Лучшее число — дата рождения

Поиск закономерностей в числах — это вообще очень результативное и интересное занятие. Такие закономерности встречаются далеко не так редко, как может показаться на первый взгляд. Для примера рассмотрим даты рождения. Ведь для многих дата рождения — это и есть то самое счастливое любимое число. Например, красивая дата 22.02.77 выглядит очень лаконично и легко преобразуется в простое число 22277, входящее во множество чисел-близнецов.

Наверняка, вы найдете для «своих» чисел много интересных особенностей. Например, в дробной части числа π можно найти не только ответы на все «главные вопросы жизни», но и любую дату. Кстати, это весьма оригинальный способ бросить жребий. Записываем дни рождения каждого участника в заранее оговорённом формате. Можно использовать любой: хоть ДДММГГГГ, хоть ГГГГММДД, а можно сократить год до двух цифр. Затем просто ищем, чьё число встречается раньше в дробной части числа π. Или позже — это уж как договоритесь. Для этого можно использовать готовый текстовый файл (см. выше) или, например, этот сайт.

Конечно, метод дат рождения срабатывает только один раз. В последующих розыгрышах нужно либо называть другие даты, либо использовать любые другие достаточно большие числа с заданным числом цифр. Главное, чтобы среди загадывающих не было того, кто знает большое количество цифр числа π наизусть.

Ещё одна закономерность, связанная с датами, называется «парадокс дней рождения». Он формулируется следующим образом: в группе, состоящей из 23 или более человек, вероятность совпадения числа и месяца рождения хотя бы у двух людей превышает 50%. На первый взгляд это утверждение противоречит здравому смыслу: в голове не укладывается, что в такой маленькой группе настолько вероятно появление одинаковых чисел из ряда от 1 до 365. А знаете, какова вероятность этого события для группы из 57 человек? Наверное, вы мне не поверите, но она равна 99 процентам. Подробный разбор этого парадокса есть в Википедии. Кстати, если у вас есть доступ к достаточно большому массиву дат рождений (например, список сотрудников вашей компании), то вы можете проверить этот парадокс экспериментально. В компании Bercut, на нашем корпоративном портале размещено много полезной информации для сотрудников. Например, у нас есть удобная страница для просмотра дней рождения сотрудников (конечно, без указания года рождения). Проверка по этому списку полностью подтвердила существование парадокса дней рождения.

В математике нет ничего неважного

Оказывается, в мире чисел совпадения и закономерности — это не такое редкое событие, как может показаться на первый взгляд. Главное — не забывать о бритве Оккама и не делать далеко идущих выводов в стиле нумерологии, астрологии или новой хронологии. Не будем множить сущности без необходимости.

Исследование различных числовых множеств — это не просто интересная задача и еще один подходящий повод заняться программированием. Возможно, очередная найденная закономерность приведёт к появлению нового интересного алгоритма. Вот как об этом пишет в своей книге Дэйв Зобель:

Так, например, стало с простыми числами, которые теперь широко используются в криптографии. Математика — такая наука, в которой любое развлечение приносит свою пользу. Надо только немного пораскинуть мозгами, чтобы эту пользу отыскать.

Следите за новыми постами по любимым темам

Подпишитесь на интересующие вас теги, чтобы следить за новыми постами и быть в курсе событий.

Математики доказали «превосходство» числа 73 над остальными числами

В 73-й серии сериала «Теория большого взрыва» Шелдон Купер заметил, что число 73 обладает тремя нетривиальными свойствами, которые делают его «самым замечательным числом». На тот момент это утверждение было голословным, поскольку математики не знали, является ли 73 единственным числом с перечисленными свойствами. Теперь же «превосходство» числа 73 доказали строго.

Шелдон: Самое замечательное число — 73. Вы, скорее всего, теряетесь в догадках почему. 73 — это 21-ое простое число. Его зеркальное отражение 37 является 12-ым, чье отражение 21 является результатом умножения, не упадите, 7 и 3. Ну, не обманул?

Леонард: Убедил. Число 73 — Чак Норрис всем числам.

Шелдон: Чак Норрис нервно курит в сторонке. В двоичной системе 73 — еще и палиндром. 1001001, что справа налево читается как 1001001, то есть абсолютно идентично. А ваш Чак Норрис задом наперед всего лишь Сиррон Кач.

Переформулируем заявление Шелдона на математическом языке. Обозначим n-ое простое число как p(n). Определим «зеркальное» число m(x), которое получается перестановкой цифр числа x в десятичной записи. Например, m(922) = 229, m(6) = 6, m ( 1200) = 21. Тогда первое свойство запишется как m(p(n)) = p(m(n)). Теперь введем функцию П(x), которая возвращает произведение цифр числа x в десятичном представлении. Например, П(647) = 168, П(81) = 8, П(1024) = 0. В этих обозначениях второе свойство выглядит как П(p(n)) = n. Наконец, назовем число, которое обладает свойствами «зеркальности» и «произведения», числом Шелдона. Тогда «превосходство» числа 73 над всеми остальными числами означает, что 73 является единственным числом Шелдона.

Ищем контрпримеры к гипотезе Шелдона

К сожалению, на момент формулировки это утверждение было голословным: никто — кроме, возможно, самого Шелдона — не проверял, что других чисел с перечисленными свойствами не существует. Тем не менее, с помощью довольно простого анализа можно убедиться, что свойства зеркальности и произведения являются чрезвычайно ограничительными. Следовательно, если контрпримеры к гипотезе Шелдона и существуют, то они лежат далеко за пределами обозримого множества простых чисел, то есть искать их простым перебором будет сложно.

Сначала рассмотрим свойство «зеркальности», которое на самом деле разбивается на два утверждения. Во-первых, это свойство означает, что число m(p(n)) является простым. В принципе, чисел, которые удовлетворяют этому свойству, довольно много: среди первых десяти миллиардов простых чисел почти 15 процентов имеют «зеркального» собрата. В частности, в первом десятке таких чисел семь: это 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Во-вторых, число m(p(n)) со свойством «зеркальности» также должно быть m(n)-ым по счету простым. Это ограничение гораздо жестче. Очевидно, ему удовлетворяют однозначные простые числа (2, 3, 5, 7), а также пара 37 и 73. Однако помимо этих тривиальных примеров среди первых десяти миллиардов простых чисел встречается только одно число со свойством «зеркальности» — это p(8114118) = 143787341. Интересно, что в этом случае и n, и p ( n) являются палиндромами.

Свойство «произведения» ограничивает множество кандидатов на число Шелдона гораздо сильнее, чем свойство «зеркальности». Прежде всего, из него следует, что десятичная запись числа p(n) не содержит нуля. Если считать, что все десять цифр в записи числа встречаются с одинаковой вероятностью, то это ограничение оставит из простых чисел длиной n порядка 0,9 n чисел. Чем больше n, тем меньше вероятность встретить число со свойством «произведения». Например, для n = 512 эта вероятность не превышает 4,6×10 −24 . Впрочем, гипотеза о равномерном распределении цифр в записи простых чисел не доказана (и, вероятно, даже не верна), поэтому это соображение носит скорее качественный характер.

Тем не менее, с помощью свойства «произведения» все равно можно надежно исключить большое множество простых чисел. Заметим, что все простые делители числа П(x) ограничиваются множеством , поскольку П(x) получается умножением десятичных цифр. Математики называют такое число 7-гладким. Следовательно, из анализа можно выбросить все простые числа, номер которых делится на простое число больше семи. Это заметно снижает множество возможных кандидатов на число Шелдона.

Это множество можно сузить еще сильнее, если воспользоваться ограничениями на функцию p(n). Из известной теоремы о распределении простых чисел, доказанной в 1896 году Жаком Адамаром, следует, что при больших n функция p(n) ≈ n•ln(n). Например, миллионное простое число примерно равно p(1000000) ≈ 1000000•ln(1000000) ≈ 13815510 (в действительности p(1000000) = 15485863). Более того, около двадцати лет назад были доказаны более строгие соотношения, которые не просто говорят об асимптотическом поведении p(n), но и строго ее ограничивают: n•ln(n) + n•ln(ln(n)) − n < p(n) < n•ln(n) + n•ln(ln(n)) для всех n ≥ 6. С помощью этого ограничения можно показать, что номер числа Шелдона не делится на сто: если это не так, то после зеркального отражения длина номера уменьшится на два (например, m(13700) = 731), а потому отвечающее ему простое число будет слишком коротким, чтобы длины чисел p(n) и p(m(n)) совпали (очевидно, простое число не может заканчиваться на ноль).

Таким образом, номер простого числа-кандидата на число Шелдона должен быть 7-гладким числом, которое не делится на сто. Оказывается, что это условие чрезвычайно ограничительно. Среди первого миллиарда простых чисел только 3039 чисел удовлетворяют обоим свойствам. Более того, после полноценной проверки свойства «произведения» из этих кандидатов остается только три числа: 17, 73 и 2475989 (7-ое, 21-ое и 181440-ое простое число соответственно). Очевидно, свойство «зеркальности» оставляет из них только 73.

Поэтому кажется крайне маловероятным, что существует несколько чисел Шелдона. Впрочем, в математике такие интуитивные соображения не работают: иногда гипотезы опровергаются только очень сложными контрпримерами, которые невозможно угадать заранее. Поэтому хотелось бы все-таки доказать гипотезу Шелдона строго.

Насколько нам известно, впервые гипотеза Шелдона привлекла внимание математического сообщества в 2015 году, когда математики Джесси Бирнс (Jessie Byrnes), Крис Спайсер (Chris Spicer) и Алисса Тёрнквист (Alyssa Turnquist) строго ее переформулировали и провели предварительный качественный анализ. Свою заметку ученые опубликовали в журнале Math Horizons, который предназначен для «студентов, заинтересованных математикой». Собственно, на момент написания заметки два ее соавтора (Бирнс и Тёрнквист) сами были студентами.

Доказываем гипотезу

В феврале этого года гипотеза Шелдона, наконец, была строго доказана: математики Крис Спайсер и Карл Померанс (Carl Pomerance) показали, что не существует чисел, которые одновременно обладают свойствами «зеркальности» и «произведения», кроме 73. Это доказательство полагается на следующие три утверждения.

Во-первых, математики показали, что простое число Шелдона не может превосходить 10 45 . Для этого ученые воспользовались соотношением, доказанным в 1962 году Баркли Россером (Barkley Rosser) и Лоуэлом Шёнфельдом (Lowell Schoenfeld): функция π(x), подсчитывающая число простых чисел на отрезке [2; x], строго больше x/ln(x) для всех x ≥ 17. Предположим, что в десятичной записи n-ого простого числа p(n) содержится k цифр, причем первая цифра в точности равна a. Тогда из свойства «произведения» следует, что число n не может быть больше, чем a × 9 k − 1 . В то же время, само число p(n) ≥ a × 10 k − 1 . Следовательно, из теоремы Россера и Шёнфельда следует следующее соотношение:

a × 9 k − 1 > a × 10 k − 1 /ln(a × 10 k − 1 ) ⇒ ln(a) + (k − 1) ln(10) > (10/9) k − 1 .

Левая сторона этого неравенства растет по k линейно, а правая — экспоненциально. Следовательно, рано или поздно неравенство нарушится. Кроме того, если это неравенство нарушается для a = 9, то для других цифр оно также выполняться не будет. Путем несложного вычисления можно найти, что для всех k ≥ 46 оно не выполняется. Следовательно, простое число Шелдона не превосходит 10 45 .

Во-вторых, немного усложнив анализ 2015 года, который мы уже упомянули в этом блоге, Спайсер и Померанс установили, что простое число Шелдона обладает следующими свойствами:

1. Его номер n является 7-гладким числом;
2. Первая цифра числа p(n) принимает значения из множества ;
3. Число цифр числа с «зеркальным» номером p(m(n)) совпадает с числом цифр p(n);
4. n не делится на 625;
5. Если p(n) > 10 19 , то n не делится на 125;
6. n не делится на 100;
7. Десятичная запись числа p(n) не содержит нуля, а единица может стоять только в самом его начале;
8. Первая цифра p(m(n)) принимает значения из множества .

Наконец, исследователи вывели ограничение на функцию p(n), которое позволяло быстро оценить первые несколько цифр кандидата на число Шелдона. Для этого ученые приблизили функцию π(x) обратным интегральным логарифмом li −1 (x) (интегральный логарифм исследователи определили как li(x) ≡ ∫₂ x dt/ln(t), а li −1 (li(x)) ≡ x). Если точнее, с помощью нескольких промежуточных лемм Спайсер и Померанс вывели следующее соотношение, которое выполняется для всех p(n) > 10 19 :

где функция E(x) = (5,5 × 10 9 + 2,3 × 10 −8 li(x) + 10 −11 x)∙ln(x).

Затем исследователи использовали выведенное ограничение на функцию p(n) и нашли первые пять цифр числа p(n). Перемножая эти числа и умножая их на нужную степень девяти, ученые получили ограничение сверху на произведение П(n) и отбросили всех кандидатов, для которых этот ограничение не дотягивало до n. Подобный отбор пережило 991 число, тогда как для 168 чисел однозначно восстановить первые пять цифр вообще не удалось. После этого ученые повторили подобный анализ, оценивая первые шесть чисел числа. В результате среди всех кандидатов осталось всего 141 число, которое прошло обе проверки, 168 чисел, которые не удалось исключить на первом этапе, и 29 чисел, которые не удалось исключить на втором этапе.

Для оставшихся 338 кандидатов ученые нашли p(m(n)) и проверили, что число его цифр совпадает с p(n), а первая цифра принадлежит множеству . Это сузило область поисков до 45 кандидатов. Все они были достаточно малы, чтобы можно было однозначно восстановить первые пять цифр числа p(m(n)). Придерживаясь той же стратегии, что и для чисел p(n), ученые показали, что произведение П(m(n)) не дотягивает до n (очевидно, П(m(n)) = П(n)).

Более подробное доказательство гипотезы Шелдона можно найти в препринте, подготовленном Спайсером и Померансом.

Внимательный читатель мог заметить, что Шелдон упоминал о еще одном свойстве числа 73: двоичная запись этого числа является палиндромом. Теперь очевидно, что это замечание служило скорее «вишенкой на торте», то есть не было необходимым для доказательства «превосходства» 73 над остальными числами. Тем не менее, оно также указывает на возможные обобщения гипотезы Шелдона на другие системы записи чисел. Если бы человечество пользовалось другой системой, сколько бы в ней существовало чисел Шелдона? И существовали бы вообще? Пока что математики не пытались ответить на этот вопрос.

Все мы знаем, что любимое число Шелдона из Теории Большого Взрыва — 73. У него даже есть несколько рубашек с его изображением. Но вы когда-нибудь задумывались, почему из всех чисел Шелдон выбрал именно это?

Все мы знаем, что любимое число Шелдона из Теории Большого Взрыва — 73. У него даже есть несколько рубашек с его изображением. Но вы когда-нибудь задумывались, почему из всех чисел Шелдон выбрал именно это?

Подписывайтесь на нас в Инстаграм https://www.instagram.com/mephi_official/

of your page —>
29 октября, Воскресенье
Курс ЦБ: $ 0,95 € 1

Сегодня в тренде:

• ↘ МГУ
• ↗ ОГПУ
• = БГИТУ
• ↗ НИУ ВШЭ
• ↗ МГАВМиБ им. К.И. Скрябина
• ↗ ПГУПС
• ↗ СПбГУ
• ↗ ННГУ
• ↗ СПбПУ
• = ЛГПУ

Настоящий ресурс может содержать материал 16+

Теорию Шелдона из «Теории большого взрыва» доказали математики

В 73 эпизоде шоу «Теория большого взрыва» физик-теоретик Шелдон Купер заявил, что самое прекрасное число в мире — 73. Герой заметил, что оно является 21-м простым числом. У него есть зеркальное отражение — 37. Это 12-е простое число, чьё отражение 21 — результат умножения семи на три. Кроме того, 73 в двоичной системе — это палиндром, который в обе стороны читается как 1001001. На момент выхода серии утверждение о том, что только это число обладает подобными свойствами, было не подкреплено доказательствами. Математики же провели анализ и подтвердили, что 73 действительно уникально. Проверить исследование учёных могут все желающие: документ опубликован в сети. Научно-популярное развлекательное издание N+1 перевело всё на русский язык. Ранее портал KudaGo писал о дате выхода последней серии «Теории большого взрыва».

Необычные концерты в Соборе Петра и Павла. 12+

Джаз, средневековая и классическая музыка на органе. Реклама. ИП Романенко Олег Иванович. ИНН 771471613250

Смотреть расписание

Смотрите также:

• Другая Москва: необычные экскурсии по столице
• 10 концертов для влюблённых в музыку
• Вкусное утро: кулинарные мастер-классы по приготовлению завтраков
• Органная музыка в Москве
• Обучающие курсы в Москве

Если вы нашли опечатку или ошибку, выделите фрагмент текста, содержащий её, и нажмите Ctrl + ↵