Как найти центр окружности по двум точкам

Центр окружности по двум точкам и углу

Дуга окружности задана координатами двух точек и углом между прямой, соединяющей эти точки, и касательной к окружности.

Задача найти координаты цента и углы раскрыва относительно этого центра. Идеи?

alexru ★★★★
04.08.12 23:45:05 MSK

Бамажка + ручка + пять-десять минут времени

И да, тему — в talks, разработка к ней никакого отношения не имеет

~~Eddy_Em~~ ☆☆☆☆☆
( 04.08.12 23:47:37 MSK )
Последнее исправление: Eddy_Em 04.08.12 23:48:03 MSK (всего исправлений: 1)

Ответ на: комментарий от Eddy_Em 04.08.12 23:47:37 MSK

Может мне думать лень совсем, а решить нужно.

alexru ★★★★
( 04.08.12 23:51:07 MSK ) автор топика
Ответ на: комментарий от alexru 04.08.12 23:51:07 MSK
~~Eddy_Em~~ ☆☆☆☆☆
( 04.08.12 23:57:13 MSK )

Ищем центр отрезка, проводим из него перпендикуляр. Длина перпендикуляра — половина длины отрезка делить на синус заданного угла. С Вас 100$, можете перечислить их в РосПил. И да, поставленная задача имеет всегда два решения (так можно две окружности провести).

~~AIv~~ ★★★★★
( 05.08.12 00:09:01 MSK )

Бесплатная подсказка: по координатам концов дуги мы получаем вектор отрезка, стягивающего эту дугу. Опускаем перпендикуляр из центра этого вектора (вспоминаем формулы скалярных и векторных произведений) и находим точку пересечения его с перпендикуляром к касательной, проходящим через один из концов дуги.

~~Eddy_Em~~ ☆☆☆☆☆
( 05.08.12 00:13:07 MSK )
Ответ на: комментарий от AIv 05.08.12 00:09:01 MSK

Я уже сам решил, во первых. А во вторых, задача найти координаты цента и углы начала и конца дуги относительно этого центра. Так что задача решена не поностью.

alexru ★★★★
( 05.08.12 00:15:00 MSK ) автор топика
Ответ на: комментарий от alexru 05.08.12 00:15:00 MSK

Я уже сам решил, во первых. А во вторых, задача найти координаты цента и углы начала и конца дуги относительно этого центра. Так что задача решена не поностью.

Дуга окружности задана координатами двух точек и углом между прямой

Глава 13. Окружности

Чтобы построить произвольную окружность, вызовите команду Окружность . Укажите центр окружности. ▼ Если известно положение точки т , через которую проходит окружность, задайте эту точ! ку. т Центр Рис. 13.1. Построение окружности по центру и точке ▼ Если известно значение радиуса окружности, введите его в соответствующее поле на Па! нели свойств.

13.1.1. Окружность с осями

По умолчанию окружности строятся без осевых линий. При этом в группе Оси на Панели свойств активен переключатель Без осей . Чтобы создаваемая окружность имела осевые линии, активизируйте переключатель С осями . На фантоме окружности появятся оси, отрисованные по направлениям теку! щей системы координат. При построении окружностей остальных типов создание осей выполняется аналогично. Если вы начертили окружность без осей, а затем обнаружили, что нужно построить и ее оси, нет необходимости удалять окружность и создавать новую с осями. Войдите в ре! жим редактирования окружности, дважды щелкнув по ней мышью. Включите отрисовку осей и нажмите кнопку Создать объект на Панели специального управления. Оси можно построить также с помощью команды Обозначение центра (см. раздел 28.14 на с. 236). Осевые линии представляют собой системный макроэлемент — обозначение центра. Обозначение центра по умолчанию не связано с окружностью и при ее дальнейшем ре! дактировании (изменении радиуса или положения) не перестраивается.

13.2. Окружность по трем точкам

Чтобы построить окружность, проходящую через три заданные точки, вызовите команду Окружность по трем точкам .

Часть III. Геометрические объекты

Задайте точки т1 , т2 и т3 , через которые должна пройти окружность. Координаты центра окружности и ее радиус будут определены автоматически. т1 т2 т3 Рис. 13.2. Окружность по трем точкам

13.3. Окружность с центром на объекте

Чтобы построить окружность с центром на указанной кривой, вызовите команду Ок ружность с центром на объекте . Укажите объект, на котором должен лежать центр окружности. Задайте первую точку т1 , через которую проходит создаваемая окружность. ▼ Если известно положение второй точки т2 , лежащей на окружности, задайте ее. ▼ Если известно значение радиуса окружности, введите его в соответствующее поле на Па! нели свойств. На экране появятся фантомы всех вариантов окружностей, удовлетворяющих заданным параметрам. Активизируйте подходящий фантом и зафиксируйте его.

т1	т1
т2
а)	б)

Рис. 13.3. Окружности с центрами, лежащими на сплайне: а) проходящие через точки т1 и т2 , б) с равными радиусами и проходящие через точку т1 Чтобы перейти к построению окружностей с центром на другом объекте, нажмите кнопку Указать заново , а затем укажите курсором новый базовый объект.

13.4. Окружность, касательная к кривой

Чтобы построить окружность, касательную к заданной кривой, вызовите команду Ок ружность, касательная к кривой . Укажите объект, которого должна касаться окружность. ▼ Если известно положение точек т1 и т2 , принадлежащих создаваемой окружности, за! дайте их (рис. 13.4, а).

Глава 13. Окружности Вы можете ввести радиус окружности в соответствующее поле Панели свойств перед за! данием второй точки окружности. Однако построение касательной окружности возмож! но не при всех комбинациях положения точки на окружности ( т1 ) и значения радиуса. О невозможности построения свидетельствует исчезновение фантома окружности после ввода значения радиуса. ▼ Если известна точка центра окружности, задайте ее (рис. 13.4, б). На экране появятся фантомы всех окружностей, имеющих заданные параметры и каса! тельных к указанной кривой. т1 т2

а)

б)

Рис. 13.4. Окружности, касательные к эллипсу: а) проходящие через точки т1 и т2 , б) концентрические Активизируйте подходящий фантом и зафиксируйте его. Чтобы перейти к построению окружностей, касательных к другому объекту, нажмите кнопку Указать заново , а затем укажите курсором новый базовый объект.

13.5. Окружность, касательная к двум кривым

Чтобы построить окружность, касательную к двум указанным кривым, вызовите коман! ду Окружность, касательная к двум кривым . Укажите объекты, которых должна касаться окружность. ▼ Если известна точка т , принадлежащая создаваемой окружности, задайте ее. ▼ Если известно значение радиуса окружности, введите его в соответствующее поле на Па! нели свойств. На экране появятся фантомы всех окружностей, имеющих заданные параметры и каса! тельных к указанным кривым. Выберите нужный фантом и зафиксируйте его.

Часть III. Геометрические объекты
т

а)

б)

Рис. 13.5. Окружности, касательные к дуге и сплайну: а) проходящие через точку т , б) равных радиусов Чтобы перейти к построению окружностей, касательных к другим объектам, нажмите кнопку Указать заново , а затем последовательно укажите курсором два объекта.

13.6. Окружность, касательная к трем кривым

Чтобы построить окружность, касательную к трем указанным кривым, вызовите команду Окружность, касательная к трем кривым . Укажите первый, второй и третий объекты, касательно к которым должна пройти окруж! ность. Если среди указанных объектов есть эллипс или сплайн, система запросит указания при! мерного местоположения окружности. На экране появятся фантомы всех вариантов окружностей, касательных к указанным объектам. Активизируйте подходящий фантом и зафиксируйте его. Рис. 13.6. Окружность, касательная к двум эллипсам и отрезку Чтобы перейти к построению окружностей, касательных к другим объектам, нажмите кнопку Указать заново , а затем последовательно укажите курсором три объекта.

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Построить окружность по двум точкам и касательной

Построить окружность по двум точкам и касательной
02.03.2010, 10:21

Последний раз редактировалось AKM 24.05.2011, 11:13, всего редактировалось 1 раз.

Подскажите, пожалуйста, как можно решить задачу:
Дана прямая и две точки $A$ и $B$ по одну сторону от прямой. Провести через точки $A$ и $B$ окружность, касающуюся прямой.

Re: Задача на построение
02.03.2010, 10:31

$AB$

Ну, к примеру, для построения можно воспользоваться теоремой о касательной и секущей, за исключением тривиального случая, когда параллельна прямой.

Re: Задача на построение
02.03.2010, 10:40

Представьте, что всё уже сделано. Нарисуйте окружность, касательную к ней и две точки на окружности. Посмотрите, как располагается центр окружности по отношению к прямой и точкам. Подвигайте мысленно точки. И решение придёт к Вам. Посмотрите, при какой конфигурации решение невозможно. Какие есть особые случаи.

Re: Задача на построение
02.03.2010, 10:47

Проще всего наверно вспомнить, что центр окружности одинаково удален от двух касательных к ней.
А по сему живенько перпендикулярчик сооружаем к AB, проходящий через любую из этих двух точек, и вспоминаем свойство биссектрисы угла.

Re: Задача на построение
02.03.2010, 11:08
bot в сообщении #293804 писал(а):

$AB$

Да, наверное, только надо не забыть о том, что там будет два решения (за исключением того тривиального случая).

gris в сообщении #293806 писал(а):
Посмотрите, при какой конфигурации решение невозможно.

Ни при какой.
Re: Задача на построение
02.03.2010, 11:37

Нет решений будет одно.
Потому что если бы их было два, то тогда биссектрисы внутренних односторонних углов у прямых (два перпендикуляра к AB) при секущей (исходная прямая) пересекались бы в двух точках. Но это не так.

В предыдущем посте я упомянул про любой перпендикуляр просто потому, что центр окружности может быть найден двумя способами
1) Как точка пересечения бисссектрис этих внутренних односторонних углов
2) Как точка пересечения любой из этих биссектрис с серединным перпендикуляром к AB.

Но решений все равно одно.

Re: Задача на построение
02.03.2010, 11:44
Sasha2 в сообщении #293826 писал(а):
Нет решений будет одно.

Центр окружности лежит на пересечении серединного перпендикуляра к этим двум точкам и параболы, для которой прямая является директрисой, а ближайшая к ней из этих двух точек — фокусом. Прямая и парабола пересекаются в двух точках.

Re: Задача на построение
02.03.2010, 11:50
Да немножко смешал хорду AB с диаметром.
Re: Задача на построение
03.03.2010, 11:24

Если я правильно поняла, то решение задачи будет таким: проводим через точки $A$ и $B$ прямую. К отрезку $AB$ проведём серединный перпендикуляр $l_1$ . $C$ точка пересечения серединного перпендикуляра $l_1$ c исходной прямой. Проводим прямую $l_2$ симметричную $l_1$ относительно серединного перпендикуляра. Строим окружность диаметром равным $AB$ . Получается, что $AC=BC$ , как касательные окружности проведенные из одной точки $C$ .

Re: Задача на построение
03.03.2010, 11:44

Наверно все-таки нужно использовать свойство секущих и касательной, когда отрезок касательной есть среднее геометрическое всей секущей и ее внешней части.
Можно действовать следуюшим образом.
1) Продолжим AB до пересечения с исходной прямой. Пусть точка пересечения M.
2) На AB, как на диаметре строим окружность.
3) Из точки M проводим к этой окружности касательную MT. Эта MT и есть среднее геометрическое того, о чем шла речь выше.
4) Осталось только по обе стороны от точки M отложить два отрезка, равные MT. Эти две точки и будут третьими точками тех двух окружностей, которые можно провести через точки A, B и так, чтобы данная прямая была касательной к ним.

Понятно, что это построение невозможно выполнить, когда AB параллельно исходной прмой. Но в этом случае анализ тривилен. AB тогда хорда параллельная искомой касательной, а третья точка данной окружности есть просто пересечение серединного перпендикуляра к AB с этой касательной.

Вот честно говоря попроще не удалось решить.

Окружность по трем гео-координатам?

Надо найти координаты центра описанной вокруг получившегося треугольника окружности.

Классическое геометрическое решение через перпендикуляры не подходит, без полиноминального преобразования, выполнять последнее очень не хочется (да и если честно не совсем понятно как его производить).

Нет ли идей как более простым способом найти центр?

расчет ведется на php

вот конкретный пример. Необходимые три точки обозначены в виде крестиков, четвертый крестик это центр окружности, получившийся при использовании классического подхода из геометрии, через перпендикуляры

задача вцелом (из риэлторской тематики):

Яндекс-карты не умеют определять пересечения улиц (

Мы придумали такой способ: есть база с домами (находящихся на улицах) и координатами этих домов. Надо найти перекресток двух заведомо пересекающихся улиц.

Выбираем все дома по этим улицам и ищем дома, находящиеся к примеру в пределах 200 метрах друг от друга (но на разных улицах ес-но, т.е. каждый дом с одной улицы сравниваем с каждым домом на другой улице). По-сути на картинке именно это и изображено (разные улицы = разные иконки). Дальше уже надо определить примерную область, в которой будет находится дом, указанный в объявлении как «перекресток улиц Тухачевского и Магнитогорской». Примерная область = окружность

Вопрос задан более трёх лет назад
5210 просмотров

2 комментария

Оценить 2 комментария