Когда начинают работать

Когда начинает работать закон больших чисел

Число 100 большое? Зависит от ситуации. Сравниваем ли мы его с 0,001, или с 100000? Как и многое в жизни, понятие «большой» относительно.

В этом посте мы объясним, насколько большим должно быть «большое» и докажем, что вы, скорее всего, ошибаетесь насчёт закона больших чисел.

Закон больших чисел (ЗБЧ)

Проведём эксперимент: будем бросать кубик, как делали это на уроках знакомства с вероятностями. Будем продолжать совершать тысячи бросков, каждый раз вычисляя среднее выпавшее значение.

(Следует помнить, что среднее ожидаемое значение броска кубика равно (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5.)

Вот график первых десяти бросков.

Красное — среднее ожидаемое значение, жёлтое — среднее значение выборки

Сначала мы выбросили 5, затем 1, и так далее.

Теперь давайте проверим, что произойдёт, если увеличить количество экспериментов до 100 и 1000:

Чем «больше» становится число, тем ближе средние значения выборки к истинному ожидаемому значению. Закон больших чисел говорит именно об этом: среднее значение выборки сходится к среднему ожидаемому значению.

Если точнее, существует две версии ЗБЧ: слабая и сильная.

Слабый закон постулирует следующее.

Иными словами, вероятность того, что среднее значение выборки X̅ₙ окажется («выпадет») сколь-нибудь далеко от ожидаемого значения μ, сходится к нулю с увеличением количества размера выборки (n). («Сколь-нибудь далеко» означает отклонение больше любого заранее фиксированного значения.) Подробнее мы рассмотрим это ниже.

Похоже, n = 1000 достаточно «большое» для эксперимента с кубиком. А как насчёт других ситуаций?

Давайте рассмотрим другой пример! Вот этот лотерейный билет из Техаса со стираемыми полями.

Выигрыши на общую сумму $829 миллионов!
Сумма выигрыша от $150!
Шанс выиграть $20 000 000
Билет стоит всего $100!

Звучит прекрасно, но мы знаем математику достаточно хорошо, чтобы не обманываться этими числами. Если покопаться, мы сможем найти вероятность выигрыша. Вот таблица выигрышей с официального сайта:

Сумма выигрыша, приблизительное количество победителей, примерные шансы (1 к *)

Зная это, мы можем с лёгкостью вычислить наши шансы и ожидаемые значения:

шанс что-то выиграть составляет 26,34%,
а ожидаемая выплата составляет $75,28958 на билет. (Не учитывая $100 за участие.)

Похоже, билет за $100 покупать не стоит, потому что ожидаемое значение равно всего примерно $75,3.

А теперь давайте проведём эксперимент, похожий на эксперимент с кубиком. Мы (гипотетически) покупаем всё больше и больше билетов, параллельно вычисляя средние выигрыши. Чем больше билетов мы купим, тем ближе будем к ожидаемому значению (примерно $75).

С первыми десятью билетами нам не очень повезло.

Но давайте купим ещё девяносто! С сотней билетов мы приблизились к ожидаемому, но на долгую перспективу нам нужен сглаженный график рядом с красной линией.

Давайте совершим шаг побольше: увеличим n до 10000.

Теперь у нас получилась плавная линия, но это совсем не то, что мы ожидали! Она находится примерно рядом с $67, а не с ожидаемым значением.

Давайте пойдём дальше. С одним миллионом билетов снова происходит что-то странное: нам начинает везти и выигрыши превышают среднее. Теперь мы отдалились ещё больше!

Похоже, 1000000 — это всё ещё не «большое» число!

Пойдём дальше! При десяти миллионах билетов у нас получается множество крупных выигрышей, которые поднимают среднее вверх, но эффект становится всё меньше и меньше. Мы медленно, но верно приближаемся к ожидаемому значению.

Теперь мы наконец получили ожидаемую плавную линию, находящуюся рядом с истинным средним.

В первом эксперименте мы смогли продемонстрировать закон больших чисел на тысяче бросков, но во втором не хватает даже миллиона.

Большие числа != большим числам.

Как же объяснить странности, произошедшие во втором эксперименте?

Дисперсия и скорость сходимости

Давайте приглядимся к слабому закону больших чисел!

По сути, вероятность P(|X̅ₙ — μ| > ε) — это показатель расстояния между средним значением выборки до истинного среднего (то есть ожидаемого значения) в вероятностном смысле.

Расстояние от среднего значения выборки (жёлтое) до истинного среднего (красное)

Чем меньше ε, тем больше вероятностное расстояние. В математической записи верно следующее:

Слабый закон больших чисел гласит:

То есть вероятностное расстояние становится маленьким, как мы и хотели.

Грубо говоря, это означает, что среднее значение выборки равно истинному среднему плюс распределение, которое становится всё более и более концентрированным в области нуля. Иными словами, мы имеем:

(D)= означает, что величины справа и слева от этого знака равенства распределены одинаково

асимптотическое расширение в смысле распределения. Член o(1) обозначает распределение, которое с ростом n становится всё более концентрированным в области нуля. Возможно, вы знакомы с обозначениями большого и малого «O»; это тоже самое, но с распределениями вероятности.

Объясняет ли слабый закон больших чисел и асимптотическое расширение происходящее с нашими лотерейными билетами; то есть, почему нам нужно десять миллионов выборок, чтобы достаточно приблизиться к истинному среднему?

Краткий и жёсткий ответ: нет.

Нам нужно асимптотическое расширение большего размера. Нашим инструментом для этого будет центральная предельная теорема — один из самых известных результатов в теории вероятностей, формализующий понимание того, почему средние значения выборки напоминают гауссовы распределения.

Центральная предельная теорема

Давайте сразу нырнём с головой и перейдём непосредственно к центральной предельной теореме (central limit theorem, CLT). Она гласит, что с точки зрения распределения масштабированные на √n средние центрированные значения выборок сходятся к стандартному нормальному распределению. (Термин «центрированные» означает, что мы вычитаем ожидаемое значение.)

Нужно подчеркнуть, что эта сходимость справедлива в случае распределений. Это просто иной способ сказать, что кумулятивные функции распределения являются сходящимися поточечно. (Знаю, сходимость в теории вероятностей — это довольно запутанная тема.)

Давайте развернём это: для асимптотического расширения закон больших чисел и центральная предельная теорема подразумевают, что

то есть среднее значение выборки равно сумме 1) ожидаемого значения μ, 2) масштабированного нормального распределения и 3) распределения, сводящегося к нулю быстрее, чем 1/√n.

То есть для нашего асимптотического расширения мы имеем

Это можно переписать в упрощённом виде, если объединить константы в нормальное распределение. А именно, мы получаем

и это значит, что наше асимптотическое расширение принимает вид

Иными словами, при больших n среднее значение выборки приблизительно равно нормальному распределению с дисперсией σ²/n. Чем больше n, тем меньше дисперсия; чем меньше дисперсия, тем сильнее нормальное распределение концентрируется рядом с ожидаемым значением μ.

И это даёт ответ на наш вопрос: каким должно быть зловещее число в законе больших чисел? Это зависит от дисперсии нашего распределения!

Из нашего асимптотического расширения можно понять, что если дисперсия в 10 больше, то, чтобы среднее было так же близко к изначальному, нам нужно приблизительно в десять раз больше выборок. Это происходит из-за члена σ²/n, где σ² обозначает дисперсию нашей выборки X₁, X₂, …, Xₙ, а n обозначает количество выборок.

Давайте вернёмся к броскам кубиков и лотерее. Дисперсия броска кубика составляет 35/12 ≈ 2,916, а дисперсия техасской лотереи — приблизительно 157 000 000. Это в пятьдесят миллионов больше. То есть в среднем нужна выборка в пятьдесят миллионов раз больше, чтобы среднее значение выборки было столь же близко к истинному среднему, как и в случае кубиков.

Также важно заметить, что поскольку закон больших чисел — это вероятностная формулировка, утверждения типа «нам нужно в пятьдесят миллионов раз больше образцов» должны пониматься вероятностно. Если нам повезёт, среднее значение выборки может быть очень близко к истинному среднему же через несколько тысяч образцов.

Заключение

Закон больших чисел часто понимают неверно.

Мы используем его достаточно часто, но он имеет важную тонкость. Хотя среднее значение выборки сходится (почти гарантированно) к ожидаемому значению, скорость сходимости зависит от дисперсии выборки. Чем больше дисперсия, тем медленнее сходимость.

И для множества практических применений это оказывается плохим известием. Например, поэтому сходимость метода Монте-Карло медленна. В реальной ситуации, например, в азартных играх, у вас даже могут закончиться деньги, прежде чем вы начнёте выигрывать. (Впрочем, у большинства игр в казино ожидаемое значение отрицательно, поэтому в длительной перспективе вы всегда будете проигрывать.)

Какой же можно сделать из этого вывод? Применяя закон больших чисел, всегда учитывайте скорость сходимости.

распределения
центральная предельная теорема
лотереи
теория вероятностей
сходимость
закон больших чисел

Математика
Статистика в IT
Научно-популярное

Как отдыхаем на Новый год 2023-2024

В декабре уже начинается предпраздничная суматоха, елочные игрушки, закупка подарков. Не успеешь оглянуться, а уже наступает Новый год. Со всеми прилагающимися к нему выходными. Поэтому планировать, как будем отдыхать на Новый год, нужно заранее.

Календарь нерабочие дни в России

Вообще, с инициативой укоротить новогодние праздники в России народные избранники выступают каждый год. Последний раз законопроект о сокращении каникул до двух дней — 31 декабря и 1 января — внесли в Госдуму несколько лет назад.

Логика законотворцев проста: за каждый день новогоднего «простоя» экономика страны теряет десятки миллиардов рублей. Да и на здоровье россиян затяжные каникулы благоприятно не сказываются. Понятное дело, отдыхать наши люди любят в компании с алкоголем.

Новогодние праздники 2024 в России

Январские каникулы продлятся 10 дней. Отдыхать начнем с 30 декабря, которое в 2023 году выпадает на субботу. А выходить на работу можно будет только 9 января. В итоге — 10 законных нерабочих дней!

Когда начинают работать ссылки ?

Всем привет! Не бейте меня лопатами за то что уже не первый раз создаю такую тему, просто хочу разобраться на 100% когда же всетаки начинают работать проставленные ссылки на подьем позиций в поисковике гугла? 1 вариант — начинают работать сразу после того как в сохраненной копии страницы донора можно увидеть ссылку на акцептор 2 вариант — начинают работать через какоето время после того как в сохраненной копии донора можно увидеть ссылку на акцептора если вы считаете что 2 вариант то через какое время начинается действие?

Где искать страницы из кэша в новой выдаче Google?
Новый формат сохраненной копии страницы в Яндексе
Google о ссылочных алгоритмах и их обновлении

2 мая 2011, 14:16

через два месяца, не раньше.

2 мая 2011, 14:22
ivanpetrov:
через два месяца, не раньше.

да? почему то когда я закупил несколько ссылок с pr 6 5 4 и 3 то у меня позиции взлетели через неделю )) считаю что «не раньше чем через 2 месяца» это абсурд

На сайте с 21.07.2008
2 мая 2011, 14:24

Хорошие ссылки начинают работать практически сразу, остальные — 7-10 дней.

Ссылки с топовых сайтов (BusinessInsider, HealthLine, Cosmopolitan, etc) для ваших белых проектов — https://searchengines.guru/ru/forum/1039568

2 мая 2011, 14:27

Frie:
да? почему то когда я закупил несколько ссылок с pr 6 5 4 и 3 то у меня позиции взлетели через неделю )) считаю что «не раньше чем через 2 месяца» это абсурд

немного подождите и ваши позиции упадут и рост начнется по прошествии нескольких месяцев.

На сайте с 23.07.2009
2 мая 2011, 15:07

Зачем задавать вопрос, если ты уже такой умный и все знаешь, а любые ответы противоречащие твоим знаниям ты считаешь абсурдом?

На сайте с 01.07.2004
2 мая 2011, 16:29

trem:
Зачем задавать вопрос, если ты уже такой умный и все знаешь, а любые ответы противоречащие твоим знаниям ты считаешь абсурдом?

а что плохого в том, чтобы задать вопрос и получить дополнительное подтверждение своих знаний?

имхо 7-10 дней, бывало и 4 дня у меня, смотря какие доноры.

2 мая 2011, 16:57

Sommer:
а что плохого в том, чтобы задать вопрос и получить дополнительное подтверждение своих знаний?
имхо 7-10 дней, бывало и 4 дня у меня, смотря какие доноры.

спасибо за ответ! уточните пожалуйста, эти сроки которые вы озвучивали, после того как ссылка будет в сохраненной копии?

На сайте с 24.10.2008
2 мая 2011, 16:58

Хорошие ссылки начинают работать практически сразу — профильные да соглашусь. Морды учитываются тока те в которых кеш меняется каждый день.

бывало и 4 дня у меня, смотря какие доноры.

Это обычно происходит тогда, когда вы попали в момент времени смены кеша у донора.

А стандарт обычно 7 дней. Поставили нагнали бота на донора через 7 дней учет вверх ползете!

Так что для тс думаю более подробно расписывать нет смысла. Все уже дали ясный объем информаций.

2 мая 2011, 17:00

тут полно троллей которые много читали и мало испытывали на практике, я в праве попытаться подвести под сомнение любое мнение которое не доказано фактами. В месте с тем я факты привел в подтверждение своего мнения. В ходе дискуссии мы учимся друг у друга, по-этому считаю что спорить очень даже полезно для всех

Frie добавил 02.05.2011 в 21:03

Trafikgon:
Хорошие ссылки начинают работать практически сразу — профильные да соглашусь. Морды учитываются тока те в которых кеш меняется каждый день.

бывало и 4 дня у меня, смотря какие доноры.
Это обычно происходит тогда, когда вы попали в момент времени смены кеша у донора.

А стандарт обычно 7 дней. Поставили нагнали бота на донора через 7 дней учет вверх ползете!

Так что для тс думаю более подробно расписывать нет смысла. Все уже дали ясный объем информаций.

айайай)) нефиг мою тему в топку сбрасывать, мне интересно мнение как можно большего числа людей, вдруг вы один из троллей-теоретиков? без обид =)

Все с нуля. Как специалисты из Украины начинают работать в Чехии.

В сложившейся ситуации многие жители Украины были вынуждены уехать из страны и начать свой путь в странах Европы, в том числе в Чехии. Сегодня многие, кто только планирует переезд, обеспокоены тем, как найти работу в Чехии, как адаптироваться на новом месте и как чувствуют себя специалисты из Украины, которые переехали в Чехию до и после начала войны.

Мы опросили несколько представителей совершенно разных профессий о том, как им здесь работается и какую разницу в рабочих процессах они испытали на своем собственном опыте. В ходе опроса мы столкнулись с разными ситуациями и услышали множество историй, как позитивных, так и негативных. Ответы специалистов, которые дали нам свое разрешение на публикацию, приведены в этой статье.

Сотрудник архивной отрасли

«В Украине я работала в коммерческой структуре, а в Чехии — в государственном архиве. Тяжело сравнивать, так как дома я работала заместителем директора. Мы продавали оборудование и сканировали большие объемы документов по заказу, и мое участие в этом было административным. Здесь же я работаю руками, например, фотографирую документы. То есть я работаю тем оператором, которым раньше я руководила. Поэтому напрямую сравнить практически невозможно, при этом я хорошо знакома с этой работой, потому что в Украине все техпроцессы я поначалу проверяла самостоятельно. Без знания языка и опыта работы непосредственно в Чехии занять руководящую должность, какая была у меня в Украине, я даже и не планировала, очевидно — это невозможно.

Итак, адаптация заняла не более часа — подготовить рабочее место для работы так, как я привыкла, и все:)

Поскольку речь идет о ручном труде, то для меня главное — понять техническое задание: разрешение, формат файла и т.д., а это технические термины, все они на английском языке. Что касается коллектива, меня окружают прекрасные, добрые и отзывчивые люди, которые мне очень помогают адаптироваться. Например, купить проездной билет, записать сына к врачу и т.д. В свободное время я волонтер, по мере сил помогаю украинцам в Чехии, и все мои коллеги присоединились к этому процессу, что очень радует.

Теперь я могу сказать, что украинские архивы работают по международным стандартам, рабочий процесс очень похож, с небольшими отличиями. Моя украинская компания импортировала в Украину чешский специальный бескислотный картон и коробки, изготовленные из него, поэтому я была хорошо знакома с материалами и оборудованием, которое я увидела на своем рабочем месте. Поскольку разница в позициях колоссальная, то и сравнение зарплат будет не совсем корректным.

Могу только сказать, что я работаю официально в государственной структуре, поэтому имею все преимущества: страхование, отпуск, больничный, нормированный рабочий день, достойные условия труда. Благодаря диплому о высшем образовании и длительной работе по специальности в Украине я получила прибавку к зарплате, согласно официальной методике калькуляции зарплаты.

Эту работу я получила интересным способом. Я дала интервью на радио Český rozhlas Plus на английском языке. Рассказала свою историю с начала войны, кем и где я работала. А директор архива услышал этот репортаж и предложил мне работу. Так работает архивное братство. Я очень благодарна ему за эту прекрасную возможность работать, быть полезной и применять свои знания и опыт в нынешних условиях.»

Кандидат наук, химик

«Я кандидат наук, химик. С 2020 года я работаю в институте химических процессов в Праге. Я увидела рекламу на странице института в Facebook о том, что на проект требуется человек с моей специальностью, отправила резюме, прошла два собеседования, и меня приняли на работу. Основные сложности были с получением рабочей визы в посольстве Чехии в Украине, и в общей сложности заняло около двух месяцев.

Я хотела уехать вместе со своей семьей, дочкой и мужем, но, к сожалению, нам отказали, и сначала пришлось уезжать самой, а потом, спустя полгода, они смогли приехать по воссоединению семьи.

В Украине я 12 лет проработала в вузе на должности доцента. Сравнивая украинский университет и чешский институт, могу сказать, что основное отличие — это отношение к человеку.

Как мне кажется, здесь нет привычной для нас «дедовщины». К людям любого возраста, пола и квалификации относятся с уважением, соответственно, есть больше перспектив роста в научном плане. Общение на работе и все собеседования проходят исключительно на английском языке, в связи с чем языкового барьера я не ощутила. Атмосфера, которая создается в наших украинских вузах и научно-исследовательских институтах, — это нечто вроде иерархии, которая построена не в пользу молодых ученых. Здесь же все иначе.

Разница в зарплате, конечно же, велика, а также большое влияние оказывают бонусы. Например, необходимые затраты на ребенка и обучающие задания во внешкольных заведениях оплачивает работодатель. Также, налог, оплаченный на несовершеннолетнего ребенка, возвращается в конце года.

Но хочу отметить, что зарплаты в Украине тоже были приличные, разница складывается исключительно из специфики тарифной сетки в Чехии.

Свой опыт работы в Чехии на данный момент могу назвать позитивным, и все сложности, с которыми необходимо столкнуться при трудоустройстве, себя полностью оправдывают после.»

Швея

Я работаю профессиональной швеей уже много лет. На сегодняшний день в Чехии я работаю в мастерской по пошиву одежды так же, как работала и в Украине. К счастью, рабочие процессы в моей профессии мало отличаются. Мой рабочий день здесь составляет те же восемь часов, и список обязанностей ничем не отличается от того, каким он был у меня в Украине.

Я не столкнулась со сложностями в поиске работы — мастера по пошиву и ремонту одежды здесь требуются регулярно. Я также не почувствовала большого языкового барьера. Это помогло мне быстро адаптироваться при переезде в Чехию с началом войны.

Самое главное, что я могла бы выделить, это добросовестность и хорошие отношения в коллективе. Я не сталкивалась с каким-либо предвзятым отношением или сложностями в коммуникации, все очень сплоченные и помогают друг другу при необходимости. Что же касается уровня зарплат, в нашей сфере разницы практически нет. »

Brand Marketing Manager

«Я переехала в Прагу осенью 2021-го в связи с предложением о работе. Так как мои работодатели не являются коренным чехами, а в коллективе много представителей разных стран, команду можно назвать интернациональной, и будет сложно сделать сравнение именно с чешской компанией.

В Чехии я столкнулась с совсем другим подходом к работе. Рабочий день в Праге начинается в 7-8 утра. В это время жизнь в городе кипит, и большинство включается в рабочий режим. Заканчивают работу обычно до 17:00, после этого вы вряд ли получите ответ на ваш email или же необходимую вам услугу, если она не была согласована заранее. Чехи — большие сторонники life-work balance и могут преподать в этом урок.

Я подстраиваюсь под этот график, и у меня появляется больше времени на свои интересы, спорт, встречи с друзьями и личную жизнь.

В Украине я часто приезжала в офис к 10-11 утра и заканчивала работу к 8 вечера, так уходили дни, и жизнь начиналась только ближе к субботе. Работа в пражском офисе полностью поменяла мой график и отношение к жизни в целом.

Транспортная система в Чехии также отличается своим высоким качеством, что позволяет добраться на работу из любого уголка города не более, чем за 20-30 минут.

Чешская законодательная система очень ценит работников независимо от их гражданства. Соцпакет, который здесь получают сотрудники, является очень ценным бонусом к зарплате.

В большинстве компаний в Чехии к страховке и пяти неделям отпуска также предлагают карту MultiSport, которая позволяет бесплатно пользоваться услугами спортзалов, бассейнов, спортивных комплексов, аренды велосипедов и т.д. Подобный бонус является здесь базовым, а не эксклюзивным бенефитом.

Сравнивать чешские зарплаты с украинскими некорректно, так как все зависит от позиции специалиста и компании, а также от типа визы иностранного специалиста. Мы привыкли к тому, что в странах ЕС зарплатный уровень значительно выше, как и стоимость жизни, но на сегодняшний день часто можно встретить зарплаты в Украине значительно выше чем в Чехии, на одной и той же позиции, в зависимости от деятельности компании и ее успеха на рынке. Что можно сказать точно, налоги здесь значительно выше, но здесь я четко наблюдаю, что они идут 100% по назначению. «

Итог

Конечно, все сравнения субъективны, а ситуации зависят от специалиста и его подхода к поиску работы. Ответа на вопрос, как быстро найти работу, не существует. Кому-то удалось найти свое место за пару недель, в то время как у других на это уходит несколько месяцев.

Трудоустройство в Чехии может занять 2-3 месяца. Офисным работникам часто приходится проходить через множество собеседований, согласований, тестовых заданий. При этом рабочие позиции в сфере обслуживания закрываются значительно быстрее, так как в них есть потребность «здесь и сейчас». В ресторанном бизнесе, сфере косметических услуг или же на производстве вакансии стараются закрывать в пределах 1-2 недель, но такая текучка часто отражается на условиях труда, или даже на формате трудоустройства сотрудников, о чем стоит помнить.

Недавно прибывшие специалисты неоднократно сталкиваются с неофициальным трудоустройством, невыплаченной зарплатой и другими неприятностями. Такие ситуации возможны тогда, когда люди ищут быстрого дохода уже сегодня, не проверяя документы перед началом работы, и соглашаются первое время поработать «в черную». Чтобы избежать подобных ситуаций, мы настоятельно рекомендуем придерживаться следующих правил:

Проверяйте своего работодателя в открытых источниках, уточните наличие его регистрации и права на работу в Чехии;
Изучите отзывы о компании, используя сразу несколько доступных источников для сравнения;
Проверяйте все документы, соглашения и договоры, которые вы подписываете, самостоятельно, а также у юристов;
Не соглашайтесь на временную работу «в черную»;
Заранее оговаривайте все детали оплаты труда, социального страхования и оформления вас в компании, даже если не планируете задерживаться на данном месте работы надолго.