Чему равен угол между часовой и минутной стрелками, если часы показывают 11 часов 30 минут
Часы имеют форму круга. Полный круг имеет угол 360 градусов. Всего на циферблате 12 цифр, значит угол между двумя соседними цифрами составляет 360 : 12 = 30 градусов. Если время на часах 11 часов 30 минут, значит минутная стрелка находится на цифре 6, а часовая между цифрами 11 и 12 ровно посередине, то есть между цифрой 11 и часовой стрелкой 30 : 2 = 15 градусов. А между цифрой 11 и 6 30 * 5 = 150 градусов. Итого получаем, что между часовой и минутной стрелкой 150 + 15 = 165 градусов.
- Связаться с нами
- Правила проекта
- Лицензионное соглашение
- Политика конфиденциальности
Часовая и минутная стрелка онлайн.Угол между ними.
Обратимся опять к школьным задачам и задачам на сообразительность. Одной из таких задач является узнать, какой угол образуют между собой минутная и часовая стрелка на механических часах в 16 часов 38 минут, или одна из вариаций — сколько времени будет после начала первых суток, когда часовая и минутная стрелка будут образовывать угол в 70 градусов.
Или в самом общем виде «найдите угол между часовой и минутной стрелкой»(с)
Самый простой вопрос, на который много людей умудряются давать неправильный ответ. Какой угол между часовой и минутной стрелкой на часах в 15 часов 15 минут?
Ответ ноль градусов не является правильным ответом 🙂
Минутная стрелка за 60 минут совершает полный оборот по циферблату, то есть совершит оборот на 360 градусов. За это же самое время (60 минут) часовая стрелка пройдет путь всего одну двенадцатую часть от окружности, то есть сдвинется на 360/12 = 30 градусов
Давайте считать подробно, какой же угол проходит каждая стрелка от 0 часов и нуля минут?
Насчет минутной все очень просто. Составляем пропорцию минуты относятся к пройденному углу как полный оборот(60 минут) к 360 градусам.
Таким образом пройденный угол минутной стрелкой составит минуты/60*360 = минуты*6
Как результат вывод каждая пройденная минута смещает минутную стрелку на 6 градусов
Отлично! Теперь что насчет часовой. А принцип тот же самый, только надо время (часы и минуты) привести к долям часа.
Например 2 часа 30 минут — это 2.5 часа ( 2 часа и его половинка), 8 часов и 15 минут — это 8.25 ( 8 часов и одна четвертинка часа), 11 часов 45 минут — это 11 часов и три четвертинки часа то есть 8.75)
А дальше все просто такая же пропорция: Час(в виде долей часа) относится пройденному углу как 12 часов ( за 12 часов ведь часовая стрелка опишет весь циферблат) к 360 градусам.
Таким образом пройденный угол часовой стрелкой составит часы( в долях часа)*360.12 = часы*30
И как следствие вывод каждая пройденный час смещает часовую стрелку на 30 градусов
Теперь очень легко посчитать угол между стрелками вычислив разницу между углом минутной и часовой стрелки
угол между стрелками = (час+(минуты /60))*30 -минуты*6
где час+(минуты /60) — это положение часовой стрелки
Таким образом ответ к задаче: какой же угол составят стрелки когда на часах 15 часов 15 минут, будет следующим:
15 часов 15 минут это равноценно положению стрелок в 3 часа и 15 минут и таким образом угол составит (3+15/60)*30-15*6=7.5 градуса
В принцие можно считать и так 15.25*30-15*6=367.5 градуса, просто отсюда убираете полные обороты (360 градусов) и получаем тот же самый результат в 7.5 градуса.
Если же у вас есть потребность перевести время в текст то пожалуйста ознаомтесь с материалом Время (часы, минуты, секунды) прописью, а кому часто приходится работать с временными отрезками, складывать минуты и часы, высчитывая простой или наработку на отказ то стоит перейти сюда Суммирование временных отрезков
По углу между стрелками определить время
Это задача сложнее, так как мы решать будем в общем виде, то есть определять все пары (час и минута) когда они будут образовывать заданный угол.
Итак, напомним. Если время выражено в виде HH:MM (час:минута) то угол между стрелками выражается формулой
Теперь, если обозначим угол буквой U и перевести все в альтернативный вид, то получим следующую формулу
Или избавшись от знаменателя, получаем основную формулу связывающая угол между двумя стрелками, и позициями этих стрелок на циферблате.
заметьте, что угол может быть и отрицательным, т о есть в пределах часа у нас может два раза встречаться один и тот же угол, например угол в 7.5 градуса может быть и в 15 часов 15 минут и 15 часов и 17.72727272 минут
Если нам, как в первой задаче был задан угол, то получаем уравнение с двумя переменными. В принципе оно не решается, если не принять условие что час и минута могут быть только целыми числами.
При таком условии мы получаем классическое диофантово уравнение. Решение которого очень простое. Рассматривать мы их пока не будем, а приведем сразу окончательные формулы
где k — произвольное целое число.
Результат часов естественно берем по модулю 24, а результат минут по модулю 60
Посчитаем все варианты когда часовая и минутная стрелка совпадают? То есть когда угол между ними равен 0 градусов.
Как минимум мы знаем две таких точки 0 часов и 0 минут и 12 часов дня 0 минут. А остальные??
Создадим таблицу, положений стрелок когда угол между ними ноль градусов
| k | Часовая стрелка | Минутная стрелка | Пояснения |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | то есть ровно полночь |
| 1 | 11 | 60 | то есть 12 часов |
| 2 | 22 | 0 | ОШИБКА!! |
Упс! на третьей строке у нас ошибка в 10 часов никак стрелки не совпадают.Это можно убедится взглянув на циферблат. В чём же дело?? Вроде все правильно считали.
А все дело в том, что в промежутке между 10 и 11 часами, для того что бы минутная и часовая стрелка совпадала, минутная стрелка должна находится где то в дробной части какой то минуты.
Это легко проверить по формуле подставив вместо угла число ноль, а вместо часов число 10
получим, что минутная стрелка будет находится между(!!) делениями 54 и 55 ( совсем точно на позиции 54.545454 минут).
Именно поэтому наши последние формулы не сработали, так как мы подразумевали что часы и минуты числа целые(!).
Задачи, которые встречаются на ЕГЭ
Мы рассмотрим задачи, решения которых есть в интернете, но пойдем другим путем. Возможно это облегчить той части школьников, которые ищут простой и необременительный способ решать задачи.
Ведь чем больше разных вариантов решения задач тем лучше.
Итак, мы знаем только одну формулу и будем пользоваться только ей.
Часы со стрелками показывают 1 час 35 минут. Через сколько минут минутная стрелка в десятый раз поравняется с часовой?
Рассуждения «решателей» на других интернет-ресурсах меня немного утомили и запутали . Вот для таких «утомленных» как я, мы решаем эту задачу по другому.
Определим когда в первом (1) часу минутная и часовая стрелка совпадет (угол 0 градусов)? Подставляем в уравнение изветные числа и получаем
то есть в 1 час и почти в 5.5 минут. это раньше чем 1 час 35 минут? Да! Отлично, значит этот час мы не учитываем в дальнейших расчетах.
Нам надо найти 10-ое совпадение минутной и часовой стрелки, начинаем анализировать:
в первый раз часовая стрелка будет в 2 часа и сколько то минут,
во второй раз в 3 часа и сколько минут
в восьмой раз в 9 часов и сколько то минут
в девятый раз в 10 часов и сколько то минут
в девятый раз в 11 часов и сколько то минут
Теперь осталось найти где будет находится минутная стрелка в 11 часов, так что бы стрелки совпадали
А теперь умножает 10 раз оборота( а это каждый час) на 60 (перведя в минуты) получим 600 минут. и высчитываем разницу между 60 минутами и 35 минутами ( которые были заданы)
Окончательный ответ получили 625 минут.
Что и требовалось доказать. Не надо никаких уравнений, пропорций, ни какая из стрелок с какой скоростью двигалась. Всё это мишура. Достаточно знать одну формулу.
Более интересная и сложная задача звучит так. В 8 часов вечера, угол между часовой и минутной стрелкой составялет 31 градуса . Сколько будет показывать время стрелки, после того как минутная и часовая стрелка образуют прямой угол 5 раз?
Итак в нашей формуле опять известны два из трех параметров 8 и 31 градус. Определяем миунтную стрелку по формуле получим 38 минут.
Когда ближайшее время когда стрелки будут образовывать прямой (90 градусов) угол?
То есть в 8 часов 27.27272727 минут это первый прямой угол в этом часе и в 8 часов и 60 минут это второй угол в этом часе.
Первый прямой угол уже прошел относительно заданного времени, поэтому его не считаем.
Первый 90 градусов в 8 часов 60 минут ( можно сказать что ровно в 9-00) — раз
в 9 часов и сколько то минут — это два
в 10 часов и сколько минут — это три
еще раз в 10 и сколько минут — это 4-ре, так совпадений в 10 часу два
и в 11 часов и сколько минут это пять.
то есть нам надо посчитать в 11 часу два положения минутной стрелки когда угол равен +90 и -90 градусов. Какое время из этих раньше наступит то и является правильным ответом
Еще проще если мы воспользуемся ботом. Введем 90 градусов и получим следующую таблицу
| Час | Минута |
| 0 | 16.363636363636363 |
| 0 | 16.363636363636363 |
| 1 | 10.909090909090908 |
| 1 | 21.818181818181816 |
| 2 | 5.454545454545454 |
| 2 | 27.272727272727273 |
| 3 | 0 |
| 3 | 32.72727272727273 |
| 4 | 5.454545454545454 |
| 4 | 38.18181818181818 |
| 5 | 10.909090909090908 |
| 5 | 43.63636363636363 |
| 6 | 16.363636363636363 |
| 6 | 49.09090909090909 |
| 7 | 21.818181818181816 |
| 7 | 54.54545454545455 |
| 8 | 27.272727272727273 |
| 9 | 0 |
| 9 | 32.72727272727273 |
| 10 | 5.454545454545453 |
| 10 | 38.18181818181818 |
| 11 | 10.909090909090906 |
| 11 | 43.63636363636363 |
| 12 | 16.36363636363636 |
то есть в 11 часо 10.90 минут будет как раз пятый раз когда между часовой и минутной стрелкой вновь образуется прямой угол.
Надеемся данный разбор, поможет Вам как формулировать задачи для учеников, так и легко решать подобные тесты на сообразительность и в ЕГЭ.
Угол между стрелками часов
Какой угол составляют часовая и минутная стрелка в 3 часа 15 минут?
Давайте взглянем на часы:
Циферблат представляет собой окружность, разделенную часовыми делениями на 12 частей и на 60 частей — минутными. Полный оборот стрелки (минутной или часовой) от начальной оси (вертикальной линии проходящей через центр и отметку 12 часов) составляет угол в 360°, или по другому — в окружности 360°. Один час составляет 1/12 часть окружности, т.е. 360° / 12 = 30°, а одна минута — 1 / 60 часть, т.е. 360° / 60 = 6°
Таким образом, угол между часовой и минутной стрелкой в 0 минут каждого часа h равен 30° * h. Для трех часов (h = 3) на рисунке выше, видим, что это равно 30 * 3 = 90°, а для шести часов (h = 6) 30 * 6 = 180°
Теперь давайте понаблюдаем за движением минутной стрелки от 3 часов ровно до 15 минут четвертого:
В начальный момент (3:00) угол между стрелками составляет 90°, за пять минут (m) минутная стрелка отклонится на 6° * m от начального положения, т.е. 6° * 5 = 30°, за 10 минут — на 6° * 10 = 60°, а за 15 мнут — на 6° * 15 = 90°.
Должна ли в этот момент(3:15) минутная стрелка совпасть с часовой? Нет, потому что движение минутной стрелки также влияет и на часовую стрелку. Пятнадцать минут пройденные минутной стрелкой, являются четвертью часа, и часовая стрелка также пройдет эту четверть часа: 30° / 4 = 7.5°. Таким образом, угол между часовой и минутной стрелкой в 3 часа 15 минут будет составлять разницу между углом составленным часовой стрелкой с начальной осью и углом составленным минутной стрелкой с начальной осью: 90° + 7.5° — 90° = 7.5°
В общем виде, можно записать формулу так:
α = 30° * h + 0.5 * m — 6° * m
- α — угол между часовой и минутной стрелкой
- h — часы
- m — минуты
Как посчитать угол между стрелками часов
Задача 1: Какой угол образуют стрелки часов в 12 часов 20 минут?
Решение: В 12 часов стрелки совпадали. Через 20 минут минутная стрелка пройдет 1/3 часть окружности, а часовая пройдет 1/36 часть окружности. Поэтому угол между ними составит 11/36 частей окружности или 110.
Задача 2: Найдите угол между часовой и минутной стрелками а) в 9 часов 15 минут; б) в 14 часов 12 минут?
Задача 3: Когда угол между часовой и минутной стрелками часов больше а) в 13:45 или в 22:15; б) в 13:43 или в 22:17; в) через t минут после полудня или за t минут до полуночи?
Задача 4: Вася измерил транспортиром и записал в тетрадку углы между часовой и минутной стрелками сначала в 8:20, а потом в 9:25. После этого Петя забрал свой транспортир. Помогите Васе найти углы между стрелками в 10:30 и 11:35.
Задача 5: Сколько раз с 12:00 до 23:59 совпадают минутная и часовая стрелки часов?
Задача 6: На часах полдень. Когда часовая и минутная стрелки совпадут в следующий раз?
Задача 7: Укажите хотя бы один момент времени, отличный от 6:00 и 18:00, когда часовая и минутная стрелки правильно идущих часов направлены в противоположные стороны.
Задача 8: Когда Петя начал решать эту задачу, он заметил, что часовая и минутная стрелки его часов образуют прямой угол. Пока он решал ее, угол все время был тупым, а в тот момент, когда Петя закончил решение, угол снова стал прямым. Сколько времени Петя решал эту задачу?
Задача 9: Петя проснулся в восьмом часу утра и заметил, что часовая стрелка его будильника делит пополам угол между минутной стрелкой и стрелкой звонка, показывающей на цифру 8. Через какое время должен прозвенеть будильник?
Задача 10: Коля отправился за грибами между восемью и девятью часами утра в момент, когда часовая и минутная стрелки его часов были совмещены. Домой он вернулся между двумя и тремя часами дня, при этом стрелки его часов были направлены в противоположные стороны. Сколько продолжалась Колина прогулка?
Решение: 6 часов
Задача 11: Ученик начал решать задачу между 9 и 10 часами и закончил между 12 и 13 часами. Сколько времени он решал задачу, если за это время часовая и минутная стрелки часов поменялись местами?
Задача 12: Сколько раз в течение суток часовая и минутная стрелки правильно идущих часов образуют угол в 30 градусов?
Задача 13: Перед вами часы. Сколько существует положений стрелок, по которым нельзя определить время, если не знать, какая стрелка часовая, а какая минутная? (Считается, что положение каждой из стрелок можно определить точно, но следить за тем, как стрелки двигаются, нельзя.)
Задача 14: В мире антиподов минутная стрелка часов идет с нормальной скоростью, но в противоположную сторону. Сколько раз за сутки стрелки антиподных часов а) совпадают; б) противоположны?
Задача 15: Сколько раз в сутки антиподные часы невозможно отличить от нормальных (если не знать, который час на самом деле)?
Задача 16: Правильно шедшие часы испортились. С 24 часов до часу они шли нормально. Затем каждый час часовая и минутная стрелка меняются скоростями. Найти угол между стрелками в 3:30.
Задача 17: По точному хронометру было установлено, что часовая и минутная стрелки равномерно идущих (но с неправильной скоростью!) часов совпадают через каждые 66 минут. На сколько минут в час спешат или отстают эти часы?
Задача 18: В Италии выпускают часы, в которых часовая стрелка делает в сутки один оборот, а минутная – 24 оборота, причём, как обычно, минутная стрелка длиннее часовой (в обычных часах часовая стрелка делает в сутки два оборота, а минутная – 24). Рассмотрим все положения двух стрелок и нулевого деления, которые встречаются и на итальянских часах, и на обычных. Сколько существует таких положений? (Нулевое деление отмечает 24 часа в итальянских часах и 12 часов в обычных часах).
Решение: 12 раз, в каждый чётный час.
| Задачная база >> Разное >> Материалы Кировской ЛМШ, 2000 г, 6 класс >> Задачи про часы | Убрать решения |