В поисках средних значений: разбираемся со средним арифметическим, медианой и модой
Иногда при работе с данными нужно описать множество значений каким-то одним числом. Например, при исследовании эффективности сотрудников, уровня вовлеченности в аккаунте, KPI или времени ответа на сообщения клиентов. В таких случаях используют меры центральной тенденции. Их можно называть проще — средние значения.
Но в зависимости от вводных данных, находить среднее значение нужно по-разному. Основной набор задач закрывается с использованием среднего арифметического, медианы и моды. Но если выбрать неверный способ — выводы будут необъективны, а результаты исследования нельзя будет признать действительными. Чтобы не допустить ошибку, нужно понимать особенности разных способов нахождения средних значений.
3.1.4. Как вычислить среднюю, моду и медиану интервального ряда?
Начнём опять с ситуации, когда нам даны первичные статические данные:
Пример 10
По результатам выборочного исследования цен на ботинки в магазинах города получены следующие данные (ден. ед.):
– это в точности числа из Примера 6. Но теперь нам нужно найти среднюю, моду и медиану.
Решение: чтобы найти среднюю по первичным данным, нужно просуммировать все варианты и разделить полученный результат на объём совокупности:
ден. ед.
Эти подсчёты, кстати, займут не так много времени и при использовании оффлайн калькулятора. Но если есть Эксель, то, конечно, забиваем в любую свободную ячейку:
=СУММ(, выделяем мышкой все числа, закрываем скобку ), ставим знак деления /, вводим число 30 и жмём Enter. Готово.
Что касается моды, то её оценка по исходным данным, становится непригодна. Хоть мы и видим среди чисел одинаковые, но среди них запросто может найтись так 5-6-7 вариант с одинаковой максимальной частотой, например, частотой 2. Поэтому модальное значение рассчитывается по сформированному интервальному ряду (см. ниже).
Чего не скажешь о медиане: забиваем в Эксель =МЕДИАНА(, выделяем мышью все числа, закрываем скобку ) и жмём Enter: . Причём, здесь даже ничего не нужно сортировать.
Но в Примере 6 я проводил сортировку совокупности по возрастанию (вспоминаем и сортируем), и это хорошая возможность повторить формальный алгоритм отыскания медианы.
Делим объём выборки пополам:
, и поскольку она состоит из чётного количества вариант, то медиана равна среднему арифметическому 15-й и 16-й варианты упорядоченного (!) вариационного ряда:
ден. ед.
Ситуация вторая. Когда даны не первичные данные, а готовый интервальный ряд (что в учебных задачах бывает чаще).
Продолжаем анализировать этот же пример с ботинками, где по исходным данным был составлен ИВР. Для вычисления средней потребуются середины интервалов:
– чтобы воспользоваться знакомой формулой дискретного случая:
– и это отличный результат! Расхождение с более точным значением (), вычисленным по первичным данным, составило всего 0,04!
Здесь мы использовали упомянутый ранее приём – приблизили интервальный ряд дискретным, и это приближение оказалось весьма эффективным. Впрочем, с современными программами не составляет особого труда вычислить точное значение даже по очень большому массиву первичных данных. Если они нам известны 😉
С другими центральными показателями всё занятнее.
Чтобы найти моду, нужно найти модальный интервал (с максимальной частотой) – в нашей задаче это интервал с частотой 11, и воспользоваться следующей страшненькой формулой:
– нижняя граница модального интервала;
– длина модального интервала;
– частота модального интервала;
– частота предыдущего интервала;
– частота следующего интервала.
Таким образом:
ден. ед. – как видите, «модная» цена на ботинки заметно отличается от среднего арифметического значения .
Не вдаваясь в геометрию формулы, просто приведу гистограмму относительных частот и отмечу :
откуда хорошо видно, что мода смещена относительно центра модального интервала в сторону левого интервала с бОльшей частотой. По той причине, что дешёвых ботинок больше. И, возможно, они тоже вполне себе модные.
Справочно остановлюсь на редких случаях:
– если модальный интервал крайний, то либо ;
– если обнаружатся два смежных модальных интервала, например, и , то рассматриваем модальный интервал , при этом близлежащие интервалы (слева и справа) по возможности тоже укрупняем в два раза;
– если между модальными интервалами есть расстояние, то применяем формулу к каждому интервалу, получая тем самым две или бОльшее количество мод.
Вот такой вот депеш мод 🙂
И медиана. Она рассчитывается чуть по менее страшной формуле. Для её применения нужно найти медианный интервал – это интервал, содержащий варианту (либо 2 варианты), которая делит вариационный ряд на две равные части.
Выше я рассказал, как определить медиану, ориентируясь на относительные накопленные частоты , здесь же сподручнее рассчитать «обычные» накопленные частоты . Вычислительный алгоритм такой же – первое значение сносим слева (красная стрелка), а каждое следующее получается как сумма предыдущего с текущей частотой из левого столбца (зелёные обозначения в качестве примера):
Всем понятен смысл чисел в правом столбце? – это количество вариант, которые успели «накопится» на всех «пройденных» интервалах, включая текущий.
Поскольку у нас чётное количество вариант (30 штук), то медианным будет тот интервал, который содержит -ю и 16-ю варианту. И ориентируясь по накопленным частотам, легко прийти к выводу, что эти варианты содержатся в интервале .
Формула медианы:
– объём статистической совокупности;
– нижняя граница медианного интервала;
– длина медианного интервала;
– частота медианного интервала;
– накопленная частота предыдущего интервала.
Таким образом:
ден. ед. – заметим, что медианное значение, в отличие от моды, оказалось смещено правее, т.к. по правую руку находится значительное количество вариант:
Справочно особые случаи:
– если медианным является крайний левый интервал, то ;
– если вариационный ряд содержит чётное количество вариант и две средние варианты попали в разные интервалы, то объединяем эти интервалы, и по возможности удваиваем предыдущий интервал.
Ответ: ден. ед.
По сравнению с предыдущей задачей , центральные показатели оказались заметно отличны друг от друга. Это говорит об асимметрии («скошенности») распределения цен, что хорошо видно по гистограмме и совершенно логично – ботинок низкого и среднего ценового сегмента много, а премиального – мало.
Задание для тренировки:
Пример 11
Для изучения затрат времени на изготовление одной детали рабочими завода проведена выборка, в результате которой получено следующее статистическое распределение:
…да, тот самый завод Петровского 🙂 Найти среднюю, моду и медиану.
Решаем эту задачу в Экселе – все числа и инструкции уже там. Если нет Экселя, считаем на калькуляторе, что в данном случае может оказаться даже удобнее. Образец решения, как обычно, в конце книги. Это, кстати, уже каноничная «интервальная» задача, в которой исследуется непрерывная величина – время.
Что ещё можно сказать по теме?
Несмотря на разнообразия рассмотренных показателей, их всё равно бывает не достаточно. Существуют крайне неоднородные совокупности, у которых варианты «кучкуются» во многих местах, и по этой причине средняя, мода и медиана плохо характеризуют положение дел.
В таких случаях вариационный ряд дробят с помощью квартилей, децилей, а в упоротых специализированных исследованиях – и с помощью перцентилей.
Квартили упорядоченного вариационного ряда – это варианты , которые делят его на 4 равные (по количеству вариант) части. Из чего автоматически следует, что 2-я квартиль – есть в точности медиана: .
В тяжёлых случаях проводится разбиение на 10 частей – децилями – это варианты, который делят упорядоченный вариационный ряд на 10 равных (по количеству вариант) частей.
И в очень тяжелых случаях в ход пускается 99 перцентилей .
После разбиения вариационного ряда каждый участок исследуется по отдельности – рассчитываются локальные средние и другие показатели.
В учебном курсе квартили, децили, перцентили встречаются редко, и посему я оставляю этот материал (их нахождение) для самостоятельного изучения.
Ну а сейчас мы переходим к изучению второй группы статистических показателей:
© mathprofi.ru — mathter.pro, 2010-2023, сделано в Блокноте.
Мода
Мода — это наиболее часто встречающее значение в выборке.
Пример расчета моды
Например, в выборке 4, 5, 6, 6, 7, 8 модой будет число 6 потому что оно встречается два раза. Если расположить эти значения на графике то значениям моды будет соответствовать вершина графика.
В распределении признаков может быть две моды и более.
Например в выборке 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8 модами будут значения 3 и 8. Значение 2 будет называться нижней модой, значение 8 верхней модой.
Если два соседних значения встречаются одинаково часто, то мода считается как среднее арифметическое между ними.
Например в распределении 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7 модой будет значение 4,5 (четыре целых пять десятых) поскольку 4 и 5 находятся рядом и встречаются одинаково часто.
Определение моды и медианы
Интервал, имеющий наибольшую частоту, будет являться модальным, а конкретное (дискретное) значение моды будет находиться внутри него. Рассчитать конкретное, значение моды в интервальном ряду можно по следующей формуле:
где: ХМо — нижняя граница модального интервала,
i — длина модального интервала,
fMo — частота модального интервала,
fMo-1 — частота, соответствующая предшествующему интервалу,
fMo+1 — частота, соответствующая последующему интервалу.
Самая большая частота, 37 стран, соответствует варианту 71,70 — 74,43. Этот интервал является модальным.
Определение медианы
Медиана применяется для количественной характеристики структуры и равна такому варианту, который делит ранжированную совокупность на две равные части. У одной половины совокупности признаки не больше медианы (меньше или равны), у второй — не меньше медианы (больше или равны).
Если рассматриваемый ряд интервальный, то накопленные частоты покажут нам медианный интервал. Конкретное значение медианы рассчитывается по формуле:
i — длина медианного интервала,
сумма f — сумма частот ряда (объем совокупности),
f’Me-1 — накопленная частота в интервале, предшествующем медианному,
fMe — частота медианного интервала.
Для нахождения медианного интервала нужно знать половину частот, то есть 150 : 2 = 75. В столбце «накопленные частоты» выбираем 5 интервал, так как в 4 интервале частот накопилось еще 49 стран — меньше половины. С помощью формулы найдем конкретное значение медианы, оно принадлежит медианному интервалу 71,70 — 74,43.
Разница между 74,14 и 73,61 говорит об умеренном асимметричном распределении