Во сколько раз минутная стрелка на часах вращается быстрее часовой?
За один час, минутная стрелка делает один оборот. Соответственно, за 12 часов (один оборот часовой стрелки) минутная стрелка сделает 12 оборотов.
Получается что минутная стрелка крутится в 12 раз быстрее часовой.
автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
комментировать
в избранное ссылка отблагодарить
sprin g9483 74 [472K]
2 года назад
Размышляем логически. Часовая стрелка делает полный оборот циферблата за 12 часов, а минутная — за один час. Получается, скорость минутной стрелки быстрее скорости часовой в 12 раз.
А вот секундная стрелка движется ещё быстрее. Расчёт аналогичный.
комментировать
в избранное ссылка отблагодарить
СТЭЛС [319K]
5 лет назад
Похожий вопрос взят за основу задачи, в начальных класса. Суть точно такая же «. назвать кратность оборотов (скорости) часовой, минутной и секундной, стрелок»
Самая медленно движущаяся стрелка часов это Часовая стрелка. Она делает один полный оборот циферблата за двенадцать часов.
Более шустрее бежит стрелка минутная. В то время как часовая стрелка сделает один полный оборот, минутная пройдет двенадцать кругов.
Ну и самая быстрая стрелка, движение которой заметно даже человеческому глазу — это секундная стрелка. Она сделает полный оборот, в то время как минутная сдвинется на одну шестидесятую оборота.
Получается в двенадцать раз быстрее.
комментировать
в избранное ссылка отблагодарить
lady v [641K]
8 лет назад
Чтобы сравнить скорости минутной и часовой стрелок, следует найти общий знаменатель. Ведь за один оборот минутной стрелки часовая проходит всего 1\12 часть круга на циферблате, например перемещается с 12 часов на 1 час. Полный оборот часовой стрелки — 12 часов, минутная же стрелка за это время успеет прокрутиться ровно 12 раз. Таким образом скорость движения минутной стрелки в 12 раз выше скорости вращения стрелки часовой.
комментировать
в избранное ссылка отблагодарить
fatal ex [117K]
2 года назад
Рассчитать во сколько раз минутная стрелка движется быстрее, чем часовая можно несколькими способами.
Проще всего это сделать логически:
минутная стрелка совершает полный оборот за 1 час, часовая стрелка же обходит весь циферблат только лишь за 12 часов, а значит она движется в 12 / 1 = 12 раз медленнее минутной, ну, или по-другому, минутная стрелка движется быстрее, чем часовая в те же 12 раз.
С другой стороны, за 1 час минутная стрелка проходит один круг или 360°, а часовая стрелка за то же время проходит по циферблату всего 30°. Осталось разделить первое число на второе и найдём, что минутная стрелка вращается быстрее часовой в 360° / 30° = 12 раз.
Во сколько раз секундная стрелка движется быстрее минутной?
7: Спростіть вираз —40xy» (-*-x’y») -0,9x² та обчисліть його значення, якщо х=-1, у=1. 8. На I полиці стоїть а, книжок, на II — утричі більш ніж на п … ершій, а на III — на 17 книжок менше, ніж на I та II полицях разом. Запишіть у вигляді виразу кiлькiсть книжок на трьох полицях разом. Обчисліт при а = 20. — 9. Доведіть тотожність: 16 – 5 (a — 3) + 7a — 18 = 2a-7 (a-2²)-(18-7a)
3•(а+в)-2(а-3в)-а допоможіть будь ласка
Найдите a + b, где а = 2√3 ·(-5√3) + 29 и b = 6√18: (2√2) — 8
Знайдіть значення виразу найзручнішим способом: 1) 4 ·86 ·25; 2)8 ·39· 125; 3)78 ·43 + 43 ·22.
Виконай ділення з остачею : 437 : 12
Лёгкий способ решать задачи о стрелках часов
Однажды много лет назад один немолодой профессор задал мне задачку о перестановке стрелок часов. Точной формулировки за давностию лет я не помню, но поиск в интернете привёл меня к «Занимательной алгебре» Я. И. Перельмана, которая была впервые опубликована в 1933 году:
Возьмём положение стрелок в 12 часов. Если бы в этом положении большая и малая стрелки обменялись местами, они дали бы всё же правильные показания. Но в другие моменты, — например, в 6 часов, — взаимный обмен стрелок привёл бы к абсурду, к положению, какого на правильно идущих часах быть не может: минутная стрелка не может стоять на 6, когда часовая показывает 12. Возникает вопрос: когда и как часто стрелки часов занимают такие положения, что замена одной другою дает новое положение, тоже возможное на правильных часах?
Что любопытно, эта формулировка восходит к книге Александра Мошковского «Альберт Эйнштейн: беседы с Эйнштейном о теории относительности и общей системе мира», опубликованной в 1921 году на немецком языке, и уже в следующем году (!) переведённой на русский язык (и, судя по каталогу РГБ, с тех пор её и не переиздавали; доступен английский перевод).
Мошковский, навещая Эйнштейна во время болезни, предложил ему эту задачу для развлечения. Тот отметил, что задача интересная и не слишком простая, однако, увы, удовольствие от неё не продлится долго, потому что путь к решению уже ясен. Начертив условия задачи на листе бумаги, Эйнштейн составил диофантово уравнение и спустя небольшое время решил его.
К сожалению, более никаких подробностей в книге Мошковского не упоминается, и как могло бы выглядеть это уравнение, мы можем только предполагать. Решение, приведённое в книге Перельмана, в целом выглядит примерно так же, и довольно громоздко.
Решение, приведённое Перельманом
Пусть одно из требуемых положений стрелок наблюдалось тогда, когда часовая стрелка отошла от цифры 12 на делений, а минутная — на делений. Так как часовая стрелка проходит 60 делений за 12 часов, т. е. 5 делений в час, то делений она прошла за часов. Иначе говоря, после того как часы показывали 12, прошло часов. Минутная стрелка прошла делений за минут, т. е. за часов. Иначе говоря, цифру 12 минутная стрелка прошла часов тому назад, или через часов после того, как обе стрелки были на двенадцати. Это число является целым (от нуля до 11), так как оно показывает, сколько полных часов прошло после двенадцати. Когда стрелки обменяются местами, мы найдём аналогично, что с двенадцати часов до времени, показываемого стрелками, прошло полных часов. Это число также является целым (от нуля до 11).
Имеем систему уравнений:
где и — целые числа, которые могут меняться от 0 до 11. Из этой системы находим:
Давая им значения от 0 до 11, мы определим все требуемые положения стрелок. Так как каждое из 12 значений можно сопоставлять с каждым из 12 значений , то, казалось бы, число всех решений равно 12 × 12 = 144. Но в действительности оно равно 143, потому что при и при получается одно и то же положение стрелок.
Я решал эту задачу примерно тем же образом и с некоторыми усилиями получил верный ответ, но спустя несколько лет мне пришла в голову следующая картинка:
Мысленно положим часы циферблатом вниз на комплексную плоскость так, чтобы 12 часов были в точке , а 3 часа — в точке .
В этом случае положение стрелок часов легко выражается через комплексную экспоненту. Если время, прошедшее с полуночи в часах, обозначить как , то положение конца минутной стрелки будет равно , поскольку за каждый час минутная стрелка совершает ровно один оборот. Часовая же движется в 12 раз медленнее, и положение её конца (будь она длины 1) .
(Если предыдущий абзац совершенно непонятен, то рекомендую замечательные видео от 3blue1brown из серии Lockdown math)
Важно, однако, даже не это, а соотношение .
Пользуясь этим соотношением, можно решать практически любые задачи о стрелках часов, причём делать это единообразно. Начнём с простого.
Сколько раз за 12 часов совпадают стрелки часов?
Стрелки совпадают, следовательно . Отсюда:
Поскольку — точка на единичной окружности и никогда не равна нулю, то на можно смело делить (как и на ):
Отсюда немедленно следует, что это случается 11 раз за двенадцатичасовой период через равные интервалы, начиная с , т. е. полуночи/полудня. Интервал составляет часа, то есть 1 час и минут.
Сколько раз за 12 часов стрелки часов направлены в противоположные стороны?
Стрелки противонаправлены, следовательно . Отсюда аналогичным способом получаем:
Соответственно, подобные моменты случаются так же 11 раз за 12 часов с такими же равными интервалами, но только начиная не с , а с , что соответствует 6 часам.
Сколько раз за 12 часов стрелки часов расположены под прямым углом друг к другу?
Эта задача немного сложнее, потому что прямой угол может быть как в одну сторону, так и в другую, то есть или .
Поскольку , то уравнение эквивалентно . Далее аналогично подставляем :
И получаем 22 положения за 12 часов с интервалом, соответственно, в минут, начиная с 3 часов () или 9 часов ().
Сколько раз за 12 часов встречаются часовая, минутная и секундная стрелки?
Вспомним, что секундная стрелка движется в 60 раз быстрее минутной, следовательно её положение . А если они все равны, то требуется решить уравнение , которое в силу можно преобразовать в с единственным решением .
Аналогичным образом можно посчитать, что часовая стрелка с секундной встречаются 719 раз за 12 часов, а минутная с секундной — 708 раз за 12 часов (по 59 раз в час).
Когда стрелки стоят симметрично (т.е. на одинаковых расстояниях от 12)?
В общем случае здесь бы понадобилась операция комплексного сопряжения, но поскольку все наши точки лежат на единичной окружности, то достаточно минус первой степени: . Отсюда:
Тринадцать возможных положений, начиная с 12 часов и с интервалом в часа, то есть минут.
В мире антиподов минутная стрелка идёт с нормальной скоростью, но в противоположную сторону. Сколько раз за сутки стрелки антиподных часов а) совпадают; б) противоположны; в) расположены под прямым углом?
Поскольку в мире антиподов минутная стрелка идёт в противоположную сторону, то здесь .
Думаю, читатель к этому моменту уже наловчился решать подобные уравнения в уме, и может легко сообразить, что у уравнений (для совпадающих стрелок) и (для противоположных стрелок) будет по 13 ненулевых решений.
Прямому углу между стрелками соответствует уравнение , то есть : целых 26 решений с интервалом минут.
Ну что же, пора перейти к задачке, с которой всё начиналось.
Когда и как часто стрелки часов занимают такие положения, что замена одной другою даёт новое положение, тоже возможное на правильных часах?
Для любого корректного положения стрелок, как мы помним, верно равенство . Соответственно, чтобы обмен стрелок также давал корректное положение, требуется, чтобы было верно и . Отсюда:
Итого — 143 возможных положения с равными интервалами в минут в течение 12 часов. Весьма лаконично, если сравнивать с другими способами решения, не правда ли?
- комплексные числа
- задачи на смекалку
У вас есть аналоговые часы с секундной стрелкой. Сколько раз в день все три стрелки часов накладываются друг на друга?
Сколько раз в день все три стрелки аналоговых часов накладываются друг на друга? Решение задачи и ответ, который хотят услышать на собеседовании в Google.
Эта задача — вариант классического вопроса, задававшегося на собеседованиях в Microsoft, когда претендентов спрашивали, сколько раз в день часовая и минутная стрелки встречаются друг с другом. Посколько этот вопрос сейчас стал широко известен, интервьюверы начали использовать его разновидность.
Рассмотрим сначала вариант наиболее ожидаемого решения, математического. Во-первых, представьте ситуацию, когда часовая и минутная стрелки наложились. Все знают, что это происходит в полночь, затем приблизительно в 1:05, 2:10, 3:15 и так далее. Другими словами, они накладываются друг на друга каждый час, за исключением периода от 11:00 до 12:00. В 11:00 более быстрая минутная стрелка находится на 12, а более медленная часовая — на 11:00. До 12:00 дня они друг с другом не встретятся, и поэтому их наложения в районе 11 часов не будет.
Таким образом, за каждый 12-часовой период происходит 11 наложений. Они равномерно распределены во времени, поскольку обе стрелки двигаются с постоянной скоростью. Это означает, что интервалы между наложениями составляют 12/11 часа. Это эквивалентно 1 часу 5 минутам 27 и 3/11 секундам. Поэтому за каждый 12-часовой цикл наложения происходят в периоды, указанные на картинке.
Вернёмся к секундной стрелке. Её наложение на минутную возможно тогда, когда число минут совпадает с числом секунд. Точное наложение происходит в 00:00:00. В целом минутные и секундные стрелки накладыватся лишь на долю секунды. Например, в 12:37:37 секундная стрелка будет показывать на 37, отставая от минутной, которая в это время будет между 37 и 38 и отставать от часовой. Через мгновение минутная и секундная наложатся, но часовой возле них не будет. Т.е. наложения всех трёх стрелок не произойдет.
Секундная стрелка не наложится ни в одном из вариантов на картинке, за исключением полуночи и полудня. Это означает, что финальный ответ на вопрос: дважды в сутки.
А вот ответ, приветствуемый в Google. Секундная стрелка предназначена для показа коротких временных интервалов, а не для сообщения времени с точностью до секунды. Если она не синхронизирована с двумя другими стрелками, это вполне нормально. Под «синхронизацией» здесь понимается, что в полночь и полдень все три стрелки указывают точно на 12. Большинство аналоговых часов всех видов не позволяют вам точно установить секундную стрелку. Нужно было бы извлечь батарейку или подождать, если говорить о механических часах, когда закончится завод пружины, а затем, когда секундная стрелка остановлена, синхронизировать минутную и часовую стрелки друг с другом, после чего дождаться, когда наступит время, показанное на часах, чтобы вернуть батарейку или завести часы.
Чтобы все это проделать, нужно быть маньяком или фанатеть от пунктуальности. Но если вы всего этого не проделаете, секундная стрелка не будет показывать «реального» времени. Она будет отличаться от точных секунд на какую-то величину в случайном интервале, доходящем до 60 секунд. Учитывая случайные расходждения, шансов на то, что все три стрелки когда-либо встретятся, не существует. Этого не случается никогда.
Разбор головоломки по книге «Действительно ли Вы достаточно умны, чтобы работать в Google?»