Как посчитать трамваи в москве логическая задача

задача: Трамвай, студент и профессор

Профессор и его студент живут в одном подъезде недалеко от трамвайной линии. Они выходят из дома одновременно, чтобы успеть на лекцию. Студент бежит к ближайшей трамвайной остановке со скоростью 12км/ч, а профессор идет вдоль трамвайной линии с вдвое меньшей скоростью до другой остановки. Тем не менее, студент опаздывает на лекцию (нигде не задерживаясь по дороге), а
профессор приезжает вовремя. Какова наибольшая возможная скорость трамвая, если известно, что скорость трамвая постоянна и выражена целым числом км/ч?

Ваши ответы на задачу

ответов: 14

Evrinom 2016-04-29 00:30:20 пишет:

[скрыто]

KoKos 2016-04-28 23:15:00 пишет:

[скрыто]

Evrinom 2016-04-28 22:34:07 пишет:

[скрыто]

Evrinom 2016-04-28 22:33:07 пишет:

[скрыто]

KoKos 2016-04-28 14:25:55 пишет:

[скрыто]

Админ:

Evrinom 2016-04-28 10:59:56 пишет:

[скрыто]

K2 2016-04-19 22:39:08 пишет:

[скрыто]

не представился 2016-04-19 22:29:33 пишет:

[скрыто]

K2 2016-04-19 22:20:05 пишет:

[скрыто]

K2 2016-04-19 22:09:39 пишет:

[скрыто]

Админ:

не представился 2016-04-19 20:53:27 пишет:

[скрыто]

Админ: давайте считать, что поъезд дома выходит прямо к трамвайным путям.

не представился 2016-04-19 20:37:22 пишет:

[скрыто]

ivana2000 2016-04-19 20:29:39 пишет:

[скрыто]

KoKos 2016-04-19 20:00:07 пишет:

[скрыто]

Добавьте комментарий:

Обсуждаем

Задача Имя, сестра? Имя! 8)) : Игорь : [скрыто] Задача Две спички из 508 : Абдулла : [скрыто] Задача Черная Жемчужина : не представился : [скрыто] Когда-то с удовольствием решал : [скрыто] Задача Пример на сложение. Или умножение на 3. : не представился : [скрыто] Задача Загадка Стива Джобса : не представился : [скрыто] Задача удлинняем слово : не представился : [скрыто] Задача Пример на сложение. Или умножение на 3. : не представился : [скрыто] Задача Тайна монет и пресной воды : не представился : [скрыто] Задача Многопозиционный выключатель : Ника : [скрыто] Задача 101-102=1 : не представился : [скрыто] Задача Пример на сложение. Или умножение на 3. : не представился : [скрыто] Задача Задача с собеседования в Adobe : не представился : [скрыто] Чушь : [скрыто] Чушь : [скрыто]

Реклама

© 2009-201x Логические задачи

Задачи на собеседованиях

Логические и математические задачи, которые часто дают кандидатам на собеседованиях, чтобы понять их логику суждения. Некоторые из них заведомо не имеют правильного решения. Это делается для того, что понять способность кандидата рассуждать и строить логические цепочки.

Вопрос от Google

У вас имеется 8 шариков одинакового вида и размера. Как найти более тяжёлый шарик, используя весы и имея право всего на два взвешивания?

Ответ:

Отберите 6 шариков, разделите их на группы по 3 шарика и положите на весы. Группа с более тяжёлым шариком перевесит чашу. Выберите любые 2 шарика из этой тройки и взвесьте. Если тяжёлый шарик среди них, вы это узнаете; если они весят одинаково — тяжёлый тот, что остался. Если же более тяжелого шарика в группах по 3 шарика не оказалось, он — среди 2 оставшихся

Вопрос от Adobe

У вас 50 мотоциклов с заполненным топливом баком, которого хватает на 100 км езды. Используя эти 50 мотоциклов, как далеко вы сможете заехать (учитывая, что изначально они находятся в одной условной точке)?

Ответ:

Самый простой ответ: завести их все одновременно и проехать 100 км.

Другое решение: Сначала переместите все мотоциклы на 50 км. Затем перелейте топливо из половины мотоциклов в другую половину. У вас таким образом — 25 мотоциклов с полным баком. Проедьте еще 50 км и повторите процедуру. Так можно забраться на 350 км (не учитывая того топлива, которое останется от «лишнего» мотоцикла при разделе 25 надвое)

Вопрос от Apple

Шелдон Купер дошёл в игровом квесте в погоне за сокровищами до последнего рубежа. Перед ним — две двери, одна ведёт к сокровищам, вторая — к смертельно опасному лабиринту. У каждой двери стоит стражник, каждый из них знает, какая дверь ведет к сокровищу. Один из стражников никогда не врёт, другой — врёт всегда. Шелдон не знает, кто из них лжец, а кто нет. Прежде чем выбрать дверь, задать можно только один вопрос и только одному стражнику.
Вопрос: что должен спросить Шелдон у стражника, чтобы попасть к сокровищам?

Ответ:

Любому из стражников можно задать вопрос: «Какая дверь, по мнению другого стражника, правильная?». Если он спросит у честного, то получит данные о том, какая дверь ведёт к лабиринту, ведь стражник-лжец всегда лжёт. Если же он спросит у стражника-лжеца, то узнает, какая дверь ведёт к лабиринту, ведь тот соврёт о двери, на которую укажет честный стражник

Вопросы от «Яндекса»

К сожалению, точные правильные ответы на данные задачи ещё не известны.

Задача №1

Эту задачу предлагали решить для вступления в «Школу анализа данных» в феврале 2014 года.
Игра состоит из одинаковых и независимых конов, в каждом из которых выигрыш происходит с вероятностью Х. Когда игрок выигрывает, он получает 1 доллар, а когда проигрывает — платит 1 доллар. Как только его капитал достигает величины N долларов, он объявляется победителем и удаляется из казино.
Найдите вероятность того, что игрок рано или поздно проиграет все деньги, в зависимости от его стартового капитала K.

Задача №2

Следующую задачу предлагали решить разработчикам на собеседовании, и она более связана непосредственно с программированием, чем предыдущие примеры.
У вас имеется морфологический словарь объёмом примерно 100000 входов, в котором глаголы совершенного и несовершенного вида помещены в отдельные статьи (то есть «делать» и «сделать» считаются разными словарными входами). Вам требуется найти в словаре такие видовые пары и «склеить» статьи в одну.
Опишите общий сценарий решения такой задачи и примерный алгоритм поиска видовых пар.

Вопросы от Microsoft

№1 У вас бесконечный запас воды и два ведра — на 5 литров и 3 литра. Как вам отмерить 4 литра?

№2 У вас два куска верёвки. Каждый такой длины, что если поджечь его с одного конца, он будет гореть ровно 60 минут. Имея только один коробок спичек, как отмерить с помощью двух отрезков такой верёвки 45 минут? Рвать верёвки нельзя.

№3
Одни приписывают его авторство Альберту Эйнштейну, другие — Льюису Кэрролу.Задача 9: На улице стоят пять домов. Англичанин живёт в красном доме. У испанца есть собака. В зелёном доме пьют кофе. Украинец пьет чай. Зелёный дом стоит сразу справа от белого дома. Тот, кто курит Old Gold, разводит улиток. В жёлтом доме курят Kool. В центральном доме пьют молоко. Норвежец живёт в первом доме. Сосед того, кто курит Chesterfield, содержит лису. В доме по соседству с тем, в котором содержат лошадь, курят Kool. Тот, кто курит Lucky Strike, пьёт апельсиновый сок. Японец курит Parliament. Норвежец живёт рядом с синим домом. Каждый из домов покрашен в отдельный цвет, в каждом доме живет представитель отдельной национальности, у каждого — свой питомец, своя любимая марка сигарет и напиток.
Вопрос: Кто пьет воду? Кто содержит зебру?

Ответы:

№1

Наполните водой пятилитровое ведро и вылейте часть воды в трёхлитровое. У вас сейчас 3 литра в маленьком ведре и 2 — в большом. Опустошите маленькое ведро и перелейте туда оставшиеся 2 литра из большого. Снова наполните большое ведро и перелейте из него воду в маленькое. Там уже есть 2 литра воды, так что долить придется всего литр, а в большом останется 4 литра

Второй вариант решения – метод вытеснения. Наполняем большое ведро водой и опускаем в него маленькое. Три литра из него выльются, останется два. Сливаем их в маленькое и повторяем процедуру снова. Наполняем пятилитровое и погружаем в него трехлитровое. Опять остается два литра. Добавляем их к имеющимся в трехлитровом.

№2
Один из отрезков поджигается с двух концов, одновременно с этим поджигается второй отрезок, но с одного конца. Когда первый отрезок догорит полностью, пройдет 30 минут, от первого также останется 30-минутный отрезок. Поджигая его с двух концов, получим ещё 15 минут

№3
У японца живёт зебра, норвежец пьёт воду

Задача про кубики

Имеется 8 одинаковых по внешнему виду кубиков, один из которых тяжелее других. За какое наименьшее количество взвешиваний можно найти этот куб? Ответ: За 2 взвешивания. 6 кубиков разделить на две равные группы и взвесить. Из более тяжелой группы (или из оставшихся кубиков, если две группы одинакового веса) выбрать 2 кубика и взвесить их.

Задача про окна

За какие деньги вы помоете все окна Москвы?

Ответ: Нужно сказать не общую сумму, а цену за единицу – к примеру, 1000 руб./окно

Задача про настройщиков роялей

Сколько настройщиков роялей в России?

Ответ: Любой аргументированный, правильного решения нет.

Комната с лампочками

Имеется закрытая комната, в которой есть три лампочки. С внешней стороны комнаты имеется три выключателя. Вам нужно узнать, какой выключатель включает каждую из лампочек. Но в комнату вы можете зайти только единожды.

Ответ:

Если лампа включена, то она будет нагреваться, и при выключении некоторое время ещё будет тёплой. Получаем новое состояние: лампа либо «тёплая», либо «холодная».

Исходя из всего этого, нужно включить два выключателя на небольшое время, после чего один из них выключить и пойти в комнату, в которой мы увидим, что одна лампа горит, а две не горят, но одна из них тёплая, а другая холодная. Таким образом, мы сможем понять, какой выключатель связан с каждой из ламп.

Котлеты на сковороде

Имеется две сковородки и три котлеты. Чтобы обжарить одну котлету с одной стороны, требуется минута. Одна сковородка вмещает лишь одну котлету. Какой минимум времени необходим, чтобы обжарить все котлеты полностью?

Ответ: Последовательность действий должна быть такой: кладём жарить две котлеты, но одну после первой минуты убираем со сковороды, и кладём сырую. Через минуту одна из первых двух котлет дожарится и на её место нужно будет положить первую – недожаренную. На третьей минуте дожарятся обе оставшиеся котлеты.

Золотая цепочка

На постоялый двор нанёс визит странник. У него нет с собой денег, но есть золотая цепочка, состоящая из шести звеньев. Хозяин двора согласен взять оплату жилья в виде одного звена цепочки на каждый день, но при условии, чтобы распиленным оказалось только одно звено. Причём, оплата должна поступать именно ежедневно, т.к. странник не хочет вносить предоплату, а хозяин не готов к оплате по факту прожитых в его доме дней. Как должен странник распилить цепочку, чтобы была возможность вносить оплату ежедневно в течение пяти дней?

Ответ: Хозяин и странник могут обмениваться, а хозяин также может давать сдачу. Отсюда следует простое решение.Распиливаем конкретно третье звено, чтобы получить разменную «монету» в 1, 2 и 3 звена. На первые сутки странник платит одним звеном, на вторые – платит двумя, но забирает одно первое, на третьи – платит тремя, но забирает два вторых и т.д. до конца срока пребывания. В тоге мы имеем только одно распиленное звено, пять дней проживания и довольного хозяина.

Горящие верёвки

Есть две верёвки и коробок со спичками. О каждой верёвке мы знаем, что если их поджечь, то они полностью сгорят за один час. Нам нужно отмерить пятнадцать минут. Но как нам это сделать, если мы знаем, что верёвки будут прогорать неравномерно?

Ответ: Разрезать верёвку на четыре равные части и просто поджечь не получится, т.к. время, за которое сгорает верёвка, не равно её длине – одна часть верёвки может гореть быстрее, другая – медленнее и т.д.

Учитывая то, что верёвка горит один час, делаем вывод, что её подожгли с одного из концов. Поэтому, если поджечь оба конца, она прогорит за полчаса, пусть и гореть будет неравномерно. Далее мы можем сравнить: поджигаем одну из верёвок с двух краёв, а другую – только с одного края, чтобы засечь время. Первая сгорит за полчаса. Как только она сгорела, мы сразу же должны потушить вторую. Так у нас остаётся кусок второй верёвки, который сгорит за полчаса. Если мы подожжём его с двух концов, то получим 15 минут.

Как порезать торт?

Имеется круглый торт. Задача заключается в том, чтобы поделить его на восемь равных кусков, сделав при этом только три разреза.

Ответ:

1) В первую очередь, разрезаем торт крест-накрест двумя разрезами, и получаем четыре куска. Как же нам теперь порезать их все пополам? Для этого просто берём и ставим четыре куска друг на друга, и затем режем пополам и получаем восемь кусков – это только один вариант.

2) Второй вариант заключается в том, что мы разрезаем торт не как обычно, а в горизонтальной плоскости, т.е. поперёк. Немного странными получатся в итоге куски, но вариант всё-таки хорош, согласитесь?

Верёвка и экватор

Представьте планету Земля. По экватору она плотно стянута веревкой. После увеличения длины веревки на десять метров образовался зазор между ней и поверхностью земли. Вопрос: возможно ли человеку пролезть в образовавшийся зазор?

При составлении подобных задач часто используется мышь или другое существо вместо человека. Меняется длина, на которую увеличивается веревка. Но как бы то ни было, ход решения обычно используется одинаковый.

Ответ:

Для данной задачи применимо математическое решение. Известно, что длина экватора составляет 40 075 км. Определим радиус, основываясь на формуле расчета длины окружности (L = 2πR). Он равен R = L/2π = 40075000/2×3,14 = 6381369,43 м. Если увеличить длину на 10 метров, то получим 6381371,02 м. Зазор равен – 1,59 м. Ответ очевиден, человек может не только пролезть, но и пройти слегка пригнувшись.

Таблетки и баночки

На столе стоят пять баночек. В них одинаковые с виду таблетки, каждая из которых весит десять грамм за исключением ядовитых. Они лежат в отдельной баночке, и масса одной штуки – девять грамм. Используя только одно взвешивание, определить, баночку с ядовитыми таблетками.

Ответ:

Эта задача одна из легких. Первое, что нужно сделать, это пронумеровать баночки. Далее, из каждой берем разное количество (для удобства – из №1 – 1штуку, из №2 – 2 штуки, из №3 – 3 штуки, из №4 – 4 штуки, из №5 – 5 штук). Складываем их все вместе на весы и смотрим на получившееся число. Максимальная масса всех таблеток по десять грамм будет равна 150 (общее количество таблеток умножаем на 10). Теперь отнимаем получившееся при взвешивании число: 150 – 141 = 9. Это вес одной ядовитой таблетки. Соответственно, ядовитые находятся в баночке номер один, потому что из нее взяли одну штуку.

Туннель, человек и поезд

Гуляя, человек видит туннель для поездов. Он хочет через него пройти. Пройдя четвертую часть пути, человек слышит звук приближающегося поезда. Скорость поезда неизвестна и расстояние до него тоже. Можно сказать только следующее:

• побежав назад, человек окажется в начале туннеля в одно время с поездом,
• побежав вперед, он встретится с поездом в одно время в конце туннеля.

Добавить можно, что ускорение человека происходит мгновенно, скорость одинаковая и постоянная при движении в обоих направлениях. Скорость поезда также постоянна. Узнайте, насколько движение поезда быстрее, если сравнивать его с движением человека?

Ответ:

В отличие от предыдущих задач в этой проводить математические расчеты нет необходимости. Достаточно просто порассуждать. Для начала определим, где находится человек. Судя по условиям теста, он при движении в сторону входа в туннель встретится с поездом у входа, а при движении к выходу на четверть, поезд окажется у входа. Делаем вывод, что человек в середине туннеля, а поезд у входа. В условиях указано, что у выхода они будут в одно время. Значит за время необходимое человеку для преодоления отрезка в половину туннеля, поезд проезжает весь туннель. На основании этого получаем, что скорость движения поезда в два раза быстрее скорости человека.

Яйца птицы и стоэтажное здание

Имеем два яйца и здание в сто этажей. Яйца от неизвестной птицы и из неизвестного материала. Разбиться яйцо может как при падении с первого, так и при падении с сотого этажа, а может и не разбиться. Нужно выяснить, падение с какого этажа приведет к разбиванию яйца. Определить нужно с минимальным количеством тестов.

Ответ:

Для решения воспользуемся линейным поиском по одному этажу. Находим наиболее оптимальное число отрезков, на которые следует разделить здание. Это нам потребуется для сокращения поиска с использованием второго яйца. Теперь введем переменную Y – число попыток, которые необходимо совершить. В случае если яйцо разобьется, то другое нужно бросить (Y – 1) раз. С каждой последующей попыткой вычитается число произведенных попыток. На следующем этапе понадобится (Y – 2) попытки и так далее.

Нужно найти идеальное число попыток, при условии, чтобы на заключительном этапе необходим был ноль экспериментов. Последовательность выглядит следующим образом: (1 + В) + (1 + (В – 1)) + (1 + (В – 2)) + (1 + (В – 3) + … + (1 + 0) ≥ 100. Здесь (1 + В) – число необходимых опытов, обозначим его Y и решим квадратное уравнение вида Y (Y + 1)/2 ≥ 100. Ответ будет равен 14. Следуя ходу размышлений, проверять нужно этажи под номерами – 14, 27, 39, 50, 60, 69, 77, 84, 90, 95, 99, 100 (при условии, что яйцо не разбивается в ходе эксперимента). Если яйцо разбивается, то проверить следует отрезок от максимального этажа, где оно осталось целым, и до места, где оно разбилось. Ответом будет – до 14 тестов необходимо для точного определения этажа.

В случае если кандидат предложит изложенный ниже вариант, ему могут посоветовать подумать над решением еще. Итак, вот он. Для минимизации количества тестов используем второе яйцо. Делим количество этажей пополам и первая попытка – сброс с 50 этажа. Если яйцо разбивается, то оставшееся яйцо сбрасываем с 1 по 49 этаж последовательно. Если оно все еще целое, то делим оставшийся отрезок пополам и бросаем с 75. Если разбивается, проверяем этажи с 51 по 74, если нет продолжаем. При таком подходе, минимальное число попыток зависит от исхода первой проверки.

Загадка канализационных люков

Вопрос простой: почему они круглые?

Ответ:

1) Вероятность падения круглого люка в колодец минимальна, так как у него диаметр один, как ни крути.

2) Причина в удобстве транспортировки и работы с данной формой.

Вопрос позволяет проявить фантазию и найти нетривиальное решение для поставленного вопроса.

Загадочный случай на поле

Мертвый человек найден на ржаном поле. В правой руке он крепко сжимает спичку. От чего умер человек? Поясните обстоятельства его смерти.

Ответ:

Задание это творческое. Самым распространенным ответом можно назвать легенду о крушении самолета. Именно ее чаще рассказывают на собеседованиях. Суть такова: летел самолет, отказал двигатель. Пассажиры обнаружили, что парашютов на всех не хватит. Решили тянуть жребий. Проигравший и есть человек на поле.

Этот тест предполагает множество решений. Подумайте и найдете не менее оригинальное объяснение произошедшему.

Тайна птичьих яиц

Есть причина, по которой все яйца птиц имеют асимметричную форму – один конец тупой, другой острый. Назовите ее и обоснуйте.

Ответ:

Главная причина – гарантия выживания птенцов при скатывании с ненадежных поверхностей. Асимметричная форма не позволяет яйцу катиться по прямой, набирая большую скорость. Оно скатывается по кругу, замедляясь. Форма предотвращает гибель птенцов.

Дом и медведь

Человек построил дом, все стены которого смотрят на юг. К нему в дом забрался медведь. Какого цвета медведь?

Ответ: Белого. Человек построил дом на серверном полюсе

Автомат с напитками

В офис привезли три автомата с напитками. Первый выдаёт чай, второй кофе, а третий случайным образом чай или кофе. Стакан любого напитка стоит одну монету. На каждом автомате есть наклейка с названием продукта, который он выдаёт. Так получилось, что на заводе перепутали местами наклейки и на каждом автомате оказалась неправильная. Сколько нужно потратить монет, чтобы выяснить, где какой автомат?

Ответ:
Одну монету бросить в автомат с наклейкой «случайный».

Почтальон и ключи

Есть два абонента A и B, почтальон C и открытый сейф с двумя замками. У каждого абонента есть ключ от одного из замков. Если передавать ключ через почтальона, то он может сделать дубликат. Как передать письмо от одного абонента к другому через почтальона, чтобы тот не смог его прочитать? Как изменится алгоритм, если в сейфе сделать небольшое отверстие для вложения письма?

Как выйти из леса

Путник находится в лесу в какой-то случайной точке. Известно, что площадь леса равна S, а форма может быть совершенно произвольная, однако в лесу нет полян. По какой траектории нужно двигаться путнику, чтобы гарантировано выйти из леса затратив минимальный по длине маршрут?

Ответ:

Двигаться по периметру фигуры, площадь которой больше площади леса. Эффективнее всего будет окружность.

Путешествие в исходную точку

Путешественник прошёл один километр на юг, затем один километр на запад, а после один километр на север и вернулся в исходную точку. Сколько существует таких мест на земле? Подсказка: больше одного…

Ответ:
Первое это северный полюс, а второе вроде как рядом с южным полюсом, но когда оказываешься точно на полюсе, невозможно идти на запад или восток, и если обратно идти на север, можно оказаться на любой точке на данной параллеле, так что тут непонятно.

Сколькими способами можно разложить на 6 целых множителей 1 000 000?
Ответ:
1) 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10
2) 2 * 50 * 10 * 10 * 10 * 10
3) 2 * 50 * 2 * 50 * 10 * 10
4) 2 * 50 * 2 * 50 * 2 * 50

Машины в гараже

В гараже, где миллионер держит свои машины, только 2 машины не белого цвета, только 2 машины не зелёного цвета и только 2 машины не красного.

Сколько всего машин у миллионера в гараже?

Ответ:

Очевидный ответ: в гараже три машины — 1 красная, 1 белая и 1 зелёная.

Но хочется строгого решения. Обозначим количество красных машин через x, зелёных — y, белых — z. Количество машин других цветов обозначим через k.

Условие записывается в виде:
x+y+k = 2
z+y+k = 2
x+z+k = 2

Очевидно, что x = y = z

Сложим все три равенства, получим
2(x+y+z) + 3k = 6

Или
6x + 3k = 6

Сокращаем
2x + k = 2

В целых неотрицательных числах это уравнение имеет два решения:
1) x = 1, k = 0 — это уже найденное нами решение: по одной машине каждого из трёх цветов, других машин нет
2) x = 0, k = 2 — а это новое решение: в гараже две машины других цветов. Например: две синие. Или одна жёлтая, а вторая — синяя

Задача с песочными часами

Как отмерить 9 минут с помощью двух песочных часов: на 4 минуты и на 7 минут?

Ответ:

1. Запустить оба типа часов
2. Как только закончились 4-х минутные, снова их запустить; к этому моменту на 7-ми минутных осталось 3 минуты
3. Как только закончились 7-ми минутные, начинать отсчет: на 4-х минутных к этому времени осталась 1 минута, и их еще 2 раза нужно запустить, получится 1+4+4=9 минут

Возраст детей

Разговор на скамейке в парке:
— У вас есть дети?
— Да, двое дошкольников*.
— А сколько им лет?
— Произведение их возрастов равно количеству голубей возле этой скамейки.
— Хмм, но я не могу понять…
— Ах, да — старший похож на мать.
— Вот теперь понял!* Дошкольник — это ребёнок до 7 лет.Вопрос: сколько лет детям?

Ответ: Старшему — 4, младшему — 1.

Хозяйки и борщ

Три хозяйки решили сварить борщ. Для экономии решили растопить лишь одну печку. Первая хозяйка принесла 2 полена, вторая — 3, у третьей поленьев не было, и она принесла 10 рублей. Известно, что суп был успешно сварен, супа всем хватило, все наелись и все съели поровну. Внимание, вопрос: как поделить деньги хозяйкам?

Ответ: Первой — 2 рубля, второй — 8 рублей

Мячики и автобус

Сколько мячиков для гольфа помещается в школьный автобус?
Ответ:

Примерно 500 000, если предположить, что высота автобуса — 50 мячиков, ширина — 50 мячиков, а длина — 200 мячиков.

Пираты и сокровище

У вас есть пять пиратов, упорядоченных от 5 до 1 в убывающем порядке. Главный пират имеет право предложить, как распределить 100 золотых монет между всеми. Но остальные потом голосуют за этот план, и если меньше половины пиратов соглашаются с ним, то его убивают. Как должен пират распределить золото, чтобы максимально увеличить свою долю, но выжить при этом? Подсказка: один пират заканчивает делёжку с 98% золота.

Возможный ответ:

Пусть из N пиратов номер 1 – это главарь, номер 2 – его наследник (на случай смерти номера 1), …, номер N – наследник номера N-1.

Для одного пирата – главарь получит все (100). 1 – 100
Для двух – тоже, т.к. половина согласна (сам главарь). У главаря – 100, у второго – 0: 1 – 100, 2 – 0.
Для трех:
Если главаря убьют, то пиратов станет опять 2, и новый главарь (2) получит все 100 (пусть его номер – следующий по порядку, изначально номер главаря – 1). А номер 3 тогда все равно получит 0. Поэтому склонить половину на свою сторону будет стоить 1, и недостающая часть половины – номер 3. Итог: 1 – 99, 2 – 0, 3 – 1.
…
Для N: Всех, за исключением главаря, делим на 2 группы:
1-я группа – целая часть от N/2 пиратов не получат ничего
2-я группа – остальные – по 1. В этой группе [(N-1)/2] штук пиратов.
Получаем для N: остаток у главаря = MAX(100 – [(N-1)/2], 0), т.к. при N > 200 у главаря не остается стимула к жизни. Можно считать, что главаря казнят, пока всего пиратов не останется N=200, где очередной главарь получит 1.

Для N = 5: 1 – 98, 2 – 0, 3 – 0, 4 – 1, 5 – 1

Сколько мальчиков в стране

В одной стране все семьи заводят детей до тех пор, пока у них не родится мальчик.

Как только в семье рождается мальчик — эта семья перестает рожать новых детей.

Какое соотношение мальчиков и девочек в этой стране?

Возможный ответ:

у половины семей мальчики (по условию больше не рожают)
у одной четвертой части семей одна девочка и мальчик
у одной восьмой части семей две девочки и мальчик
и т.д.
следовательно у 16 семей будет 8+4+2+1+(50 на 50) мальчик и 8+4+2+1+(50 на 50) девочкиИ следовательно отношение будет 50 на 50 :)для наглядности
1
1
1
1
01
01
001
000

Игральный кубик

Посчитайте вероятность того, что при двух последовательных бросаниях игрального кубика выпадет хотя бы одна шестёрка.

Ответ: 11/36

Сколько градусов между стрелками

На часах 3 часа 15 минут, сколько градусов между стрелками?

Ответ:
1 час = 12 пятиминуток, 1 час = 360 градусов, одна пятиминутка = 360/12=30 градусов. Если 30 градусов разделить на 4 получается 7,5 градусов, это и есть угол между стрелками.

10 логических задач с собеседований, которые заставят застрелиться

Собрали для вас 10 логических задач, которые могут попасться на собеседовании. Ответив на них правильно, вы точно произведёте впечатление.

Некоторые логические задачи с собеседований вгоняют в недоумение: зачем такое спрашивать? Чтобы создать сложную ситуацию и посмотреть, как быстро вы примете решение. Вопросы на логику при этом отличаются особой заковыристостью, так что сходу сориентироваться бывает сложно.

Разобраться помогут наши задачи на логику с ответами.

123 задачи с IT-собеседований с разбором решений

Автомат с напитками

Начнём с простой логической задачи.

На склад привезли три машины для напитков. Одна из них выдаёт чай, вторая выдаёт кофе, а третья — чай или кофе (определяется случайно). Любой автомат продаст стакан напитка за одну монету. На каждом автомате приклеена этикетка с выдаваемым напитком. Но на заводе произошла ошибка, из-за чего на всех автоматах наклеены не те этикетки, которые должны быть.

Вопрос: сколько потребуется денег, чтобы определить, где какие автоматы?

Потребуется одна монета, которую нужно бросить в автомат с наклейкой «случайный». Мы знаем, что это неправильная наклейка, поэтому это автомат с чаем либо кофе. После этого определяются остальные два автомата методом исключения. Например, если автомат выдал чай, то автомат с наклейкой «чай» на самом деле выдаёт кофе, а автомат с наклейкой «кофе» выдаёт случайный напиток.

Инопланетяне и десяток храбрецов

Такие логические вопросы чаще всего задают на позиции Junior-специалистов.

В нашу планету вторглась инопланетная раса, чтобы уничтожить всё человечество. Но перед этим они решили дать нам возможность проявить свои интеллектуальные способности. Они отобрали десять умнейших людей планеты, построив их в ряд в полностью тёмной комнате. Каждому они надели чёрную или белую шляпу. После этого свет включился.

Инопланетянин просит стоящего в конце ряда человека назвать цвет своей шляпы. Если ответ правильный — этот человек остаётся жить, если нет — погибает. Подсмотреть цвет своей шляпы нельзя, однако можно обсудить с остальными определённый принцип ответа, которого будут придерживаться все. Распределение цветов шляп случайное, но вам виден цвет шляп всех остальных людей.

Вопрос: каким должен быть ответ, чтобы в живых осталось как можно больше людей?

Люди должны договориться о следующем принципе ответов: отвечающий считает количество чёрных шляп у остальных людей. Если шляп нечётное количество, он называет «чёрный», если чётное — «белый». Следующий человек в ряду, видя шляпы остальных и зная чётность чёрных, может вычислить цвет своей шляпы. Например, если чёрных всё ещё нечетное количество, то на нём белая шляпа. С такой тактикой выживут 9 из 10 человек. Один же из них героически погибнет, спасая остальных.

Поездки на мотоциклах

У вас есть 50 мотоциклов с полным баком, которого хватает на 100 км езды.

Вопрос: используя все мотоциклы, какое максимальное расстояние вы сможете проехать? Все мотоциклы в начале пути находятся условно в одной точке.

Самое простое решение, которое может прийти в голову — просто завести все мотоциклы и одновременно проехать на них 100 км. Но можно проехать и больше. Для этого сначала проедьте 50 км. Все мотоциклы будут с наполовину заполненными баками. Перелейте топливо с одной половины мотоциклов в другую половину. Теперь у вас 25 мотоциклов с полным баком. Проедьте ещё 50 км и повторите операцию. Таким образом можно проехать 350 км

3 лампы и 3 выключателя

Эта логическая задача особенно полюбилась на собеседованиях. Есть 2 комнаты. Первая комната закрыта дверью, в ней низкие потолки и висят 3 лампы накаливания. Во второй комнате есть 3 выключателя, подсоединённых к каждой из ламп. Можно как угодно переключать выключатели, но перейти из второй комнаты в первую можно лишь один раз.

Вопрос: как узнать, за какую лампу отвечает каждый из выключателей?

Ситуацию спасут низкие потолки, которые позволят дотронуться до лампы. Ещё очень важная деталь — лампы накаливания, которые очень сильно нагреваются. Вам нужно, находясь во второй комнате, включить любую лампу на несколько минут, потом выключить её и включить любую из двух других. После этого переходите в комнату с лампами. Первый выключатель, который вы трогали, будет присоединён к лампе, которая ещё тёплая. Второй выключатель — к светящей лампе. А выключатель, который вы не трогали, будет подсоединён к выключенной холодной лампе.

Два стражника

А такая логическая задача часто встречается на интервью от Apple. Игрок дошёл до финального задания в квесте. Перед ним оказались две двери. Первая приведёт к богатству и победе, другая — к поражению. Под дверьми стоит по одному стражнику. Они знают, куда ведут их двери. Но один из них скажет неправду. Не известно, кто именно солжёт. Игрок может спросить одного стражника всего один раз.

Вопрос: что нужно спросить у стража, чтобы выйти к богатству и выиграть квест?

У любого стражника нужно спросить: «какая дверь, по мнению другого стражника, ведёт к победе?». Если игрок спрашивает у правдивого стражника, то тот укажет на дверь с поражением, ведь второй стражник всегда врёт. Если же спросить у второго стражника, то он соврёт о мнении правдивого стражника и тоже укажет на дверь с поражением. Зная неправильную дверь, вам просто нужно выбрать другую.

6 ошибок на собеседовании в IT-компанию

Пьяные кролики

Как-то раз один наследник захотел убить своего короля, чтобы власть скорей перешла в его руки. У короля была 1000 бутылок вина его любимого сорта. Наследник послал убийцу, чтобы тот отравил любимое вино короля. Но убийцу поймали после того, как он успел отправить лишь одну бутылку. Правитель был умным, поэтому решил использовать десяток кроликов, чтобы определить, куда именно был подсыпан яд. От отравы погибали спустя 1 день.

Вопрос: сколько минимум потребуется времени, чтобы найти отравленную бутылку? Как именно это сделать?

Кролика можно представить в бинарном состоянии: он либо жив, либо мёртв (1 или 0). У нас 10 кроликов, значит в двоичной системе можно получить 1024 (2^10) уникальных комбинаций состояний кроликов. Пронумеруем все бутылки в двоичной системе, для этого хватит 10 разрядов (в задаче нумерация регистров начинается с 1):

• 1-я бутылка = 0000000001
• 2-я бутылка = 0000000010
• 3-я бутылка = 0000000011
• …
• 999-я бутылка = 1111100111
• 1000-я бутылка = 1111101000

Кроликов нужно пронумеровать от 1 до 10. Каждый из них будет соответствовать одному из 10 разрядов числа. Кроликов нужно поить из тех бутылок, где в соответствующем кролику разряде есть единица. Например, из первой бутылки пьёт только первый кролик; из третьей — первый и второй. Напоив кроликов из всех бутылок, нужно подождать один день. Номера кроликов, которые погибли, подскажут разряды числа, в которых должны быть единицы. Таким образом, если погибли только 3-й и 1-й кролики, то отравлена 5-я бутылка (0000000101 = 5).

Голодные белки

Данная логическая загадка нередко задаётся на собеседованиях и выделяется среди прочих своей неординарностью. В её решении важны не особые математические способности, а умение абстрагироваться от странного условия. Полюбившаяся интервьюерам задача звучит так: 1,5 белки за 1,5 минуты поедают 1,5 жёлудя.

Вопрос: сколько желудей за 9 минут съедят 9 белок?

Если вы не зависли на моменте «1.5 белки», то у вас есть все шансы осилить эту логическую задачку — завсегдатая собеседований. Нужно лишь иначе представить заданные условия. Если 1,5 белки съедают 1,5 жёлудя за 1,5 минуты, то 1 белка за 1,5 минуты съедает 1 жёлудь. Тогда 9 белок за 1,5 минуты съедают 9 желудей. Но по условию нужно узнать количество желудей, съедаемых за 9 минут:

1. 9 / 1,5 = 6 — во столько больше раз нам даётся времени;
2. 9 * 6 = 54 — столько желудей съедят 9 белок за 9 минут.

Треугольник муравьёв

Есть треугольник с равными углами. На углах стоят по одному муравью. В какой-то момент муравьи начинают идти в другой угол вдоль стороны треугольника. В какой именно — определяется случайно.

Вопрос: каков шанс того, что ни один муравей не столкнётся с другим муравьём?

Может показаться, что вероятность 33%, но это не так. Есть два варианта необходимого движения муравьёв: по часовой стрелке и против. Давайте сконцентрируемся на одном муравье. После того, как он случайным образом выбрал направление, ему нужно, чтоб и остальные муравьи двигались в эту же сторону. Шанс того, что второй муравей пойдёт в его направлении — 50%. Аналогичная вероятность и у третьего муравья. Это значит, что общая вероятность того, что муравьи не столкнутся — 25%.

Котлета, котлета и ещё одна котлета

Логические загадки могут быть очень каверзными. Как, например, эта.

У вас есть 2 сковородки и 3 котлеты. На приготовление 1 котлеты с одной стороны уходит 1 минута. На одной сковороде вмещается лишь 1 котлета.

Вопрос: за какое минимальное время вы сможете полностью обжарить все 3 котлеты?

Первым в голову приходит ответ — 4 минуты. Но можно уложиться и в 3 минуты. Для этого придерживайтесь следующей последовательности:

1. положите жариться по 1 котлете на две сковороды;
2. через минуту переверните первую котлету, а вторую уберите. На место второй котлеты положите третью;
3. ещё через минуту первая котлета будет полностью готова. На её место положите дожариваться вторую котлету, которую вы убрали, а третью котлету переверните;
4. спустя минуту все 3 котлеты будут полностью обжарены.

Необычная оплата

В поместье пришёл путник. В кармане — ни гроша, лишь одна золотая цепь из 6 звеньев. Хозяин поместья предложил брать плату в виде одного кольца с цепочки за один день проживания, при условии, что будет распилено только одно звено. Хозяин должен получать плату каждый день. Он не хочет принимать предоплату или давать в долг.

Вопрос: как путник должен распилить цепочку, чтобы вносить оплату за жильё каждый день в течение 5 дней?

В условиях задачи не запрещался обмен звеньями цепи. Было лишь требование, чтобы с каждым днём у хозяина жилья прибавлялось одно звенье. Нужно распилить третье звено цепи, чтобы получить 3 части по 1, 2 и 3 звена. За 1-е сутки странник платит одним звеном. На 2-е сутки он платит куском из 2 звеньев и получает сдачу — одно звено (которым он расплатился за 1-е сутки). На 3-и сутки платит куском из 3 звеньев и забирает кусок из 2 звеньев. По такому принципу странник и должен оплатить все оставшиеся дни.

Заключение

Возможно, вам уже попадались подобные задачки на логику на собеседованиях. Если так, поделитесь своим опытом: что это были за задачки и удалось ли их решить?

А для любителей поломать голову мы подготовили тест на проверку логики и математики.

Следите за новыми постами по любимым темам

Подпишитесь на интересующие вас теги, чтобы следить за новыми постами и быть в курсе событий.

Случайный трамвай посреди незнакомого города

Есть одна довольно любопытная задачка, она уже давно вошла в математический фольклор, а так же стала излюбленным испытанием на собеседованиях. Ее условия просты, а решение, кажется напрашивается само собой, однако не будем торопиться с выводами. Берите карандаш, чистый лист бумаги, усаживайтесь поудобней и давайте во всем разбираться.

В чем же, собственно, задача

Итак представьте, что Вы приехали в абсолютно незнакомый город и первый трамвай, который вам там повстречался, следовал под номером 17. Как оценить, сколько всего в этом городе трамвайных маршрутов?

Для простоты считайте, что трамвайные маршруты в городе пронумерованы без пропусков числами от 1 до N и изначально каждое из этих чисел с равными шансами могло оказаться номером трамвая, который вы бы увидели первым.

Впервые задачу о «Случайном трамвае» я услышал от Николая Николаевича Васильева, моего знакомого питерского математика. Тогда же он поделился со мной наблюдением, что среди тех, кому он рассказывал эту задачу, а затем просил дать ответ не задумываясь, большинство людей назвало число 34, то есть «x2» от 17. На моем опыте самым экстравагантным был ответ моего товарища с «мехмата»: 17. Только через неделю я догадался, что им двигал спавший где-то на подкорке его мозга принцип максимизации правдоподобия. Хорошо, но 17 и 34, другими словами «x1» и «x2» — это наивные и необдуманные ответы, а какой тогда правильный ответ, и вообще, существует ли он у этой задачи.

Подводные камни и область фантазии

Почему же стоит сомневаться насчет существования универсально-правильного ответа? К такой мысли легко прийти, если рассмотреть несколько простых, пускай и вымышленных вселенных. К примеру представьте, что на Земле в каждом городе ровно по 30 трамвайных маршрутов. Будет ли в этой вселенной «30» — единственно верным ответом? Теперь представьте, что в другой вселенной на Земле 1000 городов, причем в 999 из них действует по 30 трамвайных маршрутов, а в оставшемся одном — их ровно 17. Какой на сей раз ответ будет правильным и как на него повлияет то обстоятельство, что городов с 30-ю маршрутами очень много, а с 17-ю — всего один? Сразу скажу, что пользоваться вероятностными соображениями здесь очень трудно, ведь человек, которого просят оценить число маршрутов, не знает, был ли город, в котором он сейчас гостит, выбран на карте случайно, или в этом выборе кроется некая причина и присутствует чей-то расчет.

Принцип крайнего математического пессимизма

Несмотря на заявленные трудности, в математике имеется принцип, при помощи которого для нашей задачи можно дать ответ, остающийся осмысленным даже в самых причудливых мирах.
Когда дело касается игр, этот принцип называют максимизацией гарантированного выигрыша,
и чтобы понять в чем кроется его суть, давайте рассмотрим один простой пример.

Представьте себе игру: скрытно от вас в один из своих кулаков я прячу маленький предмет, пусть это будет сухая горошина, затем вытягиваю руки вперед и прошу вас угадать, в какой из них эта горошина находится. Пусть у нас есть время, чтобы сыграть очень долгую партию игр, причем изначально вам не известно, пытаюсь ли я вас в ней обыграть, стараюсь намеренно поддаться, или сохраняю безразличие к вашему успеху. Предположим, что перед вами стоит цель: выиграть как можно больше игр. Какой стратегии вам в таком случае стоило бы придерживаться?

Для начала давайте попробуем проанализировать, преимущества и недостатки следующих четырех простеньких стратегий:

1. Всегда выбирать правую руку.
2. Начать с правой, а затем выбирать ту руку, в которой горошина была найдена в последний раз.
3. В каждой игре перед тем, как сделать выбор, бросить на стол игральную кость. Если выпало «1» или «2», то выбрать правую руку, на «3», «4», «5» и «6» — левую.
4. Как и в предыдущей стратегии, в каждой игре бросить кость. В тех случаях, когда выпавшая грань оказалась «четной», выбрать правую, а когда «нечетной» — левую.

Легко догадаться, что стратегия 2) страдает тем же «пороком», а именно в наихудшем для нее сценарии, когда я начинаю с левой руки и затем в каждой из следующих игр чередую руки, она не позволит вам выиграть ни разу, как бы долго ни длилась наша партия.

Займемся теперь стратегией, которая идет в нашем списке третьей. Если вы ею воспользуетесь, то ваши шансы на победу в каждой игре, где горошина будет спрятана в правую руку, составят 1/3, а в играх, в которых горошина будет находиться в левой, — 2/3. Понятное дело, что наихудший сценарий для 3) — это, когда я имею привычку прятать горошину исключительно в правой руке. Однако даже в этом случае в любой достаточно длинной партии игр, примерно треть из них завершится вашей победой. Теоретически вам конечно может и не повезти, и правильную руку вы не отгадаете ни разу, но практически, скажем в партии из 1000 игр, почти не вероятно, чтобы количество ваших побед было меньше, чем , то есть меньше чем , а в партии из миллиона игр возможный процент отличий будет еще меньше. По сути, выбрав стратегию 3), вы тем самым гарантируете себе, что примерно треть от игр партии останутся за вами.

Если вы воспользовались четвертой в списке стратегией, то наша игра приобретает интересную особенность: по сути для вас перестает быть важным, на сей раз я спрятал горошину в правой руке или положил ее в левую, потому как в обеих ситуациях ваши шансы на победу будут одинаковы и составят ровно 50%. Можно даже сказать, любая намеченная мною очередность рук, где я собираюсь прятать горошину, для вас будет являться одновременно и наилучшим и наихудшим сценарием развития партии. Получается, что при любых раскладах в достаточно долгой партии игр примерно половина из них должны закончиться вашей победой. В этом смысле стратегия 4) дает вам самые большие гарантии, по сравнению со всеми остальными стратегиями, которые мы уже успели здесь рассмотреть.

Принцип максимизации гарантированного выигрыша предписывает вам перебрать все возможные стратегии игры, для каждой из них вычислить величину выигрыша в наихудшем для нее сценарии и объявить оптимальной ту стратегию, для которой величина этого выигрыша окажется наибольшей. Можно показать, что в игре с угадыванием местоположения горошины, оптимальной, а не только лучшей из списка, является стратегия под номером 4. По своей сути максимизация гарантированного выигрыша аналогична жизненному кредо тех людей, которые всегда склонны рассчитывать на худшее, но при этом все еще пытаются как-то улучшить свое положение в жизни.

Задача о «случайном» трамвае приобретает свой окончательный вид

Чтобы воспользоваться принципом максимизации гарантированного выигрыша, представьте, что судьба играет с вами в игру: она раз за разом посылает вас в неизвестный город, расположенный в какой-то неизвестной вселенной, ждет пока вы не повстречаете там первый трамвай, а затем вопрошает, сколько же в этом городе всего трамвайных маршрутов. Будем считать, что ваш ответ считается приемлемым и игра заканчивается в вашу пользу, если только названное вами число отличается менее чем в два раза от истинного, причем как в большую, так и в меньшую стороны. Будем также считать, что это очень долгая партия игр, длиною в целую жизнь.

Теперь вполне правомерно задать вопрос: «Какая стратегия в описанной игре будет для вас оптимальной в том смысле, что сможет обеспечить максимальное число гарантированно приемлемых ответов?»

Подробный анализ простейших стратегий

В качестве «первого боя» с только что поставленной задачей попытаемся выяснить, насколько хороши для нее наивные стратегии «x1» и «x2«.

Итак, судьба забросила нас в очередной незнакомый нам город. Как и прежде, буква обозначает количество трамвайных линий в этом городе. По условию все числа от до с равной вероятностью могут оказаться номером маршрута , по которому будет следовать первый подмеченный нами трамвай.

Согласно стратегии «x1» оценкой для числа должно быть само . Понятное, что никогда не будет больше , поэтому не может оказаться так, чтобы была больше . Следовательно наша оценка будет неприемлемой только в одном случае: если , то есть , окажется меньше, чем . Вероятность получить меньшее при нечетных не превосходит 50%, а при четных — равна им. Отсюда следует, что при использовании стратегии «x1» в очень длинной партии игр по крайней мере (примерно) половина сделанных оценок гарантированно окажутся приемлемыми, какой бы там сценарий ни уготовила судьба.

Теперь предположим, что мы решили использовать стратегию «x2«. По правилам этой стратегии, увидев на трамвае номер , мы должны в качестве назвать число . Как и в предыдущем случае, наша оценка никогда не превзойдет , и поэтому неприемлемой она будет считаться только при одном условии, если ее значение меньшее, чем . В то же время, будет меньше , только если номер трамвая окажется меньше, чем . Вероятность последнего события для городов с кратным 4-ем равна , а для остальных городов — и того меньше. Следовательно, если мы решаем придерживаться стратегии «x2«, то тем самым обретаем гарантию, что в любой долгой партии игр по крайней мере (примерно) 3/4 всех наших ответов окажутся приемлемы независимо от того, насколько превратно поведет себя с нами судьба.

Сквозь тернии к звездам

Перед тем, как приступить к главной части повествования, где мы займемся поисками оптимальных стратегий, я слегка видоизменю условия задачи и буду считать, что , и могут теперь принимать не только натуральные, но и любые действительные значения, большие нуля. Этот шаг необходим, чтобы избавиться от связанных с дискретностью надоедливых оговорок и скучного перебора особых случаев. Конечно, сейчас еще трудно представить себе город, в котором есть трамваи со всеми номерами от 0 до π, однако этого вам и не понадобится. У нашей задачи в ее новой непрерывной модификации имеется простая и вполне реалистичная модель.

Представьте себе, что некто взял полоску фотографической пленки длинной см и решил пронаблюдать за тем, как на ней будут оставлять свой след приходящие из космоса частицы. В масштабах эксперимента плотность вероятности попадания частиц на пленку будет описываться равномерным распределением на отрезке . В этом опыте экспериментатор сообщает вам расстояние между левым краем пленки и точкой, куда угодила первая зарегистрированная частица. Как и прежде, от вас требуется дать приемлемую оценку для неизвестного вам , то есть такую оценку, которая отличается от не более чем в два раза, как в большую, так и в меньшую стороны. Как и прежде, судьба ведет с вами долгую партию игр, каждый раз решая, каково будет в очередной игре.

В качестве простого упражнения покажите, что несмотря на изменившиеся условия стратегия «x1» по-прежнему гарантирует вам примерно 50%, а стратеги «x2» — все те же примерные 75% приемлемых оценок соответственно, вне зависимости от того, какой сценарий выберет судьба.

Долгий путь к совершенству

Предварительный отсев

Наконец-то все приготовления завершены и в этом параграфе мы можем заняться поисками оптимальных стратегий. Для простоты, правда, мы будем рассматривать не все стратегии, а ограничимся теми, в которых оценка представима, как , где — это некоторая действительнозначная функция, определенная на интервале .

Представьте теперь, что в одном эксперименте расстояние от места попадания частицы до левого края фотопленки было равным , а в другом эксперименте — , причем . Не будет ли тогда разумным, длине фотопленки в первом эксперименте дать меньшую оценку, чем во втором. Если так, то из неравенства всегда должно следовать неравенство , другими словами, функция должна быть строго возрастающей. Не менее разумным выглядит предположение, что для «близких» по значению и оценки и тоже должны быть близки, то есть, функция должна быть непрерывной.

Если проанализировать, какие ответы мы считаем приемлемыми, то получится еще одно
ограничение на . Смотрите, в нашем понимании задачи приемлема в том (и только в том случае), когда . Расстояние между засвеченным космической частицей пятном и левым краем фотографической пленки никогда не превосходит длину пленки , отсюда непосредственным образом получаем неравенство: . Из последнего неравенства следует, что было бы неразумно, узнав от экспериментатора расстояние , оценивать числом меньшим . Действительно, если мы увеличим оценку до , то тем самым точно не сделаем ее чрезмерно большой, однако в тех случаях, когда изначально была неприемлемо малой, подобное переопределение способно ее даже «исправить». Таким образом, в процессе поиска оптимальных стратегий нам достаточно рассмотреть только те функций , значения которых при всех подчинены неравенству
.

Ее величество формула

Сейчас мы займемся тем, что для произвольной стратегии постараемся выразить величину гарантируемого ею выигрыша в виде некой общей аналитической формулы.

Итак, в очередном эксперименте по регистрации космических частиц используется фотопленка длины , — удаление точки попадания первой частицы от ее (пленки) левого края, а — наша оценка для . Пусть эксперименту только предстоит состояться, какова тогда вероятность, что окажется приемлемой по отношению к ? Самое большое значение , когда она еще считается приемлемой, — это , самое маленькое — .

Поскольку строго возрастает и непрерывна, то существует обратная к ней функция , которая также строго возрастает и непрерывна. Для значений всюду выполняется неравенство , поэтому для значений должно выполнятся двойственное неравенство: (рис 1)

Рис. 1

Теперь нетрудно сообразить, что максимальным значением , дальше которого становится уже неприемлемо большой, является . Это следует из того, что строго возрастает и . Аналогично, минимальным значением , меньше которого становится неприемлемо малой, является . Из двух последних утверждений следует, что будет приемлемой по отношению к в том (и только в том) случае, если расстояние между засвеченным пятном и левым краем пленки окажется заключенным между и . Вероятность последнего события, обозначим ее как , равна:

или более подробно:

Должно быть очевидно, что наихудшим для для сценарием будет последовательность таких экспериментов, в каждом из которых длинна фотографической пленки минимизирует значение . Отсюда следует, что в очень длинных последовательностях экспериментов доля приемлемых ответов, гарантированная оценкой , будет даваться выражением:

Теперь мы можем утверждать, что любая оптимальная стратегия должна максимзировать , другими словами, будет оптимальной в том и только в том случае, если:

.
Итак, проблема отыскания оптимальных оценок свелась к вопросу о том, как выглядит функция , которая доставляет выражению

максимум в классе всех непрерывных строговозрастающих функций, определенных
на интервале , графики которых лежат не ниже . Не правда ли, что в такой постановке задача может показаться пугающе сложной? Я думаю, для вас это прозвучит неожиданным, но ответ на нее изысканно прост. Давайте вместе попытаемся его угадать.

Искусство правдоподобных рассуждений

Пожалуй, самое простое, с чего можно начать — это выяснить, какая из функций вида (здесь — любое действительное число ≥2) доставляет выражению (*) самое большое значение. Обратной для служит функция , подставляя ее в выражение для , имеем:

Как вы видите, не зависит от и принимает тем большее значение, чем меньшим по величине было . Таким образом, в классе функций , наибольшее значение выражению (*), придает уже знакомая нам по функция .

Давайте теперь подумаем, что произойдет, если отсчитывать расстояние не в сантиметрах, а, скажем, метрах, дюймах или световых годах — как тогда изменится вид функции оптимальной оценки?

Пусть в сантиметрах оценка имеет вид , а и — те же самые величины, выраженные в метрах, тогда:

В общем случае мы будем иметь дело со шкалой длин и шкалой длин , которая получается из умножением на коэффициент . Каждая оценка может быть вычислена как в единицах шкалы , так и в единицах шкалы . Пусть — ее представление в единицах шкалы , а — представление в единицах шкалы , тогда:

Вид последнего уравнения говорит о том, что функции и скорей всего различны ( в данном случае — это действительная переменная с нейтральным смыслом).

Как вы считаете, правдоподобно ли, что мы и какой-нибудь представитель далекой космической цивилизации получим для решаемой здесь задачи разные ответы лишь потому, что у нас с ним разные единицы измерения длины? Наверное, нет! Отсюда следует, что для любого и любой функции , которая максимизирует выражение , функция также должна максимизировать . Если вдруг является единственной оптимальной для функцией, то при всех и выполняется тождество:

Положив в этом тождестве , мы тем самым находим вид функции :

Смотрите, что выходит: если все наши многочисленные предположения верны, то оптимальная функция принадлежит классу функций , но ранее мы уже выяснили, что внутри указанного класса максимальное значение выражению придает функция . Неужели оптимальной стратегией является «x2«?

Строгие выводы: оптимальность x2

Хорошо, у нас есть много намеков на то, что оценка, заданная функцией , является оптимальной. Давайте докажем эту гипотезу строго, а еще установим, при каких условиях других оптимальных оценок нет.

Возьмем произвольную непрерывную строго возрастающую функцию , удовлетворяющую неравенству , фиксируем некоторое из области ее значений и попытаемся для начала выяснить, какой геометрический смысл скрывается за величиной .

Рис. 2

Если на графике функции отметить точки и (рис 2), а затем соединить их отрезком, то тангенс угла наклона этого отрезка к оси будет выражаться формулой

то есть по сути будет равен -ям от . То же самое наблюдение можно выразить несколько иначе: для этого нужно на отрезок посмотреть как на график некоторой функции . Внутри интервала функция имеет, очевидно, постоянную производную и равен -ым ее величины.

Теперь уже не сложно показать, что функция не может превзойти по величине инфинума , иными словами, стратегия «x2» оптимальна.

Рассуждения я начну с двух предварительных замечаний:

1. , поэтому то есть график функции лежит не выше графика
2. величина значения не зависит от и равна , производная во всех точках равна .

Для какого-нибудь отметим на графике функции последовательность точек

, соединим их ломанной и интерпретируем эту ломанную как график кусочно-линейной функции . В последовательности каждое последующее значение в 4 раза больше предыдущего, поэтому на каждые два идущие друг за другом числа мы можем смотреть, как на некое и . Последнее означает, что на каждом звене ломаной ее производная будет не меньше чем .

Поскольку производная равна , а производная во всех точках больше по крайней мере на , то вне зависимости от значения в точке , при безграничном увеличении рано или поздно ее график окажется выше графика . (рис 3)

Рис. 3

В то же самое время нужно вспомнить, что вершины ломаной расположены на графике функции , поэтому (смотрите замечание 1)) они сами и вся ломанная должны находится не выше графика . Полученное противоречие как раз и доказывает, что оптимальна.

Строгие выводы: единственность

Что будет, если в только что изложенном доказательстве построить ломанную по такой последовательности вершин, которая вместо того, чтобы бесконечно удалятся от оси , будет наоборот — к ней стремится. На самом деле этим можно доказать, что в любой вселенной, где размеры полосок фотопленки никак не ограничены снизу, кроме стратегии с функцией , других оптимальных стратегий нет. Давайте в этом убедимся.

Предположим, что существует функция , которая с одной стороны оптимальна, а с другой — отлична от . В таком случае функция отлична от , а поскольку выполнятся неравенство , то должно найтись хотя бы одно значение , при котором окажется строго меньше . Пусть одно из таких значений . Аналогично тому, как мы действовали выше, на графике отметим последовательность точек

и проведем через них ломанную (рис 4). Снова будем интерпретировать эту ломанную, как некоторую кусочно-линейную функцию . Ровно по тем же причинам, что и раньше, производная функции на каждом звене звене будет не меньше чем . Поскольку оптимальна, то должен быть не меньше, чем . Объединяя два последних утверждения, мы получаем, что производная функции нигде не меньше .

Рис. 4

Обозначим символ разность и введем еще одну функцию: . Среди очевидных свойств можно отметить следующие:

1. в точке значение совпадает со значением функции
2. производная при всех одинакова и равна

Поскольку , то на промежутке значения отрицательны, а так как то и значения на нем так же должны быть отрицательными. В то же время вершины — это точки графика функции , функции, которая может принимать исключительно положительные значения ( определена только для положительных ), поэтому значения не могут быть отрицательными. Полученное противоречие как раз и доказывает, что кроме , других оптимальных оценок нет.

Дискуссионные вопросы

Постарайтесь самостоятельно приспособить решение задачи о «случайной частице» к условиям задачи о «случайном трамвае». Какой у вас получился результат?

Представьте, что мы решаем задачу о «случайной частице» во вселенной, где фотопленка
не может быть короче 10 сантиметров. Покажите, что этих условиях оценка по-прежнему будет оптимальной, правда, она уже не единственная из таковых. Покажите, что оптимальной, например, является оценка . Какие еще оптимальные оценки вам удалось найти?

К принципу максимизации гарантированного выигрыша появляется масса претензий, если заведомо известно, что ваш оппонент не имеет стремления вас обыграть. Этот принцип, например, трудно считать оправданным, когда партия игр ведется «против» погодных условий или «против» мирового рынка ценных бумаг. Какие принципы отбора стратегий в этих случаях вы бы могли предложить взамен, какие из них применимы к задаче о «случайном трамвае»?

Буду рад вашим мыслям и замечаниям.

Сергей Коваленко
2020 год
magnolia@bk.ru

• занимательные задачки
• математическая статистика

• Занимательные задачки
• Математика