1. Теория вероятностей
Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти.
Примером случайного события можно считать приобретение бракованного товара или выигрышного лотерейного билета.
Классическое определение вероятности
Вероятностью события A называется отношение числа благоприятных для A исходов к числу всех равновозможных исходов.
Формула для нахождения вероятности случайного события:
P ( A ) = N ( A ) N ,
где P ( A ) — вероятность случайного события A , N ( A ) — количество тех исходов испытания, в которых наступает событие A , N — число всех возможных исходов данного испытания.
Противоположные события
Событие, противоположное событию A , обозначают A ¯ . При проведении испытания всегда происходит ровно одно из двух противоположных событий.
P ( A ) + P A ¯ = 1 .
P A ¯ = 1 − P ( A ) .
Противоположными событиями, например, является приобретение исправной и бракованной лампочек.
Несовместимые события
Два события A и B называют несовместимыми, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию A , так и событию B .
Если события A и B несовместимы, то вероятность их наступления равна сумме вероятностей событий A и B .
Примером является следующая ситуация: если наугад вытащить один шарик из коробки, где лежат шарики двух разных цветов, то появление при единичном вытаскивании одновременно шариков разных цветов — несовместимые события. Это объясняется тем, что мы можем за один раз достать шарик либо одного, либо другого цвета.
Независимые события
Два события A и B называют независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или непоявления другого события.
Если события A и B независимы, то вероятность их пересечения равна произведению вероятностей событий A и B .
Примером будет ситуация, в которой подбрасывают две монеты и выпадают две решки. Результат второй монеты не зависит от результата первой монеты и наоборот, поэтому события являются независимыми.
Рассмотрим теорию, которая относится к разделу комбинаторики.
Перестановки
Это упорядоченные совокупности, которые отличаются друг от друга только порядком элементов. Примером является размещение нескольких книг на одной полке.
Размещения
A n k = n ! ( n − k ) !
Это упорядоченные совокупности, которые отличаются друг от друга составом или порядком элементов. Примером является выбор директора и заместителя директора из некоторого числа кандидатов.
C n k = n ! ( n − k ) ! ⋅ k !
Это неупорядоченные совокупности, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Примером будет выбор двух вопросов из списка вопросов к экзамену.
Учебник по теории вероятностей
Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. Например, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием.
Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит. Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.
Случайные события называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.
Случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.
Рассмотрим полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие события будем называть исходами или элементарными событиями. Исход называется благоприятствующим появлению события $А$, если появление этого исхода влечет за собой появление события $А$.
Пример. В урне находится 8 пронумерованных шаров (на каждом шаре поставлено по одной цифре от 1 до 8). Шары с цифрами 1, 2, 3 красные, остальные – черные. Появление шара с цифрой 1 (или цифрой 2 или цифрой 3) есть событие, благоприятствующее появлению красного шара. Появление шара с цифрой 4 (или цифрой 5, 6, 7, 8) есть событие, благоприятствующее появлению черного шара.
Вероятностью события $A$ называют отношение числа $m$ благоприятствующих этому событию исходов к общему числу $n$ всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу $$P(A)=\frac. \quad(1)$$
Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.
Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству $0 \le P(A) \le 1$ .
Полезные материалы
Онлайн-калькуляторы
Большой пласт задач, решаемых с помощью формулы (1) относится к теме гипергеометрической вероятности. Ниже по ссылкам вы можете найти описание популярных задач и онлайн-калькуляторы для их решений:
- Задача про шары (в урне находится $k$ белых и $n$ черных шаров, вынимают $m$ шаров. )
- Задача про детали (в ящике находится $k$ стандартных и $n$ бракованных деталей, вынимают $m$ деталей. )
- Задача про лотерейные билеты (в лотерее участвуют $k$ выигрышных и $n$ безвыигрышных билета, куплено $m$ билетов. )
Обучающие статьи с примерами
- Как найти вероятность в задачах про подбрасывания монеты?
- Как найти вероятность в задачах про игральные кости?
Примеры решений на классическую вероятность
Пример. В урне 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превосходит 10?
Решение. Пусть событие А = (Номер вынутого шара не превосходит 10). Число случаев благоприятствующих появлению события А равно числу всех возможных случаев m=n=10. Следовательно, Р(А)=1. Событие А достоверное.
Пример. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность, что оба шара белые?
Решение. Вынуть два шара из десяти можно следующим числом способов: .
Число случаев, когда среди этих двух шаров будут два белых, равно .
Искомая вероятность
.
Пример. В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар?
Решение. Так как синих шаров в урне нет, то m=0, n=15. Следовательно, искомая вероятность р=0. Событие, заключающееся в вынимании синего шара, невозможное.
Пример. Из колоды в 36 карт вынимается одна карта. Какова вероятность появления карты червовой масти?
Решение. Количество элементарных исходов (количество карт) n=36. Событие А = (Появление карты червовой масти). Число случаев, благоприятствующих появлению события А, m=9. Следовательно,
.
Пример. В кабинете работают 6 мужчин и 4 женщины. Для переезда наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц три женщины.
Решение. Общее число возможных исходов равно числу способов, которыми можно отобрать 7 человек из 10, т.е.
.
Найдем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию: трех женщин можно выбрать из четырех способами; при этом остальные четыре человека должны быть мужчинами, их можно отобрать способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно .
Случайные события. Вероятность случайного события
Событие, которое может произойти, а может не произойти в процессе наблюдения или эксперимента, называют случайным событием. Так, например, пошел дождь — событие, которое может произойти или не произойти, т.е. это событие является случайным.
Вероятности случайных событий — это величины, которые можно сравнивать. Но нужно договориться, каким образом количественно оценивать возможность появления того или иного случайного события. Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который теорией вероятностей.
Если событие при рассматриваемых условиях происходит всегда, то оно называется достоверным. Вероятность появления достоверного события равна 1. Так, например, событие «Лето составляет 92 дня» является достоверным.
Если событие при рассматриваемых условиях не происходит никогда, то оно называется невозможным. Вероятность появления невозможного события равна 0. Так, например, событие «После декабря наступит май» является невозможным.
Вероятность случайного события может быть любым числом от 0 до 1.
Если все исходы эксперимента имеют равные шансы, то они называются равновероятными (или равновозможными). Так, например, при подбрасывании монеты может выпасть «орел», а может — «решка», вероятность каждого из этих событий равна . Не все события равновероятны. Например, событие «В школе на урок прозвенит звонок» более вероятно, чем событие «В школе на урок не прозвенит звонок». Вероятность наступления зависит от условий, в которых оно рассматривается.
Различные испытания, опыты, наблюдения, результаты которых предсказать нельзя — это примеры экспериментов со случайными исходами (результатами).
Определение вероятности:
Если эксперимент заканчивается одним из  равновероятных исходов, из которых  являются благоприятными для наступления данного события, то вероятность этого события равна  . |
Вероятность события обозначается буквой 
. Так, например, вероятность наступления события А записывают так: 
, где — благоприятное число исходов, — общее число исходов.
Пример: Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет: 1) менее трех очков; 2) более шести очков; 3) не более шести очков.
Решение:
1) При бросании кубика может произойти 6 равновероятных исходов: выпадет 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Из них благоприятными являются два исхода: выпадет 1 очко или выпадет 2 очка, т.к. 1 меньше 3 и 2 меньше 3. Поэтому искомая вероятность .
2) При бросании кубика может произойти 6 равновероятных исходов: выпадет 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Из них нет ни одного благоприятного исхода, т.к. более шести очков на кубике выпасть не может, значит, рассматриваемое событие является невозможным и его вероятность = 0.
3) При бросании кубика может произойти 6 равновероятных исходов: выпадет 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Из них все исходы являются благоприятными, т.к. любое из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 7 меньше 7, значит, рассматриваемое событие является достоверным и его вероятность = 1.
Ответ: 1) 
; 2) = 0; 3) = 1.
Случайные события. Вероятность случайного события.
Цели урока: Создание условий для получения и осмысления учениками новых знаний о случайных событиях. Построение алгоритма вычисления вероятностей случайных событий и формирование первичного умения его применять.
Задачи урока:
- научиться использовать новые знания при решении задач, оценивать события и сравнивать их, познакомиться с понятием «вероятность», «маловероятно», «наиболее вероятно», случайного события, достоверного события, невозможного события, равновероятных событий;
- развивать культуру речи через математически грамотные высказывания, через умение грамотно задавать вопросы о неизвестном;
- развивать практические умения посредством выполнения экспериментальных задач.
Оборудование к уроку: доска, компьютер с проектором, игральные кубики, монеты, урна с шарами различных цветов.
Планируемые результаты обучения:
— формирование представлений о статистических закономерностях в реальном мире и о различных способах их изучения, о простейших вероятностных моделях;
— развитие умений извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, использовать понимание вероятностных свойств окружающих явлений при принятии решений;
— развитие умений вычислить вероятности событий, находить число благоприятных и равновозможных исходов;
— развитие умений применять изученные понятия, результаты, методы для решения задач практического характера и задач из смежных дисциплин с использованием при необходимости компьютера;
— умение самостоятельно ставить и формулировать для себя новые задачи, устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение и делать выводы;
— умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками, находить общее решение и разрешать конфликты на основе согласования позиций и учёта интересов, формулировать, аргументировать и отстаивать своё мнение;
— формирование и развитие компетентности в области использования информационно-коммуникационных технологий;
— формирование ответственного отношения к учению, собственным поступкам, готовности к самообразованию, на основе мотивации к обучению и познанию;
— формирование осознанного, уважительного отношения к мнению другого ученика, готовности и способности вести диалог с другими учениками;
— формирование коммуникативной компетентности в общении и сотрудничестве со сверстниками в процессе экспериментальной деятельности.