Круглый торт разрезали двумя прямыми разрезами. какое наибольшее количество частей может получится?какое наименьшее количество частей может получится?
1). Если сделать два прямых разреза так, чтобы они пересекались, то получиться наибольшее количество кусков — 4 (шт.) 2). Если сделать два прямых разреза так, что бы они были параллельны друг другу, то получится наименьшее количество кусков — 3 (шт.)
Ира 5 лет назад
В задаче возможно несколько вариантов:
- Разрезы могут пересекаться;
- Разрезы пересекаться не могут, то есть они параллельны;
- От этих двух условий и будет зависеть наименьшее или наибольшее количество кусков торта мы в итоге получили.
Разрезы пересекаются
Представьте, вы разрезали торт пополам, потом с обратной стороны ещё пополам, перпендикулярно первому разрезу, после первого разреза мы получим два кусочка, а после второго разреза получим ещё два кусочка. Значит в итоге мы получим четыре кусочка торта, то есть разрезали торт на четвертинки (1/4).
Разрезы не пересекаются (параллельные разрезы)
А теперь представьте, что режете торт с одной стороны, а потом параллельно первому разрезу, совершаете такой же с другой стороны. В сумме получится три кусочка торта (1/3).
Значит, наибольшее количество кусков торта (при пересекающихся разрезах) равно 4, а наименьшее количество кусков торта (при параллельных разрезах) равно 3.
Осталось записать ответ.
Ответ: наибольшее количество кусков торта — 4, наименьшее — 3.
Сколько кусочков у него могло получиться
Задача №1. Чему равно выражение $2005 \times 100 + 2005$? $$A) 2005002005 \quad B) 20052005 \quad C) 2007005 \quad D) 202505 \quad E) 22055$$
комментарий/решение(6)
Задача №2. У Анны и Бетти на двоих 10 конфет, причем у Бетти на 2 конфеты больше, чем у Анны. Сколько конфет у Бетти? $$A)~8 \quad B)~7 \quad C)~6 \quad D)~5 \quad E)~4$$
комментарий/решение(6)
Задача №3. Каждый из восьми кенгуру, изображенных на рисунке, может перепрыгнуть на любой другой квадрат. Им надо расположиться так, чтобы в каждой строчке и в каждом столбце этой квадратной таблицы оказалось ровно по 2 кенгуру. Наименьшее количество кенгуру, которым придется для этого прыгнуть, равно $$A)~0 \quad B)~1 \quad C)~2 \quad D)~3 \quad E)~4$$
комментарий/решение(5)
Задача №4. Анна живет в своем доме вместе с папой, мамой и братом. А еще с ними живут собака, две кошки, два попугая и четыре золотых рыбки. Сколько всего ног у обитателей этого дома? $$A)~22 \quad B)~28 \quad C)~24 \quad D)~32 \quad E)~13$$
комментарий/решение(4)
Задача №5. Бабочка села на записанное в тетради верное равенство. Какое число она закрыла? $$A)~250 \quad B)~1825 \quad C)~2185 \quad D)~1775 \quad E)~1800 $$
комментарий/решение(6)
Задача №6. Ребро куба, изображенного на рисунке, равно 12 см. Муравей ползет по поверхности куба из точки $A$ в точку $B$ по пути, отмеченному стрелками. Чему равна длина этого пути? $$A)~40 \mbox < см>\quad B)~48 \mbox < см>\quad C)~50 \mbox < см>\quad D)~60 \mbox < см>\quad E)~\mbox$$
комментарий/решение(4)
Задача №7. Джейн разрезала листок бумаги на 10 частей. Затем она взяла один из получившихся кусочков и его разрезала на 10 частей. Так она поступила еще с двумя из полученных кусочков. Сколько всего кусочков бумаги оказалось у Джейн? $$A)~27 \quad B)~30 \quad C)~37 \quad D)~40 \quad E)~47$$
комментарий/решение(4)
Задача №8. Катя выбрала целое число и без ошибок умножила его на 3. Какое из следующих чисел не могло у нее получиться? $$A)~103 \quad B)~105 \quad \quad C)~204 \quad \quad D)~444 \quad \quad E)~987$$
комментарий/решение(4)
Задача №9. Какой из этих кубиков можно склеить из заготовки, изображенной справа?
$A)$ 
$B)$ 
$C)$ 
$D)$ 
$E)$ 
Задача №10. На рисунке ниже изображены пять прямоугольных карточек одного размера. У всех карточек стороны помечены целыми числами. Эти карточки расположили так, как изображено внизу (карточки не поворачивали и не переворачивали). При этом оказалось, что если две карточки соприкасаются, то числа на смежных сторонах равны между собой. Какая карточка заняла место, обозначенной римской цифрой I?
Задача №11. Чтобы пешком добраться до берега моря, а потом вернуться обратно на слоне, Маугли нужно затратить 40 минут. Если он и туда и обратно едет на слоне, то этот путь занимает 32 минуты. Сколько времени понадобится Маугли, чтобы проделать весь путь до моря и обратно пешком? $$A)~24~\mbox \quad B)~42~\mbox \quad C)~46~\mbox \quad D)~48~\mbox \quad E)~50~\mbox$$
комментарий/решение(4)
Задача №12. Маленький прямоугольный садик семейства Грин имеет площадь 30 м$^2$. Он разделен на 3 прямоугольных участка. Участок, на котором растут цветы, имеет площадь 10 м$^2$, а одна из его сторон равна 2 м. Одна из сторон участка, засаженного клубникой, равна 3 м. Чему равна площадь участка, отведенного под овощи? $$A)~4 ~\mbox^2 \quad B)~6 \mbox^2 \quad C)~8 \mbox^2 \quad D)~10 \mbox^2 \quad E)~12 \mbox^2$$
комментарий/решение(4)
Задача №13. Сколько часов в половине от одной трети четверти суток? $$A)~1/3 \quad B)~1/2 \quad C)~1 \quad D)~2 \quad E)~3$$
комментарий/решение(4)
Задача №14. На рисунке изображены квадрат и пять одинаковых касающихся кругов. Вершины квадрата совпадают с центрами внешних кругов. Тогда отношение площади закрашенной части кругов к площади их не закрашенной части равно? $$A)~1 : 3 \quad B)~1 : 4 \quad C)~2 : 5 \quad D)~2 : 3 \quad E)~5 : 4$$
комментарий/решение(4)
Задача №15. Если сумма пяти последовательных положительных целых чисел равна 2005, то наибольшее из них равно $$A)~401 \quad B)~403 \quad \quad C)~404 \quad \quad D)~405 \quad \quad E)~2001$$
комментарий/решение(4)
Задача №16. Количество различных делителей числа 100 (включая 1 и 100) равно $$A)~3 \quad B)~6 \quad C)~7 \quad D)~8 \quad E)~9$$
комментарий/решение(4)
Задача №17. Вокруг прямоугольного сквера проложена дорожка, которая на всем своем протяжении имеет одинаковую ширину. Ее наружная граница на 8 м длиннее внутренней. Чему равна ширина дорожки? $$A)~1м \quad B)~2 м \quad C)~4 м \quad D)~8 м \quad E)~\mbox$$
комментарий/решение(4)
Задача №18. На картинке справа можно увидеть треугольники и квадраты, причем квадратов меньше, чем треугольников. На сколько? $$A)~1 \quad B)~2 \quad C)~3 \quad D)~4 \quad E)~\mbox$$
комментарий/решение(7)
Задача №19. В сундуке 5 ящиков, в каждом ящике по 3 коробки, а в каждой коробке по 10 золотых монет. Сундук, все ящики и все коробки закрыты на замки. Сколько замков необходимо открыть, чтобы достать 50 монет? $$A)~5 \quad B)~6 \quad C)~7 \quad D)~8 \quad E)~9$$
комментарий/решение(5)
Задача №20. Часть кружков на рисунке заполнена в соответствии с некоторым правилом. Если все кружки заполнить по этому правилу, какое число должно быть вписано вместо $x$? $$A)~32 \quad B)~50 \quad C)~55 \quad D)~82 \quad E)~100$$
комментарий/решение(4)
Сколько кусочков у него могло получиться
Решение. Чётным называется число, которое делится на 2 (нацело). Нечётным — число, которое не делится на 2.
0 — чётное число, т.к. 0:2=0.
1. Можно ли разменять 25 лир десятью монетами в 1, 3 и 5 лир?
Решение. Нет, так как сумма чётного количества (в данном случае 10) нечётных слагаемых будет чётным число. Но 25 — нечётное число.
2. Существуют ли два натуральных числа, сумма и произведение которых нечётны?
Решение. Нет, не существуют.
Если бы такие числа существовали, то для того, чтобы их произведение было нечётным, нужно, чтобы они оба были нечётными. Но тогда их сумма будет чётной. Противоречие.
3. Хулиган Гоша порвал школьную стенгазету на 3 части. После этого он взял один из кусков и тоже порвал на 3 части. Потом опять один из кусков порвал на 3 части и т.д. Могло ли у него в итоге получиться 100 частей?
Решение. Нет, не могло. Если любой кусок стенгазеты разорвать на 3 части, то общее число кусков увеличится на 2. Значит, общее количество частей всегда будет нечётным. Но 100 — чётное число.
4. Обозначим буквой Ч чётные числа, а буквой Н — нечётные. Заполните пропуски так, чтобы получились верные соотношения:
| Ч + Ч = ◯ | Ч · Ч = ◯ |
| Ч + Н = ◯ | Ч · Н = ◯ |
| Н + Ч = ◯ | Н · Ч = ◯ |
| Н + Н = ◯ | Н · Н = ◯ |
Ответ.
| Ч + Ч = Ч | Ч · Ч = Ч |
| Ч + Н = Н | Ч · Н = Ч |
| Н + Ч = Н | Н · Ч = Ч |
| Н + Н = Ч | Н · Н = Н |
5. На шахматной доске на одной из клеток стоял конь. Он сделал несколько ходов и вернулся в ту же клетку. Четное или нечетное число ходов он сделал?
Решение. После каждого хода коня меняется цвет клетки, на которой он стоит (Т.е. с чёрной клетки он переходит на белую, с белой — на чёрную.) В итоге конь вернулся на ту же клетку, на которой он был изначально (т.е. на клетку того же цвета). Значит, он сделал чётное число ходов.
6. В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли между ними расставить знаки «+» и «−» так, чтобы получился 0?
Решение. Нельзя, так как среди чисел от 1 до 10 нечётное количество нечётных.
7. Парламент состоит из двух равных по численности палат. На совместном заседании, связанном с принятием важного решения, присутствовали все представители обеих палат. Из-за важности вопроса при голосовании никто не воздержался. После подведения итогов было объявлено, что решение принято большинством в 25 голосов. Оппозиция закричала: «Это обман!» Как это удалось определить?
Решение. Посмотрим на общее количество депутатов в обеих палатах. Оно чётно, так как весь парламент состоит из двух одинаковых по численности палат.
Обозначим количество депутатов, голосовавших против, за x . Тогда тех, кто голосовал за, было x + 25. Общее число депутатов тогда должно быть равно 2 x + 25 — нечётному числу. Но мы знаем, что оно чётно. Значит, голоса были посчитаны неправильно.
8. На этот раз хулиган Гоша исправил две цифры в примере на умножение. Получилось 4·5·4·5·4=2247. Помогите учительнице Марье Петровне восстановить исходный пример. (Определите, какие цифры на что были исправлены, и объясните, почему по-другому это сделать было нельзя.)
Решение. Наличие любого из трёх множителей 4 в левой части равенства приводит к тому, что в правой части должно стоять чётное число, которое оканчиваться на нечётную цифру 7 не может. Так как все три этих множителя мы изменить не можем, значит, чтобы получить изначальное равенство, точно нужно поменять цифру 7.
Кроме этого, остаётся поменять ещё только одну цифру. В левой части равенства есть два множителя 5. Наличие любого из них означает, что число в правой части оканчивается на 5 или на 0. Так как хотя бы одна из этих пятёрок точно была изначально, то получается, что на месте 7 было 5 или 0. Слева точно были четвёрки (так как их целых три), поэтому последняя цифра правого числа точно была чётной, т.е. 0.
Осталось определить ещё одну изменённую цифру. Если ничего не менять слева, то значит, справа должно быть 4·5·4·5·4=1600. Но 1600 из 2240 заменой одной цифры не получается. Значит, второе изменение точно было слева, а справа точно было 2240.
2240 содержит только один простой множитель 5. Значит, точно одну из пятёрок слева нужно заменить на другую цифру так, чтобы произведение было равно 2240. Эта цифра 2240:4:4:4:5=7. Т.е. одну из пятёрок надо заменить на 7.
Ответ. 4·7·4·5·4=2240 или 4·5·4·7·4=2240.
Дополнительные задачи
9. На чудо-дереве росли 30 апельсинов и 25 бананов. Каждый день садовник снимал ровно два фрукта. Причем, если он снимал одинаковые фрукты, то на дереве появлялся новый банан, а если разные — новый апельсин. В конце концов, на дереве остался один фрукт. Какой: банан или апельсин?
Решение. После того, как садовник снимает два фрукта, возможны три ситуации:
— сняли два апельсина. Тогда число апельсинов уменьшилось на 2, а число бананов увеличилось на 1.
— сняли два банана. Тогда число апельсинов не изменилось, а число бананов уменьшилось на 1.
— сняли один апельсин и один банан. Тогда число апельсинов не изменилось (один сорвали, один вырос), а число бананов уменьшилось на 1.
Получается, что число апельсинов всегда либо не изменяется, либо уменьшается на 2. Изначально апельсинов было 30 — чётное число. Так как чётность их количества никогда не меняется, то остаться 1 апельсин не может, так как 1 — нечётное число. Значит, остался банан.
10. Квадрат размером 6×6 покрыт без наложений костями домино размером 1×2. Докажите, что можно разрезать квадрат, не повредив ни одной доминошки.
Решение. Покажем, что любая прямая, проходящая по линиям клеток, разрезает чётное количество доминошек. С каждой из двух сторон относительно любой такой прямой будет чётное число клеток (так как каждая из двух частей, на которые оказалась разрезана доска, состоит из нескольких строк или столбцов по 6 клеток). Но если оказалось, что прямая разрезала нечётное число доминошек, то каждая из этих частей должна состоять из нескольких доминошек по 2 клетки и нечётного количества половинок доминошек по 1 клетке. Т.е. в этом случае такие части должны состоять из нечётного количества клеток. Противоречие.
Предположим теперь, что любая из 10 прямых (5 вертикальных, 5 горизонтальных) разрезает хотя бы одну доминошку. Так как 1 — нечётное число, то каждой прямой должно быть пересечено хотя бы 2 доминошки. При этом каждая доминошка может быть пересечена не более, чем одной прямой. Значит, всего доминошек должно быть не меньше, чем 10·2=20. Но их только 36:2=18. Противоречие. Значит, есть прямая, которая не пересекает ни одной доминошки. По ней и нужно разрезать доску.
- ЗАДАЧИ
- 5 класс
- Занятие 0
- Занятие 1
- Занятие 2
- Занятие 3
- Занятие 4
- Занятие 5
- Занятие 6
- Занятие 7
- Занятие 8
- Занятие 9
- Занятие 10
- Занятие 11
- Занятие 12
- Занятие 13
- Занятие 14
- Занятие 15
- Занятие 16
- Занятие 17
- Занятие 18
- Занятие 19
- Занятие 20
- Занятие 21
- Занятие 22
- Занятие 23
- Занятие 24
- Занятие 25
| Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! | |
Как выигрывать в математических играх? Ч.1
Сегодня мы хотели бы поговорить с вами о такой теме, как «Игры и стратегии». Начнем с определений «Правильной игры» и «Выигрышной стратегии», потому что именно они лежат в основе всей темы.
Правильная игра
Существует тип задач об играх, то есть взаимодействиях игроков по определённым правилам с целью достижения наилучшего для себя результата — как правило, выигрыша. В этих задачах под «правильной игрой» понимаются такие действия игроков, когда каждый действует самым наилучшим для себя образом. Чтобы решить такую задачу, необходимо понять, кто имеет возможность выиграть независимо от действий соперника, и предложить выигрышную стратегию для этого игрока. Разумеется, с обоснованием, почему она всегда гарантирует победу.
Выигрышная стратегия
Многие простейшие игры имеют определенную закономерность и секрет выигрыша (выигрышную стратегию). В таких играх выигрышная стратегия зависит:
• от правил (условий) игры;
• от того, ходит игрок первым или вторым
В данной статье мы с вами разберем два основных типа игр: игры — шутки и игры с симметричной стратегией.
Игры – шутки
Шутками в математике принято называть такие игры, в которых нет никакой выигрышной стратегии. В подобных играх всегда побеждает конкретный игрок, вне зависимости от того, как играет он или его противник. Разберем на примере нескольких задач.
Задача 1.
Шоколадка представляет собой прямоугольник 5×8, разделённый углублениями на 40 квадратиков. Двое по очереди разламывают её на части по углублениям: за один ход можно разломить любой из кусков (больший одного квадратика) на два. Кто не может сделать хода, проигрывает. Кто победит при правильной игре?
Для решения данной задачи нужно понять, когда закончится данная игра. Она завершится, когда все куски будут разломаны. Нетрудно понять, что количество кусков, которое получится при разламывании шоколадки, никак не зависит от того, как ее ломать. Оно всегда равно 40. Также заметим, что каждый ход количество кусочков шоколадки увеличивается на один. Соответственно, чтобы количество кусочков стало 40, необходимо 39 ходов (изначально шоколадка одна, поэтому отсчет ведем с 1). А нечетные по номеру ходы всегда делает первый. Поэтому в данной задаче побеждает начинающий игрок.
Еще одна игра – шутка.
Задача 2.
Двое игроков пишут двадцатизначное число слева направо, по очереди дописывая по одной цифре. Первый игрок выигрывает, если полученное число не делится на 7, второй — если делится. Кто из игроков имеет выигрышную стратегию?
В этой задаче, как и в предыдущей, нет никакой выигрышной стратегии. Давайте поймем, что среди любых десяти чисел, идущих подряд, обязательно найдется число, кратное 7. Таким образом, будет число кратно 7 или нет, определяет только последняя цифра в нем. Поэтому первые девятнадцать чисел в числе из задачи могут быть абсолютно любыми. А второй может гарантировать себе стратегию выигрыша, записав последней цифрой такую, при которой полученное число будет делиться на 7.
Итак, с играми – шутками мы разобрались. А что же такое игры с симметричной стратегией? Рассмотрим несколько задач для примера.
Задача 3.
В ромашке 16 лепестков. Двое по очереди отрывают у нее 1 или два соседних лепестка. Кто выиграет при правильной игре и опишите его стратегию.
В данной задаче выигрывает второй игрок. Он может мысленно разбить лепестки цветка на пары, симметричные центру цветка. Далее его ходы будут заключаться в отрывании лепестков симметричным тем, которые оторвал первый в свой ход. Таким образом, если первый смог сделать ход, то и у второго будет возможность его сделать. Если же первый не может ходить, то второй уже выиграл.
Но не всегда симметрия в играх представлена в чистом виде. Порой нужно сделать некоторый первый ход, который позволит свести игру к симметричной стратегии.
Задача 4.
На столе есть две кучки камней. В одной из них 10 камней, а в другой 7. Двое по очереди берут любое число камней из одной любой кучки. Выигрывает тот, кто забирает последний камень со стола. Кто выиграет при правильной игре.
В данном случае выиграет первый. Ему нужно первым ходом из большей кучки забрать 3 камня. Таким действием он уравнивает количество камней в обоих кучках. Далее он может полностью дублировать ходы второго игрока из другой кучки. Таким образом, он гарантирует себе победу.
Задача 5.
Дан 5000-угольник. Двое играют в следующую игру. За один ход около вершины без числа можно написать «+1» или «-1». Когда все вершины оказываются помеченными числами, на каждой грани записывается результат умножения чисел на ее концах. Полученные произведения складывают и смотрят на результат. Если он положителен, то выигрывает первый игрок. Если нет, то второй. Кто из игроков имеет выигрышную стратегию и как он должен играть?
Будем считать, что если на концах одной грани стоят числа одного знака, то это дает балл первому игроку. Если же два числа разного знака, то второму. Так как количество вершин фигуры четно, то второй может их разбить на пары соседних (на рисунке такие пары выделены красными овалами) и в каждой паре играть противоположно первому. Это позволит ему набрать хотя бы 2500 баллов (5000/2). Эта стратегия приносит ему победу, так как первый не сможет набрать количество очков большее, чем 2500.