Какие события независимы

1.6.2. Зависимые и независимые события

События являются независимыми, если вероятность наступления любого из них не зависит от появления / непоявления остальных событий рассматриваемого множества событий (во всех возможных комбинациях).

Так, например, при подбрасывании двух или бОльшего количества монет вероятность выпадения орла или решки на любой монете не зависит от того, что выпадет на других монетах. Вероятности выпадения граней кубика во 2-м испытании не зависят от того, какая грань выпала в 1-м испытании.

Теперь более любопытная ситуация. Событие называют зависимым, если его вероятность зависит от одного или бОльшего количества событий, которые уже произошли.

Например: – из неполной колоды игроку будет сдана карта червовой масти. Вероятность этого события зависит от того, какие карты уже были извлечены из колоды.

И, конечно, близкий многим пример:

– на экзамене студенту достанется простой билет.

Если идти не самым первым, то событие будет зависимым, поскольку его вероятность зависит от того, какие билеты уже вытянули однокурсники.

Как определить зависимость / независимость событий?

Иногда об этом прямо сказано в условии задачи, но чаще приходится проводить самостоятельный анализ. Какого-то однозначного ориентира тут нет, и факт зависимости либо независимости событий вытекает из естественных логических рассуждений.

Чтобы не валить всё в одну кучу, начнём с независимых событий:

Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате ,
а также курсы по другим темам можно найти после Оглавления.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Чем независимые события отличаются от несовместных

Эти два понятия интуитивно кажутся аналогичными друг другу. Но в чем же разница?

На самом деле это сравнение круглого с тёплым. Первый термин означает, что события не могут происходить одновременно. Второй же – что возникновение одного события не влияет на возникновение другого. По сути они описывают два разных исхода для совместного возникновения этих двух событий. Но об этом ниже.

Вероятность

Что же скрывается за этими терминами с точки зрения теории вероятностей? Мы будем пользоваться стандартной тройкой величин, задающих вероятностное пространство

Понятие несовместных событий может совсем не включать в себя понятие вероятности. Оно говорит нам о том, что пересечение событий

Понятие независимости уже включает в себя вероятность. Оно говорит нам о том, что вероятность наступления одного события не зависит от наступления второго события. Иными словами, вероятность их совместного наставления равна произведению вероятностей наступления каждого из событий, т.е.:

Могут ли несовместные события быть независимыми

Могут. Давайте покажем в каком случае.

Для независимых

Получается, что данный случай возможен, только когда одно из событий – невозможное, т.е. Вероятность его наступления равна нулю.

Независимые события

Несовместные события [math]A[/math] и [math]B[/math] являются независимыми, тогда и только тогда если хотя бы одно из них является пустым множеством.

Если несовместные события являются независимыми, то выполняется [math] p(A \cap B) = p(A)\cdot p(B) [/math] . Также для несовместных событий выполняется [math] A \cap B = \emptyset [/math] . Следовательно [math] p(\emptyset) = p(A) \cdot p(B) [/math] . А это выполняется тогда и только тогда когда [math] p(A) = 0 [/math] или [math] p(B) = 0 [/math] .

[math] \Leftarrow [/math] :

Примеры

Игральная кость

[math] A = \\ p(A)=\dfrac [/math] — вероятность выпадения чётной цифры

[math] B=\\ p(B)=\dfrac [/math] — вероятность выпадения одной из первых трёх цифр

[math] A \cap B = \ \neq \emptyset [/math] , значит эти события не несовместны.

Получаем, что [math]p(A \cap B) \neq p(A) \cdot p(B)[/math] , значит эти события не независимы.

Карты

[math] A = \\ p(A)=\dfrac [/math] — вероятность выпадения карты заданной масти

[math] B=\\ p(B)=\dfrac [/math] — вероятность выпадения карты заданного достоинства

[math] A \cap B = \ \neq \emptyset [/math] , значит эти события не несовместны.

[math] p(A \cap B)=p(\)=\dfrac[/math] — вероятность выпадения карты заданной масти и заданного достоинства

Получаем, что [math]p(A \cap B)=p(A) \cdot p(B)[/math] , значит эти события независимы.

Честная монета

[math] A = \\ [/math] — выпадение орла

[math] B=\\ [/math] — выпадение решки

[math] A \cap B = \emptyset [/math] , значит эти события несовместны.

Тетраэдр Бернштейна

Попарно независимые события и события, независимые в совокупности — это не одно и то же.

Рассмотрим правильный тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, синий, зелёный цвета, а четвёртая грань содержит все три цвета.

[math] A [/math] — выпадение грани, содержащей красный цвет

[math] B [/math] — выпадение грани, содержащей синий цвет

[math] C [/math] — выпадение грани, содержащей зеленый цвет

Так как каждый цвет есть на двух гранях из четырёх, вероятность каждого из этих событий равна:

Так как одна грань содержит все три цвета, а остальные — по одному, то вероятность пересечения любых двух событий равна: [math]p(A \cap B)=p(A \cap C)=p(B \cap C)=\dfrac [/math]

[math]p(A) \cdot p(B)=p(A) \cdot p(C)=p(B) \cdot p(C)=\dfrac\cdot\dfrac=\dfrac[/math]

Все события попарно независимы, так как:

[math]p(A \cap B)=p(A) \cdot p(B)[/math]

[math]p(A \cap C)=p(A) \cdot p(C)[/math]

[math]p(B \cap C)=p(B) \cdot p(C)[/math]

Вероятность пересечения всех трёх равна: [math]p(A \cap B \cap C)=\dfrac[/math]

[math]p(A) \cdot p(B) \cdot p(C)=\dfrac\cdot\dfrac\cdot\dfrac=\dfrac[/math]

Cобытия не являются независимыми в совокупности, так как: [math]p(A \cap B \cap C) \neq p(A) \cdot p(B) \cdot p(C)[/math]

Получили, что события являются попарно независимыми, но не являются независимыми в совокупности, значит, эти два понятия — не одно и то же, что мы и хотели показать.

См. также

Вероятностное пространство, элементарный исход, событие
Дискретная случайная величина

Источники информации

НГУ — Независимость

Википедия — Независимость (теория вероятностей)

Романовский И. В. Дискретный анализ

1.2.5. Независимые события

Рассмотрим определение независимости событий, которое отражает понятие реальной независимости несвязанных событий.

Определение. События называются Независимыми, Если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого.

Пример 1.12. Предположим, что подбрасывают два игральных кубика независимо друг от друга. Пространство элементарных событий состоит из упорядоченных пар чисел (N = 36):

Рассмотрим два события.

Событие A = < число очков на первом кубике >4 > состоит из всех пар пятой и шестой строк ( M = 12) и имеет вероятность P(A) = .

Событие B = < число очков на втором кубике < 4 >состоит из всех пар первых трех столбцов (N = 18 ) и имеет вероятность P(B) = . Очевидно, что эти события причинно не связаны друг с другом и Независимы в этом смысле.

Найдем Вероятность произведениЯ этих событий.

Событие AB состоит из шести пар выпадающих цифр (M = 6 )

И имеет вероятность P (AB)= . Очевидно, что выполняется равенство P(AB) = P(A) P(B). Оно отражает независимость событий A и B.

Определение. События A и B называются Независимыми, если выполняется равенство P(AB) = P(A) P(B) , (1.4)

Т. е. Вероятность произведения двух Независимых Событий равна Произведению Вероятностей этих событий. В противном случае события считают зависимыми.

Пример 1.13. (продолжение примера 1.12).

Рассмотрим событие C = . Оно состоит из 5 пар

И имеет вероятность P(C)=.

Событие, которое получается как Произведение События A На событие C, состоит из пар и имеет вероятность

P(AC)=.

Так как P(AC) ¹ P(A) P(C) = = , то события A и C следует считать Зависимыми.

Свойство 6 . Вероятность Суммы двух НезависимыХ событий А и В рАвна Сумме вероятностей этих событий Минус произведение вероятности события А на вероятность события В, т. е.

P(A +В) = p(A) + Р(В) — P(A) p(В). (***)

А) Формулы (*), (**), (***) позволяют вычислить вероятность суммы двух любых событий.

Б) Если требуется вычислить вероятность Суммы трех и более событий, то вычисление надо производить, введя замену переменных таким образом, чтобы поэтапно свести расчет к вычислению вероятности суммы двух событий.

Например, найти P(A +В +С + D ) = P ( R + K) =P(R )+ P(K ) – P(RK),

Где R=A +B, K = C + D. Тогда по формуле 1.3 находим

Р(R) =p( A +B ) = p(A) +P(B) – P(AB), P(K) = P(C + D) = P(C) + P(D) – P(CD), Значения которых надо подставить в исходную формулу.

Главная
Заказать работу
Стоимость решения
Варианты оплаты
Ответы на вопросы (FAQ)
Отзывы о нас
Примеры решения задач
Методички по математике
Помощь по всем предметам
Заработок для студентов