Что такое база в матанализе

автор: admin
31.10.2023

math serfer .narod.ru

Заметим, что во всех определениях предыдущего пункта ключевым оказывалось определение набора тех множеств, в которые последовательно, при своём изменении в соответствии с рассматриваемым условием, попадает переменное ( или ), от которого зависит изменяющаяся величина ( или ). В случае условия эти множества имеют вид ; в случае — вид ; в случае — вид . Назовём их окончаниями базы предела при данном условии, а полный набор таких окончаний — базой предела . Базу предела будем обозначать так же, как само условие, а именно, , , и т. п. Таким образом,

Итак, база предела — это набор окончаний, которые должны удовлетворять таким свойствам: все они непусты и если и — два разных окончания (одной и той же базы), то база должна содержать третье окончание , которое содержится в каждом из первых двух: .

Нетрудно видеть, что в рассмотренных выше трёх примерах баз, действительно, все окончания — непустые множества и пересечение двух окончаний совпадает с одним из них (с меньшим) и, тем самым, можно взять равным этому меньшему окончанию. Получили, что рассмотренные наборы множеств действительно являются базами.

Произвольную базу будем обозначать , а её окончания — буквой , быть может, снабжённой индексами. Если , причём , то окончание будем называть более далёким , чем окончание . Например, для базы окончание более далёкое, чем , если ; для базы окончание является тем более далёким, чем меньше число .

Теперь дадим определение предела по заданной базе .

Определение 2 . 4 Пусть — некоторая база и функция определена во всех точках некоторого окончания базы (и, значит, определена во всех точках более далёких окончаний ). Число называется пределом функции по базе (или при базе ) и обозначается

для любого (сколь угодно малого) числа найдётся такое окончание базы , что при всех выполняется неравенство

Тот факт, что , записывают ещё в виде

Нетрудно заметить, что в случае баз , и это общее определение предела, при соответствующей подстановке вида окончаний этих баз, означает ровно то же самое, что приведённые выше, в предыдущем разделе, частные определения пределов.

Геометрический смысл данного определения предела таков: на плоскости , на которой нарисован график функции , проведём горизонтальную полосу ширины вокруг горизонтальной прямой . Тот факт, что , означает, что найдётся достаточно далёкое окончание базы , на котором график функции целиком лежит в этой полосе. При уменьшении ширины полосы окончание, возможно, придётся брать более далёким, но, всё равно, и в любую более узкую полосу умещается график на достаточно далёком окончании.

Рис. 2 . 8 .График функции, имеющей предел, умещается в любую узкую полосу на достаточно далёком окончании

Пример 2 . 4 Постоянная величина, то есть функция, значения которой не зависят от аргумента , имеет предел, равный этой постоянной, при любой (допустимой для данного множества аргументов ) базе .

Действительно, пусть при всех из некоторого окончания базы . Тогда при любом, сколь угодно малом и любом

Это и означает, что .

(Неудивительно: ведь график постоянной — это горизонтальная прямая линия; тем самым, этот график целиком умещается в горизонтальную полосу любой, сколь угодно малой ширины.)

Выгода от введения общего определения предела по базе заключается в том, что теперь, чтобы дать определение предела при некотором новом условии, нам достаточно лишь указать ту базу (набор окончаний), которая этому условию соответствует. Кроме того, весьма многие свойства пределов окажутся общими для пределов по любой базе, и устанавливать эти свойства можно будет исходя из общего определения; было бы слишком расточительно доказывать каждое из общих свойств для каждой новой базы отдельно.

Приведём несколько примеров широко используемых в математическом анализе баз.

Определение 2 . 5 Правосторонний предел функции. Рассмотрим базу , окончаниями которой служат интервалы, примыкающие справа к точке , то есть интервалы вида , где . Легко видеть, что все такие интервалы действительно образуют базу. Предел функции по этой базе называется пределом функции при , стремящемся к справа . База обозначается также или , а предел по этой базе обозначается так: .

Рис. 2 . 9 .Предел справа

Оказываясь во все более далёких окончаниях базы, то есть в интервалах с уменьшающимися значениями , точка приближается к точке , оставаясь справа от неё. Это объясняет название предела, вычисляемого по данной базе.

Упражнение 2 . 2 Запишите с помощью неравенств, содержащих и , данное выше определение в развёрнутом виде.

Аналогично определяется предел функции при , стремящемся к слева. Для этого достаточно указать, какие множества являются окончаниями базы этого предела.

Определение 2 . 6 Левосторонний предел. База состоит из интервалов , , примыкающих к точке слева.

Рис. 2 . 10 .Предел слева

База обозначается также . Предел по этой базе называется пределом функции при , стремящемся к слева и обозначается так: .

Левосторонний и правосторонний пределы функции называются односторонними пределами этой функции при . Чтобы подчеркнуть отличие от односторонних пределов, предел называют двусторонним пределом.

Теорема 2 . 1 Если функция имеет оба односторонних предела при и эти пределы равны одному и тому же числу , то существует двусторонний предел , который также равен ; ноаборот, если существует двусторонний предел , то существуют оба односторонних предела и оба они равны числу .

Рис. 2 . 11 .Пределы справа и слева совпадают с двусторонним пределом

Доказательство . Пусть фиксировано некоторое число . Так как , то существует такое окончание базы , при из которого выполняется неравенство . Так как , то существует такое окончание базы , при из которого также выполняется неравенство . Рассмотрим теперь меньшее из чисел и и обозначим его . Тогда при и при , то есть на объединении этих двух интервалов , выполняется неравенство . Однако такое объединение интервалов — это окончание базы . Тем самым при любом мы предъявили окончание базы двустороннего предела, такое что при всех из этого окончания верно неравенство . По определению это и означает, что .

Обратно, если существует , то при всех из некоторого двустороннего окончания базы и, следовательно, из каждой из двух половинок (окончания базы ) и (окончания базы ) выполнено неравенство . Это и означает, что и .

Определение 2 . 7 Через (или ) обозначим базу, окончаниями которой служат объединения двух лучей , где . При увеличении получаем всё более далёкие окончания, уходящие в бесконечность в обе стороны. Предел по такой базе обозначается или .

Введённый этим определением двусторонний (при ) предел уже не имеет такого «наглядного смысла», как, например, пределы при , . Действительно, как представить себе, что переменная «уходит бесконечно далеко» сразу и направо, в , и налево, в ? Тем не менее, понятие базы позволяет вычислять такой предел с не большими усилиями, чем пределы при условиях, имеющих «наглядное представление».

Упражнение 2 . 3 Покажите, пользуясь последним определением, что предел функции, рассмотренной в примере 2.3, при равен 3. Найдите окончание базы , на котором при данном выполняется неравенство .

Упражнение 2 . 4 Сформулируйте и докажите теорему о связи односторонних (при и ) и двустороннего (при ) пределов, аналогичную теореме 2.1.

В дальнейшем при изучении высшей математики нам понадобятся и гораздо более экзотические базы пределов, в которых представить себе, что именно и к чему стремится, совсем нелегко. Например, при введении определённых интегралов они будут получаться как пределы некоторых величин ( интегральных сумм ), зависящих от сложного параметра, называемого размеченным разбиением , при некоторой базе, называемой измельчением размеченного разбиения. Тем не менее, и случай таких сложных пределов будет отлично укладываться в общую схему предела по базе, и нам не понадобится доказывать каких-то дополнительных теорем о свойствах таких пределов.

Для того, чтобы нагляднее представлять себе обсуждаемые общие результаты, читатель должен выбрать какую-либо конкретную базу (рекомендуем или какой-либо из односторонних пределов) и наглядно представлять себе, что означает общий результат применительно к выбранной конкретной базе.

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

Научный форум dxdy

Структура раздела «Теория пределов» в курсе матанализа

Re: Структура раздела «Теория пределов» в курсе матанализа
25.07.2019, 11:06

Последний раз редактировалось alcoholist 25.07.2019, 11:06, всего редактировалось 1 раз.

Nickname1101 , можете почитать у Келли про сходимость по Мору-Смиту, там 10 страниц задач, в том числе строится теория интегрирования

Re: Структура раздела «Теория пределов» в курсе матанализа
25.07.2019, 13:54
demolishka
demolishka в сообщении #1406939 писал(а):

Роль в том, что два других основных понятия ряда и интеграла определяются тоже в терминах последовательностей. Важное понятие секвенциальной компактности также определяется в терминах последовательностей. Да и в целом анализ зачастую изучает сложные объекты, приближая их последовательностью более простых.

demolishka в сообщении #1406987 писал(а):
Видимо и мой ответ не видите/не хотите видеть

Я внимательно читаю все комментарии, включая Ваш. Я прекрасно понимаю аргумент, который Вы привели. Помимо рядов и интегральных сумм, можно отметить те же направленности в топологии, которые являются обобщением понятия последовательности и сказать нечто наподобие «направленности дают критерий хаусдорфовости топологического пространства, видите какая важная штука, вы что, предлагаете не изучать последовательности?». Все эти примеры несомненно замечательны, но мало относятся к сути обсуждаемого вопроса. Если на то пошло, то на понятии функции вообще чуть ли не вся математика строится и в таком ключе риторики скорее понятие функции обладает истинно фундаментальной ролью, а не маленький частный случай последовательностей. Но это я конечно же утрирую. Никакой пример подобного плана по сути аргументом не является. Где бы последовательности ни использовались, что бы мы через них ни определяли, они все равно остаются просто функциями натурального аргумента. Что такое сумма ряда? Предел функции частичных сумм. От замены одного слова другим ничего страшного не произошло. Зачем вводить новый термин (последовательность) для частного случая красивого фундаментального термина (функция) и тем более строить вокруг этого маленького термина большой кусок теории пределов вещественных функций (а затем дублировать его), мне до сих пор непонятно. Я бы еще понял, если бы в этом была исключительно методическая функция. Но в свете моей цитаты

Nickname1101 в сообщении #1406974 писал(а):

Я помню как материал по теме «предел последовательности» лишь затормозил меня в изучении теории пределов. Мне пришлось изучить сначала предел последовательности, затем предел функции (доказывая теоремы для функций с помощью доказанных ранее теорем для последовательностей), затем я понял, что все гораздо легче чем я думал и мне пришлось доказывать теоремы о пределах функций без привлечения последовательностей, затем убеждаться в том, что предел последовательности не является каким-то самостоятельным объектом, и в конце концов убеждаться в том, что теоремы для последовательностей являются лишь частными случаями доказанных теорем для функций. Я потратил огромное количество сил на все это и ради чего?

методические преимущества такого подхода для меня оказались мягко говоря сомнительными.

Меня заинтересовало сообщение Padawan -а.

Padawan в сообщении #1407010 писал(а):
Nickname1101 в сообщении #1406924 писал(а):

$$f:\mathbb</p> <p>Можно ли рассматривать теорию пределов, начиная сразу с произвольных функций вида \supset X\to\mathbb$» /> и рассматривать теоремы о пределе последовательностей как частный случай соответствующих теорем о пределе функции?</p> <p>Нельзя. Предел в конечной точке и предел на бесконечности — принципиально разные определения. Объединять их в одно определение естественно только на уровне общего определения предела по базе (фильтру). И потом, определение предела функции по Гейне вы хотите вообще выкинуть?</p> <p>Видимо в этом месте кроется корень моего непонимания вопроса. Почему предел в конченой и в бесконечно удаленной точках — принципиально разные вещи, я не понимаю. В чем проблема определить окрестности бескончено удаленных точек и сформулировать общеизвестное определение предела функции в терминах окрестностей. Конченый случай — лишь 1 из возможных 9, которые прекрасно вписываются в общее определение и по форме и в идейном плане (для произвольно малой окрестности одной точки мы можем указать проколотую окрестность другой точки, образ которой при отображении лежит в выбранной окрестности). Вот мы и объединили все 9 определений предела в одно, причем без фильтров.</p><div class='code-block code-block-6' style='margin: 8px 0; clear: both;'>  <script src=$

По поводу определения Гейне. В моем понимание именно определение Коши передает суть понятия «предел». Иными словами, я для себя понимаю идею предела именно в форме Коши. Гейне же дал скорее отличный критерий. Конечно, это лишь мое субъективное восприятие, я так для себя расставил приоритеты. Для математики неважно, какое из определений принять за основное. Выкидывать определение Гейне совсем не обязательно.

Re: Структура раздела «Теория пределов» в курсе матанализа
25.07.2019, 16:24

Последний раз редактировалось demolishka 25.07.2019, 16:27, всего редактировалось 6 раз(а).

Nickname1101 в сообщении #1407028 писал(а):
Я прекрасно понимаю аргумент, который Вы привели.

Видимо все же не понимаете (или делаете это нарочно). Интегралы и ряды основываются на понятии последовательности, а не обобщают его. И если необходимо работать с этими объектами, то зачастую придется работать с последовательностями. Более общие, чем последовательность, понятия функции, фильтра или еще чего — это понятия более высокого уровня, которые могут сократить и структурировать изложение теории в целом, но никак не помогут на практике с вышеуказанными объектами.

То, что можно что-то обобщить, никак не является аргументом для его изучения (скорей это аргумент для изучения этого обобщения). Вы же (в моем видении) хотели получить оправдание изучению столь устаревшего понятия последовательности и ее предела, которое обобщено несколькими разными способами.

Nickname1101 в сообщении #1407028 писал(а):
методические преимущества такого подхода для меня оказались мягко говоря сомнительными.

Вот выучите анализ и напишете свой учебник с учетом собственных замечаний. А вообще складывается впечатление, что Вы дальше «картинок» первых страниц книги так и не ушли. Не работали с этой наукой, не решали ее задач. Учебник настроен именно на обучение этим вещам. А для своих целей (иных) Вы видимо выбрали неправильную книгу.

Nickname1101 в сообщении #1407028 писал(а):

Вот можете ли Вы на данном этапе ответить, для чего собственно нужен критерий Гейне? Или хотя бы для чего вообще, на Ваш взгляд, в математике нужны всякие разные критерии?

Re: Структура раздела «Теория пределов» в курсе матанализа
25.07.2019, 16:28

Nickname1101 , бумажные учебники должны иметь большой тираж, следовательно, они рассчитаны на большинство студентов. Если вы не из большинства, считайте, вам не повезло. Могу только предложить искать «свой» учебник. «Доверять» авторам, я считаю, не стоит, потому что они никак от вас не зависят и вы не сможете наказать автора, если он вас обманет. Вы же скачали учебник бесплатно? Тогда автор вам ничего не должен. А если вы имеете рычаг давления на автора, то он будет вынужден отвечать вам серьёзно, а не рассказывать, что вы ничего не понимаете. Авторы даже не обманывают в прямом смысле. Они работают на своих студентов, а не на вас.

У меня сложилось впечатление, что в анализе вообще много дублирования. Вещественные числа → метрические пространства → равномерные пространства → топологические пространства. В каждом своё определение предела. Надо начинать сразу с наиболее общего определения предела, то есть топологического определения.

Re: Структура раздела «Теория пределов» в курсе матанализа
25.07.2019, 18:05

demolishka
Я чувствую что наш диалог уходит в неконструктивное русло. Чтобы исправить ситуацию, я явно сформулирую свою основную цель. Возможно, это поможет Вам и другим участникам форума лучше понять что я имею в виду. Я повторяю «матанализ». Я его не учу с нуля. Все что я делаю — это «закрываю дыры» в моем понимании этого предмета. Таких «пробелов» откровенно говоря немало. Но они немножко сложнее, чем просто «как найти предел?», «как доказать критерий Коши существования предела функции?» и т.д. Если брать теорию пределов, то мои «пробелы» выглядят примерно так:
1. Можно ли рассматривать теорию пределов, начиная сразу с произвольных функций вида $f:\mathbb\supset X\to\mathbb$ и рассматривать теоремы о пределе последовательностей как частный случай соответствующих теорем о пределе функции? Если нельзя, то почему?
2. Корректно ли общеизвестное определение предела функции в терминах окрестностей конечных/бесконечно удаленных точек?
3. В чем принципиальная разница пределов в конечных и бесконечно удаленных точках в $\mathbb$ ? (вопрос, возникший после прочтения комментария Padawan -а)
4. Зачем Кудрявцев в своем трехтомнике вводит предел по обычной окрестности, а не по проколотой? Потому что в моем понимании предел характеризует именно поведение функции «вблизи» предельной точки, значение же функции в самой точке никакого интереса представлять не должно. (вопрос оффтопный, привожу исключительно ради примера; его уже обсуждали на этом форуме ранее)
и т.д.
Сами по себе теоремы я доказал, пределы находить умею. До вчерашнего дня считал, что и структура теории пределов мне примерно понятна. Но как выяснилось, все не так очевидно, как мне казалось ранее. Моя цель — разобраться с внутренней логикой теории, выделить ее «зерно», структурировать факты этой теории.
По поводу

demolishka в сообщении #1407046 писал(а):
Вот выучите анализ и напишете свой учебник с учетом собственных замечаний.
мне Вам ответить нечего. Я явно отметил, что
Nickname1101 в сообщении #1406924 писал(а):
я пытаюсь решить этот вопрос исключительно для себя.

Никого учить и тем более кидать палки в огород авторов учебников у меня даже и в мыслях не было. Наоборот, я неявно исходил из предположения, что скорее всего я ошибаюсь.

demolishka в сообщении #1407046 писал(а):

$$f:\mathbb</p> <p>И в чем тут проблема? Ну имеем мы набор общих теорем теории пределов для произвольных функций вида \supset X\to\mathbb$» />. Последовательности подчиняются всем этим теоремам. </p><div class='code-block code-block-8' style='margin: 8px 0; clear: both;'>  <script src=$

demolishka в сообщении #1407046 писал(а):

Для того же, зачем нужны свойства и признаки. Я не хочу поднимать оффтоп о целях инструментов в математике. В рамках теории пределов критерий Гейне имеет значение больше в вычислительном плане, чем в теоретическом. Но как уже отметил Munin

Munin в сообщении #1406942 писал(а):

На практике всё равно пределы никто не берёт «по определению», кроме патологических примеров. Вместо этого, используют алгебраическую технику, которая несколько ортогональна определению. Так же, как и с производными и с интегралами.

Re: Структура раздела «Теория пределов» в курсе матанализа
25.07.2019, 19:33

Последний раз редактировалось demolishka 25.07.2019, 19:36, всего редактировалось 2 раз(а).

Nickname1101 , Ваш изначальный вопрос касался методики изложения теории пределов в учебниках по анализу, с вопросом об особой роли последовательностей в этой теории. Говоря о методике изложения, нужно установить: 1) что излагать 2) кому излагать 3) зачем излагать 4) как излагать 5) почему так излагать. Изначально Вы привели 1) и 4) и задали вопрос 5). Для ответа на него нужно уточнить 2) и 3). Я привел ответ с соответствующим уточнением. Уважаемый Munin привел ответ (не вопреки моему ответу, а вместе с ним).

Nickname1101 в сообщении #1407063 писал(а):

В рамках теории пределов критерий Гейне имеет значение больше в вычислительном плане, чем в теоретическом.

И что же Вы с помощью Гейне вычисляете? Тут как раз-таки наоборот. Отвечу на часть моего вопроса за Вас. Критерии связывают описание одного свойства на разных языках (в разных терминах). Зачем нужны разные языки? Затем, что в некоторых ситуациях один удобнее другого. Вопрос о полезности/необходимости рассмотрения последовательностей восходит к вопросу о том, как часто в анализе говорят на соответствующем языке и, если часто говорят, то почему (т. е. самостоятельно проверить гипотезу, что наверное он все-таки удобнее). Вы, как человек трепетно изучивший анализ (по Вашим словам), должны с легкость ответить на вопрос о том, где (в доказательстве каких теорем, при решении каких вопросов) встречается использование критерия Гейне, языка последовательностей и т. д. и что будет, если в обсуждении этих вопросов отказаться от этого языка. Если Вы не можете на него ответить, то никакого анализа (даже функции одной действительной переменной) Вы не изучили.

К сожалению, пока Вы больше похожи на тролля , либо просто невежда, который задает вопрос, в котором ни черта не понимает.

Re: Структура раздела «Теория пределов» в курсе матанализа
25.07.2019, 20:36
demolishka
demolishka в сообщении #1407074 писал(а):

Ваш изначальный вопрос касался методики изложения теории пределов в учебниках по анализу, с вопросом об особой роли последовательностей в этой теории.

Абсолютно верно. Я несколько раз сформулировал свой вопрос. Читайте последние строчки моего первого сообщения.

Nickname1101 в сообщении #1407063 писал(а):

Все что я делаю — это «закрываю дыры» в моем понимании этого предмета. Таких «пробелов» откровенно говоря немало.

demolishka в сообщении #1407074 писал(а):
Вы, как человек трепетно изучивший анализ (по Вашим словам).
Буду считать это неудачным сарказмом.
demolishka в сообщении #1407074 писал(а):

. должны с легкость ответить на вопрос о том, где (в доказательстве каких теорем, при решении каких вопросов) встречается использование критерия Гейне, языка последовательностей и т. д. и что будет, если в обсуждении этих вопросов отказаться от этого языка. Если Вы не можете на него ответить, то никакого анализа (даже функции одной действительной переменной) Вы не изучили.

$$f:\mathbb</p> <p>А Вы еще меня троллем называете. Как вы понять-то не можете, я не имею ничего против последовательностей и теорем, связанных с ними, включая критерий Гейне . Я просто предлагаю доказывать эти теоремы после теорем о пределе функции, сводить их как частные случаи к теоремам о пределах функций вида \supset X\to\mathbb$» />. </p> <p><b>demolishka в сообщении #1407074</b> писал(а):</p> <p>К сожалению, пока Вы больше похожи на тролля , либо просто невежда, который задает вопрос, в котором ни черта не понимает.</p><div class='code-block code-block-10' style='margin: 8px 0; clear: both;'>  <script src=$

Я предлагаю закончить обсуждение этой темы, мне не очень понятно почему Вы так бурно реагируете. Возможно я и впрямь задал глупый вопрос и совсем не разбираюсь в теории предела, но во всяком случае, будь я на месте компетентного человека, я бы не позволил себе общаться с новичком, задающим вопрос, в таком тоне.
Буду рад услышать содержательные комментарии от других участников форума.

Re: Структура раздела «Теория пределов» в курсе матанализа
25.07.2019, 21:28

Последний раз редактировалось demolishka 25.07.2019, 21:29, всего редактировалось 1 раз.

Nickname1101 в сообщении #1407084 писал(а):

$$f:\mathbb</p> <p>Я просто предлагаю доказывать эти теоремы после теорем о пределе функции, сводить их как частные случаи к теоремам о пределах функций вида \supset X\to\mathbb$» />.</p> <p>Вам уже сказали, что можно и так. Можно также начинать с топологических пространств, можно с метрических, можно рассматривать фильтры или чего еще и более того, так иногда делают. Разумно так делать или нет зависит от контекста, который тут пытались обсуждать.</p> <p><b>Nickname1101 в сообщении #1407084</b> писал(а):</p> <p><img decoding=$