На сколько нулей оканчивается произведение первых 2010 простых чисел

Ключ для определения количества нулей в конце произведения

Данная работа посвящена нахождению количества нулей в конце произведения последовательных натуральных чисел.

Оценить 2539 0

Содержимое разработки

Методическая разработка по теме

«Ключ для определения количества нулей в конце произведения»

Автор:Иванова Валентина Ивановна,

МБОУ «Тренькасинская СОШ»,

Чебоксарского района Чувашской Республики

Введение. В современном мире очень многие родители озадачены развитием творческих способностей своих детей наряду с развитием умственных способностей. Объяснить это достаточно просто — в ходе творческого процесса происходит осуществление интересного и плодотворного досуга, развивается стремление к созданию чего-либо. Мы, учителя, готовим детей к различным олимпиадам по математике и часто встречаем задачи на определение количества нулей в конце произведения. Например, задача такого типа: «Сколькими нулями оканчивается произведение от 1 до 50 включительно?». Ребята пытаются найти произведение этих чисел, но до конца дойти не всегда реально. И я решила показать рациональный способ решения таких задач.

Актуальность настоящей работы обусловлена, с одной стороны, большим интересом к теме «Определение количества нулей в конце произведения последовательных натуральных чисел», а с другой стороны, её недостаточной разработанностью.

Цель: Научить находить количество нулей в конце произведения последовательных натуральных чисел.

Задачи:— вспомнить свойства чисел;

— рассмотреть примеры для определения количества нулей в конце произведения;

— уметь раскладывать числа, кратных 5, на множители;

— найти «ключ» к решению таких задач.

2. По страницам толковых словарей. Свойства чисел и факториал……………………………..2

3. Разложение чисел кратных 5 на множители. ……………………………. ………………..…..2

4. Алгоритм для определения количества нулей в конце любого большого числа…………. 2-3

5. Составление и решение задач…………………………………………………………….…. 3-4

I . Основная часть.

По страницам толковых словарей.

Свойства чисел и факториал.

Во-первых, количество нулей в произведении зависит от количества 10 среди множителей произведения.

Во-вторых, при перемножении двух круглых чисел, т.е. тех, которые оканчиваются на нули, невозможно получить некруглое число.

В-третьих, в произведении последовательных натуральных чисел половина четных чисел, половина – нечетных.

В-четвертых, можно умножить два числа, не заканчивающихся на нуль, и получить произведение, имеющее в конце один или несколько нулей.

Например, 2 ∙ 5=10; 5∙8 =40; 6∙15=90; 8∙125=1000.

Я заметила, что один множитель четное число, а другой – делится на 5. Сомножители 2 и 5 при их перемножении дают десятку. Если умножить четное число на 5, то в полученном произведении так же последняя цифра ∙равна нулю.

Факториалом натурального числа называют произведение всех натуральных чисел от 1 до самого числа (включая данное число). Обозначается факториал восклицательным знаком «!». Примеры: 3! = 1∙2∙3; 6! = 1∙2∙3∙4∙5∙6. Таблица факториалов.

Разложение чисел кратных 5 на множители.

Разложим числа, которые делятся на 5, на множители и посчитаем, сколько раз встречается 5 в произведении этих чисел.

Число кратное 5

Разложение на простые множители

Из таблицы видно, что в числах, кратных 25 пятерка встречается по два раза, а в числах кратных 125 – по три, а в числах кратных 625 – четыре раза. Эти знания нам пригодятся при решении более сложных задач.

Рассмотрим пример. Определить количество нулей в произведении от 1 до 25.

1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10∙11∙12∙13∙14∙15∙ 16∙17∙18∙19∙20∙21∙22∙23∙24∙25

Для ответа на вопрос задачи не обязательно находить результат умножения. Нужно определить число нулей в конце произведения, не зная, каким именно оно будет. Для этого р азложим каждое число от 2 до 25 на простые множители и запишем произведение всех получившихся множителей. Нуль на конце произведения получается, когда умножаются двойка и пятерка. Составим из них пары (2;5) и перемножим их. Но двоек в получившемся произведении больше пятерок, так как множитель 2 имеет каждое второе число, а множитель 5 – только каждое пятое. Для каждой пятерки найдется пара. Пар всего будет 6, так как 25 дает две пятерки. Значит, всего получится 6 нулей.

Алгоритм для определения количества нулей в конце любого большого числа

Итак, для определения количества нулей в конце любого большого числа можно поступить так:

1. Выделить сомножители 2 и 5.

2. Составить из них пары (2; 5) и перемножить их.

Число пар из двоек и пятерок равно количеству нулей в конце произведения.

Если количество пар (2;5) зависит от количества пятерок, то достаточно посчитать только количество пятерок в разложении. Итак, количество нулей в конце определяется только степенью числа 5 в разложении на простые множители

Такой способ решения мне нравится больше. Он короче и оригинальнее.

II . Практическая часть.

Составление и решение задач.

Пример 1. Определить количество нулей в произведении от 1 до 40, т. е. 40!

В факториалах имеется больше четных множителей, чем множителей, которые делятся на 5. Поэтому вопрос можно сформулировать так: сколько раз 40! можно разделить без остатка на 5?

Делятся на 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40. В семи числах 5, 10, 15, 20, 30, 35, 40 пятерка встречается 1 раз, а 25 дает 2 множителя, равных 5 (5∙5). Таким образом, в произведении от 1 до 40 7+2=9 пятерок, т.е. 9 нулей

Пример 2.
Сколькими нулями оканчивается произведение всех натуральных чисел от 17 до 40?

Решение. 20= 4∙5; 25=5∙5; 30=5∙6; 35=5∙7; 40=5∙8. Всего 6 нулей.

Пример 3. Определить количество нулей в произведении от 1 до 100.

Из сомножителей факториала 100 десять заканчиваются на нуль: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 и 100 (заканчивается на два 0). Это дает уже как минимум одиннадцать конечных нулей. Следование только этому правилу иногда ведет к ошибке, что в конце факториала 100 стоят одиннадцать нулей. Такой ответ является неверным.

От 1 до 100 есть 20 чисел, которые делятся на пятерку: 5, 10, 15, …, 95, 100 . Из них 25 дает 2 множителя, равные 5 (25 = 5∙5 ) , есть еще три числа, в состав которых входит 25. Это: 50, 75 и 100 . В совокупности это добавляет еще четыре пятерки, а всего их 24. Значит, мы получим 24 пары. Таким образом, в конце 100! будет 24 нуля.

Можно рассуждать таким образом.

Делятся на 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100. От 1 до 100 имеется 10 чисел, которые оканчиваются на 5 и 9 чисел, оканчивающиеся на 0 и одно число 100, которое оканчивается двумя нулями. Итого: 10+9+2=21. Но 25, 50 и 75 делятся на 25, значит, они дают еще три пары из чисел 2 и 5. Итого мы получим 21+3=24 пары, т.е. 24 нуля.

Я попробовала усложнить задачу. Как же быть, если большое количество множителей?

Например,найти количество нулей в конце произведении от 1 до 2018.

Сначала находим количество чисел,кратных 5 от 1 до 100. Таких чисел встречается 20. Но среди этих чисел числа 25, 50, 75, 100 делятся еще на 25, поэтому они дают по две пятерки. В числе 2018 всего сотен 20. Значит, чисел, кратных 5 всего 400 (20∙20). Числа 2005, 2010, 2015 делятся на 5. Они дают еще три пятерки. Затем находим числа, которые кратны 25.

Кратных 25 всего 80. От 1 до 100 их 4. Тогда 4∙20=80.

Перечислим числа, которые кратны 125: 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875, 1000, 1125, 1250, 1375, 1500, 1625, 1750, 1875, 2000. Всего таких чисел 16. Они дают по три пятерки.

Три числа кратных 625: 625, 1250, 1875. Итак, всего пятерок 400+3+80+16+3=502. Следовательно, 502 нуля в конце произведения от 1 до 2018.

Заключение.Я нашла оптимальный, оригинальный способ решения. Данная работа предназначена для расширения кругозора обучающихся, она способствует развитию познавательного интереса к математике. Данный материал может быть использован во внеклассных мероприятиях по математике. Этот способ позволяет решать задачи такого типа быстрее, проще, легче.

Сколькими нулями заканчивается произведение первых 2016 натуральных чисел?

Количество нулей в конце числа определяется количеством десяток, содержащихся в данном числе, при разложении его на множители.

Но поскольку 10 = 2 * 5, то количество нулей будет совпадать с количеством тех множителей, которых меньше всего среди первых 2016 чисел. Очевидно, среди этих чисел двоек гораздо больше, чем пятерок, следовательно, определяющим будет количество пятерок.

Количество пятерок в различных степенях

Количество пятерок зависит от того, сколько чисел делится на 5, 25, 125 и 625, т. е. на степени числа 5. Заметим, что 5^5 = 3125 > 2016, поэтому ни одно число не содержит 5 пятерок.

Разделим число 2016 на 5, отбросив остаток, до тех пор, пока в частном не получим число, меньше 5:

2016 = 2015 + 1 = 5 * 403 + 1;

403 = 400 + 3 = 5 * 80 + 3;

16 = 15 + 1 = 5 * 3 + 1.

Из этих записей следует, что:

1. среди первых 2016 чисел 403 числа делятся на 5;
2. из них 80 чисел делятся на 5^2 = 25;
3. из них 16 чисел делятся на 5^3 = 125;
4. из них 3 числа делятся на 5^4 = 625.

Общее количество пятерок от всех степеней

• Количество пятерок в числах, кратных 5, взятых по одному множителю — 403;
• Количество пятерок в числах, кратных 25, взятых по второму множителю — 80;
• Количество пятерок в числах, кратных 125, взятых по третьему множителю — 16;
• Количество пятерок в числах, кратных 625, взятых по четвертому множителю — 3.

Следовательно, количество всех пятерок среди 2016 первых чисел равно:

403 + 80 + 16 + 3 = 502.

Стало быть, столькими нулями оканчивается произведение первых 2016 чисел.

Ответ: 502 нулями.

Захар 5 лет назад

1. Для того, чтобы найти все натуральные числа, нужно расписать число:
1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 *11 . * 2015 *2016;

2. От 5 до 2015 ровно (2015-5)/5 + 1 = 403 числа, делящихся на 5.

3. От 25 до 2000 ровно 80 чисел, делящихся на 25 (2 пятерки).

4. От 125 до 2000 ровно 16 чисел, делящихся на 125 (3 пятерки).

5. От 625 до 1875 ровно 3 числа, делящихся на 625 (4 пятерки).

Получаем 403 + 80 + 16 + 3 = 502 пятерки.

На сколько нулей оканчивается произведение первых 2010 простых чисел?

1 только ноль так как среди простых чисел четное только 1 число это 2 среди оставшихся чисел есть 5 вот они 2*5 и дадут в конце 0 0 при умножении дает только четное число и число состоящее из пятерок.. среди простых чисел это 2 и 5

всего лишь на 1 ноль

Похожие вопросы

Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Задачник по математике: арифметика и алгебра для подготовки к ЕГЭ для 11-го класса от Вольфсон Г.И. 2019-го года

Файл представлен в ознакомительных целях и находится на другом ресурсе в интернете, мы лишь ссылаемcя на него! Если данный материал нарушает чьи-либо авторские права, то обратитесь на почту Roman@Yagubov.ru, мы оперативно удалим ссылку!

Ответы

Ответы к заданиям
[ ПРИ НАЛИЧИИ ] доступны
для бесплатного просмотра
только зарегистрированным
пользователям проекта!

ВХОД	РЕГИСТРАЦИЯ
*бесплатно, в один клик!

Файлы заданий доступны
для бесплатного скачивания
только зарегистрированным
пользователям проекта!

ВХОД	РЕГИСТРАЦИЯ
*бесплатно, в один клик!

Справочные материалы

Загрузка формул.
Загрузка тестирования.

Обсуждения

Комментарии к заданиям доступны
для бесплатного просмотра
только зарегистрированным
пользователям проекта!

ВХОД	РЕГИСТРАЦИЯ
*бесплатно, в один клик!