Lgn что это в математике

Lgn что это в математике

Для практического применения наиболее удобным основанием логарифмов является число 10. Но для теоретических исследований наиболее пригодно другое основание, а именно иррациональное число е = 2,718 281 83 (с точностью до восьмого десятичного знака). Этот поразительный на первый взгляд факт полностью можно разъяснить только в высшей математике; здесь мы покажем лишь, откуда это число появляется. Оно находится в тесной связи с тем способом вычисления логарифмов, который был объяснен в сущности логарифмического метода.

Когда мы берем за основание число 1 + 1/n, близкое к единице, например, 1,00001 (n = 100000), то для небольших чисел получаются огромные логарифмы, например, число 3 имеет логарифм 109861. Чтобы этот логарифм был величиной того же порядка, что и самое число 3, его следовало бы уменьшить в n = 100000 раз. Тогда он имел бы величину 1,09861. Число 3 будет иметь логарифм 1,09861, если за основание взять не

1 + 1/n = 1,00001, а (1 + 1/n) n = 1,00001 100000

Действительно, мы имеем:

3 = (1,00001) 109861 = 1,00001 100000.1,09861 = (1,00001 100000 ) 1,09861

Если мы вычислим величину 1,00001 100 000 , то с точностью до восьмого десятичного знака найдем;

(1 + 1/n) n = 2,71826763 (n = 100000).

Это число уже очень близко к числу е; оно имеет одинаковые с числом е первые пять цифр. Если бы мы положили в основание не 1,00001, а еще более близкое к 1 число, например 1,000001, т. е. взяли бы n = 1000000, то, рассуждая так же, как прежде, нашли бы, что еще более удобным основанием будет:

(1 + 1/n) n = 1,000001 1000000

Это число с точностью до восьмого знака равно 2,718 280 47. Оно имеет те же первые шесть цифр, что число е, а в седьмой цифре разнится лишь на единицу. Чем больше взять число n, тем меньше число (1 + 1/n) n будет отличаться от числа е. Иначе говоря, число е есть предел, к которому стремится (1 + 1/n) n при неограниченном возрастании n. Это и есть определение числа е.

Мы видели, что основание 1 + 1/n а значит, и (1 + 1/n) n , тем точнее позволяет вычислить логарифмы всевозможных чисел, чем больше число n. Естественно ожидать, что наиболее удобным для той же цели будет предел, к которому стремится (1 + 1/n) n при неограниченном возрастании n, т. е. число е. Так и есть в действительности. Вычисление логарифмов по основанию е совершается быстрее, чем по всякому другому основанию. Способы этого вычисления излагаются в высшей математике.

Самое число е можно выразить десятичной дробью с любой степенью точности; в таблицах можно найти такие приближенные значения е , которые по своей точности превосходят любые практически возможные требования. С полной же точностью число е ни десятичной, ни другой рациональной дробью представить невозможно. Более того, число е не только иррационально, но и трансцендентно (см. Иррациональные числа).

Логарифмы, взятые по основанию е, называются натуральными логарифмами. Часто их называют (исторически неправильно) неперовыми*.

Обозначение. Вместо log_ex принято писать 1nX (знак ln есть сокращение слов «логарифм натуральный»).

Пример. ln 3 = 1,09861.

Чтобы, по известному десятичному логарифму числа N найти его натуральный логарифм, нужно разделить десятичный логарифм числа N на десятичный логарифм числа е (последний равен 0,43429. ):

ln N = lgN/lge ≈ lgN/0.43429 ≈ 2.30259 LgN

Величина lg е =0,43429 называется модулем десятичных логарифмов и обозначается через М, так что

Пример. Нам известно, что lg 2 = 0,30103. Отсюда

ln2 = 1/M * 0,30103 = 0,69315.

Чтобы по известному натуральному логарифму числа N найти его десятичный логарифм, нужно помножить натуральный логарифм на модуль десятичных логарифмов М = lg е:

lg N = lg е ln N = M ln N ≈ 0,43429 In N.

Пример. ln 3 = 1,09861. Отсюда lg 3 = M * 1,09861 = 0,47712.

Данные здесь правила перехода от натуральных логарифмов к десятичным и обратно представляют собой частные случаи общих формул
log_aN = log_bN * log_ab;
log_aN = log_bN/log_ba,
позволяющих перейти от логарифма числа N по основанию b к логарифму того же числа по основанию а. Вторая формула при N = b даст
log_ab = 1/log_ba

Что такое десятичный логарифм?

Как же быть в том случае, если, например, надо выразить число 8299 как число 10 в какой-то степени? Как найти это число с определённой степенью точности, которое в данном случае равно 3,919…?

Выход – это логарифм и логарифмические таблицы

Знание логарифмов и умение пользоваться логарифмическими таблицами позволяет значительно упростить многие сложные арифметические операции.Для практического применения удобны десятичные логарифмы.

Историческая справка.
Принцип, лежащий в основе любой системы логарифмов, известен очень давно и может быть прослежен вглубь истории вплоть до древневавилонской математики (около 2000 года до н.э.). Однако первые таблицы логарифмов составили независимо друг от друга шотландский математик HUДж. Непер (1550—1617) UHи швейцарец И. Бюрги (1552—1632). Первые таблицы десятичных логарифмов были составлены и опубликованы английским математиком Г. Бриггсом (1561 —1630).

Предлагаем читателю, не вдаваясь глубоко в математическую суть вопроса, запомнить или восстановить в памяти несколько простейших определений, выводов и формул:

Логарифмом данного числа называется показатель степени, в которую нужно возвести другое число, называемое основанием логарифма (а), чтобы получить данное число.

• При всяком основании, логарифм единицы есть нуль:

а0 = 1

• Отрицательные числа не имеют логарифмов
• Всякое положительное число имеет логарифм
• При основании, большем 1, логарифмы чисел, меньших 1, отрицательны, а логарифмы чисел, больших 1, положительны
• Логарифм основания равен 1
• Большему числу соответствует больший логарифм
• С возрастанием числа от 0 до 1 логарифм его возрастает от—∞ до 0; с возрастанием числа от 1 до+∞ логарифм его возрастает от 1 до+∞ (где, ±∞− знак, принятый в математике для обозначения отрицательной или положительной бесконечности чисел)
• Для практического применения удобны логарифмы, основанием которых является число10

Эти логарифмы называются десятичными и обозначаются lg. Например:

• логарифм числа 10 по основанию 10 равен 1. Иначе говоря, число 10 нужно возвести в первую степень, чтобы получить число 10 (101 = 10), т.е.lg10 = 1
• логарифм числа 100 по основанию 10 равен 2. Иначе говоря, число 10 нужно возвести в квадрат, чтобы получить число 100 (102 = 100),т.е. lg100 = 2

UВывод №1U: логарифм целого числа, изображаемого единицей с нулями, есть целое положительное число, содержащее столько единиц, сколько нулей в изображении числа

• логарифма числа 0,1 по основанию 10 равен -1. Иначе говоря, число 10 нужно возвести в минус первую степень, чтобы получить число 0,1 (10-1 = 0,1), т.е.lg0,1 = -1
• логарифма числа 0,01 по основанию 10 равен -2. Иначе говоря, число 10 нужно возвести в минус вторую степень, чтобы получить число 0,1 (10-2 = 0,01), т.е.lg0,01 = -2

UВывод №2U: логарифм десятичной дроби, изображаемой единицею с предшествующими нулями, есть целое отрицательное число содержащее столько отрицательных единиц, сколько нулей в изображении дроби, считая, в том числе, и 0 целых

lg1 = 0

• логарифм числа 8300 по основанию 10 равен 3,9191… Иначе говоря, число 10 нужно возвести в степень 3,9191… , чтобы получить число 8300 (103,9191…= 8300), т.е. lg8300 =3,9191…

UВывод №3U: логарифма числа, не выраженного единицей с нулями, есть число иррациональное и, следовательно, не может быть выражен точно посредством цифр.
Обыкновенно иррациональные логарифмы выражают приближенно в виде десятичной дроби с несколькими десятичными знаками. Целое число этой дроби (хотя бы это было „0 целых») называется характеристикой, а дробная часть — мантиссой логарифма. Если, например, логарифм есть 1,5441, то характеристика его равна 1, а мантисса есть 0,5441.

• Основные свойства логарифмов, в т.ч. десятичных:
  • логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:lg(a•b)=lgа +lgb
  • логарифм частного равен логарифму делимого без логарифма делителя, т.е. логарифм дроби равен логарифму числителя без логарифма знаменателя:
  • логарифмы двух взаимообратных чисел по одному и тому же основанию отличаются друг от друга только знаком
  • логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм её основания, т.е. логарифм степени равен показателю этой степени, умноженному на логарифм возводимого в степень числа:

  lg(bk)= k•lgb

  • логарифм корня равен логарифму подкоренного числа, делённому на показатель корня:
  • основное тождество десятичного логарифма: 10lgb ≡b
  • десятичные логарифмы чисел 10, 100, 1000, . равны соответственно 1, 2, 3, . , т.е. имеют столько положительных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе после единицы
  • десятичные логарифмы чисел 0,1; 0,01; 0,001; . равны соответственно -1, -2, -3…, т.е. имеют столько отрицательных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе перед единицей (считая и нуль целых)
  • десятичные логарифмы остальных чисел имеют дробную часть, называемую мантиссой, и целую часть, называемую характеристикой
  • для определения логарифма по числу используются таблицы логарифмов
  • для определения числа по логарифму используются таблицы антилогарифмов

  Чтобы окончательно понять, что такое десятичный логарифм произвольного числа, детально рассмотрим несколько примеров.

  UПример №2.1.1U.
  Возьмем какое-нибудь целое, например 623 и смешанное число, например 623,57.
  Мы знаем, что логарифм числа состоит из характеристики и мантиссы.
  Сосчитаем, сколько цифр в данном целом числе, или в целой части смешанного числа. В наших примерах этих цифр 3.
  Поэтому каждое из чисел 623 и 623,57 больше 100, но меньше 1000.
  Таким образом можно сделать вывод, что логарифм каждого из этих чисел будет больше lg 100, т. е. больше 2, но меньше lg 1000, т. е. меньше 3 (вспомним, что большее число имеет и больший логарифм).
  Следовательно:
  lg 623 = 2.
  lg 623,57 = 2.
  (точки заменяют собою неизвестные мантиссы).

  UВывод №4U: десятичные логарифмы обладают тем удобством, что их характеристику всегда можно найти по одному виду числа.

  Пусть вообще в данном целом числе, или в целой части данного смешанного числа, содержится m цифр. Так как самое малое целое число, содержащее m цифр, есть единица с m-1 нулями на конце, то (обозначая данное число N) можем написать неравенство:

  следовательно,
  m-1 < lg N < m,
  поэтому
  lg N = (m-1) + положительная дробь.
  значит
  характеристика lgN = m-1

  UВывод №5U: характеристика десятичного логарифма целого или смешанного числа содержит столько положительных единиц, сколько цифр в целой части числа без одной.

  UПример №2.1.2.

  Теперь возьмём несколько десятичных дробей, т.е. чисел меньших 1 (другими словами имеющих 0 целых):
  0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008 и т. п.
  Логарифмы каждого из этих чисел будут находиться в промежутке между двумя целыми отрицательными числами, различающимися на одну единицу. Причём каждый из них равен меньшему из этих отрицательных чисел, увеличенному на некоторую положительную дробь.
  Например,
  lg0,0056= -3 + положительная дробь
  В данном случае положительная дробь будет равна 0,7482.
  Тогда:
  lg 0,0056 = -3 + 0,7482
  UПримечанияU:
  Такие суммы, как -3 + 0,7482, состоящие из целого отрицательного числа и положительной десятичной дроби, условились при логарифмических вычислениях писать сокращенно так:
  ,7482
  (такое число читается: с минусом, 7482 десятитысячных), т. е. ставят знак минус над характеристикой с целью показать, что он относится только к этой характеристике, а не к мантиссе, которая остается положительной.

  Таким образом, приведенные выше числа можно записать в виде десятичных логарифмов
  lg 0,35 =, …
  lg 0,07 =, …
  lg 0,00008 =, …
  Пусть вообще число A есть десятичная дробь, у которой перед первой значащей цифрой α стоит m нулей, считая, в том числе, и 0 целых:

  тогда, очевидно, что

  т. е.
  -m < log A < -(m-1).
  Так как из двух целых чисел:
  -m и -(m-1) меньшее есть –m
  то
  lg А = -m + положительная дробь

  UВывод №6U: характеристика логарифма десятичной дроби, т.е. числа меньшего 1, содержит в себе столько отрицательных единиц, сколько нулей в изображении десятичной дроби перед первой значащей цифрой, считая, в том числе, и нуль целых; мантисса же такого логарифма положительна

  Пример №2.1.3.

  Математика разгадывает детектив, или почему нужно выбрать магистратуру по искусственному интеллекту

  

  Чтобы кратко и ёмко узнать о том, чему учат на кафедре «Прикладная математика и программирование» ЮУрГУ на магистерской программе «Технологии и методы искусственного интеллекта в фундаментальных и прикладных исследованиях» по направлению 01.04.02 Прикладная математика и информатика, можно рассказать о темах дипломов, которые здесь защищаются. Мы выбрали самые яркие, преимущественно связанные с искусственным интеллектом и распознаванием образов.

  Шлем для Шерлока

  Когда великий сыщик Шерлок Холмс распутывал очередную загадку, он опускался на колени, осматривал углы через знаменитую лупу, выбирал необычные ракурсы. «Холмс, честное слово, вы как ищейка!» – посмеивались над ним инспектор Лестрейд и доктор Ватсон. Но в итоге сыщику удавалось увидеть то, что оставалось незаметным для глаз констеблей.

  

  Может быть, в этом и впрямь что-то есть? Одна из дипломных разработок ЮУрГУ прошлого года как раз и представляет собой 3D-осмотр места преступления через… шлем виртуальной реальности. Специалист-фотограф предварительно проводит съёмку, следователь надевает шлем и может осматривать место кражи или убийства, даже если находится за много километров от него. И никто не сможет похитить улику или затоптать следы злодея: виртуальная реальность зафиксировала всё необходимое. Если к ней ещё добавить искусственный интеллект, выделяющий характерные признаки, Холмса звать не придётся.

  На страже ДТП

  На подоконнике стоит ноутбук, который в режиме реального времени показывает то, что происходит на проезжей части за окном. Картинка в картинке. Но за окном выруливают со стоянки автомобили, высаживает пассажиров на остановке зелёный автобус. А на экране ноутбука всё, что движется, обведено контурами. Система определяет сама, где легковушка, где общественный транспорт, где человек, что с какой скоростью и в каком направлении движется.

  «Очень полезно, например, для анализа дорожного траффика, оценки экологической ситуации и для настройки светофоров, – поясняет директор Института естественных и точных наук ЮУрГУ Алёна Замышляева. – Но не только».

  

  Одна из недавних дипломных работ представляла собой нейросеть для распознавания ДТП. На экране снова перекрёсток в режиме реального времени. Красная «тойота» несётся по трассе и сходу влетает в автомобиль, маневрирующий на перекрёстке. Система сразу выделяет аварию контуром и подаёт сигнал тревоги. Дорожная полиция может выезжать на место происшествия.

  В расследовании ДТП огромное значение имеет точность расчётов. Особенно, если на месте аварии злоумышленник взял, да и подвинул какой-нибудь предмет, рассчитывая обхитрить полицейских. Невооружённым глазом по записи с дорожной камеры этого не определить. Но система определяет углы и расстояния мгновенно и с высокой точностью, показывая правдивую картину.

  Увидеть невидимое

  Непросто распознать ДТП, но ещё сложнее увидеть невидимое. Или почти невидимое, например, дым из трубы. Какова его интенсивность, по какой траектории он рассеивается, как влияет на его шлейф ветер.

  Одна из дипломных работ посвящена анализу контуров дыма с помощью искусственного интеллекта. Три камеры для сбора информации установили на территории родного университета, на крышах корпусов и общежития, позволяющих с разных ракурсов следить за котельной ЮУрГУ. ИИ учится, собирая множество образцов и соотнося их с физическими параметрами.

  

  Бесполезное занятие? А что, если дым содержит опасные вещества, а сам при этом невидим – из-за метеоусловий или химического состава?

  В Институте естественных и точных наук ЮУрГУ в рамках проекта «Экомонитор» решается и более сложная задача: искусственный интеллект помогает определять уровень вредных выбросов. По идее, с этим должны справляться обыкновенные датчики. Но что, если датчиков недостаточно, а компания относится к контролю выбросов халатно, а то и вовсе что-то скрывает? ИИ восстанавливает, пусть и неидеально, пропущенные данные, сравнивая их с уже накопленными знаниями, учитывая особенности технологического процесса и т. п.

  Скопировать человека

  Ещё одна дипломная работа: искусственный интеллект изучает фото- или видеоизображение человека, его мимику, движения, распознаёт голос, а в итоге… оживляет человека на экране по его фото.

  По секрету было рассказано, что на юбилее кафедры студенты с помощью этой программы получили цифровую «копию». ректора университета Александра Вагнера. Многого ребята себе позволять не стали: компьютер лишь озвучил голосом Александра Рудольфовича поздравление, составленное для выпускников.

  Безмолвный пациент

  А вот диплом на первый взгляд со «скучным» названием: определение кардиогенного отёка лёгких по рентгеновскому снимку. Дело важное, но…разве можно столь важный вопрос доверять компьютеру?

  «Систем искусственного интеллекта, предсказывающих со стопроцентной точностью, не бывает. При этом даже точности в 99,7 % не достаточно, чтобы решать вопрос о здоровье человека, – говорит директор ИЕТН ЮУрГУ Алёна Замышляева. – Окончательное решение должен всё равно принимать врач».

  

  Однако диплом выполнен по заказу не медицинской, а… ветеринарной клиники. Пациентами являются собаки. При постановке диагноза человеку имеет значение и рассказ самого пациента, что он чувствует, где болит, испытывал ли нагрузки. А пёс вдруг загрустил, никто не знает отчего, однако счёт времени для его спасения, возможно, идёт на минуты. Поставить диагноз питомцу помогает искусственный интеллект.

  «Не бояться математики – профессиональный плюс!»

  Примеров приложения искусственного интеллекта масса: финансово-банковская сфера, здравоохранение (например, протезирование), нефтегазовая отрасль, транспорт, «умные города» (“smart cities”), контроль качества в промышленности.

  Помните: «Я не волшебник, я только учусь»? Выучиться на волшебника можно совершенно бесплатно, в том числе в вечернее время, поступив на магистерскую программу «Технологии и методы искусственного интеллекта в фундаментальных и прикладных исследованиях» по направлению 01.04.02 «Прикладная математика и информатика» здесь выделено 28 бюджетных мест!

  

  Поступать приглашают, прежде всего, тех, кто закончил бакалавриат по IT-направлениям (прикладная математика и информатика, математика и компьютерные науки, фундаментальная информатика и информационные технологии, программная инженерия, прикладная информатика и т. д.). Но не только! У обычного технаря, углублённо изучавшего математические предметы и не ловившего на занятиях ворон, тоже есть вполне реальные шансы. Да, потребуется знание линейной алгебры, математики, дифференциальных уравнений. В конечном итоге всё решает собеседование с преподавателями кафедры по билетам, которые можно скачать на сайте ЮУрГУ.

  «Сегодня много, кто выпускает айтишников, много и сфер их трудоустройства, – говорит директор ИЕТН Алёна Замышляева. – Однако, если молодой специалист не боится математики – это большой профессиональный плюс. А мы готовим именно математиков, “мозги”».

  Недаром выпускников кафедры «Прикладной математики и программирования» ЮУрГУ приглашают на работу не только промышленные лидеры Урала (ММК, ЧТПЗ, ЧЦЗ, ЮУЖД), но и IT-гиганты (Яндекс, Google).

  Допустимость математических моделей ДТП в судебном процессе

  

  Эта статья была опубликована в журнале Генеральной прокуратуры РФ «Законность», в № 5 за 2007 год. Она и сегодня актуальна, и будет актуальной еще долго. Причина — научный тупик, в который зашла автоэкспертиза, в стремлении к упрощению описания удара начав применять гипотезы для моделирования реальности.

  Процесс пластической деформации деформируемого тердого тела описывается большой системой разнородных дифференциальных уравнений. Для ряда частных случаев их решения найдены математиками аналитически. Но общего аналитического решения нет.

  Возможно, когда-нибудь и родится гений, который это сделает, и автоэксперты получат формулы для всех случаев удара и всех возможных повреждений машин. А пока выход один — вычислительная механика, которая успешно научилась перекладывать решение этих уравнений на компьютер.
  В отличие от журнальной публикации здесь автор дополнил текст рисунками и некоторыми разъяснениями, выделенными курсивом.

  Процессы интеграции с западноевропейскими странами привели к появлению и использованию в судебно-экспертной практике новых для России методов анализа ДТП, основанных на тех или иных математических моделях. Следователю или судье, не обладающими специальными познаниями в технических науках, подчас невозможно разобраться в вопросах допустимости применения нетрадиционных методик в судебном процессе, не имея четкого критерия их оценки. Такой критерий был предложен и научно обоснован автором статьи [Никонов В.Н. Допустимость математических моделей ДТП в судебном процессе. // Доклад на международной научно-практической конференции «Теория и практика судебной экспертизы в современных условиях». – М.: МГЮА, 2007].

  Используемые в мировой практике методики анализа и реконструкции обстоятельств ДТП основываются на математических моделях, описывающих два основных процесса, происходящих в ДТП с автомобилями, – процесс движения и процесс удара. Оба процесса описываются моделями, построенными на научной основе, с использованием известных законов механики и базирующимися на тех или иных экспериментальных данных. Юристу, наблюдающему за дискуссией специалистов, невозможно разобраться в ее сущности, не имея четкого критерия оценки математических моделей ДТП. Если математические модели движения автомобиля не вызывают разногласий специалистов, то приемлемые для судебно-экспертных исследований модели удара автомобилей требуют классификации и оценки.

  Математическая модель – это формализованное описание выявленных признаков объекта экспертного исследования [Аверьянова Т.В. Судебная экспертиза: курс общей теории. – М.: Норма, 2006. – 480с.]. В применяемых в мировой судебно-экспертной практике методиках математическая модель удара строится двумя основными способами. Первый – феноменологическое исследование автомобиля как единого целого, когда он представлен только своей наружной оболочкой, а свойства его внутренней структуры переносятся на свойства его оболочки. Второй – построение математических моделей отдельных наружных и внутренних элементов конструкции, составляющих автомобиль, с их последующей интеграцией в единую модель. В первом способе построения математической модели источником фактических данных служат результаты испытаний автомобиля на удар – краш-тесты, во втором – результаты испытаний материалов, из которых изготовлены элементы конструкции автомобиля.

  

  Оба способа построения модели научны, так как они базируются на фактических экспериментальных данных, но научны ли полученные математические модели? Для ответа на этот вопрос необходимо применить понятия интерполяционной и экстраполяционной модели.

  При исследовании некоторого объекта устанавливаются реакции этого объекта на те или иные воздействия на него. Например, для автомобиля устанавливается зависимость величины его замедления при торможении на некотором дорожном покрытии (реакция) при той или иной загрузке автомобиля (воздействие). Интервал от наименьшего до наибольшего значения воздействия на объект составляет область определения, на которой стоится математическая модель, являющаяся при таком подходе интерполяционной – предназначенной для вычисления реакции при тех или иных значениях воздействий из области определения. Так, например, экспериментальное измерение значений замедления тормозящего снаряженного автомобиля, его же с 50% и 100% загрузкой при некоторых дорожных условиях позволяет с достаточной для судебно-экспертного исследования точностью вычислить значение замедления, например, при 70% загрузке. Однако то, что значение замедления падает с ростом загрузки автомобиля, не означает, что при некоторой загрузке выше 100% значение замедления станет равным нулю и заторможенный автомобиль никогда не остановится. Математическая модель, вычисляющая величину реакции объекта при величине воздействия, находящегося вне области определения, является экстраполяционной – предназначенной для прогнозирования величины реакции на основе некоторой гипотезы, точность результатов которой может быть установлена только статистически при большом числе испытаний, а точность результата в конкретном испытании неизвестна.

  

  Экстраполяцию, как нарушение логической цепочки доказательства, взгляд специалиста нередко замечает в заключениях автоэкспертов, что, вероятно, не заметно адвокатам. Мокрый асфальт – могло занести – … –занесло. Или, произошел слабый удар (касание) – изменилось курсовое направление – выезд в кювет. И т.д. Экстраполяция заключается в незаметной подмене результата расчета (часто, из-за невозможности или неумения его произвести) наукоподобными, подчас ложными, посылками, принимающимися как аксиома и экспертом, и затем юристами.

  Правомерность того или иного средства или метода в судебной экспертизе должна определяться исходя из общих принципов допустимости научно-технических средств и методов в судопроизводстве [Россинская Е.Р. Судебная экспертиза в гражданском, арбитражном, административном и уголовном процессе. – М.: Норма, 2005. – 656с.], среди которых для математических моделей главную роль играют их научность, надежность и точность результатов. Поэтому вопрос о допустимости математических моделей ДТП в судебном процессе является актуальным.

  Традиционные методики автотехнических экспертиз, в том числе и методика, применяемая СЭУ МЮ и МВД РФ, не содержат моделей удара автомобилей. Их модель основана на использовании закона трения Кулона и частичном использовании закона сохранения энергии, когда часть кинетической энергии движущегося автомобиля можно определить по длине его тормозного пути. Эта модель является интерполяционной, так как значения замедления автомобилей для всех возможных дорожных покрытий определены экспериментально с 95%-ым уровнем обеспеченности [Суворов Ю.Б. Судебная дорожно-транспортная экспертиза. Судебно-экспертная оценка действий водителей и других лиц, ответственных за обеспечение безопасности дорожного движения, на участках ДТП: Учебное пособие. – М.: «Экзамен», «Право и закон», 2003. – 208с.]. Интерполяционность традиционной модели и обуславливает категоричность ее результатов, и, следовательно, допустимость в качестве доказательства в судебном процессе.

  

  Автоэксперт, например, по длине тормозного следа установил, что скорость автомобиля перед началом торможения была не менее 70км/ч. Этот вывод, безусловно, категоричен. Но далее за его логикой нужно внимательно следить, так как часто эти 70км/ч возводятся в абсолют, и дорожно-транспортная ситуация не оценивается для возможных скоростей этого автомобиля 80, 90, …, 150, … км/ч.

  

  Гипотеза Кудлиха-Слибара предложена авторами в 1966 году. Она упрощает физический механизм удара автомобилей, полагая, что удар происходит мгновенно и в некоторой общей для деформированных автомобилей «импульсной» точке, находящейся на поверхности их раздела. Суть гипотезы – замена изменяющейся по величине и направлению силы взаимодействия импульсом, одинаковым для столкнувшихся автомобилей по величине и, в силу равенства действия противодействию, противоположным по направлению. Не учитываемый при этом момент импульса компенсируется подбором экспертом точки импульса и направления импульса так, чтобы максимально точно обеспечить фактическую траекторию движения автомобилей после удара. Погрешность, возникающая из-за этого упрощения законов механики, не контролируема и может быть оценена только статистически. Но суть гипотезы дает основания утверждать, что ошибка расчета будет больше, если длительность столкновения автомобилей велика – их путь за время контакта сопоставим с расстоянием, пройденным ими с момента столкновения до конечного положения. Применение импульса так же исключает возможность анализа ДТП в случаях, когда точка импульса «мигрирует» по автомобилю в течение времени контакта, как, например, при касательном столкновении.

  Справка. Импульсом (или количеством движения) называется произведение величины силы на время ее действия, или, что одно и то же, произведение массы тела на изменение его скорости. То есть изменение скорости равно частному от деления величины импульса на массу тела. А величину импульса можно определить, не зная величину силы и время ее действия. Простой пример ошибки импульсного метода следующий. Пусть во время движения на правую часть Жигулей спереди справа налево действует сила 1000кг в течении 0.1с, потом 100кг в течении 1с. Величина, точка приложения к автомобилю и направление обоих импульсов одинаково. Но в первом случае автомобиль изменит курсовое направление, так как силы достаточно для сдвига передних колес влево, а во втором – нет, в худшем случае на крыле будет только вмятина.

  В общем случае уравнений законов сохранения импульса и его момента недостаточно для решения задачи удара. Поэтому инженерными моделями вводится дополнительное уравнение, содержащее коэффициент восстановления скорости после удара, который, по сути, является мерой потери кинетической энергии столкнувшихся автомобилей на деформацию их конструкций при ударе. Но и это дополнительное уравнение вновь вводится в математическую модель на основе гипотезы – гипотезы трехсторонней унифицированной жесткости, ставшей известной с выходом в 1976 году в США компьютерной программы анализа ДТП CRASH (от Calspan Reconstruction of Accident Speeds on the Highway – реконструкция скоростных столкновений на дорогах корпорации Calspan) [McHenry R.R. User’s Manual for the CRASH Computer Program. // NTIS, 1976. – Pb № 252115].

  Напомним, что жесткостью конструкции называется отношение величины силы, которую надо приложить для образования деформации, к величине этой деформации. Гипотеза унифицированной жесткости основана на предположении, что для автомобиля достаточно определить три величины жесткости – жесткость переда, жесткость зада и жесткость боковых сторон. Эти жесткости не зависят от места приложения нагрузки и характера деформации, постоянны при деформации автомобиля, а их вычисление может быть проведено на основе данных краш-теста автомобиля на фронтальный или боковой удар о жесткий барьер. Далее полагается, что все существующие модели автомобилей можно разделить на конечное число категорий (для легковых автомобилей выделено 7 категорий) в зависимости от массы геометрических параметров, и для каждой категории достаточно определить усредненные значения указанных трех жесткостей [Никонов В.Н. Оценка соответствия деформаций транспортных средств инженерными методами. // Страховое дело. – 2005. – №10. – С.41-45].

  

  Допущения гипотезы унифицированной трехсторонней жесткости приводят к экстраполяционности инженерной модели удара вследствие выхода за пределы области определения эксперимента по нижеследующим причинам.

  1. Гипотезой игнорируется, что на сторонах автомобиля всегда имеются места, где жесткость существенно отличается от средней жесткости стороны автомобиля. Так, например, жесткость в середине двери автомобиля меньше жесткости в районе его стоек. Тогда, например, расчет вмятины на двери на базе средней жесткости даст заведомо большие величину затрат энергии на деформацию и деформирующей силы, а расчет деформации сочленения стойки с порогом автомобиля – заведомо меньшие величины.
  2. Гипотезой игнорируется, что во время деформации автомобиля сила сопротивления конструкции постоянно изменяется далеко не по линейному закону, а, следовательно, жесткость стороны автомобиля не постоянна, а является функцией деформации. Это, в частности, следует из результатов краш-тестов, во время которых производится прямое измерение зависимостей сил сопротивления различных частей конструкции от времени. Тогда расчет деформаций на базе средней жесткости, полученных в условиях, близких к краш-тесту, но при меньшей скорости приведет к непрогнозируемой ошибке, для исключения которой эксперту необходимо иметь не усредненные коэффициенты жесткости, а экспериментальные или полученные прочностным расчетом зависимости силы сопротивления автомобиля от деформации или от времени.
  3. Гипотезой игнорируется, что краш-тесты проводятся при скоростях удара до 64км/ч, а фактические столкновения в ДТП могут происходить при больших, чем 64км/ч, энергетически эквивалентных скоростях. Этот случай является прямой экстраполяцией за пределы эксперимента.
  4. Гипотезой игнорируется, что краш-тесты проводятся для условий фронтального или бокового удара автомобиля о барьер, а фактические столкновения в ДТП могут происходить под произвольными углами. Механикой давно установлено, что двух экспериментов во взаимно перпендикулярных направлениях достаточно для определения свойств только ортотропных объектов, имеющих ярко выраженные структурные элементы в одном направлении (ортотропный материал – это, например, слоистая фанера). Так как структура автомобиля гораздо сложнее, перенос результатов экспериментов на удар под произвольным углом не научен и является экстраполяцией за пределы экспериментально установленного пути деформации, на котором происходит расход энергии.
  5. Гипотезой полагается, что деформации автомобиля хотя и могут быть произвольными в горизонтальной плоскости, но одинаковы по высоте. Тем самым игнорируется локализация деформаций, и в случаях локализации деформаций в нижней, верхней или иной части автомобиля усреднение по высоте осуществляется экспертом субъективно, что не исключает возможности экстраполяции жесткости за пределы эксперимента.

  На рисунке выше — фрагмент документации по CRASH-3. Знающий английский увидит, что авторы предупреждают о неточности метода, пишут о величине погрешности определения скорости этим методом в среднем более 40%. При этом следует отметить, что если условия ДТП близки (что такое «близки» здесь не обсуждается) к условиям краш-теста, то статистическая погрешность не превышает 10%.

  Таким образом, инженерные модели, основанные на гипотезах, содержат множественную экстраполяцию за пределы области экспериментального определения параметров, в силу чего инженерные модели являются по своей сути вероятностными и не отвечают требованиям допустимости в судебном процессе. Этот вывод подтверждается и тем, что, по данным самих разработчиков, гипотеза трехсторонней унифицированной жесткости дает в отдельных экспериментах более чем 40%-ю погрешность определения скорости ТС [CRASH-3 Technical manual. // U.S. Department of Transportation. National Highway Traffic Safety Administration. National Center for Statistics and Analysis Accident Investigation Division. – 1986]. Использование же этой гипотезы в сочетании с гипотезой Кудлиха-Слибара может приводить к множеству возможных решений, когда одинаковое движение автомобилей после удара может определяться широким спектром сочетаний возможных параметров их движения в момент столкновения [Cliff W.E., Moser A. Reconstruction of Twenty Staged Collisions with PC-Crash’s Optimizer. // SAE Paper №2001-01-05-07].

  На рисунке ниже слева вверху показан некий металлический объект – коробка с двумя продольными ребрами жесткости. Это несколько напоминает кузов автомобиля, но форма, конечно, более простая. Далее последовательно показаны результаты удара коробки левой передней частью в стену, когда углы между продольной осью коробки и перпендикуляром к стенке составляют 0, 30, 60 и 90 градусов. А внизу приведены соответствующие графики сил взаимодействия. Они хорошо демонстрируют одну из причин погрешности гипотезы трехсторонней жесткости CRASH-3 — сила сопротивления деформированию зависит от ориентации вектора скорости коробки.
  Расчет сделан методом конечных элементов.

  

  
  Задача замены гипотезы Кудлиха-Слибара и гипотезы трехсторонней унифицированной жесткости в инженерной модели может быть успешно решена использованием научно разработанного и широко апробированного мировой наукой и практикой метода вычислительной механики – метода конечных элементов (МКЭ), имеющего в России нормативный характер, что закреплено как ГОСТ, так и соответствующим стандартом ISO [ГОСТ Р 50-54-42-88 «Расчеты и испытания на прочность. Метод конечных элементов и программы расчета на ЭВМ пространственных элементов конструкций в упругопластической области деформирования». ГОСТ ISO 10303-104:2000 «Системы промышленной автоматизации и интеграция. Представление данных о продукции и обмен данными. Часть 104. Интегрированный прикладной источник: анализ конечных элементов»]. При этом интегрированная математическая модель автомобиля или его части, которая получила деформации в ДТП, строится на основе данных о геометрии элементов конструкции этой части, механических свойствах материалов этих элементов конструкции, и фактических данных о характере и величине полученных при ударе деформаций. Этих исходных данных достаточно для исследования объекта моделирования в самых широких пределах области определения возможных воздействий, изменяющихся как во времени, так и пространстве. Использование в расчетах возможных наибольших или возможных наименьших механических характеристик материалов элементов конструкций ТС всегда дает возможность получить технически возможные крайние параметры удара, что дает возможность получить категоричные выводы о параметрах движения автомобилей в момент их столкновения. Отметим, что достоверность МКЭ-модели удара признается и разработчиками инженерных моделей, и применяется ими как в экспертной практике, так и для проверки собственных упрощенных инженерных моделей [Day T.D., York A.R. Method for simulating collisions. // United States Patent №6195625].

  

  Допустимость и объективность численной МКЭ-модели удара обусловлена тем, что модель строится на основе феноменологических исследований простейших ее составляющих – конечных элементов, – область определения воздействий на которые является полной и ограничивается только их разрушением. Описание конечных элементов методами механики деформируемого твердого тела не накладывает никаких ограничений на последовательность приложения воздействий в пространстве или времени, что делает МКЭ-модель удара интерполяционной и лишенной самой возможности экстраполяции за пределы области определения возможных воздействий при любом напряженно-деформированном состоянии.

  1. Традиционные модели – интерполяционные, результат категоричный;
  2. Инженерные модели – экстраполяционные, результат вероятный;
  3. Численные модели – интерполяционные, результат категоричный.

  Исторически сложилось так, что Российская судебная экспертиза не применяла и не применяет инженерные модели в практике судебных экспертных исследований. Однако бурное развитие мощности доступной вычислительной техники дает возможность перешагнуть этот этап развития и сразу перейти к использованию более наукоёмких, но допустимых в судебном процессе численных математических моделей удара на основе методов вычислительной механики.

  Похожие публикации:
  1. Как изменить вид вкладок в сафари
  2. Как растянуть картинку на весь блок в css
  3. Как расшифровать гауз
  4. Что такое структура в программировании