Что такое объединение множеств

Пересечение и объединение множеств

Решение некоторых математических задач предусматривает операции над множествами такие как пересечение, объединение, разность. Под множеством подразумевают объединение некоторых предметов в одно целое. Для совершения подобных действий требуется знание некоторых правил, которые позволят найти пересечение, объединение и разность множеств. О таких правилах пойдёт речь далее.

Обозначение множеств. Как записать объединение и пересечение множеств

Определения

Объединение множеств – это ряд таких элементов, при которым каждый из них представляет собой элемент одного из первоначальных множеств.

Пересечение множеств — заключает в себе все элементы, общие для первоначальных множеств.

При записи обозначения пересечения множеств и объединения множества чисел, используют специальный порядок символов. Самый лёгкий способ обозначить множество — это применение фигурных скобок, в середине которых элементы записаны через запятую.

С помощью такой записи можно задать множество, если оно включает небольшое конечное число элементов. В связи с этим чаще применяется многофункциональный способ определения множеств – посредством характеристического свойства, которое свойственно всем элементам множества, которым не владеют объекты вне множества.

P(x) – характеристическое свойство множества A.

В таком виде объединение записывается следующим образом:

AUB=

а пересечение множеств записывается как:

AՈB=

Где символы v / ᴧ, обозначают «или» / «и», символ | обозначает «таких что».

Чтобы обозначить множества, как числовые интервалы, при записи применяют скобки круглой и квадратной формы. К примеру, запись [4,24), выражает цифровой диапазон от 4 до 24, при этом число 4 входит в состав множества, а 24 нет. Числа менее 24 принадлежат этому множеству.

Найти пересечение и объединение множеств. Операции над множествами

U – обозначает объединение множеств A и B;

Ո – обозначает пересечение множеств A и B.

Чтобы легче запомнить данные знаки пересечения и объединения множеств, можно мысленно представить, что символ объединения U напоминает сосуд с открытым верхом, туда есть возможность что-то положить.

Символ пересечения Ո наоборот, выглядит как перевёрнутая ёмкость, в который невозможно поместить какой-либо предмет. Так же символ обозначающий пересечение Ո можно прочитать как «И».

Тогда выражение AՈB=C, читается так: “Все элементы, входящие в состав множества A и множества B, составляют элементы, которые принадлежат множеству C».

Правила нахождения объединения и пересечения и разности множеств

При формировании объединения числовых множеств, следует последовательно записать полностью части одного множества и их дополнить недостающими элементами из остальных. Операцию объединения в отдельных случаях называют сложением множеств и обозначают знаком «+».

Рассмотрим пример объединения числовых множеств A= и B=. К имеющимся числовым составляющим множества A 1,2,3,4,5,6,7,8,9 прибавим недостающую часть из множества B 10. Получившееся в результате объединения множество чисел будет выглядеть так . Соответственно запись этого объединения:

AUB=

Чтобы составить пересечение числовых множеств, следует последовательно выбирать части одного множества и удостовериться, входят ли они в другие исследуемые множества, входящие в их число и составляют пересечение.

Для того, чтобы найти пересечение этих же множеств, друг за другом, последовательно проанализируем числа множества A на их наличие в множестве чисел B. Начнём проверку с самого первого числа в множестве A это число 0. В множестве B данное число отсутствует и не войдёт в совокупность пересечения. Смотрим далее, число 1 из множества A так же имеется в составе множества B. Затем следует число 2, которое принадлежит множеству B и, следовательно, пересечению. Идущее за ним 3 не принадлежит A и B не входит в перечисление. Число 4 входит в A и B, значит войдёт и в объединение. Далее продолжаем проверять числа по аналогии. Итак, пересечение множеств A= и B= состоит из чисел 2,4,6,8. При записи выглядит так:

AՈB=

Выполнение записи пересечения и объединения нескольких множеств

Если требуется выполнить операции с более чем двумя множествами, например: A, B, C, принцип действия подобный предыдущим примерам. В первую очередь находим пересечения A и B. Только затем пересечение полученного множества с C.

Следовательно, процесс нахождения пересечения более двух множеств осуществляется в несколько этапов.

Например, дано три множества A = , B = и C = . Сначала находим пересечение AՈB = , затем сравниваем полученное множество с C, это будут те же 3 и 9. Получаем, что пересечение A, B, C выглядит следующим образом:

AՈBՈC=

При определении объединений двух и более множеств, к числам первого множества последовательно добавляют отсутствующие элементы из второго, третьего и последующих множеств. К примеру, даны следующее множества A = , B = и C = . К числовым элементам 1 и 4 из множества A, прибавляем число 4 из множества B. Теперь, к получившемуся множеству 1,3,4 прибавляем цифры 6 и 7 из множества C. В конечном результате получаем объединение:

AUBUC =

Для нахождения пересечения совсем не нужно писать много букв. Когда элементов не много, то множество возможно задать элементарным перечислением. Например, первое множество включает в себя числа 1,3,5, второе состоит из элементов 2,3,5. В данном случае, пересечение будет состоять из элементов 3 и 5. Для записи можно использовать прямое перечисление: Ո =

Основные свойства объединения и перечисления множеств

1. Коммутативность или перестановка. Распространяется на все компоненты при любом их количестве.
   • AUB = BUA
   • AՈB = BՈA
2. Ассоциативность или расстановка скобок. Позволяет опускать скобки и делать решение проще.
   • (AՈB)ՈC = AՈ(BՈC)
   • (AUB)UC = AU(BUC)
3. Раскрытие скобок или дистрибутивность.
   • (AUB)ՈC=(AՈC)U(BՈC)
   • (AՈB)UC=(AUC)Ո(BUC)

Разностью A и B называется множество, которое включает в себя все элементы, каждое из которых принадлежит множеству A и не принадлежит множеству B. Обозначается A\B. Приведём пример, найдём разность множеств A = и множества B = . Первый вариант находим разность множества A. Запись будет выглядеть так: A\B=, в которую не входят элементы, принадлежащие только B числа 6 и 8. Разность множества B при этом выглядит так: B\A=, сюда соответственно не входят числа, принадлежащие только A.

Для закрепления материала пройденных уроков, рассмотрим ещё несколько примеров. Дана задача: A = , B = и X = Y = . Найдите пересечение, объединение для A, B и разность множеств X, Y. Решение:

Сначала найдём объединение исходных множеств A U B = .

Затем пересечение A Ո B =

Разность X\Y = Y\X =

Для того, чтобы выполнить операции над множествами пересечения, объединения, разность в количестве больше двух, следует рассматривать элементы, входящие в первое их них. Затем определить, относится ли этот элемент к каждому из проверяемых множеств. Если данное обстоятельство не соблюдено, то элемент не относится к пересечению. При проверке, лучше выбирать множество с наименьшим количеством элементов в составе.

Кроме перечисленных действий пересечения и объедения существует дополнение множеств и многие другие операции.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Нужна помощь

Отображение множеств с помощью координатной прямой

Для того, чтобы исследовать и обозначать множества, удобно применять выделение числовых промежутков на координатной прямой. Каждая выбранная точка разделяет находящиеся на ней числа на два открытых луча. Приведём пример, точка с координатами 42,7 сформирует промежутки, которые можно записать как (-∞,42,7) и (42,7, +∞). Наше выражение заключено в круглые скобки, это значит, что сама точка 42,7 ни одному из этих промежутков не принадлежит. Числовая прямая, которая записывается как R = (-∞,+∞), при таком варианте из нашего примера, представляет объединение:

При добавлении нашей рассматриваемой точки 42,7 к одному из представленных (-∞,42,7) или (42,7, +∞) числовых лучей, в таком случае промежуток перестанет быть открытым. При записи выражения нужно будет использовать квадратные скобки, которые обозначают, что точка входит в промежуток. Запись будет выглядеть так: (-∞,42,7] и [42,7+∞). Тем самым множество действительных чисел на координатной прямой будет выглядеть так:

На числовой прямой можно выполнять большое количество действий. Такую прямую можно разделить на отрезки не точкой, как в предыдущем примере, а лучом или отрезком. Все выявленные закономерности так же будут соблюдены. Кроме того, они выполняются при разделении самих числовых промежутков. Рассмотрим пример, точка с координатой 18 на промежутке (8,34] разделит его на следующие промежутки (8,18) U U (18,34]. Дополнив точкой, один из промежутков, получатся следующее записи: (8,18] U (18,34], (8,18) U [18,34]. Примем за разделяющую точку цифру 34, которая включается в состав рассматриваемого промежутка и ограничивает его справа. В результате получим объединение множеств и интервала (8,34) либо (8,34] = (8,34) U

Аналогичные закономерности объективны и в ситуации, когда координатная прямая разделяется на промежутки несколькими точками. К примеру, точки -5, 0 и 6 разделят её на промежутки (-∞,-5), (-5,0), (0,6), (6,+∞), при этом множество действительных чисел (-∞,-5) U U (-5,0) U U (0,6) U U (6,+∞).

Благодаря координатной прямой достаточно просто и легко рассматривать пересечения и объединения множеств. Они указываются друг под другом на координатных прямых с идентичными направлениями отсчёта и точками. При записи отображения множеств координатные прямые обозначают слева квадратной скобкой, фигурные скобки используются, чтобы показать пересечение.

С помощью дополнительной координатной прямой, которую располагают ниже исходной, показываются искомые пересечения или объединение. На ней поперечными чертами отмечают граничные точки первичных множеств, а после выяснения характера точек, их заменяют полями или сплошными. На рисунке вхождение промежутка в объединение показывается штриховкой, отсутствие вхождения – полой точкой, а вхождение – сплошной.

Графически пересечение A и B показывается промежутками, над которыми имеется штриховка, дополненная отдельными точками, которые принадлежат обоим множествам. На рисунке объединение проявляется там, где показана штриховка хотя бы у одного из множеств и сплошные точки.

В приведённых примерах объединения и пересечения множеств указаны только целые числа. Отрезкам на координатной прямой так же принадлежат и другие числа, которые целыми не являются, такие как десятичные дроби. При определении пересечения и определения множеств, класс чисел намного шире, чем представлен в упражнениях, они находятся между целыми числами и количество их очень велико, перечислять которые не представляется возможным.

Объединение — Теория множеств

Когда мы используем слово «или» в повседневных разговорах, мы можем не понимать, что это слово используется в двух разных смыслах. Способ обычно определяется из контекста разговора. Посмотрим на два примера:

• «Вы бы хотели курицу или стейк?» — можно взять одно или другое, но не оба
• «Вы бы хотели масло или сметану к печеной картошке?» — можно взять или одно, или другое, или оба. Здесь «или» используется в инклюзивном смысле

В математике слово «или» используется в инклюзивном смысле. Так, утверждение «

» означает, что возможен один из трех вариантов:

• является элементом только и не является элементом
• является элементом только и не является элементом
• является элементом и . Можно также сказать, что является элементом пересечения и

В теории множеств слово «или» обозначает объединение — формирование новых множеств из старых. Это одна из самых распространенных операций, поэтому в этом уроке мы погрузимся в эту тему подробнее и научимся соединять множества между собой.

Как объединять множества

Для примера рассмотрим множества

Чтобы найти объединение этих двух множеств, мы просто перечислим все элементы, которые видим, стараясь не дублировать элементы. Числа

находятся либо в одном, либо в другом множестве, поэтому объединение

Условные обозначения

Важно не только понимать, как работает объединение, но и уметь читать символы, которыми обозначаются такие операции. Символ, используемый для обозначения объединения двух множеств

Один из способов запомнить символ

для обозначения объединения — заметить его сходство с заглавной буквой U — это сокращение слова union. Будьте внимательны, потому что этот символ очень похож на символ пересечения. Один из них получается из другого вертикальным переворотом.

Чтобы увидеть это обозначение в действии, вернитесь к приведенному выше примеру. Там были множества

. Поэтому мы бы записали уравнение множества так:

Объединение с пустым множеством

) — это множество, в котором нет элементов. Поэтому его объединение с любым другим множеством не будет иметь никакого эффекта. Другими словами, объединение любого множества с пустым множеством вернет нам исходное множество.

Это тождество становится еще более компактным при использовании нотации:

Объединение с универсальным множеством

А что произойдет, если мы объединим любое множество с универсальным множеством? Универсальное множество содержит каждый элемент, поэтому мы не можем добавить к нему ничего другого. Таким образом, объединение любого множества с универсальным множеством является универсальным множеством.

И снова наши обозначения помогают нам выразить это тождество в более компактном формате:

Для любого множества

и универсального множества

Правила объединения

О других тождествах, в которых используется операция объединения, вы узнаете на практике, когда будете использовать язык теории множеств. Но мы все таки рассмотрим три самых важных тождества.

Для всех множеств

Открыть доступ

Курсы программирования для новичков и опытных разработчиков. Начните обучение бесплатно

• 130 курсов, 2000+ часов теории
• 1000 практических заданий в браузере
• 360 000 студентов

Наши выпускники работают в компаниях:

Используйте Хекслет по-максимуму!

• Задавайте вопросы по уроку
• Проверяйте знания в квизах
• Проходите практику прямо в браузере
• Отслеживайте свой прогресс

Задавайте вопросы, если хотите обсудить теорию или упражнения. Команда поддержки Хекслета и опытные участники сообщества помогут найти ответы и решить задачу

Для перемещения по курсу нужно зарегистрироваться
1. Введение ↳ теория
2. Типы множеств ↳ теория
3. Нотации ↳ теория
4. Объединение ↳ теория / тесты
5. Пересечение ↳ теория
6. Дополнение ↳ теория
7. Разность множеств ↳ теория
8. Непересекающиеся множества ↳ теория
9. Закон Де Моргана ↳ теория
10. Распределительный закон в множествах ↳ теория

Поможем, если трудно

Порой обучение продвигается с трудом. Сложная теория, непонятные задания… Хочется бросить. Не сдавайтесь, все сложности можно преодолеть. Рассказываем, как

Не понятна формулировка, нашли опечатку?

Выделите текст, нажмите ctrl + enter и опишите проблему, затем отправьте нам. В течение нескольких дней мы улучшим формулировку или исправим опечатку

Что-то не получается в уроке?

Загляните в раздел «Обсуждение»:

1. Изучите вопросы, которые задавали по уроку другие студенты — возможно, ответ на ваш уже есть
2. Если вопросы остались, задайте свой. Расскажите, что непонятно или сложно, дайте ссылку на ваше решение. Обратите внимание — команда поддержки не отвечает на вопросы по коду, но поможет разобраться с заданием или выводом тестов
3. Мы отвечаем на сообщения в течение 2-3 дней. К «Обсуждениям» могут подключаться и другие студенты. Возможно, получится решить вопрос быстрее!

Подробнее о том, как задавать вопросы по уроку

Объединение множеств

Объедине́ние мно́жеств (тж. су́мма или соедине́ние) в теории множеств — множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Объединение двух множеств и обычно обозначается , но иногда можно встретить запись в виде суммы .

Определения

Объединение двух множеств

Все не повторяемые числа из множеств A и B. Пусть даны два множества и . Тогда их объединением называется множество

Операция объединения множеств коммутативна:

Операция объединения множеств ассоциативна:

Операция объединения множеств дистрибутивна относительно операции пересечения: [1]

Пустое множествоявляется нейтральным элементом операции объединения множеств:

Таким образом булеан вместе с операцией объединения множеств является моноидом;

Операция объединения множеств идемпотентна:

Примеры

• Пусть Cherry pick commit что это
• Почему игра не сворачивается при нажатии кнопки виндовс
• Почему макбук бьет током
• Что такое информационный след