Кусок сыра имеет форму кубика 3х3х3 из которого вырезали центральный кубик
Мышь грызет кусочек сыра в форме куба с ребром 3, разбитый на 27 единичных кубиков. Когда она съедает какой-то кубик, то переходит к следующему, который имеет общую грань с предыдущим. Может ли мышь скушать весь кусок сыра, кроме центрального единичного кубика?
Указание: Используйте метод раскрасок, а именно следующий способ:
Решение: Воспользуемся способом раскраски и поскрасим единичные кубики в два цвета через один, следующим образом:
У нас 27 кубиков. Чтобы скушать все кубики сыра, кроме центрального, придется съесть 26 кусочков. Причем, половину будет белого цвета, половина — черного (так как мышь ест соседние кубики, которые имеют разный цвет). Но это невозможно, т.к. с другой стороны, у нас всего 15 белых кубиков и 14 черных (благодаря раскраске). И если мышь не будет кушать центральный, то будет съедено 15 белых и 13 черных, так как центральный кубик — черного цвета.
Дно прямоугольной коробки было выложено прямоугольными плитками 2 x 2 и 1 x 4. Плитки высыпали из коробки и при этом потеряли плитку размером 2 x 2. Вместо нее нашли плитку размером 1 x 4. Можно ли при этом выложить дно коробки?
Указание: Используйте метод раскраски следующим образом:
Ответ: Нет, нельзя. Используя метод раскраски, раскрасим дно коробки следующим образом:
Плитка 2 x 2 покрывает лишь одну черную клетку. Плитка 1 x 4 покрывает или две и ни одну черную. То есть четность покрытых черных клеток совпадает с четностью количества плиток размером 2 x 2. Потому при потере плитки 2 x 2 останется лишь одна незакрашенная черная клетка. Замена невозможна.
На клетчатой бумаге даны произвольные n клеток (n > 4). Докажите, что из них можно выбрать не менее [ n /4] клеток, не имеющих общих точек.
Указание: Воспользуйтесь методом раскраски следующим образом (используя четыре цвета):
Ответ: Воспользуемся методом раскрасок и покрасим клетки в четыре цвета следующим образом:
Тогда, по принципу Дирихле, среди n клеток, можно выбрать [ n /4] клеток одного цвета. А так как клетки одного цвета не имеют общих точек, то утверждение доказано.
Перевод на другие языки
Математика – царица наук, арифметика – царица математики.
Карл Фридрих Гаусс
На данный момент в базе присутствует информация о 1847 великих математиках.
Для ознакомления доступны 48 книг.
Если вы хотите оказать помощь проекту — прочтите, пожалуйста, это.
Наш проект в социальных сетях:
— Живой журнал
— Facebook
— Twitter
Чтобы сайт всегда был под рукой:
— Добавить в избранное
Также вы можете добавить новости проекта в свою «Ленту новостей»:
— RSS
Свяжитесь с нами используя раздел Контакты
Добавлен материал «Показательные уравнения и неравенства», в котором заполнены разделы «Теория» и «Методы решений». В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.
Кусок сыра имеет форму кубика 3х3х3 из которого вырезали центральный кубик
Кусок сыра имеет форму кубика 3×3×3, из которого вырезан центральный кубик. Мышь начинает грызть этот кусок сыра. Сначала она съедает некоторый кубик 1×1×1. После того, как мышь съедает очередной кубик 1×1×1, она приступает к съедению одного из соседних (по грани) кубиков с только что съеденным. Сможет ли мышь съесть весь кусок сыра?
Подсказка
Раскрасьте кубики 1*1 в шахматном порядке. После черного кубика мышь может съесть только белый кубик, и наоборот.
Решение
Покрасим кубики 1*1 в шахматном порядке. Заметим, что кубиков одного цвета будет на два больше, чем кубиков другого цвета (одного цвета — 12, другого — 14). Но после черного кубика мышь может съесть только белый кубик, и наоборот, т.е. цвета поедаемых кубиков строго чередуются. Таким образом, в каждый момент времени число съеденных белых кубиков отличается от числа съеденных черных кубиков не больше, чем на 1. Отсюда следует невозможность съедения всего куска сыра.
Ответ
Источники и прецеденты использования
web-сайт | |
задача | |
Кружок | |
Название | ВМШ 57 школы |
класс | |
Класс | 7 |
год | |
Место проведения | 57 школа |
Год | 2005/06 |
занятие | |
Тема | Куб |
Название | Куб |
Номер | 8 |
задача | |
Номер | 5 |
Проект осуществляется при поддержке и .