Формулы деления отрезка в данном отношении.
Формулы координат середины отрезка
Прошло совсем немного времени, с того момента, когда пилотным выпуском появилась моя первая статья по аналитической геометрии – Векторы для чайников. Затем последовал важный урок Скалярное произведение векторов, а также Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов и Векторное и смешанное произведение векторов. После кропотливого труда я вдруг заметил, что размеры веб страниц достаточно велики, и если так пойдёт дальше, то можно тихо мирно озвереть =) Поэтому предлагаю вашему вниманию небольшое эссе, посвященное очень распространённой геометрической задаче – о делении отрезка в данном отношении, и, как частный случай, о делении отрезка пополам.
Данная задача по тем или иным причинам не вписалась в другие уроки, но зато сейчас есть прекрасная возможность рассмотреть её подробно и неторопливо. Приятная новость состоит в том, что мы немного отдохнём от векторов и сконцентрируем внимание на точках и отрезках.
Формулы деления отрезка в данном отношении
Понятие деления отрезка в данном отношении
Нередко обещанного вовсе ждать не приходится, сразу рассмотрим пару точек и, очевидное невероятное – отрезок :
Рассматриваемая задача справедлива, как для отрезков плоскости, так и для отрезков пространства. То есть, демонстрационный отрезок можно как угодно разместить на плоскости или в пространстве. Для удобства объяснений я нарисовал его горизонтально.
Что будем делать с данным отрезком? На этот раз пилить. Кто-то пилит бюджет, кто-то пилит супруга, кто-то пилит дрова, а мы начнём пилить отрезок на две части. Отрезок делится на две части с помощью некоторой точки , которая, понятно, расположена прямо на нём:
В данном примере точка делит отрезок ТАКИМ образом, что отрезок в два раза короче отрезка . ЕЩЁ можно сказать, что точка делит отрезок в отношении («один к двум»), считая от вершины .
На сухом математическом языке этот факт записывают следующим образом: , или чаще в виде привычной пропорции: . Отношение отрезков принято стандартно обозначать греческой буквой «лямбда», в данном случае: .
Пропорцию несложно составить и в другом порядке: – сия запись означает, что отрезок в два раза длиннее отрезка , но какого-то принципиального значения для решения задач это не имеет. Можно так, а можно так.
Разумеется, отрезок легко разделить в каком-нибудь другом отношении, и в качестве закрепления понятия второй пример:
Здесь справедливо соотношение: . Если составить пропорцию наоборот, тогда получаем: .
После того, как мы разобрались, что значит разделить отрезок в данном отношении, перейдём к рассмотрению практических задач.
Формулы деления отрезка в данном отношении на плоскости
Если известны две точки плоскости , то координаты точки , которая делит отрезок в отношении , выражаются формулами:
Откуда взялись данные формулы? В курсе аналитической геометрии эти формулы строго выводятся с помощью векторов (куда ж без них? =)). Кроме того, они справедливы не только для декартовой системы координат, но и для произвольной аффинной системы координат (см. урок Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов). Такая вот универсальная задача.
Найти координаты точки , делящей отрезок в отношении , если известны точки
Решение: В данной задаче . По формулам деления отрезка в данном отношении, найдём точку :
Ответ:
Обратите внимание на технику вычислений: сначала нужно отдельно вычислить числитель и отдельно знаменатель. В результате часто (но далеко не всегда) получается трёх- или четырёхэтажная дробь. После этого избавляемся от многоэтажности дроби и проводим окончательные упрощения.
В задаче не требуется строить чертежа, но его всегда полезно выполнить на черновике:
Действительно, соотношение выполняется, то есть отрезок в три раза короче отрезка . Если пропорция не очевидна, то отрезки всегда можно тупо измерить обычной линейкой.
Равноценен второй способ решения: в нём отсчёт начинается с точки и справедливым является отношение: (человеческими словами, отрезок в три раза длиннее отрезка ). По формулам деления отрезка в данном отношении:
Ответ:
Заметьте, что в формулах необходимо переместить координаты точки на первое место, поскольку маленький триллер начинался именно с неё.
Также видно, что второй способ рациональнее ввиду более простых вычислений. Но всё-таки данную задачу чаще решают в «традиционном» порядке. Например, если по условию дан отрезок , то предполагается, что вы составите пропорцию , если дан отрезок , то «негласно» подразумевается пропорция .
А 2-ой способ я привёл по той причине, что частенько условие задачи пытаются намеренно подзапутать. Именно поэтому очень важно выполнять черновой чертёж чтобы, во-первых, правильно проанализировать условие, а, во-вторых, в целях проверки. Обидно допускать ошибки в такой простой задаче.
Даны точки . Найти:
а) точку , делящую отрезок в отношении ;
б) точку , делящую отрезок в отношении .
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Иногда встречаются задачи, где неизвестен один из концов отрезка:
Точка принадлежит отрезку . Известно, что отрезок в два раза длиннее отрезка . Найти точку , если .
Решение: Из условия следует, что точка делит отрезок в отношении , считая от вершины , то есть, справедлива пропорция: . По формулам деления отрезка в данном отношении:
Сейчас нам неизвестны координаты точки : , но это не является особой проблемой, так как их легко выразить из вышеприведённых формул. В общем виде выражать ничего не стОит, гораздо проще подставить конкретные числа и аккуратно разобраться с вычислениями:
Ответ:
Для проверки можно взять концы отрезка и, пользуясь формулами в прямом порядке, убедиться, что при соотношении действительно получится точка . И, конечно же, конечно же, не лишним будет чертёж. А чтобы окончательно убедить вас в пользе клетчатой тетради, простого карандаша да линейки, предлагаю хитрую задачу для самостоятельного решения:
Точка . Отрезок в полтора раза короче отрезка . Найти точку , если известны координат точек .
Решение в конце урока. Оно, кстати, не единственное, если пойдёте отличным от образца путём, то это не будет ошибкой, главное, чтобы совпали ответы.
Формулы деления отрезка в данном отношении в пространстве
Для пространственных отрезков всё будет точно так же, только добавится ещё одна координата.
Если известны две точки пространства , то координаты точки , которая делит отрезок в отношении , выражаются формулами:
.
Даны точки . Найти координаты точки , принадлежащей отрезку , если известно, что .
Решение: Из условия следует отношение: . Данный пример взят из реальной контрольной работы, и его автор позволил себе небольшую шалость (вдруг кто споткнётся) – пропорцию в условии рациональнее было записать так: .
По формулам координат середины отрезка:
Ответ:
Трёхмерные чертежи в целях проверки выполнять значительно сложнее. Однако всегда можно сделать схематический рисунок, чтобы разобраться хотя бы в условии – какие отрезки необходимо соотносить.
Что касается дробей в ответе, не удивляйтесь, обычное дело. Много раз говорил, но повторюсь: в высшей математике принято орудовать обыкновенными правильными и неправильными дробями. Ответ в виде пойдёт, но вариант с неправильными дробями более стандартен.
Разминочная задача для самостоятельного решения:
Даны точки . Найти координаты точки , если известно, что она делит отрезок в отношении .
Решение и ответ в конце урока. Если трудно сориентироваться в пропорциях, выполните схематический чертёж.
В самостоятельных и контрольных работах рассмотренные примеры встречаются как сами по себе, так и составной частью более крупных задач. В этом смысле типична задача нахождения центра тяжести треугольника.
Разновидность задания, где неизвестен один из концов отрезка, разбирать не вижу особого смысла, так как всё будет похоже на плоский случай, разве что вычислений чуть больше. Лучше вспомним годы школьные:
Формулы координат середины отрезка
Даже неподготовленные читатели могут помнить, как разделить отрезок пополам. Задача деления отрезка на две равные части – это частный случай деления отрезка в данном отношении. Двуручная пила работает самым демократичным образом, и каждому соседу за партой достаётся по одинаковой палке:
В этот торжественный час стучат барабаны, приветствуя знаменательную пропорцию . И общие формулы чудесным образом преображаются в нечто знакомое и простое:
Удобным моментом является тот факт, что координаты концов отрезка можно безболезненно переставить:
В общих формулах такой роскошный номер, как понимаете, не проходит. Да и здесь в нём нет особой надобности, так, приятная мелочь.
Для пространственного случая справедлива очевидная аналогия. Если даны концы отрезка , то координаты его середины выражаются формулами:
Параллелограмм задан координатами своих вершин . Найти точку пересечения его диагоналей.
Решение: Желающие могут выполнить чертёж. Граффити особенно рекомендую тем, кто капитально забыл школьный курс геометрии.
По известному свойству, диагонали параллелограмма своей точкой пересечения делятся пополам, поэтому задачу можно решить двумя способами.
Способ первый: Рассмотрим противоположные вершины . По формулам деления отрезка пополам найдём середину диагонали :
Способ второй: Рассмотрим противоположные вершины . По формулам деления отрезка пополам найдём середину диагонали :
Ответ:
Пространственный отрезок для самостоятельного решения:
Даны точки . Найти середину отрезка .
Вычисления не самые простые получились, числа с ходу придумал. Решение в конце урока.
Как видите, задача деления отрезка пополам настолько прозрачна, что доступна и пятикласснику. На практике середину отрезка чаще всего находят, чтобы составить уравнение медианы треугольника. Но это уже тема другой статьи
Не вижу смысла открывать трёхлитровую банку примеров, поэтому заключительный аккорд урока – случай, когда известна середина отрезка и один из его концов:
Точка делит отрезок пополам. Найти точку , если известны точки
Решение: Используем формулы координат середины отрезка:
Нам неизвестны координаты . И снова можно вывести общую формулу для их нахождения, но гораздо легче сразу подставить числа. Только пропорциями верти:
Ответ:
Проверка выполняется даже устно: берём концы отрезка и находим его середину.
Решения и ответы:
Пример 2: Решение:
а) . Используем формулы деления отрезка в данном отношении:
Ответ:
б) . Используем формулы деления отрезка в данном отношении:
Ответ:
Пример 4: Решение: Используем формулы деления отрезка в данном отношении:
Из условия следует, что .
Примечание: формулировка условия «отрезок в полтора раза короче отрезка » эквивалентна формулировке «отрезок в полтора раза длиннее отрезка », именно из этих соображений и составлена пропорция.
По условию , таким образом:
Ответ:
Пример 6: Решение: Используем формулы деления отрезка в данном отношении:
В данной задаче .
Таким образом:
Ответ:
Пример 8: Решение: Используем формулы координат середины отрезка:
Ответ:
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2023. Копирование материалов сайта запрещено
3. Длина волны. Связь длины волны со скоростью её распространения и периодом (частотой)
Скорость волны зависит от строения вещества и взаимодействия между её молекулами (атомами). Поэтому в различных средах скорость одной и той же волны будет отличаться.
Помимо скорости, важной характеристикой волны является длина волны.
Длина волны — расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний в ней.
Рассмотрим процесс передачи колебаний от точки к точке при распространении поперечной волны.
Используется модель, в которой частицы среды заменяют шариками. Для удобства их можно пронумеровать (рис. \(1\)).
Частицы среды связаны между собой межмолекулярными силами взаимодействия, поэтому волна передаётся от одной частицы к другой.
Рис. \(1\). Модель упругой среды для демонстрации колебаний
Отклоним первый шарик от положения равновесия. Силы притяжения передадут движение второму, третьему шарику. Каждый элемент вещества (молекула, атом) повторит движение первой частицы с запаздыванием, которые называют сдвигом фазы. Это запаздывание зависит от расстояния, на котором находится рассматриваемый шарик по отношению к первому шарику.
Предположим, что первый шарик достиг максимального смещения от положения равновесия (рис. \(2\)). В этот момент четвёртый шарик только начнет движение, следовательно, он отстаёт от первого на \(1/4\) колебания.
Рис. \(2\). Изображение максимального смещения от положения равновесия первого шарика
В момент времени, когда смещение четвертого шарика будет наибольшим (рис. \(3\)), седьмой шарик будет отставать от него на \(1/4\) колебания. А если рассмотреть отставание седьмого шарика от первого, то оно составляет \(1/2\) колебания.
Рис. \(3\). Изображение максимального смещения от положения равновесия четвёртого шарика
Между седьмым и четвёртым шариком, а также седьмым и десятым \(1/4\) часть колебания (рис. \(4\)).
Рис. \(4\). Изображение максимального смещения от положения равновесия седьмого шарика
Первый и тринадцатый шарик совершают одно колебание, то есть двигаются в одной фазе (рис. \(5\)). Это значит, что между ними все шарики с первого по двенадцатый проходят полный колебательный процесс или составляют одну волну.
О некоторых свойствах теоретико-множественных моделей теории лямбда Текст научной статьи по специальности «Математика»
Данная работа посвящена исследованию возможности построения теоретико-множественных моделей теории лямбда на базе понятий слабо и сильно непрерывной функции , предложенных автором. В статье доказывается, что, отталкиваясь от понятия слабо непрерывной функции , нельзя построить модели теории лямбда с помощью метода Скотта, однако родственное ему понятие сильно непрерывной функции , наоборот, ведет к построению новых лямбда-алгебр и лямбда-моделей
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Лялецкий А. А.
Полная головная линейная редукция
М. И. Шейнфинкель и комбинаторная логика
Алгебраический подход к управлению
Формальное описание функционального логико-математического моделирования динамических систем
Исчисление понятий
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
The paper is devoted to investigating the possibility of constucting set-theoretical models of theory lambda on the base of the author’s notions of weak and strong continuities of a function. The author proofs that having started with the notion of a weekly continuous function, one cannot obtain, by means of the Scott method, non-trivial lmodels of theory lambda; nevertheless, the close notion of a strongly continuous function leads to new lambda-algebras and lambda-models
Текст научной работы на тему «О некоторых свойствах теоретико-множественных моделей теории лямбда»
УДК 510.67:512.562:515.126.2:519.767 А.А. ЛЯЛЕЦКИЙ
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫХ МОДЕЛЕЙ ТЕОРИИ ЛЯМБДА___________________________________________________________________________________
Abstract: The paper is devoted to investigating the possibility of constucting set-theoretical models of theory lambda on the base of the author’s notions of weak and strong continuities of a function. The author proofs that having started with the notion of a weekly continuous function, one cannot obtain, by means of the Scott method, non-trivial lmodels of theory lambda; nevertheless, the close notion of a strongly continuous function leads to new lambda-algebras and lambda-models.
Key words: lambda theory, continuity of a function, lambda-calculus, lambda-algebra, lambda-model, Scott’s topology.
Анотація: Роботу присвячено дослідженню можливості побудови теоретико-множинних моделей теорії лямбда на базі понять слабкої та сильно неперервної функції, запропонованих автором. В статті доводиться, що, відштовхуючись від поняття слабко неперервної функції, не можна будувати моделі за методом Скотта, але поняття сильно неперервної функції, що є дуже близьким до попереднього, навпаки, призводить до побудови нових лямбда-алгебр та лямбда-моделей.
Ключові слова: теорія лямбда, неперервність функції, лямбда-числення, лямбда-алгебра, лямбда-модель, топологія Скотта.
Аннотация: Данная работа посвящена исследованию возможности построения теоретико-
множественных моделей теории лямбда на базе понятий слабо и сильно непрерывной функции, предложенных автором. В статье доказывается, что, отталкиваясь от понятия слабо непрерывной функции, нельзя построить модели теории лямбда с помощью метода Скотта, однако родственное ему понятие сильно непрерывной функции, наоборот, ведет к построению новых лямбда-алгебр и лямбда-моделей.
Ключевые слова: теория лямбда, непрерывность функции, лямбда-алгебра, лямбда-модель, лямбда-исчисление, топология Скотта.
Лямбда-подобные исчисления представляют собой наиболее теоретически проработанный подход к построению и изучению теории функций с точки зрения их теоретико-аппликативных свойств и по праву занимают одно из ключевых мест в математических основаниях математики и информатики. Так, например, хорошо известно, что все рекурсивные функции представимы лямбда-термами, что означает, что определимость в лямбда-исчислении может выступать в качестве определения рекурсивной вычислимости — результат, лежащий в основах как компьютерных наук, так и математики. Это свойство лямбда-подобных исчислений играет ключевую роль в теории программирования и теории доказательств по следующим причинам:
Лямбда-исчисление является общепринятым базисом для языков функционального программирования: оно может рассматриваться как прототип функционального языка в «чистом» виде. На его базе, в частности, построены такие широко используемые языки программирования, как LISP (1950-e) , ML (1970-e) , SML (1980-e), Scheme, Hope, Miranda, Clean и Haskell (1990-е).
Существует тесная взаимосвязь между теорией доказательств и теорией функций, что было подтверждено интерпретацией Колмогорова-Брауэра-Гейтинга для интуиционистской логики и изоморфизмом Карри-Говарда между натуральным выводом и типизированным лямбда-исчислением. Начиная с 1970-х годов, оказалось, что лямбда-подобные исчисления имеют
10 © Лялецкий А.А., 2008
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2008, № 4
глубокий прикладной аспект в автоматизации рассуждений в той ее части, которая касается создания средств, методов и систем поиска вывода в логиках высших порядков, таких, как системы Isabelle, HOL, Nuprl, PVS и др.
Изначально построенная Черчем как определенная синтаксическая система в 1930-х годах [1], лямбда-исчисление более 35 лет не имело никакой своей разумной семантики в теоретикомножественных терминах. Только в 1969 г. Дана Скотт [3] предложил ограничиться рассмотрением так называемых топологических моделей, построенных на его определении непрерывной функции, которая действует на полных решетках, и приведших к определенному соответствию между синтаксисом лямбда-подобных исчислений и семантикой Скотта. Модели Скотта были приняты за «канонические» для лямбда-исчисления; также были построены другие модели лямбда-подобных исчислений, базирующихся на конструкциях, которые использовал Скотт. Однако вне поля зрения исследователей остался следующий вопрос: можно ли ввести такие понятия непрерывной функции, которые, с одной стороны, определяют классы функций, отличные от классов функций, непрерывных по Скотту, а, с другой стороны, также приводят к теоретико-множественным моделям лямбда-подобных исчислений. В данной работе описан возможный подход к решению этой проблемы.
2. Общие замечания и предварительные сведения
Несмотря на то, что понятие программы уже давно стало интерсубъективным как в программировании (информатике), так и в обыденной жизни, теоретически и практически обусловленные потребности программирования нуждаются в экспликации как самого понятия программы, так и его производных, таких как понятие процесса выполнения программы, ее конструктивности, ее дескриптивной определенности и т.д. Первое, что приходит на ум,- это попробовать представить программы как некоторые специальные функции; такой подход известен как функциональная парадигма программирования. Но, к сожалению, на современном этапе нет ни одной широко известной функциональной экспликации понятия программы, что имеет под собой в основании несколько фундаментальных причин (см. ниже). Это, в частности, означает, что в общем случае нельзя быть уверенным, что произвольное множество P программных свойств, записанных в некоторой сигнатуре (например, теоретико-аппликативных и/или теоретико-композиционных), совпадает с множеством всех истинных программных свойств этой сигнатуры; в такой ситуации возможно только пытаться применить так называемый аксиоматический метод, т.е. пытаться проверить, верно ли, что все свойства из множества P являются следствиями наивных или уже обоснованных свойств программ, или нет. А в случае программ (а поэтому и их репрезентаций, представлений) инкапсуляция таких «наивных» свойств отнюдь не является простой задачей, даже в случаях, когда рассматриваются бедные сигнатуры. Итак, приведенные аргументы указывают на то, что на сегодняшний день одной из самых важных задач программирования являются задачи накопления «наивных» и обоснование других истинных свойств программ.
В связи с этим следует отметить, что представления программ в функциональном виде должны удовлетворять следующим двум условиям, которые отражают соответствующие свойства программ. Во-первых, при прикладном анализе программ, как правило, существенными
оказываются не только функции-графики типа «входные данные — выходные данные», которые они задают, но и сам способ задания (определения) этих функций, причем иногда случается, что для некоторой задачи математически существует функция, представляющая ее решение, но неизвестно, возможно ли написать программу, реализующую эту функцию (а иногда даже удается доказать, что такой программы не существует); поэтому функции, которые претендуют на то, чтобы выступать в качестве репрезентаций программ, должны иметь интенсиональную природу (т.е. их определения должны вводить в рассмотрение не только их графики, но и способ их задания). Во-вторых, на практике встречаются программы, которые могут быть применены сами к себе; поэтому функции, которые их представляют, должны допускать самоприменение, и, более того, вроде бы не видно значимых причин отличать такие функции и их аргументы. С точки зрения инкапсуляции теоретико-аппликативных свойств функций (и их представлений), эти два условия неявно определяют некоторый соответствующий язык (состоящий из так называемых лямбда-термов) дескрипций функций, причём второе условие вместе с наивными свойствами аппликации определяет эквациональную теорию, известную как теория лямбда. Эта теория описывается и неформально обосновывается с помощью специального исчисления, предложенного А. Черчем в начале 30-х годов [1, 2], которое и называется лямбда-исчислением.
Сразу после возникновения теории лямбда встал следующий естественный вопрос: существует ли ее модель в рамках теории множеств, и, вообще, что следует понимать под теоретико-множественной моделью теории лямбда? Этот вопрос оказался очень сложным и был открыт более 35-ти лет, что имеет своей причиной следующее. На синтаксическом уровне теория лямбда не различает понятия функции и аргумента функции. Поэтому для того, чтобы построить модель теории лямбда, естественно пытаться построить такое множество А , которое равномощно
множеству АА всех (обычных теоретико-множественных) унарных операций на А , что невозможно по теореме Кантора о мощности множеств. Поэтому может сложиться ложное мнение, что теория лямбда не может быть интерпретирована в классе всех множеств.
Но в 1969 г. Д.Скотт смог обойти эту трудность и построить лямбда-модель, урезав АА до множества [А ® А] непрерывных операций на некоторых специально подобранных топологических пространствах [3]. Более точно, он показал, как можно произвольную решетку А пополнить до такой полной решетки В, которая полно изоморфна [В ® В]. При этом такая решетка В по построению является пределом линейного прямого спектра, который состоит из решеток В0, В1. Вг. (г е N), где В0 = А , Вг+1 =[Вг ® Вг ] , и гомоморфизмов-экспонент
^ : Вг ® Вг+1, сопоставляющих каждому элементу Ь е Вг операцию Ь^ на Вг, которая тождественно равна Ь^. В этом построении центральное место занимают следующие наблюдения:
а) результирующая решетка В является пределом прямого спектра, состоящего из решеток В1,В2. Вг. и тех же гомоморфизмов ^ (г е N \ );
б) если обычным образом отождествить каждую из решеток Вг (г е N) с соответствующей подрешеткой решетки В , то операция «аппликации» на В по построению является, для каждого г, продолжением операции аппликации элементов-операций решетки Вг+1 = [Вг ® В< ] к элементам
Также отметим, что аналогичную конструкцию можно провести, исходя из произвольного множества А и положив [А ® А] равным множеству АА всех унарных операций на А (т.е. все унарные операции непрерывны). Это действительно так, но, как мы уже убедились выше, это не приведет к моделям лямбда-исчисления. Грубо говоря, причину этого можно усмотреть в том, что
мощность множества АА всех операций на А слишком «велика» по сравнению с мощностью А .
Поэтому возникает вопрос: а можно ли естественно расширить понятие непрерывной функции, в сравнении с непрерывностью по Скотту, таким образом, чтобы существовали множества В, изоморфные (равномощные) множеству [В ® В] всех непрерывных операций на
Решению этого вопроса как раз и посвящена данная работа. А именно, показано, что на некотором специальном классе К частично упорядоченных множеств можно естественным образом ввести понятие непрерывной функции, действующей на К, так, что для произвольного частично упорядоченного множества < А , <>каждая непрерывная (в новом смысле) операция на А является непрерывной по Скотту, но не наоборот в случае нетривиального < А , <>; однако при применении этого нового понятия непрерывной функции также удается, используя ту же конструкцию предела прямого спектра, построить модели теории лямбда. Кроме того, оказывается, что таким образом можно, в частности, получить такие модели теории лямбда, которые как алгебраические структуры не изоморфны ни одной модели Скотта.
3. Краткое описание теории лямбда
Совокупность Т всех лямбда-термов — это совокупность слов в алфавите, состоящем из символов: х0, х1. — переменные,
(,) — скобки, которая индуктивно определяется правилами: хе Т (где х — односимвольное слово), t е Т ^ (1×1 )е Т,
Для произвольных t0, t1 е Т и переменной х через t0[х := t1 ] будем обозначать лямбда-терм, который является результатом подстановки терма t1 в терм t0 вместо переменной х.
По определению, лямбда-равенство — это выражение (слово) вида t0 = t1, где t0, t1 —
лямбда-термы, a = — символ равенства. Теория лямбда — это совокупность лямбда-равенств, которая определяется с помощью следующих аксиом и правил вывода (вместе образующие так называемое лямбда-исчисление): аксиомы:
((lxt0 )tj) = t0 [x := tj ] (Ь -конверсия); правила вывода:
t0 = tJ & tj = t2 ^ t0 = t2 ,
t0 = tJ ^ (tt0 )=(tt1 ) ,
t0 = tj ^ (lxt0) = (lxtj) (правило X), причем аксиома / -конверсии ограничивается условием, что терм t0 является свободным для подстановки терма tj вместо переменной x (т.е. каждая из переменных, которая свободно входит в терм tj, не становится связанной в терме t0 [x := tj]).
По техническим соображениям и для удобства многие авторы рассматривают каждый терм с точностью до замены в нем свободных и связанных переменных на новые, т.е. если у —
переменная, которая не входит в запись терма t, то термы t и t[x := у] отождествляются. Легко
видеть, что в лямбда-исчислении утверждение о выводимости равенства t0 = tj эквивалентно
утверждению о выводимости равенства t0 = tj[x := у], где у — произвольная переменная, которая
не входит в запись терма tj. (Некоторые авторы предпочитают формально отличать термы t
t[x := у]; в таком случае к лямбда-исчислению добавляют еще одну аксиому:
t = t[x := у], где у — произвольная переменная, которая не входит в запись терма t.)
Тот факт, что равенство t0 = tj можно вывести в лямбда-исчислении, мы будем обозначать
следующим образом: Л\- t0 = tj.
4. Теоретико-множественные интерпретации теории лямбда
Через X = обозначим совокупность всех переменных.
Пусть A = < A •>— группоид, т.е. произвольная алгебраическая система с основным множеством-носителем A и единственной главной бинарной операцией •. Группоид A
называется экстенсиональным, если для любых его элементов а0 и а1 из того, что для каждого
элемента Ь выполняется а0 • Ь = а1 • Ь , следует а0 = а1.
Через Уа!(А) = Уа!(А) обозначим совокупность всех оценок переменных из X в группоиде А , т.е. совокупность всех отображений из X в А. Если р — такая оценка и а е А, то через
р[х := а] будем обозначать оценку, которая совпадает с р на все элементах, кроме, возможно, переменной х, на которой она принимает значение а.
По определению, интерпретация в группоид А — это такое отображение I: ТхУа!( А) ® А , которое удовлетворяет следующим условиям (где I (, р) обозначается как []р :
3) [((1^0 X )]р = [^ ]р[х:=Ь] , где Ь = (А ]р ,
4) р^РУ ^) = рЧРУ (t) ^ [t]р=[t]р,
где РУ () — множество всех свободных переменных в терме t.
При этом []р называется интерпретацией терма t при оценке р (и при интерпретации I).
Отметим, что каждая интерпретация удовлетворяет условию:
и в действительности условие 3) в определении интерпретации может быть равноценно заменено на условие 3′).
Аппликативной системой называется пара < А , I >, где А — группоид и I — интерпретация в А ; аппликативные системы мы будем, как правило, обозначать тем же символом А .
Говорят, что лямбда-равенство t0 = t1 выполняется в аппликативной системе А =
(или в группоиде А при интерпретации I) при оценке р, в том и только том случае, если [^]р = [^]р , и тогда пишут А , р 1= t0 = ^ . Если же отношение А , р 1= t0 = ^ имеет место при
любой оценке р в А , то тогда просто говорят, что равенство t0 = ^ выполняется в аппликативной системе А , и пишут А = t0 = t1.
Аппликативная система А называется лямбда-алгеброй, если выполняется импликация
1 I— tо = ^ ^ А = tо = ^ .
Аппликативная система А называется лямбда-моделью, если для любой оценки р в А из того, что для любых элемента а е А и переменной х выполняется ^0 ]р[х:=а] [^ ]р[х:=а],
следует, что [(1Ч )]р = [(1ц )]р.
Оказывается, что последнее условие является достаточным для того, чтобы А была лямбда-алгеброй.
Теорема 1. Каждая лямбда-модель является лямбда-алгеброй [4].
Приведенная терминология хотя и устоялась на сегодняшний день, но является несколько неудачной, поскольку, когда говорят о теоретико-множественных интерпретациях (т.е. «моделях») теории лямбда, под ними, как правило, понимают лямбда-алгебры; кроме того, с точки зрения абстрактных теорий моделей, как раз понятие лямбда-алгебры является уточнением понятия модели в контексте теории лямбда.
Приведем другие центральные определения и результаты, которые устанавливают взаимосвязь между лямбда-алгебрами и лямбда-моделями.
Морфизмом одной лямбда-алгебры А0 в другую А1 называется любое отображение
р: А0 ® А1, такое, что для любых терма t и оценки р в А0 выполняется р(^]р )= ^]рр . Заметим,
что из того, что р — морфизм А0 в А1 как лямбда-алгебр, следует, что р — гомоморфизм А0 в
А1 как группоидов, но, вообще говоря, не наоборот.
Теорема 2. Аппликативная система А является лямбда-алгеброй в том и только том случае, когда она вкладывается в лямбда-модель [5].
Теорема 3. Существует лямбда-модель, которая не вкладывается ни в одну экстенсиональную лямбда-модель [5].
Отметим, что исторически вначале было дано другое определение понятий лямбда-алгебры (как группоида, сигнатура которого пополнена двумя специальными константными символами и который удовлетворяет двум специальным тождествам) и лямбда-модели (как такого группоида с двумя константами, который, кроме равенств для лямбда-алгебр, также удовлетворяет одному специальному квазитождеству), а понятие морфизма таких лямбда-алгебр (лямбда-моделей) было определено как обычный алгебраический гомоморфизм этих структур [6].
Наши же определения, правда, с некоторыми незначительными изменениями, придерживаются работы [4], где, в частности, доказано, что каждое из понятий лямбда-алгебры вместе с соответствующими морфизмами индуцируют изоморфные между собой категории; то же самое касается лямбда-моделей.
5. Топологии Скотта
Как уже отмечалось выше, при построении своих лямбда-моделей Д. Скотт ограничил, для каждой полной решетки А, множество АА всех операций на А до множества [А ® А5] всех таких и
только таких операций, которые непрерывны в подходящей топологии на А, и затем установил равномощность (изоморфизм между) А и [А ® А5] [3]. На основании этого свойства, а также
некоторых других, ему удалось построить теоретико-множественные модели теории лямбда (см. следующий разд.). Позже его результаты были обобщены на так называемые полные частично упорядоченные множества [6]. Здесь мы приведем только базовые определения и самые основные свойства введенных им топологических пространств.
Непустое частично упорядоченное множество < A, <>называется полным (сокращенно -п.ч.у.м.) в том и только том случае, когда оно содержит супремум каждой своей непустой цепи (некоторые авторы дополнительно требуют, чтобы < A , <>содержало наименьший элемент; мы от этого отказываемся).
Для каждого п.ч.у.м. A = < A, <>через TA обозначим топологию на A, в которой подмножество B с A является открытым в том и только том случае, когда оно удовлетворяет условиям:
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
1) «C с A (C — направленное & sup C е B ^ C п B ^ 0);
TA называется топологией Скотта на A .
Заметим, что для каждого элемента b е A множество Xb = является открытым, и поэтому топологии Скотта являются Т0 -пространствами и в невырожденных случаях не являются Tj -пространствами.
Теорема 4. Пусть A0 и Aj — п.ч.у.м. Произвольная функция f: A0 ® Aj в том и только том случае является непрерывной функцией из топологии Скотта на A0 в топологию Скотта на Aj, когда для любой цепи C с A0 выполняется равенство (sup C) = sup f(C) [3, 6].
Теорема 5. Пусть A0, Aj и B — п.ч.у.м. Тогда f: A0 xAJ ® B является непрерывной
функцией из топологии Скотта на A0 xA1 в топологию Скотта на B в том и только том случае,
когда f непрерывна по каждому аргументу [3, 6].
Для каждых п.ч.у.м. A0 и Aj через [A0 ® Aj]5 обозначим п.ч.у.м., состоящее из непрерывных функций из A0 в Aj относительно соответствующих топологий Скотта с покоординатным упорядочением.
Теорема 6. Для каждого п.ч.у.м. A «операция» аппликации aA : [A ® A]S xA®A,
которая сопоставляет каждым f е [A ® A]S и a е A элемент f (a), является непрерывной функцией из топологии Скотта на [A ® A]S x A в топологию Скотта на A [3, 6].
6. Метод Скотта построения моделей теории лямбда: общие черты
При построении теоретико-множественных моделей теории лямбда, как правило, используется следующий метод (или его модификации), при формулировке которого мы будем считать зафиксированным некоторое выбранное понятие непрерывной функции; он, в частности, применим, если под непрерывной функцией понимать функцию, которая действует на полных частично упорядоченных множествах и которая непрерывна по Скотту. Позднее будет введено новое понятие непрерывности функции, которое будет удовлетворять всем условиям метода, но приводить к новым лямбда-алгебрам.
Описание метода. Пусть K — класс некоторых теоретико-множественных структур, замкнутый относительно прямых произведений, и P — некоторое понятие непрерывной функции, которая действует на структурах из K и сопоставляет каждой паре K -структур K —
структуру [а0 ® A1 ]р — [А0 ® A1 ] P -непрерывных функций, причем выполняются условия:
i) произвольная функция f : А0 X A1 ® B P — непрерывна тогда и только тогда, когда f непрерывна по каждому аргументу;
ii) «операция» аппликации аА : [А® А]хА® А непрерывна для каждой K -структуры
iii) K содержит некоторую рефлексивную структуру M (т.е. существуют такие непрерывные отображения ж: M ® [M ® M] и y: [M®M]®M , что уж — id[M®M], где
id[M®M] — тождественное отображение на [M ® M]).
На рефлексивной структуре M определим бинарную операцию •, полагая для каждых m0, m1 eM m0 • m1 — (m0p)(m1). Индуктивно определим интерпретацию I: TxVal (M) ®M в группоид M — < M,• >, полагая для каждой оценки р в M :
a) [хр] — р(х), где х — переменная,
b) Сад ]р— [t0 ]р •(а р
c) [(Axt )]р — fy, где ft : M ® M — функция, которая сопоставляет каждому m eM
Тогда имеют место следующие утверждения:
1) аппликативная система < M , I >является лямбда-алгеброй;
2) M — лямбда-модель в том и только том случае, когда y — idM .
Заметим, что К. Койманс сформулировал этот метод на чисто теоретико-категорном языке и доказал его корректность; а именно, он показал, как в каждой декартово замкнутой категории с рефлексивным объектом R на совокупности | R | всех морфизмов из R в терминальный объект этой категории можно так определить группоидную операцию • и интерпретацию I, что аппликативная система < Л, I >, где Л = <| R |, •>, становится лямбда-алгеброй, и что каждую лямбда-алгебру, с точностью до изоморфизма, можно построить таким способом [7]. Таким образом, мы по существу переформулировали метод К. Койманса для случая так называемых конкретных категорий.
7. Новые понятие сходимости последовательности и непрерывности функции
Теперь мы введем новые понятия сходимости направленности и непрерывной функции, которые заданы на частично упорядоченном множестве (удовлетворяющем некоторым специальным условиям). Забегая вперед, отметим следующие свойства вводимых понятий непрерывной функции:
a) эти понятия вводятся как свойства функции сохранять (соответствующие) пределы сходящихся последовательностей;
b) на расширенной действительной прямой эти понятия непрерывной функции совпадают с обычным понятием непрерывной действительной функции (принимающей, возможно, бесконечные значения);
c) они отличаются от понятия (о) непрерывной функции;
ф каждая функция, непрерывная в новых смыслах, непрерывна по Скотту, но в общем случае не наоборот.
Под направленностью над множеством A будем понимать функцию, которая действует из произвольного непустого направленного частично упорядоченного множества во множество A . Понятия поднаправленности и конфинальной поднаправленности будем понимать обычным образом. Под монотонной направленностью будем понимать направленность, которая является либо возрастающей, либо убывающей.
Через К обозначим класс всех таких и только таких частично упорядоченных множеств, которые содержат супремумы всех своих непустых направленных подмножеств и инфимумы всех своих непустых ко-направленных подмножеств. Элементы класса К будем для краткости называть К -ч.у.м. Пусть < A , <>— частично упорядоченное множество из К . Вначале определим понятие слабого предела направленности для случая монотонных, а затем — для всех направленностей на A . Итак, если D — возрастающая (убывающая) направленность, то ее пределом (относительно <) будем считать элемент, равный супремуму (соответственно инфимуму) множества всех элементов D . Если же D - произвольная направленность на A , то будем говорить, что D слабо сходится к элементу Ь в том и только том случае, когда множество всех монотонных конфинальных поднаправленностей направленности D не пусто, и все они сходятся к элементу Ь ; в этом случае будем писать Ншw D = Ь .
Заметим, что если К -ч.у.м. < A , <>не является линейным, нетрудно построить такую направленность D, которая содержит элементы, не принимающие участия в определении слабого предела (т.е. не входящие в состав ни одной монотонной конфинальной поднаправленности направленности D); такие элементы мы будем называть нейтральными.
Направленность D на множестве A называется сильно сходящейся к элементу Ь , если D слабо сходится к элементу Ь и не содержит нейтральных элементов. Произвольная функция f : А0 ® А1, действующая из К -ч.у.м. < A0, в К -ч.у.м. < A1, , называется слабо (<0,£1)-
непрерывной, если f сохраняет пределы всех слабо сходящихся направленностей на A0 (т.е. для
любой направленности D на A0, если существует
пределы всех сильно сходящихся направленностей.
Следующие две теоремы устанавливают взаимосвязь введенного понятия непрерывности функции с понятием функции, которая непрерывна по Скотту.
Теорема 7.1. Произвольная функция f : А0 ® А1, действующая из К -ч.у.м. в К —
1) f удовлетворяет условию Скотта, т.е. для любой непустой цепи С, С с А0 выполняется равенство f (эир С) = эир f (С);
Теорема 7.2. В обозначениях предыдущей теоремы f в том и только том случае является сильно непрерывной, когда выполняется условие (1) предыдущей теоремы, а также условие
8. Новые модели теории лямбда
Этот раздел посвящен, в основном, проверке, можно ли использовать понятия непрерывной функции, введенные и охарактеризованные в предыдущем разделе, для построения лямбда-алгебр и лямбда-моделей. Из изложенного в предыдущих разделах следует, что нужно, в первую очередь, проверить истинность свойств I) и и) из метода Скотта построения моделей теории лямбда. Что касается свойства I), то все обстоит очень просто.
Теорема 8. Пусть А 0, А1 и В — К -ч.у.м. Тогда f: А 0 хА1 ® В в том и только том
случае является слабо непрерывной (сильно непрерывной) функцией из К -ч.у.м. А0 хА1 в В ,
если f слабо непрерывна (сильно непрерывна) по каждому аргументу.
Для каждых К -ч.у.м. А0 = < А0, и А1 = < А1, через [А0 ® А1 ^ обозначим К -
Теорема 9.1. Для каждого бесконечного К -ч.у.м. А = < А , <>«операция» аппликации а : [А® А^ х А® А , сопоставляющая каждым f е [А ® А^ и а е А элемент У(а), не является непрерывной функцией из К -ч.у.м. [А ® А]и, хА в А .
Через [А0 ® А1 ] обозначим К -ч.у.м., состоящее из сильно непрерывных функций из А0 в А1 с покоординатным упорядочением.
Теорема 9.2. Для каждого К -ч.у.м. А = < А, <>«операция» аппликации
а : [А ® а] х А® А , сопоставляющая каждым У е[А ® А] и а е А элемент у (а), является непрерывной функцией из К -ч.у.м. [А ® А]ж х А в А .
Отметим, что все теоремы 8, 9.1 и 9.2 являются несложными следствиями теорем 7.1 и 7.2.
Таким образом, в силу теоремы 9.1 понятие слабо непрерывной функции не подходит для построения моделей теории лямбда методом Скотта, в отличие от понятия сильно непрерывной функции, которое, наоборот, в соответствии с теоремами 8 и 9.2, имеет все первичные признаки в пользу того, что на его базе удастся построить лямбда-алгебры и лямбда-модели.
Теорема 10. Каждое К -ч.у.м. А можно пополнить до К -ч.у.м. В , которое является рефлексивным объектом категории, в которой элементы класса К являются объектами, а сильно непрерывные функции — морфизмами (т.е. существуют такие непрерывные отображения ж: В —® [в —® в] и у: [В®В] ®В , что уж = 1^® ]. При этом В является пределом
линейного прямого спектра, который состоит из К -ч.у.м. В0, В1з. Вг.(, е N), где В0 = А ,
В(+, = [В, ® Вг.], и гомоморфизмов-экспонент р, : В, ® В,+1, которые сопоставляют каждому
элементу Ь е В, операцию Ьр1 на В,, тождественно равную этому элементу Ь .
Приведем схему доказательства теоремы 10. Строим В так, как указано в условии теоремы, т.е. В является фактор-множеством <[< а. >]° | а, е В,>. На В определяем операцию •,
полагая для каждой пары элементов [< а. >]° и [< а. >]° множества В значение [< а. >]° • [< а. >]° равным классу эквивалентности °, содержащему элемент < Ьк+1 (Ьк), к >, где г, г < к , < Ьк+1, к +1 >°< а,,г >, Ьк,к >°< а,,г >, и доказываем, что эта операция • сильно непрерывна по второму аргументу. Вводим сильно непрерывное отображение ж: В ® [В ® В], для каждого элемента Ь еВ полагая Ьж равным операции УЬ, которая каждому а еВ сопоставляет значение Ь • а. Далее, доказываем, что каждый элемент У К -ч.у.м. [В ® В] можно представить в виде сильного предела Ншнаправленности й, состоящей из элементов К -ч.у.м. В (если отождествить каждый элемент Ь из В с унарной операцией сЬ на В , тождественно равной Ь ), а потому У «по непрерывности» однозначно определяется совокупностью своих значений вида У • а, где а еВ. Последнее свойство дает ключ к построению искомого отображения у : [В ® В]х ® В . Для завершения доказательства остается лишь доказать сильную непрерывность у.
Итак, понятие сильной непрерывности удовлетворяет всем условиям I), II), III) метода Скотта построения моделей теории лямбда. Поэтому имеет место следующее утверждение.
Следствие. Для каждого К -ч.у.м. А через ВА = < В,» >обозначим группоид, где • определяется, как в схеме доказательства теоремы 10. Индуктивно определим интерпретацию I в группоид ВА в соответствии с пунктами 1), 2), 3) метода Скотта построения моделей теории
лямбда. Тогда аппликативная система < ВА , I >является лямбда-алгеброй.
В дополнение к следствию из теоремы 10 приведем без доказательства еще один результат, который, по-существу, постулирует, что на базе понятия сильно непрерывной функции можно строить новые лямбда-модели.
Теорема 11. Существует такое К -ч.у.м. А , что соответствующий группоид ВА = < Б,» >индуцирует, по методу Скотта, аппликативную систему < ВА,I >, которая является лямбда-
моделью. При этом А можно подобрать таким образом, что группоид < Б, •>алгебраически не изоморфен ни одному группоиду Скотта (т.е. группоиду, построенному с помощью метода Скотта на базе понятия функции, непрерывной по Скотту).
Приведенные результаты показывают, что даже незначительные изменения понятия непрерывной функции ведут к существенным изменениям в контексте построения моделей теории лямбда. Так, на базе одного из введенных понятий непрерывности функции удалось построить такие лямбда-модели, которые не изоморфны ни одной лямбда-модели Скотта, откуда, в частности, следует, что семантика Скотта не является исчерпывающей с точностью до алгебраического изоморфизма. Для другого понятия непрерывной функции удалось доказать, что оно, наоборот, не дает возможность строить нетривиальные лямбда-алгебры и лямбда-модели.
1. Church А. A set of postulates for the foundation of logic // Annals of Math. — 1932. — N 33. — P. 346 — 366; 1933. -N 34. — P. 839 — 864.
2. Church A. The Calculi of Lambda Conversion // Princeton University Press. — 1941. — 68 с.
3. Scott D. Models for the l-calculus [Рукопись (неопубл.)]. — 1969. — 53 c.
4. Hindley J., Longo G. Lambda calculus models and extensionality // Z Math. Logik Grundl Math. — 1980. — N 26. -P. 289 — 310.
5. Barendregt H., Koymans K. Comparing some classes of lambda calculus models // To H.B. Curry: Essays on Combinatory Logic, Lambda-Calculus and Forlmalism / J.Hindley, J.Seldin (eds.). — Academic Press, 1980. — P. 287 -302.
6. Barendregt H. The Lambda Calculus. Its Syntax and Semantics // North-Holland Publishing Co. — 1981. — 606 с.
7. Koymans K. Models of the lambda calculus // Information & Control. — 1983. — N 52. — P. 306 — 332.
8. Лялецький O. Про типи неперервності функції та їх властивості відносно частково впорядкованих множин // Вісник КНУ. — 2008. — № 2. — C. 98 — 105.
Стаття надійшла до редакції 15.10.2008
Лямбда = c/v. Что такое «c» в этой формуле?
Например, скорость звука в воздухе.
PS. Это чисто для разнообразия, пример из пальца не высосан, обозначения величин вполне стандартные.
Остальные ответы
скорость света
λ = c/ν = cT.
Обычно λ — длина волны, c — скорость волны, ν — частота волны, Т — период волны.
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел
Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.