Нелинейная алгебра пространства- времени
В настоящей книге изложены основы малоизученной теории мультивекторных пространств (ТМП). Мультивекторные пространства (МП) являются новым классом векторрных пространств. Алгебра векторов в МП отличается от стандартной линейной векторной алгебры. Рассматриваются метрические свойства МП, вопросы образования базиса МП, изучаются преобразования сохраняющие метрику, а также геометрические и алгебраические свойства МП. Наряду с математическими приложениями, ТМП можно использовать для моделирования свойств физического пространства (ФП). ТМП позволяет по-новому определить размерность ФП и связать это фундаментальное свойство с размерностью алгебры векторов, ТМП описывает такие известные эффекты, как замедление времени, сокращение длины, Эффект Доплера, а также позволяет объснить геометрическими эффектами такие экспериментальные факты, как существование стабильных частиц и античастиц, наличие у частиц материи волн де Бройля. ТМП объясняет экспериментально регистируемую трехмерность пространства и прогнозирует существование «измерений», ортогональных к наблюдаемому трехмерному пространству. Математическая модель ФП на основе ТМП позволяет объединить в единое целое три наблюдаемых объекта: время, пространство, вещество.
Книга адресована широкому кругу читателей, интересующихся алгеброй и ее приложениями, предназначенными для описания свойств ФП.
Нелинейная алгебра и математическая физика
Основываясь на уже полученных участниками проекта предварительных результатах по развитию аппарата нелинейной алгебры, проект предполагает явное и эффективное описание структуры пространства (аналитических) нелинейных отображений в терминах структуры кольца инвариантов, фазовых портретов соответствующих динамических систем и «собственных форм» (нелинейных аналогов собственных чисел), что является обобщением Жордановой классификации линейных операторов. Эти же методы позволяют параллельно провести классификацию систем нелинейных алгебраических уравнений. На следующем этапе предлагается изучить свойства экспоненциального отображения в пространстве нелинейных операторов, существование которого открывает новые перспективы в решении нелинейных дифференциальных уравнений и позволяет построить нелинейный аналог теории классических групп Ли.
Аннотация к отчету по результатам реализации проекта:
Полученные результаты затрагивают широкие круги задач и вопросов, поставленных в заявке. Удалось понять много деталей про нелинейные отображения путём применения негауссовых интегралов, или интегральных дискриминантов. В некоторых частных случаях удалось свести негауссовы интегралы к интегралам типа Эйлеровой бета-функции. Для вычисления негауссовых интегралов некоторых других типов были адаптированы стандартные методы матричных моделей, такие как применение тождеств Уорда, разложения по родам. Доказано, что негауссов интеграл является гипергеометрической функцией от коэффициентов многочлена, это приближает нас к полному и точному вычислению негауссовых интегралов и их применению во многих областях математики и физики. Большие успехи были сделаны в доказательстве АГТ-соотношения. В некоторых частных случаях его удалось доказать напрямую, обобщение на произвольный случай хотя и требует дополнительных усилий, но просматривается. Успехи также были достигнуты в вычислении топологических инвариантов узлов методами квантовой теории поля- теории Черна-Саймонса во временной калибровке.
Аннотации к заявке и отчету приведены в авторской редакции. по состоянию на 30.10.2023.
Нелинейная алгебра — Nonlinear algebra
Нелинейная алгебра — это нелинейный аналог линейной алгебры, обобщающий понятия пространств и преобразований исходя из линейной настройки. Алгебраическая геометрия — одна из основных областей математических исследований, поддерживающих нелинейную алгебру, в то время как основные компоненты, исходящие из вычислительной математики, поддерживают развитие этой области до зрелости.
Топологическая установка для нелинейной алгебры обычно — это топология Зарисского, где замкнутые множества — это алгебраические множества. Связанные области математики: тропическая геометрия, коммутативная алгебра и оптимизация.
- 1 Алгебраическая геометрия
- 2 Вычислительная нелинейная алгебра
- 3 Ссылки
- 4 См. Также
Алгебраическая геометрия
Нелинейная алгебра тесно связана с алгебраической геометрией, где основными объектами изучения являются алгебраические уравнения, алгебраические разновидности и схемы.
Вычислительная нелинейная алгебра
Современные методы вычислительной нелинейной алгебры можно в общих чертах разделить на две области: символьные и числовые. Символьные методы часто полагаются на вычисление баз Грёбнера. С другой стороны, численные методы обычно используют алгебраически обоснованное продолжение гомотопии с базовым полем комплексных чисел.
Ссылки
См. также
Нелинейная алгебра что это
Инструментарий линейной алгебры позволяет производить различные операции с данными, включая нахождение зависимостей между переменными, снижение размерности данных, кластерный анализ и обработку изображений. В машинном обучении матричные операции используются в алгоритмах классификации, регрессии и кластеризации.
Линейная регрессия
Линейная регрессия – этот метод применяют для анализа связи между двумя переменными. Линейная регрессия использует матричные операции для нахождения линейной зависимости между переменными и предсказания значений одной переменной на основании другой.
Логистическая регрессия
Логистическая регрессия – при построении модели применяют метод наименьших квадратов, а при использовании метода максимального правдоподобия используют матричное умножение и обратную матрицу для нахождения оптимальных значений параметров. Кроме того, линейную алгебру используют для вычисления градиента функции потерь и для обновления параметров модели в процессе обучения.
Метод главных компонент
Метод главных компонент – используют для снижения размерности данных. С помощью матричных операций находят линейные комбинации переменных, которые максимально сохраняют информацию в данных. Это позволяет уменьшить размерность данных и упростить их анализ.
Кластерный анализ
Кластерный анализ –метод, который позволяет группировать данные по сходству. Здесь линейная алгебра используется для вычисления расстояний между объектами и для нахождения кластеров, которые максимально отличаются друг от друга.
Нейронные сети
Нейронные сети – при создании и оптимизации моделей линейную алгебру используют для вычисления весов и смещений нейронов, а в процессе обучения применяют для нахождения ошибок.
Сверточные нейронные сети
Сверточные нейронные сети – здесь линейную алгебру применяют для обработки изображений и нахождения признаков, которые используются для классификации и распознавания объектов.
Метод опорных векторов
Метод опорных векторов – применяется для нахождения границы, которая разделяет два класса. Метод используют для распознавания образов, определения категории объекта и других задач классификации.
Линейный дискриминантный анализ
Линейный дискриминантный анализ – используется для нахождения наилучших линейных комбинаций переменных, способных разделить две или более категории (группы). Применяется в машинном обучении для классификации данных.
2. Линейная алгебра в разработке игр
Линейная алгебра – один из важнейших инструментов в геймдеве: ее применение простирается от 3D-графики и физического моделирования до анимации и искусственного интеллекта.
3D-графика
3D-графика – линейная алгебра используется для описания и трансформации объектов в 3D-пространстве. Она помогает определять расположение и ориентацию объектов в пространстве, настраивать камеры и источники света, а также выполнять преобразования объектов – масштабирование, поворот и перемещение.
Физическое моделирование
Физическое моделирование – здесь линейная алгебра помогает реалистично имитировать поведение объектов. Например, линейная алгебра используется для:
- определения траектории движения объектов с учетом их массы, воздействующих на них сил и ускорения;
- расчета столкновений;
- реалистичной имитации воды, снега, ветра, тумана и т. п.
Анимация
Анимация – линейная алгебра помогает определить позицию и ориентацию объектов в различных кадрах анимации, а также обеспечивает расчет естественных кривых движения объектов. Это позволяет реалистично анимировать персонажей, определять направления движения камеры и создавать визуальные эффекты.
3. Линейная алгебра и искусственный интеллект
Искусственный интеллект – линейная алгебра задействована в обработке и анализе данных, которые используются в алгоритмах ИИ. Такие алгоритмы могут определять поведение противников, создавать новые маршруты и препятствия, планировать оптимальную стратегию кампаний.
4. Линейная алгебра в квантовых вычислениях
Линейная алгебра – стандартный язык квантовых вычислений. Это связано с тем, что квантовая механика описывает состояния квантовых систем как векторы в линейном гильбертовом пространстве.
Квантовые алгоритмы используют линейную алгебру для работы с квантовыми состояниями, обработки данных и для решения вычислительных задач. В частности, операции над квантовыми состояниями, которые описывают взаимодействие квантовых систем, выражаются в виде линейных операторов (унитарных матриц) на гильбертовых пространствах.
Квантовые вычисления основаны на использовании квантовых вентилей, которые являются линейными операторами и применяются к кубитам (аналог битов в классических вычислениях). Они обычно представляются матрицами, которые описывают различные квантовые вентили – преобразование Адамара, фазовый сдвиг, вентиль Паули Y и т. д. Эти вентили находят применение в алгоритмах квантового преобразования Фурье, квантового поиска Гровера, квантового распределения ключей и других.
Кроме того, линейная алгебра используется для работы с квантовыми каналами, которые описывают передачу квантовых состояний через канал с шумом, а также для решения задач квантовой оптимизации, где задача оптимизации представляется в виде минимизации или максимизации квантовой линейной функции, которая выражается в виде линейной комбинации квантовых вентилей и операторов.
5. Линейная алгебра в пакетах для 3D-моделирования
Линейная алгебра широко используется при создании ПО для 3D моделирования (ZBrush, 3ds Max, Blender, Maya и другие).
Математическая обработка – с помощью линейной алгебры можно создавать математические модели любых объектов. Это позволяет выполнять все необходимые расчеты – вычисление объема и площади моделей, ее поверхности, распределения масс и т. д.
Трансформация объектов – линейная алгебра используется для преобразования трехмерных объектов, перемещения, масштабирования и поворота моделей. Это делается с помощью матриц, которые содержат информацию об изменении расположения, размера и ориентации модели.
Освещение и тени – методы линейной алгебры применяют для расчета световых эффектов и теней на 3D моделях. Это включает в себя расчет направления света, расстояния до объектов, определение позиций объектов в трехмерном пространстве.
Анимация объектов – в процессе анимации линейная алгебра помогает реализовать движение объекта и камеры, изменение формы или текстуры, направление света, переключение между сценами.
Нормализация поверхности – для настройки и нормализации поверхности 3D модели используется линейная алгебра. Это позволяет создавать более реалистичные текстуры и поверхности в моделях.
Расчет коллизий – линейная алгебра позволяет реализовать физически корректные столкновения и механику – движение и взаимодействие объектов.
6. Как использовать методы линейной алгебры, не вдаваясь в детали
Если уровень математической подготовки разработчика оставляет желать лучшего, на помощь придут специальные библиотеки. Для большинства общих инженерных, научных и экономических задач достаточно функциональности этих библиотек:
- NumPy – предоставляет инструменты для работы с многомерными массивами. Обеспечивает обширную поддержку методов линейной алгебры, включая операции над векторами и матрицами, вычисление собственных значений и собственных векторов. Кроме того, выполняет операции над тензорами.
- SciPy – надстройка над NumPy. Предоставляет множество специализированных функций, включая решение систем линейных уравнений, операции над векторами и матрицами, сингулярное разложение и метод наименьших квадратов.
- SymPy – обеспечивает поддержку широкого спектра операций, включая операции над матрицами и векторами, а также исследование свойств матриц (например, вычисление определителей, обратных матриц и т. д.).
- Pandas – предназначена для обработки и анализа данных. Ее также можно использовать для работы с матрицами и векторами, особенно если данные представлены в виде таблиц или датафреймов.
Для целей Data Science и машинного обучения используют более сложные библиотеки:
- TensorFlow – позволяет создавать и обучать модели машинного обучения. Библиотека обеспечивает поддержку многомерных массивов и обширный набор операций линейной алгебры, включая перемножение матриц, вычисление детерминанта, собственных значений и собственных векторов, а также разложений матриц (QR-разложение, сингулярное разложение и т. д.). TensorFlow имеет высокую производительность благодаря выполнению расчетов на GPU.
- PyTorch – предоставляет множество инструментов для создания и обучения нейронных сетей. Она также обладает широким спектром функций линейной алгебры, аналогичных TensorFlow, включая перемножение матриц, вычисление детерминанта, решение систем линейных уравнений и разложение матриц.
- CuPy – обеспечивает поддержку матричных операций, вычисление определителя, собственных значений и собственных векторов, а также разложения матриц.
У каждой из этих библиотек есть свои преимущества – важно понимать, какие операции линейной алгебры необходимы для конкретного проекта, и какая библиотека обеспечит нужный баланс функциональности и производительности.
7. Что почитать по линейной алгебре
«Математические алгоритмы для программистов: 3D-графика, машинное обучение и моделирование на Python», Пол Орланд
Эта книга – отличное введение в использование линейной алгебры (и математического анализа) в программировании. Автор очень подробно и доступно описывает математические концепции, необходимые для понимания линейной алгебры. Благодаря последовательному и продуманному порядку изложения материала книга пригодится любому разработчику, независимо от уровня математической подготовки. Самый большой плюс книги – практическая составляющая: в ней множество упражнений и примеров кода на Python, которые позволяют читателю быстро разобраться в различных алгоритмах.
«Линейная алгебра и ее применения», Гилберт Стренг
Стрэнг написал множество книг по практическому применению линейной алгебры и математического анализа, но, к сожалению, на русском был издан только один учебник. Книга отличается широким охватом тем – здесь рассматриваются все основные теоремы и методы решения задач линейной алгебры. Кроме того, в книге есть и дополнительные главы, посвященные спектральным теоремам, ортогональности, симметричным матрицам. Преимущество книги – доступный стиль изложения, который позволяет читателю с начальным уровнем подготовки вникнуть в сложные концепции.
«Высшая математика. Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия», Н. С. Коваленко, Т. С. Чепелева
Это объемное учебное пособие охватывает большой спектр тем, связанных с линейной алгеброй – операции над матрицами, теоремы о матрицах, разнообразные методы решения систем линейных уравнений. Главное достоинство книги – множество экономических и инженерных задач, основанных на примерах из реальной жизни.
Самостоятельное изучение основных концепций линейной алгебры может быть сложной задачей для разработчиков, не имеющих фундаментальной математической подготовки. И хотя с правильным подходом, хорошими учебниками и достаточным количеством времени и усилий линейную алгебру реально освоить самостоятельно, есть более практичный вариант – курс Библиотеки программиста « Математика для Data Science» .