Решение производной для чайников: определение, как найти, примеры решений
Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?
Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.
Геометрический и физический смысл производной
Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:
Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
Иначе это можно записать так:
Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:
Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.
Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.
Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:
Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:
Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.
Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:
Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:
Правила нахождения производных
Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.
Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Правило первое: выносим константу
Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.
Пример. Вычислим производную:
Правило второе: производная суммы функций
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.
Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.
Найти производную функции:
Правило третье: производная произведения функций
Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:
Пример: найти производную функции:
Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.
В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:
В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.
Правило четвертое: производная частного двух функций
Формула для определения производной от частного двух функций:
Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.
С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.
Мы поможем сдать на отлично и без пересдач
- Контрольная работа от 1 дня / от 120 р. Узнать стоимость
- Дипломная работа от 7 дней / от 9540 р. Узнать стоимость
- Курсовая работа от 5 дней / от 2160 р. Узнать стоимость
- Реферат от 1 дня / от 840 р. Узнать стоимость
Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.
Как выучить таблицу производных и интегралов
У меня есть некоторые проблемы с памятью, и просто заучить я не могу. Таблицу интегралов ищу с таблицы производных. Некоторые производные интуитивно понятны, Аx` = А; sinx` = cosx. Некоторые часто применял и запомнил log(x)` = 1/x (ну это тоже интуитивно, логарифм возрастает все медленнее и медленнее но возле нуля очень быстро, чему и соответствует 1/x^a ). Знаю про метод вывода производной логарифмированием, очень крутой метод.
Но есть такие функции от которых производные никак не запоминаются, например от обратных тригонометрических функций. Подскажите как вы решили эту проблему. Может там мнемоника какая-то, или есть универсальный метод вывода?
П.С. нужно мне это на экзамен, то есть вариант «не учи, всегда пользуйся таблицей» не подходит.
Таблица производных и правила дифференцирования
О том, что такое производная, мы рассказали в статье «Геометрический смысл производной». Если функция задана графиком, её производная в каждой точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции. А если функция задана формулой — вам помогут таблица производных и правила дифференцирования, то есть правила нахождения производной.
Для решения задач на исследование функции в вариантах ЕГЭ необходима таблица производных и правила дифференцирования, а также знания о том, как связана производная с поведением функции.
Смотри также, как решаются задачи ЕГЭ на применение производной: задача 7 и задача 11.
Прокомментируем несколько строк из таблицы производных.
1. Производная постоянной величины, то есть константы, равна ей самой. Так и должно быть. Ведь константа не меняется. Это постоянная величина, она всегда принимает одинаковые значения.
А производная функции, как мы знаем, – это скорость изменения функции. Подробнее об этом здесь:
Производная функции.
И поэтому производная константы равна нулю.
2. Производная функции у=х равна 1. Вспомним, что производная функции в точке – это тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке. График функции у=х образует угол 45 градусов с положительным направлением оси Х. А тангенс 45 градусов равен 1.
3. Производная функции равна самой этой функции. И действительно, чем больше значение х, тем больше значение функции … и тем круче вверх идет график по отношению к оси Х. Вот такая это функция, экспонента. Чем дальше, тем быстрее она растет.
4. Производная синуса и косинуса – тоже тригонометрические функции. Например, производная синуса – это косинус. Как это отражается в физике? Если координата тела меняется по закону синуса, то производная координаты, скорость, будет меняться по закону косинуса. Это описание гармонических колебаний: и координата, и скорость, и ускорение тела меняются по законам синуса и косинуса.
5. Производная логарифма в точке обратно пропорциональна . Чем дальше, тем медленнее растет логарифмическая функция.
Вспомним, как связаны производная и поведение функции.
Если производная положительна, то функция возрастает.
Если производная отрицательная, то функция убывает.
В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».
В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».
Запишем эти выводы в виде таблицы:
| возрастает | точка максимума | убывает | точка минимума | возрастает |
| + | 0 | — | 0 | + |
Разберем задачи ЕГЭ по теме «Таблица производных, нахождение наибольших и наименьших значений функции, нахождение точек максимума и минимума». Во всех этих примерах мы пользуемся формулами из таблицы производных.
Задача 1. Найдите точки максимумам функции
Область определения функции:
Найдем производную функции, пользуясь формулой производной частного из таблицы.
Точки х = 5 и х = -5, а также точка ноль, разбивают числовую прямую на интервалы, на каждом из которых производная сохраняет свой знак. Это метод интервалов.
Найдем знаки производной на каждом интервале.
В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». Это точка 5 на рисунке.
Задача 2. Найдите точки минимума функции
Применим формулу производной произведения.
Приравняем производную к нулю:
Если то функция убывает.
Если то функция возрастает, значит, – точка минимума функции
В этой точке производная равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».
Задача 3. Найдите значение функции в точке максимума.
Найдем производную функции:
Мы применили формулы производной степени.
Получили критические точки, в которых производная равна нулю. Отметим их на оси Х и найдём знаки производной.
Найдём значение функции в этой точке:
Рассмотрим задачи ЕГЭ на нахождение наибольших и наименьших значений функций.
Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке:
Это значит, что у нас есть алгоритм для нахождения наибольших и наименьших значений функции на интервале.
Пусть функция f(x) определена на некотором интервале. Чтобы найти ее наибольшее или наименьшее значение, действуем следующим образом:
- Находим производную функции.
- Приравниваем производную к нулю, находим точки, в которых она равна нулю.
- Если производная меняет знак с «плюса» на «минус» в точке , то – точка максимума функции.
- Если производная меняет знак с «минуса» на «плюс» в точке , то – точка минимума функции.
- Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, сравниваем значения в точке максимума и концах отрезка.
Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, сравниваем значения в точке минимума и концах отрезка.
Задача 4. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Приравняем производную к нулю:
Точка – точка максимума функции
В этой точке функция принимает наибольшее значение на указанном отрезке.
Задача 5. Найдите наименьшее значение функции на отрезке
Найдем производную функции:
Найдем знаки производной слева и справа от точки
Значит, – точка минимума. Наименьшее значение функции на отрезке достигается при
Задача 6. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Область определения функции:
Найдем производную функции и приравняем ее к нулю:
или Второй корень не принадлежит отрезку
Найдем знаки производной на отрезке:
В точке производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, это точка максимума, и наибольшее значение функции на отрезке достигается при
Найдем значение функции при
В следующих задачах наименьшее значение функции достигается на конце отрезка.
Задача 7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке
Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.
У этого уравнения нет решений, так как
Это значит, что при любых то есть а это означает, что – убывает, наименьшее значение функции достигается в правом конце отрезка
Задача 8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Найдем производную функции:
Производная функции не равна нулю ни при каком .
Мы знаем, что Тогда
Прибавим 7 ко всем частям неравенства:
Значит, производная положительна при любом значении переменной, функция монотонно возрастает. Наибольшее значение функции будет достигаться в правом конце отрезка, то есть при
Задача 9. Найдите наименьшее значение функции на отрезке
Найдем производную функции и приравняем ее к нулю:
На указанном отрезке это уравнение имеет единственное решение
Слева от этой точки Если производная отрицательна.
Справа от этой точки производная положительна.
Значит, – точка минимума функции, и наименьшее значение функции на отрезке достигается в этой точке.
Найдем значения функции в этой точке:
В задачах ЕГЭ встречаются сложные функции. И найти нужно их точки максимума или минимума, наибольшие или наименьшие значения. Но производную сложной функции в школьной программе по-настоящему не проходят. Как же быть? Покажем полезные приемы, помогающие решить такие задания ЕГЭ.
Задача 10. Найдите наименьшее значение функции
Так как функция монотонно возрастает, точка минимума функции будет при том же значении , что и точка минимума функции А ее найти легко:
В точке производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, – единственная точка минимума функции и функции
Задача 11. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Так как функция монотонно возрастает при точка минимума функции соответствует точке минимума подкоренного выражения
Заметим, что подкоренное выражение всегда положительно.
Функция задает квадратичную параболу с ветвями вверх и точкой минимума в вершине параболы, то есть при
Если – монотонно убывает.
Если – монотонно возрастает.
Значит, наибольшее значение функции на отрезке достигается в одном из концов этого отрезка.
Задача 12. Найдите точку максимума функции
Ее график – парабола с ветвями вниз, и точка максимума будет в вершине параболы, при Функция монотонно возрастает, и значит, большему значению будет соответствовать большее значение
Точка максимума функции будет такой же, как у функции то есть
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Таблица производных и правила дифференцирования» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена: 05.10.2023
Как запоминать формулы
Студентам изучающим математику приходится учить формулы наизусть. Конечно, во многих случаях можно обойтись справочником, но есть случаи когда формулы все-таки лучше выучить. В качестве примеров можно привести таблицу производных и таблицу интегралов. Эти формулы должны быть загружены в «оперативную» память студента. Только если есть цельная картина и знание этих формул, можно научить правильно и быстро находить производные и интегралы. Более того, эти формулы надо помнить долго, а не только на экзамен или зачет — многие курсы для студентов инженерных специальностей подразумевают, что вы умеете дифференцировать и интегрировать.
$$\href\left(x \right)+sin^\left(x \right)=1>$$Для того, чтобы запомнить формулы каждый придумывает свои методы. У кого-то отличная зрительная память, кто-то хорошо воспринимает все на слух, а кому-то надо записывать и тогда все легко запоминается. Хорошо известно, что если формулы у вас постоянно перед глазами, то запомните вы их подсознательно и надолго. Распечатайте себе плакат с таблицей производных и повесьте над кроватью. Во-первых, все будут постоянно вас спрашивать и вы будете в центре внимания. Особенно уважительно будут на вас смотреть девушки. Во-вторых, комендант общежития (ничего не понимающий в математике) будет обходить вас десятой дорогой. В-третьих, если придет с проверкой декан в общежитие, то у вас будет предмет для обсуждения — таблица интегралов и декан сразу поймет что вы приличный студент, а не бездельник и ругать вас за бардак в комнате скорее всего не будут. Всем понятно, что вы заняты учебой, вот и не убрали в комнате.
Еще один отличный способ для запоминания: набор формул, например, в математическом редакторе. Вы отвлекаетесь на сам процесс набора (интересно), и параллельно запоминаете эти формулы. Например, зайдите на наш форум, создайте свою тему типа: «Готовлюсь к экзамену по матану» и добавляйте туда формулы или определения, теоремы. Во-первых, так лучше запомнится. Во-вторых, вы можете вести эту тему вместе с вашими одногруппниками, обсуждать эти формулы виртуально, находясь дома. Возможно кто-то из преподов к вам присоединится тоже. В текст этой статьи мы встроили примеры таких формул — это пара тригонометрических формул. Формулы кликабельны — перейдите на страничку с примерами и правилами набора формул на нашем сайте. Еще варианты: если вы все-таки завалите экзамен или зачет и преподаватель будет ставить вам двойку, а вы начнете канючить трояк, убеждая препода дежурной фразой «А я учил», то поверьте он бы охотно вам поверил, если бы у вас были доказательства. Дайте ему ссылку на вашу тему на форуме и он поймет как много времени и внимания вы уделяете его предмету. Он будет вас уважать, а у вас будут доказательства того, что вы учили формулы по его предмету.