Что такое число фибоначчи в питоне

Рекурсивный метод нахождения чисел Фибоначчи

Программа принимает на вход число членов последовательности Фибоначчи и при помощи рекурсии вычисляет все числа, входящие в эту последовательность.

Решение задачи

1. Принимаем на вход число членов последовательности и записываем его в отдельную переменную.
2. Это число передается в качестве аргумента в рекурсивную функцию, которая будет вычислять n -й член последовательности.
3. В качестве базового условия принимаем то обстоятельство, что число членов последовательности Фибоначчи не может быть меньше единицы либо равно ей. При наступление этого условия рекурсия останавливается.
4. В противном случае функция вызывается вновь следующим образом: в качестве аргумента нашей рекурсивной функции передается введенное число, уменьшенное на единицу, и к этому прибавляется эта же функция с аргументом, уменьшенным уже на 2.
5. Каждый вызов функции возвращает одно число, которое мы потом выводим на экран.

Исходный код

Ниже дан исходный код, который осуществляет вывод всех членов последовательности Фибоначчи заданного размера. Результаты работы программы также даны ниже.

def fibonacci(n): if (n 
Объяснение работы программы

  
Пользователь вводит число и оно записывается в переменную n .
  
Передаем число n в качестве аргумента в рекурсивную функцию, которая вычисляет n-ый член последовательности.
  
Так как первый член последовательности Фибоначчи по определению не может быть меньше 1, в качестве базового условия принимаем n 
  
В противном случае функция вызывается вновь следующим образом: fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2) .
  
Результаты выводятся на экран при помощи цикла for .

Результаты работы программы
Пример 1: Введите число членов последовательности:5 Последовательность Фибоначчи: 0 1 1 2 3 Пример 2: Введите число членов последовательности:7 Последовательность Фибоначчи: 0 1 1 2 3 5 8
Примечания переводчика
Данный пример приведен только с целью подробного ознакомления с алгоритмами рекурсии. Как вы можете заметить, данный код крайне неэффективен и не экономичен с вычислительной точки зрения, поскольку для вычисления n-го члена последовательности нам необходимо вычислять все предыдущие. И так мы делаем ровно n раз. Когда числа n являются большими, данный код абсолютно не применим. И, разумеется, для решения этой задачи есть другие, более эффективные, алгоритмы.
Числа Фибоначчи: циклом и рекурсией
Числа Фибоначчи – это ряд чисел, в котором каждое следующее число равно сумме двух предыдущих.
Иногда ряд начинают с нуля.






В данном случае мы будем придерживаться первого варианта.
 
Вычисление n-го числа ряда Фибоначчи с помощью цикла while
Присвоим переменным fib1 и fib2 значения двух первых элементов ряда, то есть единицы.






Получим от пользователя номер элемента, значение которого требуется вычислить. Присвоим номер элемента переменной n .
Поскольку значения первых двух элементов ряда Фибоначчи нам уже известны и вычисления начинаем с третьего, количество проходов по телу цикла должно быть на 2 меньше значения n , то есть n - 2 .
Если пользователь вводит 1 или 2, тело цикла ни разу не выполняется, на экран выводится исходное значение fib2 .

Сложить fib1 и fib2 , присвоив результат переменной для временного хранения данных, например, fib_sum .
Переменной fib1 присвоить значение fib2 .
Переменной fib2 присвоить значение fib_sum .

После окончания работы цикла вывести значение fib2 на экран.






fib1 = 1 fib2 = 1 n = input("Номер элемента ряда Фибоначчи: ") n = int(n) i = 0 while i  n - 2: fib_sum = fib1 + fib2 fib1 = fib2 fib2 = fib_sum i = i + 1 print("Значение этого элемента:", fib2)
Пример выполнения программы:
Номер элемента ряда Фибоначчи: 10 Значение этого элемента: 55
Компактный вариант кода:
fib1 = fib2 = 1 n = input("Номер элемента ряда Фибоначчи: ") n = int(n) - 2 while n > 0: fib1, fib2 = fib2, fib1 + fib2 n -= 1 print("Значение этого элемента:", fib2)
Вывод ряда чисел Фибоначчи с помощью цикла for
В данном случае выводится не только значение искомого элемента ряда Фибоначчи, но и все числа до него включительно. Для этого вывод значения fib2 помещен в цикл.






fib1 = fib2 = 1 n = int(input()) print(fib1, fib2, end=' ') for i in range(2, n): fib1, fib2 = fib2, fib1 + fib2 print(fib2, end=' ') 
10 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
Рекурсивное вычисление n-го числа ряда Фибоначчи

Если n = 1 или n = 2, вернуть в вызывающую ветку единицу, так как первый и второй элементы ряда Фибоначчи равны единице.
Во всех остальных случаях вызвать эту же функцию с аргументами n - 1 и n - 2. Результат двух вызовов сложить и вернуть в вызывающую ветку программы.

def fibonacci(n): if n in (1, 2): return 1 return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2) print(fibonacci(10))
Допустим, n = 4. Тогда произойдет рекурсивный вызов fibonacci(3) и fibonacci(2). Второй вернет единицу, а первый приведет к еще двум вызовам функции: fibonacci(2) и fibonacci(1). Оба вызова вернут единицу, в сумме будет два. Таким образом, вызов fibonacci(3) возвращает число 2, которое суммируется с числом 1 от вызова fibonacci(2). Результат 3 возвращается в основную ветку программы. Четвертый элемент ряда Фибоначчи равен трем: 1 1 2 3.
X Скрыть Наверх
Решение задач на Python
Числа фибоначчи
Числа Фибоначчи определяются следующими формулами: F0=0, F1=1, Fn=Fn−1+Fn–2 при n≥2.






На вход программе подаётся целое неотрицательное n≤45.
Выведите n-е число Фибоначчи. 
Помогите пожалуйста
Лучшие ответы ( 1 )

94731 / 64177 / 26122

Регистрация: 12.04.2006

Сообщений: 116,782

Ответы с готовыми решениями: 
Введите размер массива N и заполните массив из N элементов числами Фибоначчи. Первые два числа Фибоначчи равны 1, а кажд
Введите размер массива N и заполните массив из N элементов числами Фибоначчи. Первые два числа.






Числа Фибоначчи
Пользователь вводит число N с клавиатуры - количество чисел из ряда Фибоначчи. Посчитайте сумму.

 Числа Фибоначчи
Есть программа, которая выводит N чисел фибоначчи при любом входном N. Нужно отредактировать.







 Числа фибоначчи
Кому скучно напишите пожалуйста первые 100 чисел ряда фибоначчи пожалуйста! Очень буду благодарен!
Числа Фибоначчи
Реализуйте функцию fib(), находящую положительные Числа Фибоначчи. def fib(n): return.






36829 / 19877 / 4166

Регистрация: 12.02.2012

Сообщений: 33,013

Записей в блоге: 13

Сообщение было отмечено zomd как решение






Решение
1 2 3 4 5 6 7
def fib(n): c,p=0,1 for _ in range(n): c,p=c+p,c return c n=int(input()) print(fib(n))
87844 / 49110 / 22898

Регистрация: 17.06.2006

Сообщений: 92,604

Помогаю со студенческими работами здесь
Числа Фибоначчи
Что нужно сделать Числа Фибоначчи — это ряд чисел, в котором каждое следующее число равно сумме.

 Числа фибоначчи
Числа Фибоначчи u0, u1, u2, . определяются следующим образом: u0=0, u1=1, un=un-1+un-2 (n=2, 3.







 Числа Фибоначчи
Ввести натуральное число N и вычислить сумму всех чисел Фибоначчи, меньших N. Предусмотрите защиту.

 Задача 7. «Числа Фибоначчи»
Задание: Написать функцию Fib(N) вычисляющую N-е число последовательности Фибоначчи. Всё это надо.







 Числа фибоначчи рекурсией
Сижу над задачей уже несколько дней, а результата никакого. Подтолкните к верному решению.






 Выбрать числа Фибоначчи
Напишите программу, которая выбирает из массива все числа Фибоначчи в другой массив. Если в.
Как вычислить миллионное число Фибоначчи на Python
Как-то раз я захотел найти оптимальное решение для вычисления чисел Фибоначчи и решил попробовать вычислить стотысячное число в последовательности, а потом подумал: если бы я мог вычислить стотысячное, то почему бы не вычислить миллионное число? Поэтому сейчас я покажу, как у меня это получилось и с какими проблемами я столкнулся.
Последовательность Фибоначчи является одной из наиболее известных математических последовательностей и самым простым примером рекурсий. Каждое число последовательности состоит из суммы двух предыдущих, где начальными числами выступают 0 и 1. Выглядит это всё вот так:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и так до бесконечности…

В течение следующих нескольких минут я пройдусь по нескольким различным подходам, а затем покажу оптимальное решение задачи:






1. Простая рекурсия.
2. Использование кэша с рекурсией.
3. Итеративный метод.






4. Использование формулы Бине.
5. Вычисление миллионного числа.
Перед тем как начать, нужно отметить, что все упомянутые замеры времени основаны именно на моем оборудовании и на версии Python 3.9.1.
1. Простая рекурсия
Это очень простой способ вычислить n-ное число Фибоначчи в Python:






def recursiveFib(n): 
if n == 1 or n == 2: 
return 1
 
return recursiveFib(n - 1) + recursiveFib(n - 2)
Этот метод использует рекурсию, чтобы многократно вызывать функцию вычисления, рассчитывая предыдущее число и применяя его для вычисления следующего. Однако это и является недостатком метода, так как эта функция крайне неэффективная и ресурсоёмкая, ведь на каждой стадии она вычисляет два предыдущих числа, потом два предыдущих числа этого числа и так далее. В какой-то момент вы заметите, что вычисление одного числа будет занимать слишком много времени. На моем компьютере, например, вычисление 35-го числа Фибоначчи заняло 1,43 секунды. Поэтому очевидно, что вычисление еще больших значений стало бы невероятно медленным либо вообще практически невыполнимым.
2. Использование кэша с рекурсией
Поскольку мы постоянно вычисляем предыдущие два числа, то мы также можем использовать возможности кэширования для хранения числа, чтобы нам больше не нужно было их вычислять. Встроенный модуль functools позволяет нам использовать метод вытеснения из кэша (least recently used cache) — тип кэша, при котором все элементы в нем упорядочиваются по мере использования. Этот метод может значительно ускорить процесс.
from functools import lru_cache

@lru_cache()
def recursiveFibCached(n): 
if n == 1 or n == 2: 
return 1
 
return recursiveFibCached(n - 1) + recursiveFibCached (n - 2)Первым делом, из модуля functools нужно импортировать декоратор lru_cache и поместить его перед функцией. Мы можем указать значение maxsize, чтобы обозначить, сколько элементов должно храниться в кэше, однако по умолчанию указывается 128, чего точно должно хватить. Благодаря использованию кэша мы можем вычислить 200-е число Фибоначчи всего за 0.0002252 секунды!
Однако единственной проблемой такой рекурсии является то, что если попытаться вычислить 501-е число, то программа выдаст ошибку RecursionError: maximum recursion depth exceeded in comparison . Эту проблему можно обойти, установив глубину рекурсии на какое-нибудь большее значение.
import sys

sys.setrecursionlimit(5000)
Теперь, чтобы вычислить тысячное число Фибоначчи, требуется лишь 0,001198 секунд. Однако с этим методом у меня случилась еще одна проблема, потому что по какой-то неведомой причине я так и не смог вычислить 1553-е число в последовательности, и даже после увеличения глубины рекурсии ничего не помогло: терминал переставал выдавать число и просто завершал работу программы. Это, очевидно, проблема и недостаток на пути к вычислению миллионного числа Фибоначчи.






3. Итеративный метод
Можно заметить, что в среде программистов использование рекурсивного метода решения проблемы часто рассматривается как плохая практика, гораздо лучше считаются итеративные методы вычисления. Мы также можем придумать итеративное решение для генерации чисел Фибоначчи:
def iterativeFib(n): 
a, b = 0, 1
 
for i in range(n): 
a, b = b, a + b
 
return a
Этот метод можно использовать для вычисления любого числа Фибоначчи (однако я не проверял его на огромных числах), что также происходит очень быстро, так как всего за 0.0028195 я смог вычислить десятитысячное число Фибоначчи. И если подумать, почему бы не использовать этот метод для вычисления миллионного числа: это возможно, однако займет какое-то время перед тем как полностью загрузиться. Читайте дальше, и я расскажу, почему так происходит.
4. Формула Бине
Формула Бине — это формула, которую можно использовать для вычисления n-ного числа последовательности Фибоначчи, а это как раз то, что нам нужно. Эта формула названа в честь французского математика Жака Филиппа Мари Бине. Вот как она выглядит:
Фи (φ) равна золотому сечению:
Эту формулу мы можем использовать, если перенести ее в Python:
def formulaFib(n): 
root_5 = 5 ** 0.5 
phi = ((1 + root_5) / 2)
 
a = ((phi ** n) - ((-phi) ** -n)) / root_5
 
return round(a)
Обратите внимание, что в реализации на Python нам следует вернуть округленную версию вычисленного числа, так как при вычислении больших чисел Python возвращает число, в котором после запятой может быть более двадцати девяток в периоде. И это хорошо, поскольку теперь у нас нет циклов и мы можем сразу вычислить ответ, ведь так? Но и в этом методе есть небольшой недостаток. Если мы попытаемся вычислить что-либо выше 1475-го числа, то столкнемся с ошибкой: OverflowError: (34, result too large) . Это связано с тем, что в Python реализована система float, и она может иметь только определенное максимальное значение, которое мы превышаем, используя этот метод.
Эту проблему можно очень легко решить с помощью встроенного модуля Decimal, чтобы создать десятичный объект с гораздо большей точностью и размером для использования в нашем уравнении:
import decimal

def formulaFibWithDecimal(n): 
decimal.getcontext().prec = 10000
 
root_5 = decimal.Decimal(5).sqrt() 
phi = ((1 + root_5) / 2)
 
a = ((phi ** n) - ((-phi) ** -n)) / root_5
 
return round(a)
В этой новой функции мы устанавливаем значение точности до 10000 цифр и преобразуем значение корня из 5 в десятичный объект, а затем используем его в нашем уравнении. Такой способ позволяет нам легко вычислить десятитысячное число последовательности за невероятные 0,0692986 секунд, что является огромным улучшением по сравнению со всеми предыдущими методами.
5. Вычисление миллионного числа
Как вы, возможно, заметили, применение формулы работает значительно медленнее итеративного метода, если n = 10000. Это связано с тем, что в формуле нам нужно создавать десятичный объект и использовать его в уравнении, а это занимает больше времени, чем повторение одного и того же действия 10000 раз. Однако это еще не конец истории.
Если увеличить количество повторений, необходимых для выполнения цикла, то это может значительно увеличить время завершения всего процесса. В какой-то момент, когда n достигает примерно 89200, время расчета при итеративном методе становится равным времени вычисления по формуле, а когда n увеличивается еще больше, то время итеративного метода увеличивается больше, чем по сравнению с увеличением времени по формуле.
На графике видно, в какой точке пересекаются формула и итеративный метод. По мере увеличения n, время, затрачиваемое на расчет чисел Фибоначчи по формуле, растет в линейной прогрессии. А при итеративном решении время увеличивается вместе со значением n. Это дает нам понять, что миллионное число нужно будет вычислять по формуле. Кроме того, в качестве дополнительной меры для более точного вычисления числа мне пришлось поменять точность десятичного объекта с помощью decimal.getcontext().prec = 300000 .
На моем компьютере (а у вас это время может быть другим) вычисление миллионного числа Фибоначчи заняло:

8,832661 секунд с применением итеративного метода
1,151380 секунд, используя формулу Бине, что в 7,7 раз быстрее!

Если вам хочется увидеть само число, оно состоит из 208988 цифр и в виде текстового файла весит 209 Кб:
Заключение
Вот так я и вычислил миллионное число Фибоначчи. Да, конечно, можно было вычислить число и побольше, но на самом деле это не имеет практического смысла, да и заняло бы много времени даже с применением формулы Бине. Из графика выше можно прикинуть, что на вычисление миллиардного числа Фибоначчи потребуется 310,8467 секунд. Оставлю эти расчёты на ваше усмотрение.

Топ-15 лайфхаков для работы с Python
F-строки и 3 эффективных способа их применения
Асинхронная многопоточность в Python



Похожие публикации:

Primary slave none что это
Как найти совершенное число в c
Как понять тгп для тупых форум
Как узнать сколько памяти занимает программа c