Е равно мс2 что за формула

E=mc 2 , Уравнение Эйнштейна

Уравнение Эйнштейна описывает связь между энергией и массой любого вещества.

E	энергия (тела, излучения, поля и т. д.)	Дж
m	масса, отвечающая энергии E,	кг
c	скорость света в вакууме, 3 × 10 8	м/с

Каждой массе соответствует определенная энергия и наоборот. Каждому изменению массы соответствует определенное изменение энергии и наоборот.

Вычислить, найти энергию массы по формуле E=mc 2 или уравнению Эйнштейна

О ФОРМУЛЕ Е=MC2 Текст научной статьи по специальности «Физика»

В статье рассматривается физический смысл формулы Е=mс2; приводятся сведения о том, как она появилась и имеются ли экспериментальные подтверждения её справедливости; делается вывод о неэквивалентности массы и энергии .

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

ABOUT THE FORMULA E=MC2

The article considers the physical meaning of the formula E=mc2; provides information about how it appeared and whether there are experimental confirmation of is validity; concludes that mass and energy are not equivalent.

Текст научной работы на тему «О ФОРМУЛЕ Е=MC2»

ISSN 2410-6070 ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА №12 / 2020

Федоровский В. Е.

Пенсионер, физик, бывш. раб. УЭХК,

г. Новоуральск, Р.Ф.

В статье рассматривается физический смысл формулы E=mc2; приводятся сведения о том, как она появилась и имеются ли экспериментальные подтверждения её справедливости; делается вывод о неэквивалентности массы и энергии.

масса, энергия, частица, излучение.

Retired, physicist, former employee of UECC,

ABOUT THE FORMULA E=MC2 Abstract

mass, energy, particle, radiation.

В университетах можно многому научиться, в том числе и глупости.

Формула Е=шс2 , где Е — энергия, m — масса, с — скорость света, считается самой знаменитой и фундаментальной формулой физики, которая говорит об эквивалентности массы и энергии. Главный смысл формулы, который следует из теории относительности, состоит в том, что масса и энергия могут превращаться друг в друга. То есть, если тело отдаёт энергию Е в виде излучения, то его масса уменьшается на величину Е/с2.

До создания теории относительности считалось, что действуют два закона — закон сохранения массы и закон сохранения энергии. Масса и энергия — это два разных состояния материи. Между ними связь есть, но они не эквивалентны друг другу. Масса всегда имеет какую-то энергию, но не всякая энергия имеет массу.

Волны на воде и в воздухе — это колебания молекул воды и воздуха около положения равновесия с переносом энергии в направлении распространения волны. Электромагнитная волна (излучение) — это сложные колебания частиц эфира, распространяющиеся со скоростью света.

В одной из своих книг академик А. Мигдал писал: Физика немыслима без математики и математических понятий, но не сводится к ним. Более того, главное в физике — не формулы, а их интерпретация — понимание; именно оно питает интуицию. Физика развивается не с помощью математической логики, а с помощью физической интуиции [1].

Воспользуемся этим советом академика и попробуем представить себе хоть какой-нибудь

физический процесс, при котором частица, имеющая массу, превратилась бы в излучение.

Излучение — это волна, а любая волна подразумевает наличие среды, в которой происходят колебания частиц этой среды. Частица — это объект, а излучение — это явление, процесс. Поскольку невозможно представить себе, чтобы частица превратилась в среду, логично подвергнуть сомнению физический смысл формулы, который закладывается в неё теорией.

Попробуем понять, какие исходные предпосылки заложены в этой формуле теорией, имеется ли её экспериментальное подтверждение, и какой реальный физический смысл этой формулы.

Формулу Е=тс2 можно вывести следующим образом [2].

В теории относительности утверждается, что масса тел зависит от их скорости по формуле Лоренца т=то* [(1 — у2/с2)] А (- ‘/г), где V — скорость тела.

Если формулу Лоренца разложить по степеням по формуле бинома Ньютона и взять только два первых члена, а остальные отбросить за ненадобностью и предположить, что энергия тела, которая прирастает со скоростью, является кинетической, то тогда и получается формула Е= тс2.

Приводится вывод этой формулы и другим методом [3].

Рассматривается неподвижный относительно наблюдателя атом, который излучает два фотона в противоположные стороны. Атом теряет энергию, равную энергии двух фотонов, и остаётся неподвижным, поскольку суммарный импульс, равный нулю, до и после излучения не меняется.

Затем рассматривается та же ситуация при движущемся наблюдателе. С точки зрения наблюдателя атом движется, и импульс системы при излучении атомом фотонов не будет равен нулю.

Поскольку импульс тела равен его массе умноженной на скорость, а скорость атома не изменилась, приходится делать вывод, что изменилась масса атома. После этого и выводится формула Е=тс2.

Оба вывода этой формулы нельзя считать корректными.

В первом случае взяли преобразование Лоренца, по которому масса тела зависит от его скорости, что не имеет физического смысла, и с большими оговорками вывели эту формулу.

Во втором случае предположили, что импульс тела зависит от скорости движения наблюдателя. Из чего сделали вывод, что масса неподвижных тел увеличивается с увеличением скорости движения наблюдателя, что тоже абсурдно, и получили эту формулу.

Теперь рассмотрим, как определяется кинетическая энергия тел.

При увеличении скорости тела от 0 до V оно приобретает кинетическую энергию mv2/2. Можно ли представить себе физический процесс, при котором кинетическая энергия тела возрастает от 0 до mv2?

Такой процесс означает, что тело мгновенно приобрело скорость V, и никакой работы по разгону тела не совершалось. А такое может быть только в том случае, если масса покоя тела равнялась нулю, то есть, никакого тела и не было. А если тела не было, то у чего же масса покоя равна нулю?

С другой стороны, в формуле Е=тс2 речь идёт об энергии покоящегося тела. Тем не менее, в ней присутствует скорость. Как же можно перемножать массу покоя тела на скорость, да ещё фотонов, не имеющих массы покоя?

Где же в природе или в эксперименте можно наблюдать процессы превращения частиц или тел, имеющих массу покоя, в энергию излучения? Обратимся к экспериментальным фактам.

В рамках современной физики принято считать, что электрон и позитрон, имеющие массу покоя и эквивалентную ей энергию примерно по 0,5МэВ, могут аннигилировать с образованием двух гамма-квантов, которые получают энергию тоже по 0,5МэВ. А гамма-кванты с этой энергией могут из области, близкой к ядру атома, рождать пару электрон-позитрон, что и подтверждает справедливость формулы Е=тс2.

Нет, не подтверждает. Реакция аннигиляции — это взаимодействие материи и антиматерии, а не превращение нейтрона или электрона в излучение.

Кроме того, не объясняется — куда девается кинетическая энергия частиц, приобретённая ими при сближении до аннигиляции? К тому же, масса гамма-квантов вычисляется по формуле Е=тс2. Получается, что формулу объясняем этой же самой формулой.

Можно предположить, что никакой аннигиляции электрона с позитроном не происходит. При их соединении в энергию гамма-квантов переходит кинетическая энергия частиц, а сами частицы остаются в эфире в виртуальном виде в одном из фазовых состояний с минимальными энергиями. А после поглощения гамма-квантов частицы переходят в реальный мир, в другое фазовое состояние, наподобие молекул воды, которые при получении энергии переходят из жидкого состояния в состояние пара.

Хорошо изучено явление тормозного излучения электронов. Энергия излучения точно равна кинетической энергии электрона перед его остановкой. А сам электрон никуда не девается — он просто останавливается.

Мы также знаем, что атом может испускать и поглощать фотоны разных энергий. При передаче фотоном своей энергии электрону в атоме, электрон переходит на более высокоэнергетическую орбиту. А при переходе электрона на прежнюю орбиту атом излучает фотон с уменьшением своей общей энергии.

И разница в энергиях электрона до и после излучения определяет энергию излучённого фотона. То есть, происходит только передача энергии от фотона к электрону и обратно.

Известно, что в фотоэффекте, где фотон выбивает электрон из атома, не выполняется закон сохранения импульса. Этот факт позволяет утверждать, что у фотона нет массы и импульса, он передаёт электрону только энергию.

Далее. Когда были проведены первые испытания атомных бомб, то многие считали (и считают до сих пор), что причиной огромного выделения энергии при взрыве является переход части атомов вещества в излучение, что и подтверждает формулу Е=тс2.

Но и это утверждение не соответствует действительности.

Во многих физических справочниках приводится реакция деления ядер и-235 и соответствующий энергетический баланс этой реакции.

и (235,92) + п (1,0) -— Ва (145,56)* + Кг (88,36) + 3п (1,0)

Выделившаяся энергия распределяется следующим образом (цифры в процентах с точностью до 1%): кинетическая энергия осколков (бария и криптона) — 89, энергия бета-распада — 4, энергия гамма-квантов — 4, кинетическая энергия нейтронов — 3. Сумма нуклонов в обеих частях реакции одинакова.

Энергию взрыва на 96% составляет кинетическая энергия частиц и только 4% — доля излучения, которое образуется не за счёт распада массы, а при переходе энергии возбуждения ядра бария в энергию гамма-кваитов.

И только после развала ядра на частицы их кинетическая энергия превращается в энергию различных видов волн и излучений.

Другими словами, никакие частицы при взрыве в излучение не превратились, а произошёл только переход энергии из одного вида в другой.

Считается, что на Солнце происходит термоядерная реакция соединения изотопов водорода с образованием гелия и выделением большого количества энергии. И что энергия эта получается за счёт перехода в неё части массы реагирующих веществ.

Реакция записывается так: Б + Т——Не + п +17,6 МэВ.

Расшифруем. Дейтрон (ядро изотопа водорода — дейтерия), содержащий 1 протон и 1 нейтрон, соединяется с тритоном (ядром другого изотопа водорода — трития), содержащим 1 протон и 2 нейтрона. В результате реакции получается ядро гелия (2 протона и 2 нейтрона), 1 нейтрон и энергия.

И в этой реакции количество нуклонов в обеих частях реакции одинаково, то есть, ни одна частица никуда не делась. А полученная энергия — это кинетическая энергия ядра гелия (20%) и нейтрона (80%).

Всё вышесказанное означает, что нет ни одного эксперимента, который бы однозначно доказывал распад вещества, имеющего массу.

И это логично, поскольку надо помнить, в какие огромные плотности сжата материя в частицах. Плотность самых тяжёлых земных материалов составляет величину около 20г/см3. Плотность материи электрона — порядка миллиона тонн/см3, а протона и нейтрона — миллиарды тонн/см3.

Природе зачем-то понадобилось сжимать материю в частицах до таких чудовищных плотностей. Надо полагать, не для того, чтобы легко «разбазаривать» её направо и налево в виде излучений. А для того, чтобы мир был устойчив, и никакие огромные ядерные и термоядерные температуры не могли нарушить целостность «кирпичиков» этого мира.

Кроме того, в физических справочниках величины масс частиц, составляющих атом, указываются до шестого знака после запятой. Значит, не предполагается, что массы частиц могут меняться

Теперь рассмотрим, откуда возникает энергия атомного взрыва?

С увеличением порядкового номера элементов в таблице Менделеева в ядре элементов увеличивается и количество протонов, и количество нейтронов. Размер ядра увеличивается, и у элементов, начиная с атомного номера выше примерно 60, близкодействующие ядерные силы между нуклонами ослабевают.

При достаточно большом массовом числе и определённом соотношении протонов и нейтронов (например, в ядре и235) кулоновские силы отталкивания между протонами почти сравниваются с ядерными силами притяжения.

Достаточно небольшого «запала» в виде нейтрона малой энергии, попавшего в ядро и235, чтобы оно развалилось и выделилась энергия, эквивалентная величине потенциальной энергии отталкивания протонов в ядре.

Энергия атомного взрыва — это не распад частиц, не распад массы, а выделившаяся потенциальная энергия кулоновского отталкивания частиц в ядре после развала ядра.

Можно привести такую аналогию. В земной коре за многие миллионы лет существования Земли в реакциях с потреблением энергии образовались не только элементы с большим атомным весом, но и такие вещества, как нефть, газ, каменный уголь и др. При сжигании этих веществ часть запасённой в них энергии выделяется в виде тепла, и образуются новые вещества.

Количество атомов в исходных продуктах и в продуктах реакции этих веществ сохраняется. Происходит только образование новых молекул с другой по величине энергией связи между атомами. Для начала реакции их горения тоже достаточно небольшой энергии «запала», чтобы реакция началась.

Похожий процесс происходит и при «горении» урана.

Разница только в том, что при химических реакциях идёт перегруппировка вещества на уровне атомов, а в ядерных реакциях — на уровне ядер.

Теперь обратимся к понятию «дефект массы» ядерных реакций.

Имеются таблицы величин масс ядер различных элементов, определённых масс-спектрометрическим методом, из которых следует, что массы большинства ядер меньше суммы масс частиц, из которых они состоят.

Эту разницу масс назвали «дефектом массы» и решили, что часть массы составляющих ядро частиц переходит в энергию их связи в ядре. Такое утверждение тоже не соответствует действительности.

Сначала напрашивается логичный вывод — если суммарная масса частиц в различных реакциях, даже при очень больших температурах, не меняется, то не может быть и никакого реального дефекта массы.

Известно, что ещё в 1835г. К.Гауссом в электродинамике был открыт закон запаздывания потенциалов, суть которого в том, что при увеличении скорости электронов уменьшается сила их взаимодействия с магнитным полем, что создаёт ложное впечатление увеличения массы электронов [4].

По разным причинам этот закон долго не был опубликован, а потом появились уравнения Максвелла, теория относительности, и о законе забыли.

Кроме того, величина электрического поля, создаваемого ядром, всегда отличается от суммы электрических полей протонов, входящих в ядро.

Из-за нелинейной зависимости энергии связи нуклонов в ядре от их количества (в пересчёте на один нуклон), при увеличении атомного номера элемента примерно до 60, когда энергия связи нуклонов в ядре достигает максимального значения, электрическое поле ядра будет меньше суммы электрических полей составляющих его протонов.

По этим причинам измеряемая в ускорителях масса ядра будет казаться меньше суммы масс протонов его составляющих.

А для элементов с номером больше 60 эффект поменяет знак.

Поскольку ни в одном эксперименте не измеряли массу частиц напрямую, а учитывали только увеличение затрат энергии при движении частицы и на основании этого вычисляли массу по формуле Е=тс2, понятие «дефект массы» возникло из-за слепой веры в теорию относительности и неправильной интерпретации результатов измерений масс частиц в ускорителях [5].

Связь между энергией различных волн с массой частиц может быть только условная. Вот образный пример.

Если подложить под чашку весов с телом магнит, притягивающий к себе чашку, то при равновесии чашек масса тела будет казаться меньше массы гирь на другой чашке весов. А если соорудить устройство, чтобы чашка с телом отталкивалась от магнита, то «дефект массы» получится с обратным знаком.

Этот «дефект массы» можно связать с энергией магнитного поля по формуле E=kДm, где Е — энергия магнитного поля магнита там, где располагается тело, Дт — дефект массы, k — коэффициент пропорциональности между потенциальной энергией магнитного поля и «дефектом массы».

Чтобы знаки потенциальной энергии и изменения эквивалентной ей массы совпадали, следует считать энергию поля притяжения зарядов друг к другу положительной, а энергию поля отталкивания -отрицательной. Аналогичный пересчёт можно сделать и в случае атомной реакции.

Как уже говорилось выше, энергия атомного взрыва — это перешедшая в кинетическую энергию частиц потенциальная энергия их кулоновского отталкивания в ядре после его распада. Эту потенциальную энергию можно условно перевести в эквивалентную ей массу электромагнитной волны.

Частица массой т с кинетической энергией Е и электромагнитная волна с такой же энергией могут совершить одинаковую работу А. Поэтому можно перевести массу частицы в эквивалентную ей электромагнитную энергию волны по формуле Е=тс2.

Но такой перевод массы частиц в энергию излучения не имеет физического смысла, поскольку никакая масса в энергию не переходит.

Можно перевести и энергию электромагнитной волны в эквивалентную ей массу частиц по формуле Е=mv2/2. Но такой перевод тем более теряет физический смысл, поскольку не даёт однозначного ответа -для каждой скорости частиц будет своя величина массы, эквивалентной энергии Е.

Такие сравнения энергии и массы условны и не означают, что масса и энергия могут переходить друг в друга. Образно выражаясь, можно считать, например, что телевизор может переходить в недельный отдых в санатории, если их цены в рублях одинаковы.

Вот как выразил своё понимание связи массы с энергией выдающийся учёный Н.Тесла: Нет в материи иной энергии, помимо полученной ею из окружающей среды; и та идея, что масса конвертируема в энергию — из ряда нонсенсов [6].

1. В природе действует закон сохранения массы и закон сохранения энергии. Масса и энергия не эквивалентны друг другу. Любая масса имеет какую-либо энергию, но не любая энергия имеет массу.

2. При любых химических и ядерных реакциях масса в энергию не переходит, она только перераспределяется между продуктами реакции. Энергия в массу тоже не превращается, она только переходит из одного вида в другой.

3. Поскольку масса и энергия не эквивалентны друг другу, формула Е=тс2 не имеет заложенного в неё физического смысла.

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

4. Поскольку любая масса, и любая энергия могут совершать определённую работу, из условия равенства произведённых ими работ можно условно пересчитывать энергию в эквивалентную ей массу по формуле Е = тс2.

Список использованной литературы: 1. А. Мигдал, «Квантовая физика для больших и маленьких», библ. «Квант», вып.75, 1989.

2. В. Петров, «Релятивистская масса и энергия», 2003 (эл. ресурс).

3. Журнал «Квант», №6, 2005.

4. Н. Носков, статья «Теория запаздывающих потенциалов против теории относительности» (эл. ресурс).

5. В. Комаров, «Материя и энергия» в кн. «Наука и миф», М, 1988.

6. О’Нил Дж. Джейкоб, «Гений, бьющий через край. Н.Тесла», 2009.

Kvant. Вывод формулы E = mc2

Полная и окончательная формулировка современной теории относительности содержится в большой статье Альберта Эйнштейна «К электродинамике движущихся тел», опубликованной в 1905 году. Если говорить об истории создания теории относительности, то у Эйнштейна были предшественники. Отдельные важные вопросы теории исследовались в работах Х.Лоренца, Дж.Лармора, А.Пуанкаре, а также некоторых других физиков. Однако теория относительности как физическая теория до появления работы Эйнштейна не существовала. Работа Эйнштейна отличается от предшествующих работ совершенно новым пониманием как отдельных сторон теории, так и всей теории как целого, таким пониманием, которого не было в работах его предшественников.

Теория относительности заставила пересмотреть многие основные представления физики. Относительность одновременности событий, различия в ходе движущихся и покоящихся часов, отличия в длине движущейся и покоящейся линеек — эти и многие другие следствия теории относительности неразрывно связаны с новыми по сравнению с ньютоновской механикой представлениями о пространстве и времени, а также о взаимной связи пространства и времени.

Одно из важнейших следствий теории относительности — знаменитое соотношение Эйнштейна между массой m покоящегося тела и запасом энергии Е в этом теле:

где с — скорость света.

(Это соотношение называют по-разному. На Западе для него принято название «соотношение эквивалентности между массой и энергией». У нас долгое время было принято более осторожное название «соотношение взаимосвязи между массой и энергией». Сторонники этого более осторожного названия избегают слова «эквивалентность», тождественность, потому что, говорят они, масса и энергия — это разные качества вещества, они могут быть связаны между собой, но не тождественны, не эквивалентны. Мне кажется, что эта осторожность является излишней. Равенство E = mc 2 говорит само за себя. Из него следует, что массу можно измерять в единицах энергии, а энергию — в единицах массы. Кстати, так физики и поступают. А утверждение, что масса и энергия — это разные характеристики вещества, было справедливо в механике Ньютона, а в механике Эйнштейна само соотношение E = mc 2 говорит о тождественности этих двух величин — массы и энергии. Можно, конечно, сказать, что соотношение между массой и энергией не означает их тождественности. Но это все равно, что сказать, глядя на равенство 2 = 2: это не тождество, а соотношение между разными двойками, потому что справа стоит правая двойка, а слева — левая.)

Соотношение (1) обычно выводится из уравнения движения тела в эйнштейновской механике, но этот вывод достаточно труден для ученика средней школы. Поэтому имеет смысл попытаться найти простой вывод этой формулы.

Сам Эйнштейн, сформулировав в 1905 году основы теории относительности в статье «К электродинамике движущихся тел», затем вернулся к вопросу о соотношении между массой и энергией. В том же 1905 году он опубликовал короткую заметку «Зависит ли инерция тела от содержащейся в нем энергии?». В этой статье он дал вывод соотношения E = mc 2 , который опирается не на уравнение движения, а, как и приведенный ниже вывод, на эффект Доплера. Но этот вывод тоже довольно сложный.

Вывод формулы E = mc 2 , который мы хотим вам предложить, не основан на уравнении движения и, кроме того, является достаточно простым, так что школьники старших классов могут его одолеть — для этого почти не потребуется знаний, выходящих за пределы школьной программы. На всякий случай мы приведем все сведения, которые нам понадобятся. Это сведения об эффекте Доплера и о фотоне — частице электромагнитного поля. Но предварительно оговорим одно условие, которое будем считать выполненным и на которое будем опираться при выводе.

Условие малости скоростей

Мы будем предполагать, что тело массой m, с которым мы будем иметь дело, либо покоится (и тогда, очевидно, скорость его равна нулю), либо, если оно движется, то со скоростью υ, малой по сравнению со скоростью света с. Иными словами, мы будем предполагать, что отношение \(~\frac<\upsilon>\) скорости тела к скорости света есть величина малая по сравнению с единицей. Однако мы будем считать отношение \(~\frac<\upsilon>\) хотя и малой, но не пренебрежимо малой величиной — будем учитывать величины, пропорциональные первой степени отношения \(~\frac<\upsilon>\), но будем пренебрегать вторыми и более высокими степенями этого отношения. Например, если при выводе нам придется иметь дело с выражением \(~1 — \frac<\upsilon^2>\), мы будем пренебрегать величиной \(~\frac<\upsilon^2>\) по сравнению с единицей:

В этом приближении получаются соотношения, которые на первый взгляд могут показаться странными, хотя ничего странного в них нет, надо только помнить, что соотношения эти не являются точными равенствами, а справедливы с точностью до величины \(~\frac<\upsilon>\) включительно, величинами же порядка \(~\frac<\upsilon^2>\) мы пренебрегаем. В таком предположении справедливо, например, следующее приближенное равенство:

Действительно, умножим обе части этого приближенного равенства на \(~1 — \frac<\upsilon>\). Мы получим

т.е. приближенное равенство (2). Поскольку мы считаем, что величина \(~\frac<\upsilon^2>\) пренебрежимо мала в сравнении с единицей, мы видим, что в приближении \(~\frac<\upsilon^2> \ll 1\) равенство (3) справедливо.

Аналогично, нетрудно доказать в том же приближении равенство

Чем меньше величина \(~\frac<\upsilon>\), тем точнее эти приближенные равенства.

Мы не случайно будем использовать приближение малых скоростей. Нередко приходится слышать и читать, что теория относительности должна применяться в случае больших скоростей, когда отношение скорости тела к скорости света имеет порядок единицы, при малых же скоростях применима механика Ньютона. На самом деле теория относительности не сводится к механике Ньютона даже в случае сколь угодно малых скоростей. Мы это увидим, доказав соотношение E = mc 2 для покоящегося или очень медленно движущегося тела. Механика Ньютона такого соотношения дать не может.

Оговорив малость скоростей по сравнению со скоростью света, перейдем к изложению некоторых сведений, которые понадобятся нам при выводе формулы E = mc 2 .

Эффект Доплера

Мы начнем с явления, которое называется по имени австрийского физика Кристиана Доплера, открывшего это явление в середине позапрошлого века.

Рассмотрим источник света, причем будем считать, что источник движется вдоль оси x со скоростью υ. Предположим для простоты, что в момент времени t = 0 источник проходит через начало координат, т.е. через точку х = 0. Тогда положение источника в любой момент времени t определяется формулой

Предположим, что далеко впереди излучающего тела на оси x помещен наблюдатель, который следит за движением тела. Ясно, что при таком расположении тело приближается к наблюдателю. Допустим, что наблюдатель взглянул на тело в момент времени t. В этот момент до наблюдателя доходит световой сигнал, излученный телом в более ранний момент времени t’. Очевидно, момент излучения должен предшествовать моменту приема, т.е. должно быть t’ < t.

Определим связь между t’ и t. В момент излучения t’ тело находится в точке \(~x’ = \upsilon t’\), a наблюдатель пусть находится в точке х = L. Тогда расстояние от точки излучения до точки приема равно \(~L — \upsilon t’\), а время, за которое свет пройдет такое расстояние, равно \(~\frac\). Зная это, мы легко можем записать уравнение, связывающее t’ и t:

Таким образом, наблюдатель, глядя на движущееся тело в момент времени t, видит это тело там, где оно находилось в более ранний момент времени t’, причем связь между t и t’ определяется формулой (5).

Предположим теперь, что яркость источника периодически меняется по закону косинуса. Обозначим яркость буквой I. Очевидно, I есть функция времени, и мы можем, учитывая это обстоятельство, записать

\(~I = I_0 + I_1 \cos \omega t \ (I_0 > I_1 > 0),\)

где I₀ и I₁ — некоторые постоянные, не зависящие от времени. Неравенство в скобках необходимо потому, что яркость не может быть отрицательной величиной. Но для нас в данном случае это обстоятельство не имеет никакого значения, поскольку в дальнейшем нас будет интересовать только переменная составляющая — второе слагаемое в формуле для I(t).

Пусть наблюдатель смотрит на тело в момент времени t. Как уже было сказано, он видит тело в состоянии, соответствующем более раннему моменту времени t’. Переменная часть яркости в момент t’ пропорциональна cos ωt’. С учетом соотношения (5) получаем

Коэффициент при t под знаком косинуса дает частоту изменения яркости, как ее видит наблюдатель. Обозначим эту частоту через ω’, тогда

Если источник покоится (υ = 0), то ω’ = ω, т.е. наблюдатель воспринимает ту же самую частоту, что излучается источником. Если же источник движется к наблюдателю (в этом случае наблюдатель принимает излучение, направленное вперед по движению источника), то принимаемая частота ω’ отличается от излучаемой частоты ω, причем принимаемая частота больше излучаемой.

Случай, когда источник движется от наблюдателя, можно получить, изменив знак перед υ в соотношении (6). Видно, что тогда принимаемая частота оказывается меньше излучаемой.

Можно сказать, что вперед излучаются большие частоты, а назад — малые (если источник удаляется от наблюдателя, то наблюдатель, очевидно, принимает излучение, испущенное назад).

В несовпадении частоты колебаний источника и частоты, принимаемой наблюдателем, и состоит эффект Доплера. Если наблюдатель находится в системе координат, в которой источник покоится, то излучаемая и принимаемая частоты совпадают. Если же наблюдатель находится в системе координат, в которой источник движется со скоростью υ, то связь излучаемой и принимаемой частот определяется формулой (6). При этом мы предполагаем, что наблюдатель всегда покоится.

Как видно, связь между излучаемой и принимаемой частотами определяется скоростью v относительного движения источника и наблюдателя. В этом смысле безразлично, кто движется — источник приближается к наблюдателю или наблюдатель к источнику. Но нам в дальнейшем удобнее будет считать, что наблюдатель покоится.

Строго говоря, в разных системах координат время течет по-разному. Изменение хода времени также сказывается на величине наблюдаемой частоты. Если,например, частота колебаний маятника в системе координат, где он покоится, равна ω, то в системе координат, где он движется со скоростью υ, частота равна \(~\omega \sqrt>\). К такому результату приводит теория относительности. Но поскольку мы с самого начала условились пренебрегать величиной \(~\frac<\upsilon^2>\) по сравнению с единицей, то изменение хода времени для нашего случая (движение с малой скоростью) пренебрежимо мало.

Таким образом, наблюдение за движущимся телом имеет свои особенности. Наблюдатель видит тело не там, где оно находится (пока сигнал идет к наблюдателю, тело успевает переместиться), и принимает сигнал, частота которого ω’ отличается от излучаемой частоты ω.

Выпишем теперь окончательные формулы, которые понадобятся нам в дальнейшем. Если движущийся источник излучает вперед по направлению движения, то частота ω’, принятая наблюдателем, связана с частотой источника ω соотношением

Для излучения назад имеем

Энергия и импульс фотона

Современное представление о частице электромагнитного поля — фотоне, как и формула E = mc 2 , которую мы собираемся доказать, принадлежит Эйнштейну и было высказано им в том же 1905 году, в котором он доказал эквивалентность массы и энергии. Согласно Эйнштейну, электромагнитные и, в частности, световые волны состоят из отдельных частиц — фотонов. Если рассматривается свет некоторой определенной частоты ω, то каждый фотон имеет энергию E, пропорциональную этой частоте:

Коэффициент пропорциональности \(~\hbar\) называется постоянной Планка. По порядку величины постоянная Планка равна 10 -34 , размерность ее Дж·с. Мы здесь не выписываем точного значения постоянной Планка, оно нам не понадобится.

Иногда вместо слова «фотон» говорят «квант электромагнитного поля».

Фотон имеет не только энергию, но и импульс, равный

Этих сведений нам будет достаточно для дальнейшего.

Вывод формулы E = mc 2

Рассмотрим покоящееся тело массой m. Предположим, что это тело одновременно излучает два фотона в прямо противоположных направлениях. Оба фотона имеют одинаковые частоты ω и, значит, одинаковые энергии \(~E = \hbar \omega\), а также равные по величине и противоположные по направлению импульсы. В результате излучения тело теряет энергию

\(~\Delta E = 2 \hbar \omega. \qquad (9)\)

Потеря импульса равна нулю, и, следовательно, тело после излучения двух квантов остается в покое.

Этот мысленный опыт представлен на рисунке 1. Тело изображено кружком, а фотоны — волнистыми линиями. Один из фотонов излучается в положительном направлении оси x, другой — в отрицательном. Около волнистых линий приведены значения энергии и импульса соответствующих фотонов. Видно, что сумма излученных импульсов равна нулю.

Рис.1. Картина двух фотонов в системе отсчета, в которой излучающее тело покоится: а) тело до излучения; б) после излучения

Рассмотрим теперь ту же картину с точки зрения наблюдателя, который движется по оси x влево (т.е. в отрицательном направлении оси x) с малой скоростью υ. Такой наблюдатель увидит уже не покоящееся тело, а тело, движущееся с малой скоростью вправо. Величина этой скорости равна υ, а направлена скорость в положительном направлении оси x. Тогда частота, излучаемая вправо, будет определяться формулой (7) для случая излучения вперед:

\(~\omega’ = \omega \left( 1 + \frac<\upsilon> \right).\)

Мы частоту фотона, излучаемого движущимся телом вперед по направлению движения, обозначили через ω’, чтобы не спутать эту частоту с частотой ω излучаемого фотона в той системе координат, где тело покоится. Соответственно, частота фотона, излучаемого движущимся телом влево, определяется формулой (8) для случая излучения назад:

\(~\omega» = \omega \left( 1 — \frac<\upsilon> \right).\)

Чтобы не перепутать излучение вперед и излучение назад, мы будем величины, относящиеся к излучению назад, обозначать двумя штрихами.

Поскольку, из-за эффекта Доплера, частоты излучения вперед и назад различны, энергия и импульс у излученных квантов также будут различаться. Квант, излученный вперед, будет иметь энергию

\(~E’ = \hbar \omega’ = \hbar \omega \left( 1 + \frac<\upsilon> \right)\)

Квант, излученный назад, будет иметь энергию

\(~E» = \hbar \omega» = \hbar \omega \left( 1 — \frac<\upsilon> \right)\)

При этом импульсы квантов направлены в противоположные стороны.

Картина процесса излучения, каким его видит движущийся наблюдатель, изображена на рисунке 2.

Рис.2. Картина двух фотонов в системе отсчета, где скорость излучающего тела равна υ: а) тело до излучения; б) после излучения

Важно здесь подчеркнуть, что на рисунках 1 и 2 изображен один и тот же процесс, но с точки зрения разных наблюдателей. Первый рисунок относится к случаю, когда наблюдатель покоится относительно излучающего тела, а второй — когда наблюдатель движется.

Подсчитаем баланс энергии и импульса для второго случая. Потеря энергии в системе координат, где излучатель имеет скорость υ, равна

\(~\Delta E’ = E’ + E» = \hbar \omega \left( 1 + \frac<\upsilon> \right) + \hbar \omega \left( 1 — \frac<\upsilon> \right) = 2 \hbar \omega = \Delta E,\)

т.е. она такая же, как и в системе, где излучатель покоится (см. формулу (9)). Но потеря импульса в системе, где излучатель движется, не равна нулю, в отличие от системы покоя:

Движущийся излучатель теряет импульс \(~\frac\) и, следовательно, должен, казалось бы, тормозиться, уменьшать свою скорость. Но в системе покоя излучение симметрично, излучатель не меняет скорости. Значит, скорость излучателя не может измениться и в той системе, где он движется. А если скорость тела не меняется, то как оно может потерять импульс?

Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним, как записывается импульс тела массой m:

— импульс равен произведению массы тела на его скорость. Если скорость тела не меняется , то его импульс может измениться только за счет изменения массы:

\(~\Delta p = \Delta m \upsilon\)

Здесь Δp — изменение импульса тела при неизменной скорости, Δm — изменение его массы.

Это выражение для потери импульса надо приравнять к выражению (10), которое связывает потерю импульса с потерей энергии. Мы получим формулу

\(~\frac\upsilon = \Delta m \upsilon,\)

\(~\Delta E = \Delta m c^2,\)

которая означает, что изменение энергии тела влечет за собой пропорциональное изменение его массы. Отсюда легко получить соотношение между полной массой тела и полным запасом энергии:

Открытие этой формулы явилось огромным шагом вперед в понимании природных явлений. Само по себе осознание эквивалентности массы и энергии есть великое достижение. Но полученная формула, помимо того, имеет широчайшее поле применения. Распад и слияние атомных ядер, рождение и распад частиц, превращения элементарных частиц одна в другую и множество других явлений требуют для своего объяснения учета формулы связи между массой и энергией.

В заключение — два домашних задания для любителей теории относительности.

Прочитайте статью А.Эйнштейна «Зависит ли инерция тела от содержащейся в нем энергии?».
Попробуйте самостоятельно вывести соотношение \(~\Delta m = \frac\) для случая системы отсчета, скорость которой υ может быть не малой по сравнению со скоростью света с. Указание. Используйте точную формулу для импульса частицы: \(~p = \frac>>\) и точную формулу для эффекта Доплера: \(~\omega’ = \omega \sqrt>>>,\) которая получается, если учесть различие в ходе времени в покоящейся и движущейся системах отсчета.

E = mc²: Самое знаменитое уравнение Эйнштейна

Это гораздо больше, чем взаимосвязь массы-энергии, это ключ к пониманию квантовой Вселенной.

Published in
4 min read
Feb 6, 2018

В течение сотен лет существовал непреложный закон физики, который никогда не оспаривался: при любой реакции, происходящей во Вселенной, масса вещества сохранялась. Независимо от того, что с чем реагирует, масса исходных веществ и масса получившихся будет равна. Но, по законам специальной теории относительности, масса просто не может быть конечной сохраненной величиной, так как разные наблюдатели не соглашались бы с тем, что такое энергия системы. Вместо этого Эйнштейн смог получить закон, который мы используем сегодня, управляемый одним из самых простых, но самых мощных и изящных уравнений из всех существующих:

В самом известном уравнении Эйнштейна есть только три составляющих:

E, или энергия, которая является полнотой одной части уравнения и представляет собой полную энергию системы.
m или масса, которая связана с энергией по коэффициенту пересчета.
и c², которая является скоростью света в квадрате: эквивалентный коэффициент, уравнивающий массу и энергию.

Это уравнение полностью меняет мир. Как выразился сам Эйнштейн:

Из специальной теории относительности следует, что масса и энергия — это одновременно разные проявления одного и того же — несколько необычная концепция для среднего ума.

Вот три самых важных по значимости вывода, которые следуют из этого простого уравнения:

Даже массы в покое имеют присущую им энергию. Вы знаете обо всех типах энергий, включая механическую, химическую и электрическую энергию, а также кинетическую энергию. Это все энергии, присущие движущимся или реагирующим объектам, и эти формы энергии могут быть использованы для работы, такой как вращение двигателя, свет лампочки или измельчение зерна в муку. Но даже простая, обычная масса в покое имеет присущую ей энергию: огромное количество энергии. Это несет в себе потрясающий вывод: гравитация, которая существует между любыми двумя массами во Вселенной, также должна работать на основе энергии, которая эквивалентна массе через уравнение E=mc².
Масса может быть преобразована в чистую энергию. Это второе значение уравнения, где E=mc² точно показывает, сколько энергии вы получаете от преобразования массы. На каждый 1 килограмм массы превращающейся в энергию, мы получим 9×10¹⁶ джоулей энергии, что эквивалентно 21 мегатонн в тротилловом эквиваленте. Когда происходит радиоактивный распад или ядерная реакцию деления или синтеза, начальная масса больше конечной массы — закон сохранения массы не работает. Но разница в количестве масс — это высвобожденная энергия! Это верно для всех ядерных реакций, от распада урана при взрыве атомной бомбы до ядерного синтеза на Солнце и аннигиляции антиматерии. Количество уменьшающейся массы становится энергией, которая рассчитывается из уравнения E=mc².
Энергию можно использовать для того чтобы сделать массу из ничего… за исключением чистой энергии. Последнее является наиболее глубоким. Если взять два бильярдных шара и столкнуть их друг с другом, вы получите те же два бильярдных шара. Если взять фотон и электрон и столкнуть их вместе, вы также получите фотон и электрон. Но если столкнуть их с достаточным количеством энергии, то получится и фотон, и электрон, и новая материя — пара частиц антивещества. Другими словами, вы создали две новые массивные частицы:
— частицы материи, такие как электрон, протон, нейтрон и т.п.
— и частицы антивещества, такие как позитрон, антипротон, антинейтрон и т.п.,
чье существование может возникнуть, только если будет достаточно энергии. Именно таким образом ускорители частиц, как Большой адронный коллайдер в CERN, ищут новые, нестабильные, высокоэнергетические частицы (например, бозон Хиггса или верхний кварк) — создавая эти новые частицы из чистой энергии. Получаемая масса исходит из имеющейся энергии: m=E/c².

Факт эквивалентности массы-энергии привел Эйнштейна к его величайшему достижению: Общей теории относительности. Представьте, что у вас есть частица материи и частица антивещества, каждая из которых имеет одинаковую массу покоя. Вы можете уничтожить их, и они будут производить фотоны определенного количества энергии, точного количества, заданного формулой E=mc². Теперь представьте, что пара частиц/античастиц движется очень быстро, как будто они падают из космоса, а затем самоуничтожаются вблизи поверхности Земли. Эти фотоны теперь будут иметь дополнительную энергию: не только E от E = mc², но и дополнительную E от количества кинетической энергии, которую они получили при падении.

Если мы хотим сохранить энергию, мы должны понять, что гравитационное красное смещение (а также синее смещение) должно быть реальным. Теория всемирного тяготения Ньютона не может объяснить этого, но в Общей теории относительности Эйнштейна кривизна пространства означает, что попадание в гравитационное поле заставляет вас получать энергию, а выход из гравитационного поля заставляет вас терять энергию. Тогда полное и общее отношение для любого движущегося объекта — это не только E=mc², но и E²=m²c⁴+p²c² (где p — импульс.) Только обобщая вещи, включающие энергию, импульс и гравитацию, мы можем действительно описать Вселенную.

Великое уравнение Эйнштейна, E=mc², является триумфом мощи и простоты фундаментальной физики. Материя имеет присущее ей количество энергии, масса может быть преобразована (при правильных условиях) в чистую энергию, а энергия может быть использована для создания массивных объектов, которые ранее не существовали. Размышления об этом позволили ученым обнаружить фундаментальные частицы, составляющие нашу Вселенную, изобрести ядерную энергию и ядерное оружие, и открыть теорию гравитации, описывающую, как взаимодействует каждый объект во Вселенной.