Движение качелей которые вывели из состояния равновесия

1.Приведите примеры колебательных движений. 2.Что называется механическими колебаниями? 3.какие колебания называются свободными? 4.Какие системы называются колебательными? 5.Что называется амплитудой колебаний; периодом колебаний; частотой колебаний? В каких единицах измеряется каждая из этих величин? 6.Какая математическая зависимость существует между периодом и частотой колебаний? 7.Как зависят частота и период свободных колебаний от длины нити? 8.Какие колебания называются собственными? 9.Какие колебания называются гармоническими? 10.Что называется математическим маятником? При каких условиях реальный нитяной маятник будет совершать колебания, близкие к гармоническим? 11.Какую величину называют фазой колебаний? 12.Приведите пример колеблющихся тел в одинаковых фазах, противоположных фазах. 13. Какие превращения энергии, происходят при колебаниях? 14. Что называют вынужденными колебаниями? 15. Какое явление называют резонансом? 16.Приведите примеры механического резонанса. 17. В каких случаях резонанс может быть полезным, а в каких — вредным? 18.Что называется волнами? Что такое упругие волны? Приведите пример волн, не относящихся к упругим волнам. 19.Какие волны называются продольными; поперечными? 20.Какие волны – поперечные или продольные — являются волнами сдвига; волнами сжатия и растяжения? 21.Почему поперечные волны не распространяются в жидких и газообразных средах? 22.Что называется длиной волны? По каким формулам можно рассчитать длину волны и скорость распространения волн? 22. Что является источником звука? Что называют звуком? 23.Механические колебания, каких частот называются звуковыми и почему? 24.Какие колебания называются ультразвуковыми; инфразвуковыми? 25.Что называют музыкальным тоном; шумом? 26.Чем определяется громкость звука? 27.От чего зависит высота звука? 28.Что называют эхом?

1. Математический маятник, качели, часы с кукушкой. 2. Механические колебания — движение, при котором тело периодично меняет свое положение на противоположное, проходя положение равновесия. 3. Свободны колебания — колебания, которые после возбуждения происходят без внешних воздействий. 4. Колебательные системы — системы тел, которые могут совершать колебания. 5. Амплитуда колебаний — наибольшее по модулю смещение тела относительно положения равновесия(м). Период колебания — продолжительность по времени одного полного колебания(с). Частота колебаний — число колебаний в единицу времени. 6.Частота — величина, обратная периоду; период — величина, обратная частоте. 7. Чем длиннее нить, тем частота колебаний меньше, следовательно, время одного полного колебания(периода) увеличивается. 8. Собственные колебания — колебания, совершаемые без внешних воздействий на тело. 9. Гармонические колебания — колебания, подчиняющиеся закону синуса или косинуса. 10. Математический маятник — тяжелый шарик небольшого размера, прикрепленный к длинной, нерастяжимой нити. 11. Фаза колебаний — определяет смещение маятника от положения равновесия. 14. Вынужденные колебания — колебания совершаемые телом под действием внешней силы, периодически изменяющейся. 15. Резонанс — явления резко возрастающей амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты колебаний вынуждающий силы и собственной частоты колебательной системы. 16. Некоторые люди своим голосом способны разбивать хрустальные бокалы. Это самый яркий пример. 17. Пример полезного резонанса — звуки музыкальных инструментов, вредный — разрушение построек. 18. Волны — Возмущения, распространяющие в пространстве и удаляющиеся от места их возникновения. Упругие волны — распространяющиеся в упругих средах. Электромагнитные волны не относятся к упругим. 19. Продольные волны — колебания в которых совершаются вдоль распространения волн., Поперечные — колебания в которых распространяются перпендикулярно распространению волн. 20. Поперечные — волны сдвига, продольные — сжатия. 21.Потому что в данных средах не возникает упругих сил. 22. Длина волны — расстояние между двумя точками волны. колеблющимся в одинаковых фазах.

Катерина 4 года назад

1)колебание движение кот. повторяется: ветка дерева качается, игла швейной машины голосовые связки человека, прыжки на батуте. 2) Механические колебания – это повторяющееся движение, при котором тело многократно проходит одно и то же положение в пространстве. Различают периодические и непериодические колебания. Периодическими называют колебания, при которых координата и другие характеристики тела описываются периодическими функциями времени. 3)Свободные (или собственные) — это колебания в системе под действием внутренних сил после того, как система выведена из состояния равновесия (в реальных условиях свободные колебания всегда затухающие). 4)Колебательными системами называются системы тел, способных совершать свободные колебания. 5) Амплитуда — максимальное смещение колеблющегося тела от положения равновесия. Амплитуда обозначается буквой «А» и в СИ измеряется в метрах (м). период — время совершения одного колебания. Период обозначается буквой «Г» и в СИ измеряется в секундах (с). Частота — количество колебаний в единицу времени. Частота обозначается буквой «V» и в СИ измеряется в герцах (Гц). 6)период колебаний связан соотношением взаимной обратности с частотой (прямопропорциональная зависимость) 7)Чем больше длина нити маятника, тем меньше частота; чем больше длина нити маятника, тем больше период. 8)Собственными колебаниями называют колебания которые происходят без внешней силы. Также эти колебания называют свободными. Свободные колебания всегда являются затухающими. 9) Гармоническими колебаниями называются колебания, в которых изменение какой-либо физической величины происходит по закону синуса или косинуса. 10)Колебания нитяного маятника можно считать гармоническими, если длина нити много больше размеров подвешенного на ней тела (например, шарика), нить очень легкая и малорастяжимая, силы трения в системе отсутствуют, амплитуда колебаний мала. 11)Фаза колебания — гармоническое колебание (φ). Величину φ, стоящую под знаком функции косинуса или синуса, называют фазой колебаний , описываемой этой функцией. 12)1 и 3 поршня двигателя в одной фазе, 1 и 2 в противофазе. Ноги при ходьбе в противофазе. Левая рука и правая нога в одной фазе. 13)При колебаниях маятника потенциальная энергия переходит в кинетическую и наоборот При этом полная механическая энергия равная сумме потенциальной и кинетической энергий 14)Вынужденными называют колебания, происходящие под действием внешней периодической силы. 15)Резонанс — явление, заключающееся в том, что при некоторой частоте вынуждающей силы колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие этой силы. 16)Любой радиоприёмник (в том числе телевизор и мобила) — это примеры резонансных систем. Входной контур обязательно должен быть настроен на частоту принимаемого сигнала, да и по дороге там сигнал усиливается резонансными схемами. 17)Полезное явление: в музыкальных инструментах. Вредное явление: при прохождении солдат по мосту в ногу, в результате резонанса мост может разрушиться. 18)Упру́гие во́лны (звуковые волны) — волны, распространяющиеся в жидких, твёрдых и газообразных средах за счёт действия упругих сил. В зависимости от частоты различают инфразвуковые, звуковые и ультразвуковые упругие волны. не относящиеся к упругим-электромагнитные волны. 19)Продольные волны — это такие волны, в которых колебания частиц среды совершаются вдоль направления распространения волн, например, звуковые волны. Поперечные волны — это такие волны, при которых колебания частиц среды совершаются перпендикулярно направлению распространения волн, например, волны на поверхности воды. 20)Волнами сдвига являются поперечные, волнами сжатия — продольные. 21) Т.к. в газах и жидкостях не возникает упругих сил при сдвиге. 22)Колебания воздуха, источником которых является колеблющееся тело, называют звуковыми волнами, а пространство, в котором они распространяются, звуковым полем. 23)Колебания с частотой от 20 Гц до 20000 Гц называются звуковыми, поскольку воспринимаются человеком 24)Инфразвуковыми называются колебания с частотой ниже 20 Гц, ультразвуковыми — с частотой выше 20000 Гц 25)Спектр шума — сплошной. Шумом называют самые различные звуки, представляющие сочетание множества различных тонов, частота, форма, интенсивность и продолжительность которых беспорядочно меняются. Шум является вредным явлением. Длительное действие шума на орган слуха вызывает ослабление чувствительности уха, может привести к частичной или полной потере слуха. 26)Громкость звука — определяется амплитудой сигнала. Чем выше амплитуда звуковой волны, тем громче звук. 27)Высота звука определяется его частотой: чем больше частота колебаний в звуковой волне, тем выше звук. Колебаниям небольшой частоты соответствуют низкие звуки, колебаниям большой частоты — высокие звуки 28)Явление, когда звук, изданный человеком или другим источником, достигает приемника, например, уха, после отражения от препятствия, называют эхом. Таким препятствием могут быть горы или стены пещер, поэтому именно в таких местах эхо наиболее отчетливо.

Женя 4 года назад

1. Детские качели, пружина, маятник 2. Называют, такое движение тела, при котором оно попеременно отклоняется от положения равновесия то в одну, то в другую сторону через одинаковые промежутки времени. 3. Это колебания, происходящие под действием внутренних сил и возникающие в системе после того, как она была выведена из состояния равновесия. 4. Называются системы тел, способных совершать свободные колебания. 5. Амплитуда- это наибольшее смещение колеблющегося тела от положения равновесия. Период-это промежуток времени, в течение которого происходит одно полное колебание(Т). Частота-это физ. величина, равная числу колебаний за единицу времени(n). 6. n=1/T 7. T=2*пи*корень квадратный из(l/g) n=корень из(g)/(2*пи*корень из(l)) 8.Собственными (свободными) колебаниями называются колебания, которые происходят в системе в отсутствие переменных внешних воздействий и возникают вследствие начального отклонения одного из параметров системы от состояния равновесия. 9.Это колебания, происходящие по законам косинуса или синуса. 10.Это система «Тело+нить» Когда трение в системе будет минимальным. 11.Это величина, стоящая под знаком синуса или косинуса. 12. Одинаковая фаза: подвесили два одинаковых маятника и одновременно вывели и положения равновесия Противоположные фазы: подвесили два одинаковых маятника и выпустили в разные моменты времени 13. При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия обращаются в нуль. В этом положении потенциальная энергия колеблющегося тела достигает максимального значения. Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия, его скорость максимальна. В этот момент оно обладает максимальной кинетической и минимальной потенциальной энергией. Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной энергии. При дальнейшем движении начинает увеличиваться потенциальная энергия за счет убыли кинетической энергии и т. д. 14. Это колебания, происходящие под действием внешних периодических сил. 15. Это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, при совпадении частоты собственных колебаний колебательной системы с частотой внешней периодической силой. 16. Катание на подвесных качелях. Один человек сидит на них, а второй раскачивает, и прикладывая совсем небольшие силы, даже ребенок может очень сильно раскачать взрослого. 17. Польза: Застрявшую в ямке машину постепенно раскачивают и толкают вперед в моменты, когда она сама двигается вперед. Так значительно повышают ее инерцию, усиливая амплитуду колебаний. Вред: Солдаты, идущие строевым шагом по мосту. Частота ударов солдатских сапог совпадала с частотой колебаний моста, и мост рушился. 18. Волна — это явление распространения в пространстве с течением времени возмущения физической величины. Упру́гие во́лны — волны, распространяющиеся в жидких, твёрдых и газообразных средах за счёт действия упругих сил. Пример неупругих волн: Электромагнитные волны. 19. Продольные-это волны, колебания в которых совершаются вдоль направления волны. Поперечные-это волны, колебания в которых происходят перпендикулярно направления волны. 20. Волнами сдвига являются поперечные, волнами сжатия — продольные. 21. Т.к. в газах и жидкостях не возникает упругих сил при сдвиге. 22. Это расстояние между двумя ближайшими точками, колеблющимися в одинаковых фазах, или это расстояние, которое волна проходит за время, равное периоду колебаний.(L) L=VT(V-скорость) V=L/T V=L*n 23. Источником звуковых волн являются колебания. Звук — физическое явление, представляющее собой распространение в виде упругих волн механических колебаний в твёрдой, жидкой или газообразной среде. 24. Волны, частота которых лежит в пределах от 20 до 20000 Гц. Называются они звуковыми, потому что человек их слышит. 25. Ультразвук- это волны, частота колебаний которых больше 20000 Гц. Инфразвук-это волны, частота колебаний которых меньше 20 Гц. 26. Частота звука определяется высотой и громкостью. Высота зависит от частоты колебаний; чем больше частота колебаний, тем выше звук. Громкость зависит от амплитуды; чем больше амплитуда, тем звук громче. 28. Эхо – звук, который отражается от каких-либо твердых и при этом достаточно крупных окружающих предметов.

1. Колебательное движение. Свободные колебания

Колебательные движения широко распространены в окружающей нас жизни. Колебания совершают раскачивающиеся качели (рис. \(2\)), маятник часов (рис. \(3\)), игла швейной машины (рис. \(1\)), крылья насекомых при полёте (рис. \(4\)) и многих других тел.

Рис. \(1\). Колебания иглы швейной машинки
Рис. \(2\). Колебания качелей
Рис. \(3\). Колебания маятника часов
Рис. \(4\). Колебания крыльев стрекозы

Конечно, движения этих тел многим и отличаются. Так качели совершают движение по дуге окружности, а игла швейной машины — по прямой; у крыльев стрекозы меньший размах, чем у маятника часов. Комариные крылья совершают большое количество колебаний за то же время, за которое качели могут совершить всего одно.
Эти движения объединяет свойство колеблющегося объекта повторять траекторию движения и находиться в одних и тех же точках через равные промежутки времени.

На анимации шарик, подвешенный на нити, совершает колебания (рис. \(5\)). Через равные промежутки времени он возвращается в одни и те же точки траектории. Затем движение повторяется, т.е. оно является периодичным.

Рис. \(5\). Колебания математического маятника
Интервал времени, через который движение тела полностью повторяется, называют периодом .
За один период колеблющееся тело дважды проходит положение равновесия.
Механические колебания — повторяющееся механическое движение тела около положения равновесия.
Положение равновесия — состояние системы с минимальной энергией.
В положении равновесия система может находиться сколь угодно долго.

Чтобы колебательные движения начались, нужно вывести тело (систему) из положения равновесия, изменить энергетическое состояние, дать толчок, что приводит к сообщению телу некоторого запаса энергии. За счёт этой энергии и происходят колебания.

чтобы заставить качели совершать колебательные движения, нужно сначала вывести их из положения равновесия, оттолкнувшись ногами, либо сделать это руками.

Колебания, происходящие благодаря только начальному запасу энергии колеблющегося тела при отсутствии внешних воздействий на него, называются свободными колебаниями.

примером свободных колебаний тела являются колебания груза, подвешенного на пружине. Первоначально выведенный из равновесия внешними силами груз в дальнейшем будет колебаться только за счёт внутренних сил системы «груз-пружина» — силы тяжести и силы упругости.

Условия возникновения свободных колебаний в системе:

а) система должна находиться в положении устойчивого равновесия: при отклонении системы от положения равновесия должна возникать сила, стремящаяся вернуть систему в положение равновесия — возвращающая сила;
б) наличие у системы избыточной механической энергии по сравнению с её энергией в положении равновесия;
в) избыточная энергия, полученная системой при смещении её из положения равновесия, не должна быть полностью израсходована на преодоление сил трения при возвращении в положение равновесия, т. е. силы трения в системе должны быть достаточно малы.

Физическая система — множество взаимосвязанных элементов, отделённых от окружающей среды, взаимодействующих с ней как целое.

Примеры физических систем:

• атом состоит из протонов, нейтронов и электронов;
• математический маятник состоит из подвеса и тела, имеющего массу;
• твёрдое тело состоит из молекул или атомов.

Колебательная система — физическая система, в которой могут существовать свободные колебания.

Колебательные движения основаны на действии возвращающей силы, которая является суммой остальных сил. Например, сила тяжести и сила упругости математического маятника.

Рассмотрим колебания шарика на нити (рис. \(6\)). При отклонении шарика от положения равновесия свободные колебания возникают под действием силы тяжести и силы упругости. Равнодействующая этих сил направлена к положению равновесия.

Рис. \(6\). Силы, действующие на шарик
Шарик на нити является колебательной системой, так же как и маятник.

Маятник — твёрдое тело, совершающее колебания под действием приложенных сил около положения равновесия.

груз, подвешенный на пружине и совершающий колебательные движения по вертикали под действием сил упругости, называется пружинным маятником (рис. \(7\)).

Рис. \(7\). Колебания пружинного маятника
Рис. 1. Колебания иглы швейной машинки.
Рис. 2. Колебания качелей.
Рис. 3. Колебания маятника час.
Рис. 4. Колебания крыльев стрекозы.

Рис. 5. Колебания математического маятника.
Рис. 6. Силы, действующие на шарик. © ЯКласс.
Рис. 7. Колебания пружинного маятника.

Физика

Трудно найти человека, который ни разу не катался на качелях. Это удивительно: мы можем толкнуть их один раз, а они после этого еще некоторое время будут качаться. Похоже ведет себя вода в ванной: схожесть в том, что мы можем один раз плеснуть, и вода будет двигаться. И само движение воды и качелей похоже, оно повторяется.

Примеры колебаний, которые сохраняются после прекращения воздействия

Если качели толкнуть один раз, они некоторое время будут еще качаться, то разгоняясь, то останавливаясь, меняя направление движения, хотя мы на них уже не действуем. Это свойство не только качелей, но и других объектов, назовем их колебательными системами. Кроме качелей, так ведет себя любой подвешенный груз: маятник часов, не закрепленная жестко люстра, елочная игрушка и т. д.

То же свойство проявляет гитарная струна: мы ее один раз оттянули, бросили, и она некоторое время вибрирует. Конечно, если качели совершают приблизительно одно колебание за секунду, то струна вибрирует намного быстрее, сотни и тысячи колебаний за секунду, но принцип тот же. Такие «быстрые» вибрации мы воспринимаем как звук, его и издает струна. Но не только струна издает звук. Это относится ко всему, что звенит некоторое время после того, как по нему ударить: металлические предметы наподобие рельсов, некоторая посуда. Мало того, колебания могут распространяться – это явление называется волнами, мы их изучим чуть позже. И у них тоже замечательное свойство: источник волны уже может не колебаться, а волна все еще распространяется. Камень, брошенный в воду, уже утонул, и вода над ним успокоилась, а до берега волна только дошла. Мы крикнули и успели замолчать, а потом только услышали эхо.

Колебания. Модель системы

А если подействовать несколько раз, причем попасть в нужный момент времени, то качели раскачаются сильнее и вода может выплеснуться из ванной. Что значит «в нужный момент», понимает каждый, кто умеет раскачиваться на качелях. Более того, если приложить, то же самое усилие в «ненужный момент», результат будет прямо противоположный: качели затормозятся, а не ускорятся.

Понятно, что ради раскачивания качели или выплескивания воды из ванной никто не стал бы разрабатывать модель для описания их движения. Но колебания качелей или воды в ванной имеют ту же природу, что и, например, колебания мостов, которые приводят к их разрушению. И таких практических задач очень много.

Поэтому нужно выделить модель, которая опишет различные колебания.

У нас есть набор моделей, которым мы уже пользовались: равномерное и равноускоренное прямолинейное движение и равномерное движение по окружности. Ни одну из них не получится применить к качелям, поэтому придумаем новую модель, с помощью которой можно будет описать это движение.

Модели, применимые к качелям

На самом деле движение качелей можно описать и с помощью моделей, которыми мы пользовались до этого, смотря какую задачу мы решаем. На каком-то коротком участке траектории движение можно считать равноускоренным прямолинейным, например в самом начале движения из крайней точки (рис. 1). Пока траектория не успеет заметно искривиться, и силы тяжести и натяжения не успеют переориентироваться (рис. 1), можно считать их действие постоянным. А вблизи нижней точки на короткое время можно считать движение качелей равномерным движением по окружности, чтобы найти вес катающегося человека. На этом коротком участке сила натяжения и сила тяжести действуют вдоль одной прямой, можно так считать, и их равнодействующая создаст центростремительное ускорение (рис. 1).

Рис. 1. Рассмотрение разных стадий колебаний маятника.

То есть у нас есть хорошие инструменты для решения ограниченного ряда задач. А уже решить главную задачу механики для колебательного движения, то есть найти, где в какой момент времени будет находиться тело, на протяжении длительного времени уже не получится, нужны новые инструменты, новая модель.

Мы заметили в движении многих тел равномерность и прямолинейность: человек может идти, не сворачивая и с постоянной скоростью; так же, скорее всего, будет ехать автомобиль, если у него нет препятствий; вода в реке течет с постоянной скоростью, если не меняется уклон, и т. д. Заметили в реальных явлениях общее и придумали модель: равномерное прямолинейное движение материальной точки (см. рис. 1).

Рис. 1. Равномерное прямолинейное движение материальной точки

Модель придуманная, но множество реальных задач с ее помощью решаются с достаточной точностью.

Идеализация в модели равномерного прямолинейного движения

Равномерное прямолинейное движение – с помощью этой модели мы умеем решать множество реальных задач. С помощью простой формулы:

мы легко вычисляем (или приблизительно прикидываем), с какой скоростью на какое расстояние и за какое время тело переместится, что бы это ни было.

Но хоть мы и решаем реальные задачи, действительно равномерного прямолинейного движения не бывает. Начнем с того, что у нас в модели равномерное прямолинейное движение материальной точки, а ее не существует. Представьте: тело с бесконечно малыми размерами – это идеализация. Прямая линия тоже идеализация. Мы ее придумали, вложив в нее наше представление о «прямоте». У него нет четкого определения в геометрии. В то время как все реальные линии хоть немного, но кривые и точно не бесконечные. И наконец, равномерность тоже идеализация. Тело когда-то начало свое движение, то есть из состояния покоя увеличило скорость, и когда-то закончит. И даже на небольшом интервале все равно за какую-то секунду оно проходит больше, а за какую-то – меньше. Вопрос только, в какой микроскоп посмотреть, чтобы это заметить. Тем не менее такая абстракция помогает с той или иной точностью описать реальные процессы, а удовлетворяет ли нас такая точность для решения конкретной задачи – решать нам.

Сегодня нам предстоит придумать еще одну такую модель: не существующую в реальном мире, но с достаточной степенью точности описывающую множество процессов, в которых мы заметили и выделили что-то общее.

Ограниченный набор решений для большого числа задач

В математике подход тот же, что и в физике: мы подробно разобрали идеальную модель треугольника, чтобы решать множество задач про реальные тела, похожие на треугольники. И таких идеальных моделей ограниченное множество.

Использовать ограниченный набор решений для большого количества реальных задач – это касается не только задач по физике или математике, это наш способ мыслить.

Представим, что перед нами стоит задача изготовить для всех людей на Земле обувь. Чтобы обуть всех людей, мы не будем шить обувь индивидуально под каждого, это займет слишком много времени. Придумаем пару десятков стандартных размеров – то есть готовых решений задачи. То есть обувь шьется на какие-то абстрактные ноги 38, 39 и других размеров, и эти готовые решения мы применяем для реальной задачи – обуть конкретного человека. Его нога на 100% не подходит под те размеры, но с некоторой степенью точности (в данном случае – комфорта) можно считать, что подходит.

Если задача не решается или точности недостаточно, то придумываем новое решение. По теме нашего урока – изучаем модель колебаний, а в случае с обувью – шьем под заказ или выпускаем размеры, кратные 1/2.

По такому же принципу сформирован язык. Мы придумали одно слово и обозначаем им много объектов. То есть перед нами стояла задача обозначить все такие объекты, и мы придумали универсальное решение – называть их все «дерево». Для некоторых задач коммуникации такой точности не хватает, для таких случаев есть более точная модель: какие-то деревья мы называем соснами, какие-то березами. И они по-прежнему достаточно универсальны: мы называем тысячи конкретных объектов одним абстрактным словом «береза».

В старославянском языке было слово «колѣбати», от которого произошло русское «колыба́ть» – «качать, укачивать». Отсюда – колыбель.

Механические колебания (колебательное движение) – это движение тел, точно повторяющееся через одинаковые промежутки времени (см. рис. 2).

Рис 2.. Механические колебания

Широкое понятие колебательного процесса в физике

В широком же смысле колебания – это вообще любое изменение любой физической величины, которое повторяется через одинаковые промежутки времени.

Это могут быть колебания температуры, то есть температура как-то изменяется, и эти изменения повторяются. Например, суточные колебания: днем теплее, ночью холоднее. Пусть эти изменения не повторяются с точностью до градуса, но в целом о закономерности можно говорить. Или говорят о годовых колебаниях температуры.

Можно рассмотреть годовые колебания уровня воды в реке: весной во время паводка уровень повышается, летом во время засухи понижается, осенью и зимой свои закономерности, и через год все плюс-минус повторяется.

Мы подробно будем говорить об электромагнитных колебаниях. Это повторяющиеся изменения электрических величин – силы тока, напряжения, энергии электрического и магнитного поля.

Под определение колебаний подходит и движение грудной клетки при дыхании, и движение штанги, которую мы поднимаем в тренажерном зале. Последнее движение явно отличается от колебаний качели – ее мы толкнули, и она качается, а штангу мы все время двигаем сами. Что ж, мы сами придумали определение, и потом нам может показаться странным, что под него попадает.

Сделаем уточнение и разделим колебания на вынужденные, которые совершаются под действием внешней силы, например движение штанги, и свободные, при которых систему достаточно вывести из равновесия и предоставить саму себе, чтобы возникли колебания. Более подробно мы рассмотрим именно свободные колебания. Возможен и комбинированный вариант: качели совершают свободные колебания, но мы их еще подталкиваем, как при вынужденных.

До этого мы использовали модель материальной точки и исследовали ее движение. И сегодня мы займемся описанием колебательного движения именно материальной точки. В такой модели не важно, качели ты толкаешь, или грузик, висящий на нити, или ароматизатор-елочку в автомобиле – модель опишет все такие процессы.

В реальном мире не бывает так, чтобы качели качнули один раз, пришли через год, а они все еще качаются. Любое колебание постепенно прекращается, затухает. Но на коротком промежутке времени, если рассмотреть 2–3 колебания, они будут с достаточной точностью повторяться, чтобы использовать идеальную модель: колебания повторяются с абсолютной точностью на протяжении бесконечного времени.

Опишем эту модель математически с помощью готовых инструментов. Для описания движения есть понятия координаты, скорости, ускорения. Положение точки можно задать с помощью координаты. Движение точки характеризуется скоростью, и при колебаниях скорость меняется: в крайних точках она нулевая, затем скорость по модулю увеличивается и уменьшается (см. рис. 3).

Рис. 3. Описание модели колебательной системы

Как описать повторяющийся процесс? Применим инструменты, которые мы уже применяли для равномерного движения по окружности – понятия частоты и периода (см. рис. 4).

Рис. 4. Частота и период колебаний

Период колебаний – это минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения. Тело возвращается в то же состояние, что и в начале интервала (под состоянием подразумевается координата, скорость и ускорение). В случае с вращением за время тело совершало полный оборот, а в случае с колебаниями – одно полное колебание (см. рис. 5).

Рис. 5. Период колебаний

Частота колебаний – это количество полных колебаний за единицу времени. Частота обратна периоду:

При колебаниях тело отклоняется то в одну, то в другую сторону от некоторого центрального положения. Удобно ввести величину этого отклонения.

Амплитуда колебаний – это максимальное отклонение (по модулю) координаты тела от положения его равновесия. На рисунке вы видите примеры колебаний, где отмечена их амплитуда (см. рис. 6).

Рис. 6. Амплитуда колебаний

По аналогии с обычной амплитудой можно ввести понятия амплитуды скорости и амплитуды ускорения – это максимальные значения скорости и ускорения колеблющегося тела. Определим закономерность, по которой изменяется координата со временем. Если мы будем знать эту закономерность, то сможем предсказывать, где в какой момент времени будет тело, а это и есть решение главной задачи механики.

Подвесим на нити в качестве груза емкость с песком, из которой песок тонкой струйкой высыпается. Получившийся маятник оставим колебаться над лентой, которую будем двигать с постоянной скоростью (см. рис. 7).

Рис. 7. Зависимость координаты от времени

Тогда каждый участок ленты будет соответствовать моменту времени, в который он находился под маятником, а след песка покажет, где в этот момент находился маятник. Таким образом, полученный рисунок из песка покажет зависимость координаты от времени . Получившаяся зависимость очень похожа по форме на график синуса. Такой же результат получим, если повторим эксперимент с пружинным маятником, прикрепив к нему такую же емкость с песком или чернильный самописец (см. рис. 8).

Рис. 8. Исследование зависимости координаты от времени с помощью пружинного маятника

Можем смело использовать синусоиду для описания свободных колебаний.

Какие колебания описываются синусоидой?

Перечислим условие, при котором решением задачи о колебаниях будет синусоидальная зависимость .

Мы уже определились: чтобы колебания вообще возникли, при смещении точки (а мы описываем модель материальной точки) из состояния равновесия должна возникать сила, которая направлена на то, чтобы вернуть точку в состояние равновесия. Под действием этой силы и происходят колебания.

Здесь уточним: эта сила должна быть пропорциональной смещению точки. Такие колебания называются гармоническими. Это условие придумали поскольку большинство реальных колебаний удовлетворяют этому условию. В пружинном маятнике, по закону Гука, сила упругости пропорциональна смещению, в нитяном маятнике эта составляющая силы тяжести пропорциональна углу отклонения (см. рис. 9).

Рис. 9. Зависимость силы тяжести от угла отклонения маятника

Даже вода в ванной: возвращающая сила определяется разностью давлений столбов воды с двух сторон, эта разность давления равна , а – это и есть смещение (см. рис. 10).

Рис. 10. Разность давлений воды в ванной

Так вот, когда уравнение имеет вид:

Ускорение – это скорость изменения скорости , а – это скорость изменения координаты , так что связь есть, и уравнение можно решить. У нас пока не хватает математических инструментов, чтобы его решить, поэтому возьмем готовое решение:

И оно совпадает с тем, что мы видели в эксперименте: зависимость синусоидальная.

Математическое описание механического колебания

Функция изменяется в пределах от –1 до 1, и она пока не показывает координату. Нужно умножить этот синус на амплитуду колебаний. Тогда получится амплитуда, умноженная на число, по модулю , то есть на какую долю от амплитуды отклонилось тело в данный момент от положения равновесия (которое приняли за ноль) (см. рис. 11).

Рис. 11. График функции

Синус – это функция от угла , а мы говорим о зависимости координаты от времени. Где здесь вообще угол? Вспомним из уроков математики, как получается график синуса. Если нарисовать единичную окружность и начать вращать ее радиус, то каждому углу поворота будет соответствовать точка на окружности. Проекция этой точки на ось – это и есть синус. И если развернуть вращение по времени, то получим график синуса. Одному обороту соответствует один период синусоиды (см. рис. 12).

Рис. 12. График функции

Чтобы разные углы привести в соответствие разным моментам времени, можно составить пропорцию: угол соответствует времени как угол полного оборота соответствует времени полного колебания .

Величина или, что то же самое, , равна угловой скорости движения по окружности, или, когда движения по окружности как такового нет, ее называют циклической частотой.

Итак, вместо угла под знак синуса мы можем подставить . А чтобы учесть, что колебания могут начаться не из точки равновесия, нужно прибавить начальный угол . Окончательно получим:

Все, что стоит под знаком синуса, называют фазой колебаний.

Что такое фаза

На единичной окружности хорошо понятно, где угол, а где его синус. Но что, если у нас нет никакой окружности, происходят колебания по закону , а под знаком синуса стоит величина, имеющая размерность угла, как ее понимать?

Точка движется по окружности, и каждому ее углу поворота соответствует значение синуса. Угол соответствует полному обороту, то есть полному пройденному циклу, если начало было в точке 0. После этого момента все повторяется, и синус принимает снова те же значения (см. рис. 13). Фаза – это половина цикла, – четверть и т. д.

Рис. 13. Фаза колебаний

То есть фаза периодического процесса показывает, на каком этапе, на какой стадии (а это синонимы слова «фаза») находится процесс. Таким образом, есть четкое соответствие: четверть цикла, четверть периода () соответствует фазе – фаза, соответствующая четверти цикла.

Это понятие могло быть вам знакомо по фазам Луны. Луна на небосводе периодически изменяет свой вид, и стадии этого изменения мы тоже назвали фазами: убывающая Луна, растущая.

Сравним два колебания, одно из которого отстает от другого. Они одинаковы по частоте, по амплитуде, но между ними есть как раз сдвиг фаз. Когда фаза одного равна нулю, фаза другого уже чуть больше:

Графики синуса и косинуса имеют одинаковую форму, но они смещены друг относительно друга на . На ленте с песком в нашем эксперименте мы их вообще не отличим. Так что можем использовать также уравнение с косинусом. Но помним, что график косинуса начинается в точке (0;1), то есть уравнение опишет колебания, для которых отсчет времени начинается в крайнем положении (см. рис. 14).

Рис. 14. График зависимости

Задача

Тело, подвешенное на пружине, совершает механические колебания с периодом 3 с и амплитудой 10 см. Началом движения считайте момент, когда тело находится в положении равновесия. Найдите, в какой точке будет находиться и в каком направлении будет двигаться тело в момент времени 1 с.

Проанализируем условие задачи. Описано движение тела, подвешенного на пружине. В такой колебательной системе возникают свободные колебания, о затухании речь не идет. Поэтому можем применять готовые закономерности, которые мы получили для таких колебаний. Это позволит перейти нам к физической части задания: записать готовое уравнение, которым мы решили пользоваться, и применить его к конкретной задаче.

Сказано, что тело в начальный момент находится в положении равновесия, значит, под знаком синуса начальная фаза равна нулю. Амплитуда задана – 10 см, или в СИ 0,1 м. Задан также период, поэтому запишем в виде .

Получили зависимость , теперь легко найти координату в нужный нам момент времени, по условию – 1 с.

Чтобы понять, в каком направлении движется в этот момент тело, можно найти соответствующую точку на графике . Нарисуем синусоиду. Отметим период 3 с, после него колебание повторяется. Найдем точку 1 с – это треть периода, позже четверти периода и раньше трети (см. рис. 15).

В этот момент времени тело уже прошло положение наибольшего отклонения и движется в сторону положения равновесия.

Возникновение колебаний

Теперь поговорим о причинах возникновения свободных колебаний. Например, есть пружина, к ней прикреплен груз. Что должно происходить, чтобы система колебалась? Чтобы груз двигался из стороны в сторону, он должен каждый раз при отклонении возвращаться в исходное положение. Значит, должна возникать сила, которая его туда возвращает. Напомним, что состояние, при котором при отклонении тела из состояния равновесия возникает сила, которая его туда возвращает, называется устойчивым равновесием. Здесь это сила упругости пружины. В случае со струной – сила натяжения самой струны. В случае с нитяным маятником – составляющая силы тяжести. Можно разложить силу тяжести на две составляющие: одну направить вдоль нити, она не будет влиять на движение маятника, нить все равно практически не растягивается; а вторая составляющая как раз определит движение маятника.

Груз отклонили, сила упругости пружины вернула его обратно. И на этом все могло бы закончиться. Почему груз проходит положение равновесия и движется дальше, отклоняясь теперь в другую сторону? Это происходит благодаря инерции. Помните: скорость тел под действием сил не изменяется мгновенно, нужно время. То есть пока сила упругости разгонит груз, он уже достигнет положения равновесия и «проскочит» его. Возникнет сила упругости, направленная в противоположную сторону, и пока она замедлит груз, он уже достигнет положения наибольшего отклонения – и процесс повторится.

Таким образом, можно сформулировать требования для возникновения свободных колебаний: должно быть состояние устойчивого равновесия, то есть при отклонениях должна возникать возвращающая сила и должна быть инертность.

Системы тел, которые удовлетворяют этим условиям и в которых могут возникать свободные колебания, назвали колебательными системами.

Важно, что частота колебаний не зависит от начального отклонения из положения равновесия. Она определяется свойствами самой системы, например для пружинного маятника это жесткость пружины и масса груза. Понятно, что «слабая» пружина (с низким коэффициентом жесткости) будет медленнее останавливать тяжелый груз, значит, одно колебание будет длиться дольше и частота будет меньше. Частота свободных колебаний в системе – это свойство самой системы, ее даже называют собственной частотой колебательной системы.

Проследим за координатой, скоростью и ускорением тела во время колебаний. Удобно будет следить по графикам зависимости этих величин от времени. Отвели тело в крайнее положение и отпустили. Координата в этот момент максимальна, отклонение равно амплитуде. Сила, а значит, и ускорение, тоже максимально, но направлено противоположно отклонению, значит, в проекции на ось х будет с противоположным знаком. Скорость в крайнем положении равна нулю, но при максимальном ускорении она быстро увеличивается. Дальше тело движется к положению равновесия, ускорение уменьшается и скорость нарастает уже не так стремительно. Когда тело наконец достигнет положения равновесия, его координата будет равна нулю, сила и ускорение будет тоже нулевым, значит, скорость на время станет постоянной. Это будет ее максимум, потому что дальше тело начнет отклоняться в другую сторону, возникнет ускорение, направленное противоположно скорости, и скорость будет все стремительнее уменьшаться до нуля – в этот момент тело достигнет крайнего положения. И дальше процесс повторится в обратном направлении.

Резонанс

Есть удобный инструмент решения некоторых задачи по механике – закон сохранения энергии. Полная механическая энергия сохраняется в замкнутой системе, если в ней действуют консервативные силы. Если пренебречь трением, то в колебательных системах как раз действуют консервативные силы: тяжести, упругости. Поэтому можно проследить, как в процессе колебаний кинетическая энергия преобразуется в потенциальную и наоборот, а их сумма остается постоянной.

С точки зрения энергии легко понять, что будет, если в системе будет действовать сила трения. Это неконсервативная сила, она в любой момент времени направлена противоположно перемещению, значит, ее работа отрицательна. А это значит, что полная механическая работа будет постепенно убывать на величину работы силы трения и колебания будут затухать.

А что, если толкать маятник рукой? Тут зависит от того, в какой момент толкнуть. Если груз в этот момент движется в ту же сторону, в какую мы толкаем, то работа силы положительна и энергия колебаний возрастает, а с ней и амплитуда, и максимальная скорость. Если же в противоположную сторону, то работа силы отрицательна и энергия колебаний уменьшается.

Теперь понятно, что если внешняя сила действует периодично с частотой собственных колебаний системы, то она будет попадать всегда в один и тот же момент, когда сила и перемещение сонаправлены, работа силы положительна и энергия будет только возрастать. Именно так мы раскачиваем качели.

Этому явлению дали название резонанс. Когда вынуждающая сила действует периодично и ее частота совпадает с собственной частотой колебательной системы, то амплитуда таких вынужденных колебаний резко возрастает. Как использовать резонанс, мы разобрали на примере качелей. Можно прикладывать небольшую силу, сообщать небольшую энергию, но делать это с нужной частотой, и колебания будут поддерживаться или усиливаться. Этот же принцип используется в маятниковых часах. Частота колебаний определяется параметрами колебательной системы. А чтобы колебания не затухали, есть гиря, которая медленно опускается и отдает маятнику свою потенциальную энергию. И механизм спроектирован так, что гиря отдает энергию «порциями», с частотой, совпадающей с собственной частотой колебательной системы.

Помимо намеренного использования явления резонанса, частота действия вынуждающей силы может случайно совпасть с собственной частотой колебательной системы и амплитуда колебаний резко возрастет.

Когда скорость отжима в стиральной машине меняется, то есть меняется частота вращения барабана, то при некоторых частотах вращение стабильно, а при некоторых – барабан сильно раскачивается, машина может чуть ли не подпрыгивать. Это и есть резонанс: частота вращения барабана двигателем совпала с собственной частотой этих раскачиваний.

Колебания, убивавшие летчиков

В первой половине ХХ века в авиации столкнулись с проблемой: самолет иногда внезапно разрушался в полете при достижении некоторой скорости. Разрушение начиналось с сильной быстро нарастающей тряски.

При изучении явления выяснилось, что такие колебания крыла самолета имеют ту же природу, что и трепыхание флага или девичьего платья на ветру. Явление назвали флаттер (от англ. flutter – махать, бить крыльями, вибрировать). Казалось бы, на крыло, на ткань действует поток воздуха с постоянной силой, и непонятно, почему возникают колебания. Благодаря работам нашего ученого Мстислава Келдыша проблема была решена. Он применил более точную модель колебательной системы, чем была до этого. Небольшое изменение сил, возникающих при изгибе крыла и которыми ранее пренебрегали, оказалось решающим в возникновении флаттера. Полученные результаты позволили рассчитать параметры самолета, необходимые для предотвращения флаттера, что спасло множество жизней.

Список литературы

1. Соколович Ю.А., Богданова Г.С. Физика: справочник с примерами решения задач. – 2-е изд., передел. – X.: Веста: Издательство «Ранок», 2005. – 464 с.
2. Перышкин А.В., Гутник Е.М., Физика, 9 кл.: учебник для общеобразоват. учреждений / А.В. Перышкин, Е.М. Гутник. – 14-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2009. – 300 с.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «class-fizika.ru» (Источник)
2. Интернет-портал «class-fizika.ru» (Источник)
3. Интернет-портал «class-fizika.ru» (Источник)

Домашнее задание

1. Грузик, колеблющийся на пружине, за 8 с совершил 32 колебания. Найти период и частоту колебаний.
2. На какое расстояние надо отвести от положения равновесия груз массой 640 г, закрепленный на пружине жесткостью 0,4 кН/м, чтобы он проходил положение равновесия со скоростью 1 м/с?

Колебательное движение

Мы уже имеем пред­став­ле­ние о спо­со­бах ре­ше­ния глав­ной за­да­чи ме­ха­ни­ки для несколь­ких слу­ча­ев – это слу­чаи рав­но­мер­но­го и рав­но­уско­рен­но­го дви­же­ния. Такое дви­же­ние обу­слав­ли­ва­ют по­сто­ян­ные силы, ко­то­рые не за­ви­сят от вре­ме­ни или по­ло­же­ния дви­жу­щих­ся тел. Од­на­ко боль­шин­ство сил, ко­то­рые встре­ча­ют­ся в при­ро­де, не яв­ля­ют­ся по­сто­ян­ны­ми ве­ли­чи­на­ми. К при­ме­ру, изу­чен­ная нами сила все­мир­но­го тя­го­те­ния за­ви­сит от рас­сто­я­ния между вза­и­мо­дей­ству­ю­щи­ми те­ла­ми (см. рис. 1).

Рис. 1. Сила все­мир­но­го тя­го­те­ния

Когда мы опи­сы­ва­ли дви­же­ние тела в поле тя­же­сти Земли, мы пре­не­бре­га­ли этой за­ви­си­мо­стью, по­сколь­ку в силу ма­ло­сти раз­ме­ров опи­сы­ва­е­мых тел, по срав­не­нию с ра­ди­у­сом нашей пла­не­ты, силу при­тя­же­ния к ней можно было счи­тать по­сто­ян­ной, пока тело не уда­ля­лось от по­верх­но­сти Земли на зна­чи­тель­ное рас­сто­я­ние. Вы пом­ни­те фор­му­лу . Од­на­ко если на­чать рас­смат­ри­вать дви­же­ние тел в кос­ми­че­ских мас­шта­бах, то не учи­ты­вать за­ви­си­мость силы от по­ло­же­ния дви­жу­ще­го­ся тела уже нель­зя – за­да­ча зна­чи­тель­но услож­ня­ет­ся.

Колебательное движение

Су­ще­ству­ют также силы, за­ви­си­мость ко­то­рых от сме­ще­ния (от ко­ор­ди­на­ты), про­яв­ля­ет­ся уже при малых зна­че­ни­ях этого са­мо­го сме­ще­ния. Рас­смот­рим про­стую си­сте­му: груз, под­ве­шен­ный на пру­жине, если в этой си­сте­ме внеш­ни­ми воз­дей­стви­я­ми не воз­буж­дать ни­ка­кие дви­же­ния, то груз будет на­хо­дить­ся в непо­движ­ном со­сто­я­нии бес­ко­неч­но долго – это есте­ствен­но, од­на­ко если ка­ким-то об­ра­зом сме­стить груз (см. рис. 2), а затем от­пу­стить его, то он пе­рей­дет в со­сто­я­ние дви­же­ния, при­чем дви­же­ние это не будет со­от­вет­ство­вать ни од­но­му из ранее изу­чен­ных типов. Оно не яв­ля­ет­ся ни рав­но­мер­ным, ни рав­но­уско­рен­ным.

Рис. 2. Сме­ще­ние груза

Еще один при­мер си­сте­мы, в ко­то­рой сила, дей­ству­ю­щая на тело, су­ще­ствен­но за­ви­сит от сме­ще­ния тела: возь­мем неболь­шое мас­сив­ное тело, под­ве­сим его к опоре на длин­ной лег­кой нерас­тя­жи­мой нити и оста­вим си­сте­му в покое (см. рис. 3).

Рис. 3. Груз, под­ве­шен­ный на опоре

Есте­ствен­но, что груз будет непо­движ­но ви­сеть. Такое по­ло­же­ние ло­гич­но на­звать рав­но­ве­си­ем. Остав­ляя длину нити неиз­мен­ной, слег­ка от­кло­ним груз от по­ло­же­ния рав­но­ве­сия и от­пу­стим (см. рис. 4).

Рис. 4. От­кло­не­ние груза от по­ло­же­ния рав­но­ве­сия

Груз нач­нет со­вер­шать дви­же­ния – тип ко­то­ро­го, как и в про­шлом при­ме­ре, не будет со­от­вет­ство­вать ни од­но­му из­вест­но­му нам дви­же­нию. Когда го­во­рим «ни од­но­му из из­вест­ных», то под­ра­зу­ме­ва­ем из­вест­ность с точки зре­ния фи­зи­ки, то есть с точки зре­ния ре­ше­ния глав­ной за­да­чи ме­ха­ни­ки – опре­де­ле­ния тела в любой мо­мент вре­ме­ни – за­ко­на .

Ре­ше­ние глав­ной за­да­чи ме­ха­ни­ки в слу­чае ко­ле­ба­ний

Как вы зна­е­те, ме­ха­ни­че­ские ко­ле­ба­ния – это один из видов ме­ха­ни­че­ско­го дви­же­ния. А какая же глав­ная за­да­ча ме­ха­ни­ки? Мы пом­ним, что это опре­де­ле­ние по­ло­же­ния тела в любой мо­мент вре­ме­ни. В нашем слу­чае мы го­во­рим о за­пи­си урав­не­ния или за­ко­на за­ви­си­мо­сти ко­ор­ди­на­ты от вре­ме­ни. Да­вай­те по­лу­чим закон ко­ор­ди­на­ты от вре­ме­ни для ме­ха­ни­че­ских ко­ле­ба­ний. Закон, ко­то­рый мы ищем, по­пы­та­ем­ся уга­дать, а не вы­ве­сти. По­че­му же? По­то­му что уров­ня зна­ний ма­те­ма­ти­ки в 9 клас­се нам пока не до­ста­точ­но для стро­го­го вы­во­да. Од­на­ко не стоит ду­мать, что тот закон, ко­то­рый мы по­лу­чим, будет непра­виль­ным.

Мы знаем, что ко­ле­ба­ния – это пе­ри­о­ди­че­ский или почти пе­ри­о­ди­че­ский про­цесс. Зна­чит, закон – это пе­ри­о­ди­че­ская функ­ция. Пе­ри­о­ди­че­ские функ­ции, ко­то­рые мы знаем, это или Тогда будет ли дан­ная за­ви­си­мость – – ре­ше­ни­ем глав­ной за­да­чи ме­ха­ни­ки для ко­ле­ба­ний? Ко­неч­но же, нет! По­че­му? – это метры, синус – без­раз­мер­ная ве­ли­чи­на, с точки зре­ния фи­зи­ки, аб­сурд, нам нужно усо­вер­шен­ство­вать ту фор­му­лу, ко­то­рую мы сей­час за­пи­са­ли: здесь спра­ва и слева долж­ны сто­ять метры.

По­про­бу­ем уга­дать, какое мак­си­маль­ное зна­че­ние при­об­ре­та­ет синус или ко­си­нус. Это еди­ни­ца, а какое мак­си­маль­ное от­кло­не­ние от по­ло­же­ния рав­но­ве­сия ко­леб­лю­ще­го­ся ма­ят­ни­ка? Это ам­пли­ту­да (см. рис. 5).

Рис. 5. Ам­пли­ту­да

Итак, ста­но­вит­ся ясно, что перед си­ну­сом нужно по­ста­вить ам­пли­туд­ное зна­че­ние, то есть .

Ну что, мы уга­да­ли? Ко­неч­но же, нет, так как время из­ме­ря­ет­ся в се­кун­дах. Зна­чит, на месте ве­ли­чи­ны долж­на сто­ять ве­ли­чи­на, ко­то­рая из­ме­ря­ет­ся в гра­ду­сах или ра­ди­а­нах. Это фаза ко­ле­ба­ний – про­из­ве­де­ние цик­ли­че­ской ча­сто­ты на время: .

Мы по­лу­ча­ем закон, ко­то­рый опи­сы­ва­ет сво­бод­ные гар­мо­ни­че­ские ко­ле­ба­ния: .

Есте­ствен­но, что с жи­тей­ской точки зре­ния нам все эти виды из­вест­ны (дви­же­ние гру­зи­ка на нити и на пру­жин­ке – ведь мы так часто ка­та­ем­ся на ка­че­лях, ма­ят­ник часов, по­пла­вок на воде, стру­на му­зы­каль­но­го ин­стру­мен­та, мем­бра­на ди­на­ми­ка), тем более будет более ин­те­рес­ным изу­чить эти яв­ле­ния с точки зре­ния фи­зи­ки.

Несмот­ря на раз­но­об­ра­зие при­ве­ден­ных при­ме­ров, общее у них одно – свой­ство по­вто­ря­е­мо­сти. Вер­нем­ся к при­ме­ру с пру­жи­ной и нитью: вы­хо­дит, что и ко­ор­ди­на­та, и ско­рость, и уско­ре­ние груза от вре­ме­ни за­ви­сит пе­ри­о­ди­че­ским об­ра­зом, то есть через опре­де­лен­ные от­рез­ки вре­ме­ни они при­ни­ма­ют одни и те же зна­че­ния – такое дви­же­ние мы будем на­зы­вать ко­ле­ба­тель­ным.

Ко­ле­ба­тель­ное дви­же­ние – это такое дви­же­ние тела, при ко­то­ром зна­че­ния ки­не­ма­ти­че­ских ха­рак­те­ри­стик (ко­ор­ди­на­та, ско­рость, уско­ре­ние) пе­ри­о­ди­че­ски по­вто­ря­ют­ся с те­че­ни­ем вре­ме­ни. Кста­ти, можно от­ме­тить, что вра­ща­тель­ное дви­же­ние – одно из та­ко­го типа дви­же­ния. Вспом­ни­те: стрел­ка часов тоже пе­ри­о­ди­че­ски воз­вра­ща­ет­ся на опре­де­лен­ное место шкалы. Связь между ко­ле­ба­тель­ным и вра­ща­тель­ным дви­же­ни­ем нами будет изу­че­на позже. А сей­час при­сту­пим к глав­ным ха­рак­те­ри­сти­кам та­ко­го дви­же­ния, а также по­го­во­рим о том, какая долж­на быть си­сте­ма, чтобы в ней про­ис­хо­ди­ло ко­ле­ба­тель­ное дви­же­ние.

Механическое равновесие

Для на­ча­ла по­го­во­рим о ме­ха­ни­че­ском рав­но­ве­сии. Рав­но­вес­ным на­зы­ва­ет­ся такое со­сто­я­ние тела, при ко­то­ром гео­мет­ри­че­ская сумма всех дей­ству­ю­щих на него сил равна нулю.

Энер­гия и рав­но­ве­сие

Необ­хо­ди­мым усло­ви­ем для того, чтобы си­сте­ма была ко­ле­ба­тель­ной, яв­ля­ет­ся на­ли­чие по­ло­же­ния рав­но­ве­сия. Раз­ли­ча­ют три вида рав­но­ве­сия: устой­чи­вое, неустой­чи­вое и без­раз­лич­ное (см. рис. 6).

Рис. 6. Виды рав­но­ве­сия

Пред­ставь­те себе, что у нас есть шарик, ко­то­рый по­ло­жи­ли в сфе­ри­че­ский желоб. Что будет, если я вы­ве­ду этот шарик из по­ло­же­ния рав­но­ве­сия? Да­вай­те рас­смот­рим, какие силы дей­ству­ют на шарик, и пред­ска­жем, что будет с ша­ри­ком (см. рис. 7).

Рис. 7. Устой­чи­вое рав­но­ве­сие

На шарик дей­ству­ет сила тя­же­сти , ко­то­рая на­прав­ле­на вер­ти­каль­но вниз, сила ре­ак­ции опоры (пер­пен­ди­ку­ляр­но ка­са­тель­ной, т.е. в сто­ро­ну ра­ди­у­са), век­тор­ная сумма этих двух сил и будет рав­но­дей­ству­ю­щей (мы сло­жи­ли по пра­ви­лу па­рал­ле­ло­грам­ма), и век­тор­ная сумма на­прав­ле­на об­рат­но, к по­ло­же­нию рав­но­ве­сия – шарик будет стре­мить­ся вер­нуть­ся в на­чаль­ное по­ло­же­ние. Та же си­ту­а­ция будет с дру­гой сто­ро­ны, если шарик сме­стить в левую сто­ро­ну от на­чаль­но­го по­ло­же­ния, такой вид рав­но­ве­сия на­зы­ва­ет­ся устой­чи­вым.

Что же будет, если мы по­ло­жим этот же шарик на вы­пук­лую по­верх­ность и немно­го его сдви­нем (см. рис. 8)?

Рис. 8. Неустой­чи­вое рав­но­ве­сие

Об­ра­ти­те вни­ма­ние сила тя­же­сти и сила ре­ак­ции опоры по-преж­не­му на­прав­ле­ны также, а вот рав­но­дей­ству­ю­щая сила на­прав­ле­на в про­ти­во­по­лож­ную сто­ро­ну от на­чаль­но­го по­ло­же­ния: шарик будет стре­мить­ся ска­тить­ся вниз – такое по­ло­же­ние рав­но­ве­сия на­зы­ва­ет­ся неустой­чи­вым.

И на­ко­нец, шарик на­хо­дит­ся на го­ри­зон­таль­ной плос­ко­сти – рав­но­дей­ству­ю­щая двух сил, куда б ни по­ста­ви­ли шарик, будет оди­на­ко­вой (см. рис. 9) – без­раз­лич­ное рав­но­ве­сие (ша­ри­ку все равно, где ле­жать на го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти).

Рис. 9. Без­раз­лич­ное рав­но­ве­сие

Те­перь по­го­во­рим о рав­но­ве­сии с энер­ге­ти­че­ской точки зре­ния. Вспом­ни­те о при­ме­рах в устой­чи­вом и неустой­чи­вом по­ло­же­нии ша­ри­ка: там, где стре­мил­ся за­нять пер­во­на­чаль­ное по­ло­же­ние или ска­тить­ся вниз, то есть пы­тал­ся за­нять такое по­ло­же­ние, в ко­то­ром его по­тен­ци­аль­ная энер­гия будет ми­ни­маль­ная. Ме­ха­ни­че­ская си­сте­ма са­мо­про­из­воль­но стре­мит­ся за­нять такое по­ло­же­ние, в ко­то­ром его по­тен­ци­аль­ная энер­гия будет ми­ни­маль­ная. При­мер из жизни очень про­стой: куда удоб­но ле­жать, чем сто­ять. Те­перь пе­рей­дем к ко­ле­ба­ни­ям: как же нужно до­пол­нить усло­вия на­ли­чия ко­ле­ба­тель­ной си­сте­мы? Мы знаем, что у си­сте­мы долж­но быть по­ло­же­ние рав­но­ве­сия и что это по­ло­же­ние долж­но быть устой­чи­вым (обя­за­тель­но!), то есть долж­на быть воз­вра­ща­ю­щая сила, ко­то­рая пы­та­ет­ся вер­нуть наш ка­ча­ю­щий­ся ма­ят­ник в по­ло­же­ние рав­но­ве­сия

Рас­смот­рим три слу­чая.

1) Шарик лежит на плос­кой по­верх­но­сти (см. рис. 10). На него дей­ству­ет сила тя­же­сти и сила ре­ак­ции опоры. Сумма этих сил равна 0 – шарик по­ко­ит­ся.

Рис. 10. Шарик на плос­кой по­верх­но­сти

Если мы сме­стим шарик впра­во (влево) и предо­ста­вим са­мо­му себе, то ну­ле­вое зна­че­ние рав­но­дей­ству­ю­щей со­хра­нит­ся. Шарик по-преж­не­му будет на­хо­дить­ся в со­сто­я­нии покоя: . Такое со­сто­я­ние на­зы­ва­ют без­раз­лич­ным рав­но­ве­си­ем.

На шарик, ко­то­рый мы по­ме­сти­ли на во­гну­тую по­верх­ность и сдви­ну­ли влево, по-преж­не­му дей­ству­ют сила тя­же­сти и сила ре­ак­ции опоры, но ре­зуль­ти­ру­ю­щая сила на­прав­ле­на к на­чаль­но­му по­ло­же­нию ша­ри­ка (см. рис. 11).

Рис. 11. Шарик на во­гну­той сфере

Шарик в ниж­нем по­ло­же­нии сферы на­хо­дит­ся в устой­чи­вом рав­но­ве­сии, а сила, воз­вра­ща­ю­щая шарик в на­чаль­ное по­ло­же­ние, – воз­вра­ща­ю­щая сила. В дан­ном слу­чае воз­вра­ща­ю­щая сила – это сумма силы тя­же­сти и ре­ак­ции опоры: . Об­ра­ти­те вни­ма­ние: чем выше мы под­ни­ма­ем шарик по во­гну­той по­верх­но­сти, тем боль­ше зна­че­ние имеет воз­вра­ща­ю­щая сила – свя­за­но это с из­ме­не­ни­ем на­прав­ле­ние силы ре­ак­ции опоры.

Те­перь рас­смот­рим тре­тье по­ло­же­ние, когда шарик на­хо­дит­ся на вы­пук­лой сфере. В таком по­ло­же­нии рав­но­дей­ству­ю­щая сил равна 0. Но если мы даже немно­го вы­ве­дем его из рав­но­ве­сия, то шарик ска­тит­ся вниз, то есть воз­ни­ка­ет сила, ко­то­рая еще более хочет уда­лить шарик от ис­ход­ной точки (см. рис. 12).

Рис. 12. Шарик на вы­пук­лой по­верх­но­сти

Такое со­сто­я­ние ша­ри­ка в верх­ней точке на­зы­ва­ет­ся неустой­чи­вым.

Условия колебательного движения

В каком из трех при­ве­ден­ных при­ме­ров мы на­блю­да­ли ко­ле­ба­тель­ное дви­же­ние? Без­услов­но, это слу­чай устой­чи­во­го рав­но­ве­сия. То есть обя­за­тель­ное усло­вие су­ще­ство­ва­ния ко­ле­ба­тель­но­го дви­же­ния – это устой­чи­вое рав­но­ве­сие. Для ко­ле­ба­ний необ­хо­ди­мо, чтобы в си­сте­ме было по­ло­же­ние устой­чи­во­го рав­но­ве­сия, а также воз­вра­ща­ю­щая сила, ве­ли­чи­на ко­то­рой тем боль­ше, чем боль­ше сме­ще­ние тела. Во всех при­ве­ден­ных нами при­ме­рах воз­ни­ка­ют воз­вра­ща­ю­щие силы, ве­ли­чи­на ко­то­рых тем выше, чем боль­ше сме­ще­ние тела от ис­ход­но­го по­ло­же­ния, устой­чи­во­го. Таким об­ра­зом, ме­ха­низм воз­ник­но­ве­ния ко­ле­ба­ний сле­ду­ю­щий: под дей­стви­ем неко­то­рых внеш­них фак­то­ров (на­при­мер, руки че­ло­ве­ка) тело вы­во­дит­ся из по­ло­же­ния устой­чи­во­го рав­но­ве­сия, после чего внеш­ние воз­дей­ствия от­клю­ча­ют­ся. Воз­вра­ща­ю­щая сила тем боль­ше, чем даль­ше от по­ло­же­ния рав­но­ве­сия на­хо­дит­ся тело. Под дей­стви­ем этой силы тело на­чи­на­ет уско­рен­но дви­гать­ся к точке рав­но­ве­сия, а сила, по мере при­бли­же­ния к этой точке, умень­ша­ет­ся – раз умень­ша­ет­ся сила, то по вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на умень­ша­ет­ся и уско­ре­ние, од­на­ко ско­рость при этом на­рас­та­ет, до­сти­гая мак­си­маль­ной ско­ро­сти тогда, когда тело про­хо­дит точку рав­но­ве­сия. Вспом­ни­те, где ско­рость ка­ча­ли мак­си­маль­ная? Ко­неч­но же, в ниж­ней точке. В этой же точке сила с уско­ре­ни­ем об­ра­ща­ют­ся в 0 (см. рис. 13).

Рис. 13. Мак­си­маль­ная ско­рость

Несмот­ря на ну­ле­вое по­ло­же­ние силы в по­ло­же­нии рав­но­ве­сия, тело не оста­нав­ли­ва­ет­ся – вспом­ним о яв­ле­нии инер­ции: тело по инер­ции про­ска­ки­ва­ет это по­ло­же­ние. А даль­ше кар­ти­на по­вто­ря­ет­ся, но в об­рат­ном на­прав­ле­нии: ско­рость умень­ша­ет­ся, сила воз­рас­та­ет, воз­рас­та­ет и мо­дуль уско­ре­ния , од­на­ко те­перь век­тор уско­ре­ния ан­ти­па­рал­ле­лен ско­ро­сти (см. рис. 14).

Рис. 14. По­ло­же­ние ка­че­лей, при ко­то­ром век­тор уско­ре­ния ан­ти­па­рал­ле­лен ско­ро­сти

В коне кон­цов в про­ти­во­по­лож­ной точке ско­рость до­сти­га­ет сво­е­го ми­ни­му­ма, а вот уско­ре­ние и сила до­сти­га­ют своих мак­си­маль­ных зна­че­ний. Даль­ней­шее дви­же­ние будет зер­каль­ным отоб­ра­же­ни­ем опи­сан­но­го выше про­цес­са.

Все при­ве­ден­ные выше зна­че­ния поз­во­ля­ют вве­сти по­ня­тие ко­ле­ба­тель­ной си­сте­мы, то есть такой си­сте­мы, в ко­то­рой в ре­зуль­та­те от­кло­не­ния воз­ни­ка­ет воз­вра­ща­ю­щая сила и си­сте­ма пе­ре­хо­дит в ко­ле­ба­тель­ное дви­же­ние. Опи­сан­ные си­сте­мы со­вер­ша­ют сво­бод­ные ко­ле­ба­ния, имен­но та­ки­ми мы и будем за­ни­мать­ся в бли­жай­шее время, то есть ко­ле­ба­ния, ко­то­рые про­ис­хо­дят толь­ко за счет за­па­сен­ной на­чаль­ной энер­гии. В слу­чае с пру­жин­кой это та энер­гия, ко­то­рую со­об­щи­ла рука, когда от­тя­ну­ла пру­жин­ку.

Итак, мы от­ве­ти­ли на очень важ­ный во­прос: какой долж­на быть си­сте­ма, чтоб в ней про­ис­хо­ди­ли ко­ле­ба­ния. Вве­дем те­перь неко­то­рые ха­рак­те­ри­сти­ки дан­ной си­сте­мы.

Характеристики колебательного движения

1) Пе­ри­од ко­ле­ба­ний – про­ме­жу­ток вре­ме­ни, по про­ше­ствии ко­то­ро­го зна­че­ние ко­ор­ди­на­ты, ско­ро­сти, уско­ре­ния и воз­вра­ща­ю­щей силы по­вто­ря­ют­ся. За 1 пе­ри­од си­сте­ма со­вер­ша­ет одно пол­ное ко­ле­ба­ние (см. рис. 15).

Рис. 15. Пе­ри­од ко­ле­ба­ний

2) Ча­сто­та ко­ле­ба­ний – число пол­ных ко­ле­ба­ний, со­вер­ша­е­мых в еди­ни­цу вре­ме­ни: , где N – ко­ли­че­ство пол­ных ко­ле­ба­ний; . Ча­сто­та и пе­ри­од свя­за­ны об­рат­ной про­пор­ци­о­наль­но­стью: . Чем боль­ше пе­ри­од, тем мень­ше ча­сто­та и на­о­бо­рот. Ча­сто­та еще ино­гда на­зы­ва­ет­ся ли­ней­ной ча­сто­той. На­ря­ду с ней часто ис­поль­зу­ют опре­де­ле­ние уг­ло­вой ча­сто­ты – ска­ляр­ная фи­зи­че­ская ве­ли­чи­на, мера ча­сто­ты вра­ща­тель­но­го или ко­ле­ба­тель­но­го дви­же­ния (см. рис .16).

Рис. 16. Уг­ло­вая ча­сто­та

3) Ам­пли­ту­да ко­ле­ба­ний – мак­си­маль­ное от­кло­не­ние (по мо­ду­лю) ко­ор­ди­на­ты тела от по­ло­же­ния его рав­но­ве­сия (см. рис. 17).

Рис. 17. Ам­пли­ту­да ко­ле­ба­ний

4) Ам­пли­ту­да ско­ро­сти – мак­си­маль­но зна­че­ние ско­ро­сти ко­леб­лю­ще­го­ся тела.

5) Ам­пли­ту­да уско­ре­ния – мак­си­маль­ное зна­че­ние уско­ре­ния ко­леб­лю­ще­го­ся тела.

Урав­не­ние за­ви­си­мо­сти ско­ро­сти и уско­ре­ния от вре­ме­ни

Раз­бе­рем­ся с во­про­сом: ме­ня­ет­ся ли ско­рость и уско­ре­ние при ко­ле­ба­ни­ях? Об­ра­тим­ся к ма­те­ма­ти­че­ско­му ма­ят­ни­ку: если мы его вы­ве­ли из по­ло­же­ния рав­но­ве­сия, то он начал со­вер­шать ко­ле­ба­ния. В край­них точ­ках его ско­рость будет ми­ни­маль­на, а при про­хож­де­нии по­ло­же­ния рав­но­ве­сия его ско­рость будет мак­си­маль­ной, то есть ско­рость при ко­ле­ба­ни­ях из­ме­ня­ет­ся. Но если ме­ня­ет­ся ско­рость, то из­ме­ня­ет­ся и уско­ре­ние, а дви­же­ние не будет рав­но­уско­рен­ным, так как ско­рость, по­ми­мо уве­ли­че­ния или умень­ше­ния, из­ме­ня­ет на­прав­ле­ние.

По­лу­чим закон из­ме­не­ния про­ек­ции ско­ро­сти и про­ек­ции уско­ре­ния от вре­ме­ни при со­вер­ше­нии сво­бод­ных гар­мо­ни­че­ских ко­ле­ба­ний. По ка­ко­му за­ко­ну они будут ме­нять­ся? По­про­бу­ем уга­дать: так как ко­ор­ди­на­та ме­ня­ет­ся от вре­ме­ни по гар­мо­ни­че­ско­му за­ко­ну, то ско­рость и уско­ре­ние тоже будут из­ме­нять­ся по гар­мо­ни­че­ско­му за­ко­ну. Закон, по ко­то­ро­му ме­ня­ет­ся ко­ор­ди­на­та со вре­ме­нем, имеет вид: .

Закон из­ме­не­ния про­ек­ции ско­ро­сти от вре­ме­ни за­пи­сан ниже: .

По­че­му же в пер­вом ва­ри­ан­те синус, а во вто­ром – ко­си­нус? От­ве­тим на этот во­прос. Вос­поль­зу­ем­ся ма­ят­ни­ком. Чему равна ко­ор­ди­на­та в по­ло­же­нии рав­но­ве­сия? Нулю. А при про­хож­де­ния рав­но­ве­сия ско­рость мак­си­маль­на (и на­о­бо­рот): там, где ко­ор­ди­на­та мак­си­маль­на – ско­рость ми­ни­маль­на, это точка по­во­ро­та, по­это­му если в пер­вом вы­ра­же­нии синус, то во вто­ром – ко­си­нус (и на­о­бо­рот). Пе­рей­дем к про­ек­ции уско­ре­ния от вре­ме­ни: .

От­ку­да же бе­рет­ся знак минус? Так как ко­ор­ди­на­та на­рас­та­ет (ма­ят­ник идет вверх), а воз­вра­ща­ю­щая сила на­прав­ле­на вниз. По вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на, куда на­прав­ле­на ре­зуль­ти­ру­ю­щая сила, туда же на­прав­ле­но и уско­ре­ние – итак, если ко­ор­ди­на­та рас­тет, уско­ре­ние со зна­ком минус, то есть по мо­ду­лю оно рас­тет, а по на­прав­ле­нию оно про­ти­во­по­лож­но (и на­о­бо­рот).

Мы по­лу­чи­ли за­ко­ны, по ко­то­рым из­ме­ня­ют­ся про­ек­ции ско­ро­сти и уско­ре­ния при сво­бод­ных гар­мо­ни­че­ских ко­ле­ба­ни­ях. Те­перь у нас есть пол­ный спектр ки­не­ма­ти­че­ских ха­рак­те­ри­стик. Закон из­ме­не­ния ко­ор­ди­на­ты от вре­ме­ни, про­ек­ции ско­ро­сти от вре­ме­ни и про­ек­ции уско­ре­ния от вре­ме­ни

Маятник

Вве­дем еще один тер­мин. Ма­ят­ник – си­сте­ма, под­ве­шен­ная в поле тя­же­сти и со­вер­ша­ю­щая ме­ха­ни­че­ские ко­ле­ба­ния (см. рис. 18).

Рис. 18. Ма­ят­ни­ки

Да­вай­те по­смот­рим за­ви­си­мость ко­ор­ди­на­ты x от вре­ме­ни t для ма­ят­ни­ка, со­вер­ша­ю­ще­го ко­ле­ба­тель­ное дви­же­ние. За­ви­си­мость яв­ля­ет­ся пе­ри­о­ди­че­ской, то есть тело все­гда воз­вра­ща­ет­ся в то по­ло­же­ние, из ко­то­ро­го оно на­чи­на­ло дви­же­ние (см. рис. 19).

Рис. 19. За­ви­си­мость ко­ор­ди­на­ты от вре­ме­ни

На гра­фи­ке по­ка­зан пе­ри­од ко­ле­ба­ний и ам­пли­ту­да ко­ле­ба­ний. Есть еще одна ха­рак­те­ри­сти­ка ко­ле­ба­ний – фаза ко­ле­ба­ний. Рас­смот­рим два оди­на­ко­вых ма­ят­ни­ка, ко­то­рые со­вер­ша­ют ко­ле­ба­ния таким об­ра­зом, что когда пер­вый ма­ят­ник на­хо­дит­ся в крайне пра­вом по­ло­же­нии, то вто­рой ма­ят­ник на­хо­дит­ся в крайне левом по­ло­же­нии (см. рис. 20).

Рис. 20. Два ма­ят­ни­ка

Ча­сто­ты ко­ле­ба­ний ма­ят­ни­ков равны между собой, од­на­ко их от­кло­не­ние от по­ло­же­ния рав­но­ве­сия ско­ро­сти и уско­ре­ния в любой мо­мент вре­ме­ни про­ти­во­по­лож­ны по знаку и равны по мо­ду­лю (см. рис. 21).

Рис. 21. Ма­ят­ни­ки ко­леб­лют­ся в про­ти­во­по­лож­ных фазах

О таких ма­ят­ни­ках го­во­рят, что они ко­леб­лют­ся в про­ти­во­по­лож­ных фазах. Если же ма­ят­ни­ки будут ко­ле­бать­ся так, что все ки­не­ма­ти­че­ские ве­ли­чи­ны в любой мо­мент вре­ме­ни будут сов­па­дать и по мо­ду­лю, и по знаку, то ма­ят­ни­ки ко­леб­лют­ся в оди­на­ко­вой фазе, то есть син­фаз­но (см. рис. 22).

Рис. 22. Ма­ят­ни­ки ко­леб­лют­ся син­фаз­но

Бы­ва­ют такие си­ту­а­ции, когда ма­ят­ни­ки ко­леб­лют­ся не син­фаз­но и не про­ти­во­фаз­но, тогда го­во­рят, что в ко­ле­ба­тель­ных си­сте­мах при­сут­ству­ет некая раз­ность фаз (см. рис. 23).

Рис. 23. Раз­ность фаз

Таким об­ра­зом, фаза – это ве­ли­чи­на, ко­то­рая по­ка­зы­ва­ет, на сколь­ко ко­ле­ба­ния од­но­го ма­ят­ни­ка опе­ре­жа­ют или от­ста­ют по срав­не­нию с ко­ле­ба­ни­я­ми вто­ро­го.

Ко­ле­ба­ния для нас пред­став­ля­ют огром­ный ин­те­рес, ведь ко­ле­ба­тель­ные дви­же­ния так часто встре­ча­ют­ся в при­ро­де. Мы от­ме­ти­ли ана­ло­гию между вра­ща­тель­ным и ко­ле­ба­тель­ным дви­же­ни­ем, более того, нашли ве­ли­чи­ны, такие как пе­ри­од и ча­сто­та, ко­то­рые опи­сы­ва­ют как вра­ща­тель­ное дви­же­ние, так и ко­ле­ба­тель­ное. Также вы­яс­ни­ли, что же долж­но быть, чтоб си­сте­ма яв­ля­лась ко­ле­ба­тель­ной.