Cколько мячей для гольфа войдет в школьный автобус?
Очевидно, что это задача Ферми, где от вас требуется приблизительная прикидка, правдоподобная по порядку величины. Приведём пример таких рассуждений.
Школьный автобус, как и любое другое транспортное средство, должен по своим параметрам соответствовать дорожному полотну т.е. быть не намного шире, чем легковые авто. В фильмах мы видели, что в нём есть сиденья для четырёх детей (используются ли где-то такие автобусы в России? — прим. ред.), а также проход посередине. И есть место, где может стоять учитель. Будем исходить из того, что ширина автобуса около 2.5 метра, высота примерно 2 метра. Напомним, что точные цифры не так важны, важен порядок. Сколько рядов сидений в автобусе? Пусть будет 12. Каждому ряду необходимо около метра или чуть меньше, длину примем за 11 метров. Итого общий объём будет около 55 куб. метров.
Диаметр мяча для гольфа приблизительно 3 см. Будем считать, что ~3.3 см, чтобы 30 таких мячей, положенных в ряд, составили 100 см. Кубическая конструкция из 30х30х30 таких мячей, то есть 27 000 мячей, поместится в кубическом метре. Умножим это на 55, получится что-то около 1.5 млн.
Обратите внимание, что многие вопросы Ферми связаны со сферическими спортивными предметами, заполняющими автобусы, бассейны, самолёты или стадионы. Вы можете получить дополнительные баллы, если упомяните гипотезу Кеплера. В конце 1500-х годов сэр Уолтер Рейли попросил английского математика Томаса Хэрриота придумать более эффективный способ укладки пушечных ядер на кораблях британского военного флота. Хэрриот рассказал об этой задаче своему другу астроному Иоганну Кеплеру. Кеплер предположил, что самый плотный способ упаковки сфер уже и так применяется — при укладке пушечных ядер и фруктов. Первый слой кладётся просто рядом друг с другом в виде шестиугольной формы, второй в углублениях на стыках шаров нижнего слоя я и т.д. В крупной таре при таком варианте укладки максимальная плотность составит около 74%. Кеплер полагал, что это самый плотный вариант упаковки, но не смог этого доказать.
Гипотеза Кеплера, как её назвали позднее, оставалась великой нерешённой проблемой в течение нескольких столетий. В 1900 году Дэвид Гилберт составил известный список из 23 нерешённых математических задач. Некоторые люди утверждали, что им удалось доказать эту гипотезу, однако всех их решения на поверку оказывались неудачными и относились к числу неверных. Так длилось до 1998 года, когда Томас Хэйлс предложил сложное доказательство при помощи компьютера, которое подтвердило правоту Кеплера. Большинство специалистов уверены, что его результат в конечном счёте окажется верным, хотя его проверка не закончена.
Выше мы предположили, что каждый мяч для гольфа фактически лежит в кубе из прозрачного очень тонкого пластика так, что края куба равны диаметру мяча. Это означает, что мячи занимают около 52% пространства (Pi/6, если говорить точнее, можете подсчитать сами). Если вынуть мячи из воображаемого кубика, то можно поместить в заданный объем гораздо больше мячей, это проверенный эмпирически факт. Физики проделали эксперименты, заполняя стальными шариками крупные фляги и вычисляя плотность заполнения. Результат был от 55% до 64% использования пространства. Это более плотный вариант, чем применили мы, хотя он и не дотягивает до максимума Кеплера, равного примерно 74%. К тому же разброс результатов довольно большой.
Как же нам следует поступить? Укладывать шары строго идеально в реальности мы не сможем, это слишком абсурдно даже для ответа на абсурдный вопрос. Намного более реалистичная цель — плотность, достигаемая при периодическом потряхивании или помешивании контейнера. Вы можете добиться её, если будете распределять шары с помощью палки более равномерно. Это повысит плотность примерно на 20%, чем при варианте с кубической решёткой. Тем самым можно увеличить исходную оценку до 1.8 млн мячей.
Разбор головоломки по книге «Действительно ли Вы достаточно умны, чтобы работать в Google?»
Так сколько шариков для гольфа действительно поместится в школьный автобус?
Прочитал недавно заметку «15 Вопросов на собеседовании в Google, из-за которых вы можете почувствовать себя глупым» в интернете и самый же первый ответ на самый первый вопрос мне не понравился. Человек я дотошный, поэтому решил математически вычислить количество тех самых шариков для гольфа.
Там читатель берет объем автобуса, делит на объем шарика и получает количество шаров. Вычитает, правда, какое-то количество, учитывая, что там есть «сиденья и прочая ерунда, занимающая свободное место, а также сферическая форма мяча означает, что будет достаточно много свободного места между ними». Правильно ли он учел?
Представим себе коробку размерами 20х20х20 см и шарики диаметром 10 см. В такую коробку поместится 8 шаров:
А вы знаете, что, увеличив каждую сторону коробки всего лишь на ~1,5 см, можно поместить туда 9-й шар? Куда? Конечно же, в самый центр. Именно так шарики и «стремятся» расположиться в любом пространстве.
Давайте все математически подсчитаем. Чтобы было понятней, начнем с плоскости.
Пусть d — диаметр круга, D — расстояние между кругами по диагонали. Теперь вычислим, насколько нам нужно увеличить D, т.е. расстояние между кругами, чтобы между ними поместился еще один круг:
Не будем углубляться в формулы, нам на помощь придет электронная таблица:
За диаметр круга d возьмем 10 см, сразу вычислим D, пустое пространство между кругами тогда равно D-d. Нам нужно увеличить это пространство, чтоб «впихать» туда еще один круг: D2=d-(D-d)=2d-D. Проекция на одну из осей, например х, будет равна D2x, или D2, деленное на корень из 2. Чудесным образом, D2x=D-d. Как мы видим, нам нужно увеличить стороны квадрата на 4,14 см, чтоб увеличить кол-во кругов на 1.
Перейдем в реальность — в 3D:
Расстояние между противоположными шарами стало больше, а разница D3, т.е. кол-во см, на которое нужно увеличить это расстояние, чтоб туда поместился еще шар, — меньше. В проекции на ось это расстояние еще меньше. Как я и говорил в начале, нам нужно увеличить каждый размер коробки всего лишь на 1,547005 см.
Но для чего все это? А для того, чтоб вычислить соотношение объема шаров к объему коробки. В коробке с 8 шарами это соотношение = 0,5235, с 9 шарами = 0,4711. Но чем больше шаров, тем это соотношение будет точней. Вычислим его.
В коробку с 2х2х2 шарами мы можем «впихнуть» еще шар, с 3х3х3 еще 8 (здесь соотношение объемов = 0,5056), с 4х4х4 еще 27 шаров (соотношение = 0,5355)…
И опять на помощь приходит электронная таблица:
В коробке с 10х10х10 шарами (или, точнее, 1729 шарами), соотношение, как мы видим = 0,6123. Т.е. шары занимают примерно 61% объема коробки.
Не будем дальше мелочиться, а представим коробку 1 млн.х1 млн.х1 млн. шаров:
Видим, что шары занимают 68,02% от объема коробки. Дальше увеличивать смысла нет, т.к. дальше пойдет уже ненужная точность.
Вернемся к нашим баранам автобусу. Пусть 500000 шаров, как мне кажется, будут с учетом сидений, а также того, что уровень пола в автобусе находится не на отметке +0,0 м, но без «сферической формы мяча». А вот с учетом всех поправок, количество шариков для гольфов в школьном автобусе = 500000 х 0,68017 = 340087
ТОП 10 задач, которые задают на собеседованиях
Логические задачи кандидатам на вакансию задают, чтобы оценить их аналитические способности.
С подобными вопросами может столкнуться каждый. Но даже, если с вами это не случится — изучить их для подготовки будет просто интересно.
Для чего нужны задания на логику?
Собеседование – тест не только для желающих получить должность, но и для интервьюеров. Они стремятся наиболее точно определить потребности компании и ожидания относительно нового сотрудника.
На основе этого составляются алгоритмы проверки и оценки претендентов. Подбор идеального по всем параметрам кандидата – их главная задача.
Нужно ли готовиться к тестам на логику?
Ответ однозначный – да. Насколько бы уверенным в своих силах не был человек, подготовка обязательна. Скорость реакции и сообразительность тренируются упорными упражнениями: чем больше решается задач, тем эффективней и быстрей выполняются тесты на собеседовании.
Понимание принципа построения цепочки умозаключений приводит к оптимизации путей по поиску ответа. На собеседовании тесты на логику очень распространены.
Их дают как IT-специалистам, так и менеджерам по продажам. Они направлены на выявление нестандартного мышления, которое занимает центральное место для многих профессий.
Подобные тесты являются прекрасным инструментом для оценки поведения человека в незнакомой ситуации.
Задача №1. КОМНАТА С ЛАМПОЧКАМИ.
Условие: Имеется закрытая комната, в которой есть три лампочки. С внешней стороны комнаты имеется три выключателя.
Вопрос: Вам нужно узнать, какой выключатель включает каждую из лампочек. Но в комнату вы можете зайти только единожды.
Решение: С точки зрения менеджера, вы можете привлечь к решению своих сотрудников, однако необходимо решить задачу самостоятельно.
Как нужно рассуждать: наша комната закрыта и снаружи лампочки не видны. При включении одной и выключении остальных мы можем узнать только об одном выключателе.
Но нам нужно определиться с двумя другими. Поэтому, нужно сделать что-то, чтобы стало ясно, как лампочки и выключатели взаимосвязаны.
Вот один из самых интересных вариантов решения: состояний лампы всего два – либо «горит», либо «не горит».
Состояний выключателя тоже два – либо «включен», либо «выключен». Ламп всего три.
Рассуждая логически, чтобы решить задачу, нужно одну лампу выключить, вторую включить, но вот что делать с третьей – непонятно.
Выход следующий: подвести к одному из выключателей напряжение в 380 вольт – лампочка, соответственно, перегорит, и это будет заметно. Получается, что добавляется новое состояние лампы – либо «исправна», либо «не исправна». Отсюда вывод, что лампочка может теперь быть в трёх вариантах состояний – «горит», либо «не горит», «исправна, но не горит», либо вообще «неисправна».
Размышляя далее, вспоминаем, что если лампа включена, то она будет нагреваться, и при выключении некоторое время ещё будет тёплой. Получаем новое состояние: лампа либо «тёплая», либо «холодная».
Исходя из всего этого, нужно включить два выключателя на небольшое время, после чего один из них выключить и пойти в комнату, в которой мы увидим, что одна лампа горит, а две не горят, но одна из них тёплая, а другая холодная. Таким образом, мы сможем понять, какой выключатель связан с каждой из ламп.
Задача №2. КОТЛЕТЫ НА СКОВОРОДЕ.
Условие: Имеется две сковородки и три котлеты. Чтобы обжарить одну котлету с одной стороны, требуется минута. Одна сковородка вмещает лишь одну котлету.
Вопрос: Какой минимум времени необходим, чтобы обжарить все котлеты полностью?
Решение: Итак, размышляем обычно: чтобы пожарить две котлеты с двух сторон сразу, нам понадобятся две минуты. После этого мы уберём две котлеты и начнём жарить третью. Получается, что нужно ещё две минуты.
Так, понимаем, что всего нам нужно на обжарку котлет четыре минуты. Но это неверно, т.к. есть способ уложиться в три минуты.
Переходим к креативному мышлению: есть две сковороды, на которых мы можем жарить одновременно. Начиная с обжарки двух котлет, мы сразу же займём обе сковороды, и после обжарки двух котлет одна сковорода останется незадействованной. Чтобы сократить время жарки, нужно её задействовать.
Но как? Мы можем разделить весь процесс жарки на обжаривание котлет с двух сторон, и получим шесть этапов. Если мы возьмём эти шесть этапов, занимающих, в общей сложности, шесть минут, и вспомним, что у нас имеется две сковороды, то можно сделать логический вывод, что на весь процесс жарки нам может хватить трёх минут – нужно только понять алгоритм, который совсем несложен.
Последовательность действий должна быть такой: кладём жарить две котлеты, но одну после первой минуты убираем со сковороды, и кладём сырую. Через минуту одна из первых двух котлет дожарится и на её место нужно будет положить первую – недожаренную. На третьей минуте дожарятся обе оставшиеся котлеты.
Задача №3. ЗОЛОТАЯ ЦЕПОЧКА.
Условие: На постоялый двор нанёс визит странник. У него нет с собой денег, но есть золотая цепочка, состоящая из шести звеньев. Хозяин двора согласен взять оплату жилья в виде одного звена цепочки на каждый день, но при условии, чтобы распиленным оказалось только одно звено. Причём, оплата должна поступать именно ежедневно, т.к. странник не хочет вносить предоплату, а хозяин не готов к оплате по факту прожитых в его доме дней.
Вопрос: Как должен странник распилить цепочку, чтобы была возможность вносить оплату ежедневно в течение пяти дней?
Решение: Разъединить шесть звеньев и получить пять целых по отдельности, распилив лишь одно звено, невозможно, т.к. звеньев шесть, а соединений между ними пять. Поэтому, для получения отдельных целых звеньев нужно будет сделать минимум три разреза.
И снова включаем креативное мышление: у нас есть термин «оплата», но, исходя из условий задачи, нет требования, чтобы странник оплачивал проживание только по одному звену. Однако есть требование, чтобы звеньев у хозяина каждый день становилось на одно больше. Далее нужно понять суть: и хозяин и странник могут обмениваться, а хозяин также может давать сдачу.
Отсюда следует простое решение. Распиливаем конкретно третье звено, чтобы получить разменную «монету» в 1, 2 и 3 звена. На первые сутки странник платит одним звеном, на вторые – платит двумя, но забирает одно первое, на третьи – платит тремя, но забирает два вторых и т.д. до конца срока пребывания. В итоге мы имеем только одно распиленное звено, пять дней проживания и довольного хозяина.
Задача №4. ГОРЯЩИЕ ВЕРЕВКИ.
Условие: Есть две верёвки и коробок со спичками. О каждой верёвке мы знаем, что если их поджечь, то они полностью сгорят за один час. Нам нужно отмерить пятнадцать минут.
Вопрос: Как нам это сделать, если мы знаем, что верёвки будут прогорать неравномерно?
Решение: Разрезать верёвку на четыре равные части и просто поджечь не получится, т.к. время, за которое сгорает верёвка, не равно её длине – одна часть верёвки может гореть быстрее, другая – медленнее и т.д.
Применяем креативное мышление: берём за единицу измерения время, за которое сгорает верёвка. Это время равно одному часу, исходя из условий. Однако соотнести это время с длиной мы не можем. Но верёвок у нас есть две. По этой причине время сгорания первой верёвки мы можем соотнести с временем сгорания второй.
И тут мы находим решение. Учитывая то, что верёвка горит один час, мы делаем вывод, что её подожгли с одного из концов. Поэтому, если поджечь оба конца, она прогорит за полчаса, пусть и гореть будет неравномерно.
Далее мы можем сравнить: поджигаем одну из верёвок с двух краёв, а другую – только с одного края, чтобы засечь время. Первая сгорит за полчаса. Как только она сгорела, мы сразу же должны потушить вторую. Так у нас остаётся кусок второй верёвки, который сгорит за полчаса. Если мы подожжём его с двух концов, то получим 15 минут.
Задача №5. КАК ПОРЕЗАТЬ ТОРТ?
Условие: Имеется круглый торт)).
Вопрос: Как поделить его на восемь равных кусков, сделав при этом только три разреза?
Решение: Думая обычно, мы придём в тупик, т.к. очевидно, что для разделения торта на восемь кусков необходимо сделать четыре разреза.
Теперь думаем креативно. Решение задачи может быть вполне простым. И вообще этих решений есть два. Сначала нужно понять, что поделить торт на восемь одинаковых кусков тремя разрезами нельзя, по крайней мере, традиционным способом, когда просто открывают торт и начинают его резать, т.к. тут потребуется резать четыре раза. Но количество разрезов можно уменьшить, если представить торт не плоским кругом, а воспользоваться для решения пространственным мышлением.
В первую очередь, разрезаем торт крест-накрест двумя разрезами, и получаем четыре куска. Как же нам теперь порезать их все пополам? Для этого просто берём и ставим четыре куска друг на друга, и затем режем пополам и получаем восемь кусков – это только один вариант.
Второй вариант заключается в том, что мы разрезаем торт не как обычно, а в горизонтальной плоскости, т.е. поперёк. Немного странными получатся в итоге куски, но вариант всё-таки хорош, согласитесь?
Задача №6. КАНАЛИЗАЦИОННЫЕ ЛЮКИ.
Условие: На улице часто встречаются канализационные люки.
Вопрос: Почему канализационные люки круглые?
Решение: Есть несколько вариантов. Так как диаметр круга одинаков, как его не крути, то круглый люк не может провалиться в колодец. У квадрата же, например, диагональ больше его сторон, поэтому крышка могла бы упасть.
Также можно ответить, что круглые люки проще транспортировать и передвигать.
Задача №7. МЕРТВЫЙ ЧЕЛОВЕК И СПИЧКА.
Условие: Среди поля найден мертвый человек со спичкой в руках, следов нет.
Вопрос: От чего он умер и при каких обстоятельствах?
Решение: Человек умер от падения с самолета, который начал терять высоту, и авария была неизбежна. На всех пассажиров не хватило одного парашюта и они тянули жребий. Ему досталась короткая спичка, и он был вынужден прыгать без парашюта.
Задача №8. АВТОБУС И МЯЧИ.
Условие: Представьте себе автобус и мячи)).
Вопрос: Сколько теннисных мячей поместится в автобус?
Решение: Точного правильного ответа не знает и сам рекрутер, так как не уточняется, что за мячи и автобус — их размеры не известны, и никто досконально это не проверял. Поэтому тут важен ход ваших мыслей, вы можете только предположить.
Назовите примерные длину, ширину и высоту автобуса, размеры одного мяча. Посчитайте объем автобуса и мяча — так вы узнаете сколько мячей поместится в пустой автобус. Уменьшите примерно это значение с учетом сидений и других деталей автобуса, сделайте поправку на то, что мячи не квадратные и дайте ответ. В этом случае процесс поиска ответа важнее самого ответа.
Варианты вопроса могут быть разные: мячи — футбольные, вместо автобуса — комната и т.п.
Задача №9. ТАБЛЕТКИ.
Условие: Доктор выдал пациенту 4 таблетки двух видов — по 2 таблетки каждого, которые нельзя отличить по внешнему виду. Таблетки надо выпить за два приема: утром по одной таблетке каждого вида и так же вечером.
Если нарушить дозировку или не принять таблетки, то пациент умрет. Так вышло, что таблетки перемешались.
Вопрос: Как пройти курс лечения и выжить?
Решение: Конечно, можно сказать, что лучше пойти к врачу и попросить еще, все таки вопрос жизни и смерти. Но это могут быть единственные таблетки на Земле, доктор может исчезнуть при загадочных обстоятельствах и т.д. Так что ответить все же придется. К тому же все достаточно просто: нужно разделить каждую таблетку на 2 части и выпить по половинке каждой таблетки утром и вечером.
Задача №10. БАБУЛЯ И ПИРОЖНЫЕ.
Условие: Вы собираетесь в гости к бабуле, которая живет на другом конце леса. У нее юбилей, и в подарок вы несете пирожки собственного приготовления.
По дороге к бабушкиному дому вам нужно пройти по 5 мостам, а под ними, как и положено в нашем сказочном мире, живут тролли. Чтобы перейти на другую сторону, вам нужно отдать троллю половину пирожков. Но тролли у нас добрые, поэтому 1 пирожок они вам вернут.
Вопрос: Какое минимальное количество пирожков вам нужно взять, чтобы донести до бабули хотя бы 2?
Решение: Перед каждым мостом вам нужно отдать половину пирожков, и вы получите обратно 1. Если выйдете из дома с 2 пирожками, с тем же количеством и придете к бабуле.
В заключение отметим, что прежде всего такие задачи и головоломки предназначены для того, чтобы проверить поведение кандидата в нестандартных ситуациях, оценить способность к размышлению, творческому и логическому подходу. Увы, нередки случаи, когда интервьюер не может правильно интерпретировать результаты таких вопросов, или вовсе не понимает их предназначения.
Но даже в этой ситуации уверенное поведение и стремление прийти к ответу покажут вас с лучшей стороны и увеличат шансы получить должность.
Следите за нашими публикациями и будьте в курсе актуальных вопросов.
Команда «Академия продаж»
Вопросы-головоломки на собеседованиях с ответами. Часть 1
Соискателям, столкнувшимся с головоломками в процессе собеседования, не стоит паниковать и теряться. Как правило, в большинстве случаев достаточно показать ход ваших мыслей и пути решения поставленной задачи. Вполне может быть, что у задачи и нет правильного решения или однозначного ответа. Ни в коем случае нельзя говорить «я не знаю» или «затрудняюсь ответить», просто размышляйте вслух.
Чтобы вы знали к чему быть готовыми и не растерялись, Work.ua собрал самые популярные вопросы-головоломки и подготовил ответы и рекомендации к ним. Кто знает, может вам попадутся именно эти задачи.
Все эти головоломки могут вам задать при собеседовании на вакансию программиста php.
Канализационные люки
Это, пожалуй, самый распространенный вопрос среди всех головоломок.
Вопрос: Почему канализационные люки круглые?
Ответ: Есть несколько вариантов. Так как диаметр круга одинаков, как его не крути, то круглый люк не может провалиться в колодец. У квадрата же, например, диагональ больше его сторон, поэтому крышка могла бы упасть. Также можно ответить, что круглые люки проще транспортировать и передвигать.
Лампочки
Вопрос: В закрытой комнате есть 3 лампочки, а в коридоре 3 выключателя. За какое минимальное открытие дверей можно определить какой выключатель к какой лампочке относится?
Ответ: За одно открытие. Включаем одновременно 2 выключателя, через некоторое время выключаем второй. Заходим в комнату: одна из лампочек осталась гореть — это первый выключатель, далее щупаем оставшиеся лампочки — теплая и будет вторым выключателем, а холодная соответственно третьим.
Торт
Вопрос: Как разделить торт на 8 равных частей тремя разрезами?
Ответ: Сперва нужно сделать 2 разреза крест на крест, поделив торт на 4 равных части. А затем разрезать торт горизонтально пополам. Ну и что, что куски стали невысокие, зато у вас 8 равных частей. Еще можно после первых двух разрезов сложить кусочки друг на друга и переполовинить одним разрезом.
Мертвый человек и спичка
Вопрос: Среди поля найден мертвый человек со спичкой в руках, следов нет. От чего он умер и при каких обстоятельствах?
Ответ: Человек умер от падения с самолета, который начал терять высоту, и авария была неизбежна. На всех пассажиров не хватило одного парашюта и они тянули жребий. Ему досталась короткая спичка, и он был вынужден прыгать без парашюта.
Автобус и мячи
Вопрос: Сколько теннисных мячей поместится в автобус?
Ответ: Точного правильного ответа не знает и сам рекрутер, так как не уточняется, что за мячи и автобус — их размеры не известны, и никто досконально это не проверял. Поэтому тут важен ход ваших мыслей, вы можете только предположить. Назовите примерные длину, ширину и высоту автобуса, размеры одного мяча. Посчитайте объем автобуса и мяча — так вы узнаете сколько мячей поместится в пустой автобус. Уменьшите примерно это значение с учетом сидений и других деталей автобуса, сделайте поправку на то, что мячи не квадратные и дайте ответ. В этом случае процесс поиска ответа важнее самого ответа. Варианты вопроса могут быть разные: мячи — футбольные, вместо автобуса — комната и т.п.
Таблетки
Вопрос: Доктор выдал пациенту 4 таблетки двух видов — по 2 таблетки каждого, которые нельзя отличить по внешнему виду. Таблетки надо выпить за два приема: утром по одной таблетке каждого вида и так же вечером. Если нарушить дозировку или не принять таблетки, то пациент умрет. Так вышло, что таблетки перемешались. Как пройти курс лечения и выжить?
Ответ: Конечно, можно сказать, что лучше пойти к врачу и попросить еще, все таки вопрос жизни и смерти. Но это могут быть единственные таблетки на Земле, доктор может исчезнуть при загадочных обстоятельствах и т.д. Так что ответить все же придется. К тому же все достаточно просто: нужно разделить каждую таблетку на 2 части и выпить по половинке каждой таблетки утром и вечером.
В заключение
Помните, что прежде всего такие задачи и головоломки предназначены для того, чтобы проверить поведение кандидата в нестандартных ситуациях, оценить способность к размышлению, творческому и логическому подходу. Увы, нередки случаи, когда интервьюер не может правильно интерпретировать результаты таких вопросов, или вовсе не понимает их предназначения. Но даже в этой ситуации уверенное поведение и стремление прийти к ответу покажут вас с лучшей стороны и увеличат шансы получить должность.
- Facebook share link
- Threads share link