1. Экспериментальные данные и вероятности событий
Полученные из практики величины являются статистическими данными, а вероятность случайного события — моделью реальных ситуаций. Значительно или нет отличается абстрактная модель от практической ситуации? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим понятие статистической устойчивости :
если серии испытаний производятся в одних и тех же условиях, то при большом количестве независимых испытаний частота появления случайного события колеблется около некоторого постоянного числа. Это явление называют статистической устойчивостью , а указанное число — статистической вероятностью события .
Частота появления события отлична от вероятности события для каждого определённого числа повторений опыта.
Явление статистической устойчивости обеспечивает тот факт, что с возрастанием количества повторений опыта вероятность заметного отличия частоты события от его вероятности стремится к нулю. Этот вид устойчивости характерен в случаях, когда подбрасываем монетки, вытаскиваем карты, бросаем игральные кости (кубики) и ждём выпадения конкретного числа очков и для большей части случайных событий.
Благодаря явлению статистической устойчивости соединяются проводимые в реальности, эмпирические испытания с теоретическими моделями этих испытаний.
Так, в истории известны случаи, когда авторство литературатурного произведения подтверждали по частоте употребления в нём оборотов речи, слов и букв.
Статистическая устойчивость показывает, что при осуществлении большого числа повторений испытания рассчитанная частота почти совпадёт с неизвестной нам вероятностью наступления события A . Следовательно, подсчитанная частота примерно равна вероятности события A .
Необходимо чётко уяснить, что частота наступления определяется для реальных событий , а вероятность — для теоретической модели этих событий .
Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу практически произведённых испытаний. Таким образом, относительная частота события \(A\) определяется формулой: W ( A ) = m n , где \(m\) — число появлений события, \(n\) — общее число испытаний.
Число, к которому стремится устойчивая относительная частота, называется статистической вероятностью этого события : P ( A ) ≈ W ( A ) .
Чем частота события отличается от вероятности
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
1.1. Случайные события. Частота. Вероятность.
Теория вероятностей — математическая наука, изучающая закономерности массовых случайных явлений (событий).
Случайным событием (или просто событием) называется всякое явление, которое может произойти или не произойти при осуществлении определенной совокупности условий. Теория вероятностей имеет дело с такими событиями, которые имеют массовый характер. Это значит, что данная совокупность условий может быть воспроизведена неограниченное число раз. Каждое такое осуществление данной совокупности условий называют испытанием (или опытом).
Если, например, испытание состоит в бросании монеты, то выпадение герба является событием; если испытание — изготовление подшипника данного типа, то соответствие подшипника стандарту — событие; если испытание — бросание игральной кости, т. е. кубика, на гранях которого проставлены цифры (очки) от 1 до 6, to выпадение пятерки — событие.
События будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита: A, В, С, . .
Пусть при n испытаниях событие A появилось m раз.
Отношение m/n называется частотой (относительной частотой) события A и обозначается Р*(А)=m/n
Опыт показывает, что при многократном повторении испытаний частота Р*(А) случайного события обладает устойчивостью. Поясним это на примере.
Пусть при бросании монеты 4040 раз герб выпал 2048 раз. Частота появления герба в данной серии опытов равна Р*(А)=m/n=2048/4040=0,5069. При бросании той же монеты 12000 раз герб выпал 6019 раз. Следовательно, в этом случае частота Р*(А)=6019/12000=0,5016. Наконец, при 24000 бросаний герб появился 12012 раз с частотой Р*(А)=0,5005. Таким образом, мы видим, что при большом числе бросаний монеты частота появления герба обладает устойчивостью, т. е. мало отличается от числа 0,5. Как показывает опыт, это отклонение частоты от числа 0,5 уменьшается с увеличением числа испытаний. Наблюдаемое в этом примере свойство устойчивости частоты является общим свойством массовых случайных событий, а именно, всегда существует такое число, к которому приближается частота появления данного события, мало отличаясь от него при большом числе испытаний. Это число называется вероятностью события. Оно выражает объективную возможность появления события. Чем больше вероятность события, тем более возможным оказывается его появление. Вероятность события A будем обозначать через Р(А). В рассмотренном выше примере вероятность появления герба, очевидно, равна 0,5.
Событие называется достоверным, если оно в данном опыте обязательно должно произойти; наоборот, событие называется невозможным, если оно в данном опыте не может произойти.
Пусть, например, из урны, содержащей только черные шары, вынимают шар. Тогда появление черного шара — достоверное событие; появление белого шара — невозможное событие.
Если событие достоверно, то оно произойдет при каждом испытании (m=n). Поэтому частота достоверного события всегда равна единице. Наоборот, если событие невозможно, то оно ни при одном испытании не осуществится (m=0). Следовательно, частота невозможного события в любой серии испытаний равна нулю. Поэтому вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного события равна нулю.
Если событие A не является ни достоверным, ни невозможным, то его частота m/n при большом числе испытаний будет мало отличаться от некоторого числа p (где 0 < p < 1) — вероятности события A.
Совмещением (или произведением) двух событий A и В называется событие, состоящее в совместном наступлении как события A, так и события В. Это событие будем обозначать АВ или ВА.
Аналогично, совмещением нескольких событий, например A, В и С, называется событие D=ABC, состоящее в совместном наступлении событий A, В и С.
Объединением (или суммой) двух событий A и В называется событие С, заключающееся в том, что произойдет по крайней мере одно из событий A или В. Это событие обозначается так: С=А+В.
Объединением нескольких событий называется событие, состоящее в появлении по крайней мере одного из них. Запись D=A+B+C означает, что событие D есть объединение событий A, В и С.
Два события A и В называются несовместными, если наступление события A исключает наступление события В. Отсюда следует, что если события A и В несовместны, то событие AB — невозможное.
Рассмотрим следующий пример. Будем следить за движением какой-нибудь определенной молекулы газа, заключенного в некоторый объем. Внутри этого объема выделим объемы и , частично перекрывающие друг друга (рис. 1). Пусть событие A — попадание молекулы в объем , событие В — попадание молекулы в объем .
Совмещением событий A и В является попадание молекулы в общую часть объемов и . Если объемы и не имеют общих точек, то ясно, что события A и В несовместны. Объединением событий A и В является попадание молекулы или только в объем или только в объем , или же в их общую часть.
Чем отличается относительная частота события от вероятности?
Чем отличаются вероятность и относительная частота события друг от друга?
комментировать
в избранное
Victo r D [74.1K]
8 месяцев назад
Относительная частота события и вероятность являются двумя разными концепциями, используемыми для описания вероятностных явлений.
Относительная частота события — это число раз, когда это событие произошло в эксперименте, разделенное на общее число испытаний. Она определяется путем подсчета количества раз, когда событие произошло, и делением этого числа на общее число испытаний. Например, если монета была подброшена 100 раз, и орел выпал 40 раз, то относительная частота выпадения орла равна 40/100 = 0,4.
Вероятность — это числовая мера, определяющая степень уверенности в том, что событие произойдет. Она определяется отношением числа благоприятных исходов к общему числу исходов в эксперименте. Например, вероятность выпадения орла при подбрасывании честной монеты равна 0,5.
Таким образом, отличие между относительной частотой события и вероятностью заключается в том, что первая является числом, полученным путем подсчета количества раз, когда событие произошло в эксперименте, а вторая — числовой мерой, определяющей степень уверенности в том, что событие произойдет в будущем.
2. Частота события. Статистическое определение вероятности.
Пусть некоторое испытание повторяется n раз, при этом в повторениях появляется событие А. Тогда отношение называется частотой события А в данной серии испытаний. Значения частоты, получаемые в разных сериях испытаний, обычно различаются. Практика показывает, что при проведении испытаний в одинаковых условиях частота события обладает свойством устойчивости, т.е. с ростом числа испытаний она постепенно утрачивает случайный характер. Это означает, что при больших n значения , получаемые в разных сериях независимых испытаний, почти всегда лишь мало отличаются от некоторого числа р. Такое число называется вероятностью события А и обозначается . Данное определение вероятности называется статистическим. Значение вероятности представляет собой среднюю долю испытаний, в которых наступает событие А, и служит мерой объективной возможности появления этого события в отдельно взятом испытании. Поскольку , то естественно считать, что . Частота достоверного события в любой серии испытаний равна единице, а невозможного – нулю, поэтому целесообразно положить , . Пусть А и В – несовместные события, первое из которых в результате n испытаний появляется раз, второе – раз. Одновременное появление событий А и В в опыте невозможно, поэтому . Если – попарно несовместные события, то по индукции можно получить равенство , откуда естественно положить . Знание вероятности случайного события, вообще говоря, не позволяет предсказать, произойдёт ли это событие в отдельно взятом испытании. Исключение составляют события, вероятности которых очень близки к единице или к нулю. При многократном повторении испытания они почти всегда происходят или, наоборот, почти никогда не происходят: исключения настолько редки, что на практике их можно считать, соответственно, достоверными или невозможными. Такие события называются практически достоверными и практически невозможными. В соответствии с принципом практической уверенности считают, что в каждом отдельном испытании практически достоверное событие происходит, а практически невозможное – не происходит. На практике в качестве приближённого значения вероятности того или иного события может быть принята его частота, найденная при достаточно большом числе независимых опытов, проводимых в одинаковых условиях. Основной недостаток статистического определения состоит в том, что для достаточно точного нахождения вероятности требуется проведение большого числа испытаний.
3. Классическое и геометрическое определения вероятности.
Классическое определение вероятности Пусть – пространство элементарных событий некоторого испытания. Будем считать, что события равновозможны, т.е. не имеют объективного преимущества одно перед другим. Пусть событие А в опыте происходит тогда и только тогда, когда наступает элементарное событие из некоторого подмножества , содержащего m элементов ( ). Тогда вероятностью события А называется число , (1) где n – общее число элементарных событий, m – число элементарных событий, благоприятствующих появлению события А. Приведённое определение вероятности называется классическим, а формула (1) называется формулой непосредственного подсчёта вероятностей. Это определение применимо только в тех ситуациях, когда пространство элементарных событий испытания конечно и соответствующие события равновозможны. В реальных задачах равновозможность событий устанавливается на основе их симметрии в том или ином смысле. Нетрудно проверить, что все свойства вероятности, установленные на основании свойств частоты, справедливы и для классического определения. Практика показывает, что при большом числе испытаний частота события почти всегда лишь незначительно отличается от его вероятности, вычисленной по формуле (1), т.е. классическое определение согласуется со статистическим определением. Геометрическое определение вероятности Пусть пространство элементарных событий некоторого испытания бесконечно и может быть представлено какой-нибудь геометрической фигурой (например, отрезком прямой, плоской фигурой, телом в пространстве). Будем считать, что множество измеримо, т.е. имеет определённую длину, площадь или объём, а элементарные события, соответствующие различным точкам , равновозможны. Тогда вероятностью события А, состоящего в появлении элементарного события в измеримом подмножестве , называется число , где и – меры множеств и (например, длины отрезков, площади плоских фигур, объёмы тел). Геометрическое определение вероятности является интуитивным обобщением классического определения. Все свойства вероятности, установленные на основании свойств частоты, остаются справедливыми. Вероятность каждого из элементарных событий в данной ситуации равна нулю, хотя ни одно из них не является невозможным.