Зачем нужны квадратные уравнения

Применение квадратных уравнений в жизни

• Важность умения решать квадратные уравнения в очередной раз доказывает то, что такие уравнения умели решать еще в древности. Но как это делалось, если в то время не существовала символическая алгебра?

История возникновения и развития квадратных уравнений

• Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

• Квадратные уравнения решали еще в Индии. Древнеиндийский математик Баудхаяма. впервые использовал квадратные уравнения в форме ax2= c и ax2+ bx = c и привел методы их решения.

• Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. в «Книге абака» итальянским математиком Леонардом Фибоначчи.

• Далее квадратные уравнения продолжают изучать и другие выдающиеся математики

• Решение квадратных уравнений находило применение в древности.
• Так как квадратные уравнения с тех времен активно развивались, можно сделать вывод, что их применение значительно увеличилось. Как же теперь применяются квадратные уравнения?

• Применяется квадратные уравнения во многих расчетах, сооружениях, спорте, а также и вокруг нас.
• Рассмотрим и проверим некоторые применения квадратного уравнения

• Сейчас ученые выяснили, что траекторию движения планет можно найти с помощью квадратного уравнения.

Взлет главная составляющая полета. Здесь берется расчет для маленького сопротивления и ускоренного взлета.

• Фонтан смотрится лучше, если капли воды достигают высоты, большей, чем высота статуи.

В данном виде спорта, крайне важны арифметические расчеты.

При разбеге прыгуна в высоту для максимально четкого попадания на планку отталкивания и высокого полета, используют расчеты связанные с парабалой.

Также подобные расчеты нужны в метании. Дальность полета объекта зависит от квадратного уравнения.

• Квадратные уравнения получили большое значение и значительное применение в жизни.

• Квадратное уравнение имеет большое применение в жизни. Еще в древности человек использовал квадратное уравнение. А с тех пор применение квадратного уравнения только росло.

• Проходя эту тему на уроке, мы мало задумываемся о практическом применении квадратных уравнений. Поэтому мы считаем, что квадратные уравнения нигде не используются, но как выяснилось это не так.

О квадратных уравнениях в правильном порядке

Как вам преподавали квадратные уравнения в школе? Это был 7-8 класс, примерно. Вероятнее всего, вам рассказали что есть формулы корней через дискриминант, что направление ветвей зависит от старшего коэффициента. Через пару занятий дали теорему Виета. Счастливчикам еще рассказали про метод переброски. И на этом решили отпустить.

Вы довольны такой базой? Вам не рассказали ни геометрический смысл, ни как это получить.

Спустя некоторое время обдумывания сей несправедливости, я решил написать эту статью и тем самым закрыть гештальт о фрагментарности знаний.

Вы не найдете здесь ничего нового по факту, но, возможно, это даст посмотреть на такое простое понятие с другой стороны.

Начнем с конца

Когда я перечислял темы, касающиеся квадратных уравнений, я делал это примерно в том же порядке, в котором изучают их в школе. Но такой порядок не оправдан с точки зрения обучения, и вот почему:

• Дискриминант дается просто как данность (за редким исключением, когда показывают вывод этих формул через приведение к полному квадрату)
• Мощнейшая по своей сути теорема Виета дается в конце и только как эвристический способ решения

Гораздо проще начать с теоремы Виета.

Рассмотрим квадратный трехчлен

В силу основной теоремы алгебры (примем её как данность, так как её действительно тяжело доказать), мы знаем, что у этого уравнения должно быть два корня. Допустим, что это некоторые числа . Тогда можно переписать изначальное уравнение как выражение его корней:

Оба эти уравнения эквиваленты, так как они оба зануляются в (первое по определению , второе по построению).

Раскрывая скобки, мы получим следующее:

Откуда приравняв соответствующие коэффициенты с имеющимися, получим знаменитую систему:

Мы только что доказали теорему Виета на случай квадратного трехчлена. Это потрясающий результат: мы начинаем получать некоторую информацию о корнях, которые, как мы предположили, существуют. И этот результат мы будем использовать далее.

Геометрия параболы

Вершина

Здесь можно было бы рассказать весь первый курс алгебры университета: о фокусах, директрисах, о конических сечениях, первой и второй производной…

Но раз мы ограничились школьной программой (7-8 класс, если быть точным), то и рассуждения у нас будут простые.

Самая, на мой субъективный взгляд, интересная точка параболы – это её вершина. Она уникальным образом задает положение параболе и дает понимание о том, как устроены корни.

Но формулу для нее мы не знаем, до первых понятий о производной нам еще 3 года в среднем. Будем выкручиваться.

Парабола – симметричная фигура. До того момента, как мы сдвинули ее относительно оси , ось служит для нее осью симметрии. Когда же мы начинаем ее сдвигать, становится видно, что она продолжает быть симметричной, но уже относительно оси, проходящей через вершину.

Тогда от вершины в обе стороны до корней равные расстояния, а это значит, что вершина параболы лежит ровно между корнями. Тогда координата вершины это среднее между ее корнями

Пока что мы не знаем наши корни. Но благодаря теореме Виета мы знаем, чему равна сумма корней!

Потрясающий результат, который нам пригодится далее.

Ещё немного про корни

Мы знаем, что корни, графически, это те точки, в которых кривая пересекает ось . Очень полезное знание, учитывая, что смотря на параболу, исключительно визуально, мы понимаем что у нас может быть 3 случая:

1. Корней нет, при этом
   1. Либо значение в вершине больше нуля и старший коэффициент больше нуля
   2. Либо значение в вершине меньше нуля и старший коэффициент меньше нуля

   Второй случай тривиален, до третьего мы еще дойдем. Интересно математически взглянуть на первый. Найдем значение квадратного трехчлена в вершине:

   И теперь все же рассмотрим первый случай: парабола висит над осью ветвями вверх.

   

   Домножим первое неравенство на . Учитывая, что , знак неравенства сменится на противоположный:

   Это условие, при котором корней нет.

   Рассмотрим вкратце противоположный случай: парабола висит под осью ветвями вниз.

   

   Какая-то магия. Получается, что это условие инвариантно относительно положения параболы. Но тем оно лучше.

   На данном этапе прошу заметить, что это только условие отсутствия действительных корней. Да, это похоже на дискриминант, но давайте представим, что вы этого не знаете.

   Понятие дискриминанта

   Мы уже многое поняли о корнях: в какой они связи с коэффициентами, когда они не существуют, каким образом они лежат относительно вершины. Все это безумно полезно, но это все до сих пор не способ найти значения алгебраически.

   Давайте будем отталкиваться от того, что мы уже знаем: от вершины. Если бы мы каким-то образом знали расстояние между корнями, то могли бы однозначно найти и сами корни.

   Таки что мешает нам это сделать? Но как настоящие математики, давайте находить квадрат расстояния между корнями. Не теряя общности, будем считать, что – больший корень. Тогда

   Пока что выглядит не очень, но на что-то это очень сильно похоже. Не видите? Давайте выделим полный квадрат, но по сумме, а не по разности: добавим , но чтобы все осталось в точности так же, это же и вычтем.

   Все еще не видите? Воспользуемся снова теоремой Виета:

   Мы получили квадрат расстояния между корнями с учетом растяжения коэффициентом .

   Так мы теперь можем найти корни! Вершина параболы да половину расстояния между корнями в обе стороны:

   Или, немного преобразовав

   Квадрат расстояния между корнями квадратного трехчлена и есть дискриминант.

   В общем случае, дискриминант — более сложное понятие, связанное с кратными корнями. Но для квадратного уравнения в 7 классе этого достаточно.

   Теперь, если рассуждать о дискриминанте как о расстоянии, становится логично и понятно, почему если он равен нулю, то корень всего один; а если отрицательный, то действительных корней вообще нет.

   Заключение

   Заметьте, что единственное, что мы предположили, что корня два и они существуют. Единственное, что приняли на веру, это основную теорему алгебры. До всего остального мы дошли исключительно умозрительными заключениями и простейшей алгеброй.

   Как по мне, это именно то, как должны преподавать эту тему в школе.

   квадратные уравнения. зачем?

   какие практические задачи обыватель может свести к квадратному уравнению?

   

   qulinxao ★★☆
   05.02.14 13:18:14 MSK
   ← 1 2 3 4 5 →

   Это смотря, что за обыватель.

   cvs-255 ★★★★★
   ( 05.02.14 13:24:19 MSK )

   Все задачи обывателя решит специализированное ПО в его мозговом импланте айфоне.
   Обывателю не обязательно быть знакомым ни с азами биологии, ни с азами химии, ни с азами физики, ни с азами астрономии, ни с азами географии, геологии, истории, экономики, права, etc.
   Нужно только уметь читать короткие фразы и тыкать грязным пальцем в иконки.

   Но вот если ты хочешь воспитать не обывателя-потреблядину, а человека-творца, то квадратные уравнения станут ценной крупинкой в его картине мироздания.

   Manhunt ★★★★★
   ( 05.02.14 13:24:39 MSK )
   Последнее исправление: Manhunt 05.02.14 13:25:38 MSK (всего исправлений: 3)

   Например задачи, в которых возникает теорема Пифагора

   1. Основные понятия квадратных уравнений

   Квадратным уравнением называют уравнение вида a x 2 + bx + c = 0 , где коэффициенты \(a\), \(b\), \(c\) — любые действительные числа, причём a ≠ 0 .

   Коэффициенты \(a\), \(b\), \(c\) имеют отдельные названия:
   \(a\) называют первым коэффициентом, или старшим коэффициентом;
   \(b\) — вторым коэффициентом, или коэффициентом при \(x\);
   \(c\) — третим коэффициентом, или свободным членом.

   Если старший коэффициент квадратного уравнения равен \(1\), то такое уравнение называют приведённым ;

   если старший коэффициент отличен от \(1\), то квадратное уравнение называют неприведённым .
   Уравнение 3 x 2 + 5 x − 1 = 0 имеет старший коэффициент, равный \(3\), поэтому оно неприведённое,
   а уравнение x 2 − 2 x + 1 = 0 имеет старший коэффициент, равный \(1\), поэтому оно приведённое.
   Квадратные уравнения также бывают полные и неполные.

   Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты \(b\) и \(c\) не равны нулю.

   Неполное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором отсутствуют некоторые слагаемые; иначе говоря, это квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов \(b\), \(c\) нулевой.

   Об a x 2 речи нет, этот член всегда присутствует в квадратном уравнении.

   Корнем квадратного уравнения a x 2 + bx + c = 0 называют всякое значение переменной \(x\), при котором квадратный трёхчлен a x 2 + bx + c обращается в нуль; такое значение переменной \(x\) называют также корнем квадратного трёхчлена.

   Алгоритм решения неполных квадратных уравнений
   1. Уравнение вида a x 2 = 0 имеет одно решение: \(x=0\).

   2. Уравнение вида a x 2 + bx = 0 решается способом разложения на множители и имеет два решения: \(x(ax + b) = 0\); то есть \(x = 0\) или \(ax + b = 0\). Получаем: x 1 = 0 ; x 2 = − b a .

   3. Уравнение вида a x 2 + c = 0 записывают как a x 2 = − c , потом x 2 = − c a .

   Если − c a — отрицательное число, уравнение x 2 = − c a не имеет решений (исходное уравнение a x 2 + c = 0 также не имеет решений).

   Если − c a — положительное число, т. е. − c a = m , где \(m > 0\), уравнение x 2 = m имеет два корня: x 1 = m , x 2 = − m . В этом случае допускается более короткая запись: x 1,2 = ± m .

   Обрати внимание!

   Квадратное уравнение a x 2 + bx + c = 0 (полное или неполное) может иметь два корня, один корень или не иметь корней.

   Похожие публикации:

   1. Как из float сделать int
   2. Как перевести visual studio на английский
   3. Как расшифровывается devops
   4. Какое расширение имеет файл каждой веб страницы