Произведение в программировании как называется

Геометрия и ООП¶

Напомним, что отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой — концом, называется вектором. Вектор на плоскости можно задать двумя числами — его координатами по горизонтали и вертикали.

vector

Помимо очевидных сложения, вычетания и умножения на константу (скаляр — одно число), у векторов можно ввести и свои особенные операции, которые нам упростят жизнь.

Скалярное произведение (англ. dot product) — произведение длин векторов на косинус угла между ними. Для него справедлива формула, которая муторно и чисто технически доказывается:

$$ a \cdot b = x_a x_b + y_a y_b $$

dot

У него есть полезные свойства:

Скалярное произведение симметрично ($a \cdot b = b \cdot a$).
Геометрически, это проекция вектора b на вектор a, помноженынй на длину а.
Перпендикулярные вектора должны иметь нулевое скалярное произведение.
Если угол острый, то оно положительное
Если угол тупой, то отрицательное

Векторное произведение (англ. cross product) — произведение длин векторов на синус угла между ними, причём знак этого синуса зависит от порядка операндов. Оно тоже удобно выражается в координатах:

$$ a \times b = x_a y_b — y_a x_b $$

cross

Скалярное произведение антисимметрично ($a \times b = — (b \times a)$).
Геометрически, это ориентированный объем параллелограмма, натянутого на эти вектора.
Коллинеарные вектора должны иметь нулевое векторное произведение.
Если b «слева» от a, то оно положительное.
Если b «справа» — то отрицательное.

Всякие проверки¶

Из-за этих классных свойств, почти все проверки можно описать через них, а не уравнениями.

Принадлежность точки треугольнику. Пусть у нас есть треугольник ABC (заданный против часовой стрелки) и точка P. Тогда она должна лежать слева от всех трёх векторов AB, BC и CA. Это условие задаст пересечение трёх полуплоскостей, которое и будет нужным треугольником.

$$ \text \iff \begin (B-A) \times (P-A) \geq 0 \\ (C-B) \times (P-B) \geq 0 \\ (A-C) \times (P-C) \geq 0 \\ \end $$

Площадь треугольника. Можно пользоваться готовыми формулами, а можно и свойством векторного произведения.

Площадь произвольного многоугольника. Если многоугольник задан последовательностью вершин в каком-то порядке, то можно считать так: для каждого ребра добавим его ориентированную площадь от начала координат. Какие-то слагаемые будут положительными (которые на последнем слое, а какие-то — отрицательными).

any

Забудьте о формуле Герона и всегда считайте площади через векторное произведение.

Кстати, из формулы тря треугольника следует, что площадь любой фигуры будет либо целым числом, либо рациональным с двойкой в знаменателе. Чтобы оставаться в целых числах, иногда имеет смысл умножить все входные данные на 2.

Проверка на выпуклость. Можно пройтись по сторонам многоугольника и проверять векторным произведением, что мы поворачиваем всегда в одну сторону (то есть если у нас последовательные точки a, b и c, то $(b-a)\times(c-a) > 0$).

Пересекаются ли отрезки.

segments

Уравнение прямой¶

Прямая задается уравнением вида $Ax + By + C = 0$. Полуплоскость можно задать таким же неравенством.

У прямой есть вектор нормали с координатами $(A, B)$. Он перпендиуклярен прямой, а в случае с полуплоскостью $Ax + By + C \geq 0$ будет указывать в сторону самой полуплоскости.

Чтобы найти расстояние от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$, можно воспользоваться следующей формулой:

Точка пересечения. По сути, найти точку пересечения двух прямых — это то же самое, что и найти точку, которая удовлетворяет обоим условиям их уравнений:

$$ \begin A_1 x + B_1 y + C_1 = 0 \\ A_2 x + B_2 y + C_2 = 0 \end \implies \begin -x = \frac \\ -x = \frac \end \implies \frac = \frac \implies y = — \frac $$

Аналогично, $x = \frac$ (обратите внимание на знаки).

Заметьте, что знаменатель может оказаться нулем. Это означает, что векторное произведение векторов нормали нулевое, а значит прямые параллельны (в частности, это могут быть совпадающие прямые). Этот случай нужно отдельно обрабатывать.

Как это кодить в C++¶

Сначала мы создадим класс, который будет отвечать за все операции с точками. В C++ есть два способа это сделать: через struct и через class . Их основное отличие в том, что по умолчанию в class все поля приватные — к ним нет прямого доступа снаружи. Это нужно для дополнительной защиты, чтобы в крупных промышленных проектах никто случайно ничего не поломал, но на олимпиадах это не очень актуально.

Точка $\simeq$ вектор. Мы будем считать точка и вектор это один и тот же объект, так как они оба — это просто пара чисел. Будем сопоставлять точке её радиус-вектор — вектор из начала координат, ведущий в эту точку. По принятой в математике и физике нотации, будем обозночать вектора как r . Вы можете обозвать их как point , pt , vec — как угодно.

struct r  double x, y; r () <> r (int _x, int _y)  x = _x, y = _y; > >;

Записки программиста Программирование и не только

Основы 3D математики необходимы для программирования графики независимо от платформы.

1. Точки (Points) и Отрезки (Segments)

Любая точка в 3D программировании задается набором из 3-х координат по ортогональным (взаимно перпендикулярным) осям (x, y, z) соответственно. Точками задаются также координаты вершин объекта.

Отрезок – часть прямой, соединяющая две точки. Задается координатами концов.

Длина отрезка вычисляется по теореме Пифагора: len = sqrt((x2 — x1)^2 + (y2 — y1)^2 + (z2 — z1)^2), где x1, y1, z1 и x2, y2, z2 – координаты концов отрезка.

Отрезок и точка имеют расположение в пространстве.

2. Векторы (Vectors)

Вектором называется направленный отрезок.

Обычно в 3D программировании равными считаются все вектора, имеющие одинаковую длину (или модуль вектора) и направление. Т.е. у вектора в данном понимании нет расположения, в отличие от отрезка или точки. Поэтому любой вектор можно задать лишь направлением (т.е. единичным, нормализованным вектором или ортом) и его длиной.

Но обычно вектор задается лишь координатами (по 3-м осям) конца вектора, считая, что начало вектора находится в начале координат (0, 0, 0) (вспомните, что для вектора не важно месторасположение). Именно такое восприятие понятия вектора используется в 3D программировании.

Пусть вектор A задан координатами (x, y, z). Тогда модуль (длина) этого вектора вычисляется следующим образом: |A| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2).

Вектор (0,0,0) не имеет направления и является точкой без месторасположения. Такой вектор называется нулевым вектором или нуль-вектором.

3. Действия над векторами

3.1. Сложение (addition) двух векторов.

Суммой двух векторов A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2) называется вектор C(x1+x2, y1+y2, z1+z2).

Два вектора называются противоположными, если их сумма равна нуль-вектору.

3.2. Умножение (multiplication) вектора на число

Произведением вектора A(x, y, z) на число R называется вектор C(x*R, y*R, z*R).

3.3. Скалярное произведение (scalar multiplication или dot product) двух векторов.

Скалярным произведением двух векторов A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2) называется такое число C = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2 и обозначается как (A,B).

Также можно вычислять по формуле (A,B) = |A|*|B|*cosφ, где φ — угол между A и B.

Скалярное произведение кроме всего прочего используется для проверки ортогональности (перпендикулярности) двух векторов. Так, если: (A,B) = 0 , то A и B – ортогональны.

3.4. Векторное произведение (vector multiplication или cross product) двух векторов.

Векторным произведением двух векторов A и B (обозначается [A,B]) называется вектор C, обладающий следующими свойствами:

— длина вектора C равна произведению длин векторов A и B на синус угла между ними: |C| = |A|*|B|*|sinφ|;

— вектор C ортогонален каждому из векторов A и B;

— вектор C направлен так, что тройка векторов ABC является правой (т.е. если смотреть из начала C к концу, то для совмещения A к B необходимо вращать A по часовой стрелке вокруг оси C)

[A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2)] = C(x3,y3,z3),
где x3 = y1*z2 — y2*z1,
y3 = x1*z2 — x2*z1,
z3 = x1*y2 — x2*y1;

Заметим, что для векторного произведения не действительно свойство коммутативности.

Векторное произведение играет очень важную роль в 3D программировании т.к. позволяет вычислять нормальные вектора (или просто нормали) к граням, т.е. вектор, перпендикулярный грани. Нормали используются при расчете освещения, сглаживания, обработке столкновений и еще много для чего.

Кроме того, векторное произведение помогает при определении взаимного расположения двух векторов. Так, если [A,B] = 0, то векторы A и B – коллинеарны.

3.5. Смешанное произведение двух векторов

Существует, также, смешанное произведение трех векторов: ([A,B],C) = (A,[B,C])

Смешанное произведение трех векторов – это число, равное объему параллелепипеда, построенного на векторах A, B и C.

Если смешанное произведение трех векторов равно нулю, то эти векторы компланарны, т.е. лежат в одной плоскости.

Векторы занимают очень важное место в программировании 3D графики, так как являются, по сути, ее основой (вспомним, что это векторная графика). Более детально вы ознакомитесь со значением векторов при изучении выбранной платформы.

Тип-произведение

Тип-произведение (также Π-тип, произведение типов; англ. product type) — конструкция в языках программирования и интуиционистской теории типов, тип данных, построенный как декартово произведение исходных типов; другими словами — кортеж типов, или «кортеж как тип». Использованные типы и порядок их следования определяют сигнатуру типа-произведения; порядок следования объектов в создаваемом кортеже сохраняется на протяжении его времени жизни согласно заданной сигнатуре.

Связанные понятия

Тип-сумма (англ. sum type; также Σ-тип, меченое объединение) — конструкция в языках программирования и интуиционистской теории типов, тип данных, построенный как дизъюнктное объединение исходных типов.

Алгебраи́ческий тип да́нных — в информатике наиболее общий составной тип, представляющий собой тип-сумму из типов-произведений. Алгебраический тип имеет набор конструкторов, каждый из которых принимает на вход значения определённых типов и возвращает значение конструируемого типа. Конструктор представляет собой функцию, которая строит значение своего типа на основе входных значений. Для последующего извлечения этих значений из алгебраического типа используется сопоставление с образцом.

В теории типов и функциональных языках программирования конструктор алгебраического типа данных или просто конструктор представляет собой функцию с пустым телом, конструирующую объект алгебраического типа данных. Оптимизирующие компиляторы исполняют эти функции статически, т.е. на этапе компиляции.

Запись — агрегатный тип данных, инкапсулирующий без сокрытия набор значений различных типов.

Переменная типа (ти́повая переменная) в языках программирования и теории типов — переменная, которая может принимать значение из множества типов данных.

Зависимый тип (англ. dependent type) в информатике и логике — тип, который зависит от некоторого значения. Зависимые типы играют ключевую роль в интуиционистской теории типов и построении функциональных языков программирования таких как ATS, Agda и.

В теории типов, конструктор типов представляет собой конструкцию полиморфно типизируемого формального языка, которая строит новые типы из старых.

Род в теории типов (англ. kind) — тип конструктора типов, или более формально, тип ти́пового оператора высшего порядка. Система родо́в естественным образом представляется как родительское (вышестоящее) просто типизированное лямбда-исчисление, снабжённое примитивным типом, обозначаемым «*» (читается «тип»), формирующим род мономорфных типов данных.

Абстра́ктный тип да́нных (АТД) — это математическая модель для типов данных, где тип данных определяется поведением (семантикой) с точки зрения пользователя данных, а именно в терминах возможных значений, возможных операций над данными этого типа и поведения этих операций.

Идиома программирования — устойчивый способ выражения некоторой составной конструкции в одном или нескольких языках программирования. Идиома является шаблоном решения задачи, записи алгоритма или структуры данных путём комбинирования встроенных элементов языка.

Каррирование (от англ. currying, иногда — карринг) — преобразование функции от многих аргументов в набор функций, каждая из которых является функцией от одного аргумента. Возможность такого преобразования впервые отмечена в трудах Готтлоба Фреге, систематически изучена Моисеем Шейнфинкелем в 1920-е годы, а наименование получило по имени Хаскелла Карри — разработчика комбинаторной логики, в которой сведение к функциям одного аргумента носит основополагающий характер.

Примитивный (встроенный, базовый) тип — тип данных, предоставляемый языком программирования как базовая встроенная единица языка.

Фу́нкция вы́сшего поря́дка — в программировании функция, принимающая в качестве аргументов другие функции или возвращающая другую функцию в качестве результата. Основная идея состоит в том, что функции имеют тот же статус, что и другие объекты данных. Использование функций высшего порядка приводит к абстрактным и компактным программам, принимая во внимание сложность производимых ими вычислений.

Объектами первого класса (англ. first-class object, first-class entity, first-class citizen) в контексте конкретного языка программирования называются элементы, которые могут быть переданы как параметр, возвращены из функции, присвоены переменной.

Сравне́ние в программировании — общее название ряда операций над па́рами значений одного типа, реализующих математические отношения равенства и порядка. В языках высокого уровня такие операции, чаще всего, возвращают булево значение («истина» или «ложь»).

Каламбур типизации является прямым нарушением типобезопасности. Традиционно возможность построить каламбур типизации связывается со слабой типизацией, но и некоторые сильно типизированные языки или их реализации предоставляют такие возможности (как правило, используя в связанных с ними идентификаторах слова unsafe или unchecked). Сторонники типобезопасности утверждают, что «необходимость» каламбуров типизации является мифом.

По одной из классификаций, языки программирования неформально делятся на сильно и слабо типизированные (англ. strongly and weakly typed), то есть обладающие сильной или слабой системой типов. Эти термины не являются однозначно трактуемыми, и чаще всего используются для указания на достоинства и недостатки конкретного языка. Существуют более конкретные понятия, которые и приводят к называнию тех или иных систем типов «сильными» или «слабыми».

Область видимости (англ. scope) в программировании — часть программы, в пределах которой идентификатор, объявленный как имя некоторой программной сущности (обычно — переменной, типа данных или функции), остаётся связанным с этой сущностью, то есть позволяет посредством себя обратиться к ней. Говорят, что идентификатор объекта «виден» в определённом месте программы, если в данном месте по нему можно обратиться к данному объекту. За пределами области видимости тот же самый идентификатор может быть.

Функции первого класса являются неотъемлемой частью функционального программирования, в котором использование функций высшего порядка является стандартной практикой. Простым примером функции высшего порядка будет функция Map, которая принимает в качестве своих аргументов функцию и список и возвращается список, после применения функции к каждому элементу списка. Чтобы язык программирования поддерживал Map, он должен поддерживать передачу функций как аргумента.

Пара́метр в программировании — принятый функцией аргумент. Термин «аргумент» подразумевает, что конкретно и какой конкретной функции было передано, а параметр — в каком качестве функция применила это принятое. То есть вызывающий код передает аргумент в параметр, который определен в члене спецификации функции.

В информатике, спи́сок (англ. list) — это абстрактный тип данных, представляющий собой упорядоченный набор значений, в котором некоторое значение может встречаться более одного раза. Экземпляр списка является компьютерной реализацией математического понятия конечной последовательности.

Мона́да — это абстракция линейной цепочки связанных вычислений. Монады позволяют организовывать последовательные вычисления.

Система типов — совокупность правил в языках программирования, назначающих свойства, именуемые типами, различным конструкциям, составляющим программу — таким как переменные, выражения, функции или модули. Основная роль системы типов заключается в уменьшении числа багов в программах посредством определения интерфейсов между различными частями программы и последующей проверки согласованности взаимодействия этих частей. Эта проверка может происходить статически (на стадии компиляции) или динамически.

Параметрический полиморфизм в языках программирования и теории типов — свойство семантики системы типов, позволяющее обрабатывать значения разных типов идентичным образом, то есть исполнять физически один и тот же код для данных разных типов.

Сопоставление с образцом (англ. Pattern matching) — метод анализа и обработки структур данных в языках программирования, основанный на выполнении определённых инструкций в зависимости от совпадения исследуемого значения с тем или иным образцом, в качестве которого может использоваться константа, предикат, тип данных или иная поддерживаемая языком конструкция.

Перечисляемый тип (сокращённо перечисле́ние, англ. enumeration, enumerated type) — в программировании тип данных, чьё множество значений представляет собой ограниченный список идентификаторов.

Вывод типов (англ. type inference) — в программировании возможность компилятора самому логически вывести тип значения у выражения. Впервые механизм вывода типов был представлен в языке ML, где компилятор всегда выводит наиболее общий полиморфный тип для всякого выражения. Это не только сокращает размер исходного кода и повышает его лаконичность, но и нередко повышает повторное использование кода.

Логи́ческий тип да́нных, или булев тип, или булевый тип (от англ. Boolean или logical data type) — примитивный тип данных в информатике, принимающий два возможных значения, иногда называемых истиной (true) и ложью (false). Присутствует в подавляющем большинстве языков программирования как самостоятельная сущность или реализуется через численный тип данных. В некоторых языках программирования за значение истина полагается 1, за значение ложь — 0.

Блок (также говорят блок кода, блок команд, блок инструкций) в программировании — это логически сгруппированный набор идущих подряд инструкций в исходном коде программы, является основой парадигмы структурного программирования.

Тип данных (тип) — множество значений и операций на этих значениях (IEEE Std 1320.2-1998).

Ссылочная прозрачность и ссылочная непрозрачность — это свойства частей компьютерных программ. Выражение называется ссылочно прозрачным, если его можно заменить соответствующим значением без изменения поведения программы. В результате вычисления ссылочно прозрачной функции дает одно и то же значение для одних и тех же аргументов. Такие функции называются чистыми функциями.

В объектно-ориентированном программировании под агрегированием (или как его еще называют — делегированием) подразумевают методику создания нового класса из уже существующих классов путём их включения. Об агрегировании также часто говорят как об «отношении принадлежности» по принципу «у машины есть корпус, колёса и двигатель».

Ленивые вычисления (англ. lazy evaluation, также отложенные вычисления) — применяемая в некоторых языках программирования стратегия вычисления, согласно которой вычисления следует откладывать до тех пор, пока не понадобится их результат. Ленивые вычисления относятся к нестрогим вычислениям. Усовершенствованная модель ленивых вычислений — оптимистичные вычисления — переходит в разряд недетерминированных стратегий вычисления.

Абстрактный класс в объектно-ориентированном программировании — базовый класс, который не предполагает создания экземпляров. Абстрактные классы реализуют на практике один из принципов ООП — полиморфизм. Абстрактный класс может содержать (и не содержать) абстрактные методы и свойства. Абстрактный метод не реализуется для класса, в котором описан, однако должен быть реализован для его неабстрактных потомков. Абстрактные классы представляют собой наиболее общие абстракции, то есть имеющие наибольший.

Опера́ция — конструкция в языках программирования, аналогичная по записи математическим операциям, то есть специальный способ записи некоторых действий.

Присва́ивание — механизм связывания в программировании, позволяющий динамически изменять связи имён объектов данных (как правило, переменных) с их значениями. Строго говоря, изменение значений является побочным эффектом операции присваивания, и во многих современных языках программирования сама операция также возвращает некоторый результат (как правило, копию присвоенного значения). На физическом уровне результат операции присвоения состоит в проведении записи и перезаписи ячеек памяти или регистров.

В языках программирования объявле́ние (англ. declaration) включает в себя указание идентификатора, типа, а также других аспектов элементов языка, например, переменных и функций. Объявление используется, чтобы уведомить компилятор о существовании элемента; это весьма важно для многих языков (например, таких как Си), требующих объявления переменных перед их использованием.

Переписывание — широкий спектр техник, методов и теоретических результатов, связанных с процедурами последовательной замены частей формул или термов формального языка по заданной схеме — системе переписывающих правил.

Полиморфизм в языках программирования и теории типов — способность функции обрабатывать данные разных типов.

Литерал (англ. literal ) — запись в исходном коде компьютерной программы, представляющая собой фиксированное значение. Литералами также называют представление значения некоторого типа данных.

В информатике типобезопасность (англ. type safety) языка программирования означает безопасность (или надёжность) его системы типов.

Ме́тод в объектно-ориентированном программировании — это функция или процедура, принадлежащая какому-то классу или объекту.

Анонимная функция в программировании — особый вид функций, которые объявляются в месте использования и не получают уникального идентификатора для доступа к ним. Поддерживаются во многих языках программирования.

Сема́нтика в программировании — дисциплина, изучающая формализации значений конструкций языков программирования посредством построения их формальных математических моделей. В качестве инструментов построения таких моделей могут использоваться различные средства, например, математическая логика, λ-исчисление, теория множеств, теория категорий, теория моделей, универсальная алгебра. Формализация семантики языка программирования может использоваться как для описания языка, определения свойств языка.

Замыкание (англ. closure) в программировании — функция первого класса, в теле которой присутствуют ссылки на переменные, объявленные вне тела этой функции в окружающем коде и не являющиеся её параметрами. Говоря другим языком, замыкание — функция, которая ссылается на свободные переменные в своей области видимости.

Из-за путаницы с терминологией словом «оператор» в программировании нередко обозначают операцию (англ. operator), см. Операция (программирование).Инстру́кция или опера́тор (англ. statement) — наименьшая автономная часть языка программирования; команда или набор команд. Программа обычно представляет собой последовательность инструкций.

В программировании, строковый тип (англ. string «нить, вереница») — тип данных, значениями которого является произвольная последовательность (строка) символов алфавита. Каждая переменная такого типа (строковая переменная) может быть представлена фиксированным количеством байтов либо иметь произвольную длину.

Абстрактное синтаксическое дерево (АСД) — в информатике конечное помеченное ориентированное дерево, в котором внутренние вершины сопоставлены (помечены) с операторами языка программирования, а листья — с соответствующими операндами. Таким образом, листья являются пустыми операторами и представляют только переменные и константы.

Свойство — способ доступа к внутреннему состоянию объекта, имитирующий переменную некоторого типа. Обращение к свойству объекта выглядит так же, как и обращение к структурному полю (в структурном программировании), но, в действительности, реализовано через вызов функции. При попытке задать значение данного свойства вызывается один метод, а при попытке получить значение данного свойства — другой.

Мультиме́тод (англ. multimethod) или мно́жественная диспетчериза́ция (англ. multiple dispatch) — механизм, позволяющий выбрать одну из нескольких функций в зависимости от динамических типов или значений аргументов. Представляет собой расширение одиночной диспетчеризации (виртуальных функций), где выбор метода осуществляется динамически на основе фактического типа объекта, для которого этот метод был вызван. Множественная диспетчеризация обобщает динамическую диспетчеризацию для случаев с двумя или.

Как легко понять знаки Σ и П с помощью программирования

Вот говорят, что если ты не закончил Физтех, ФПМ или Бауманку, тебе в программировании делать нечего. Почему так говорят? Потому что, дескать, ты не учил сложную математику, а в программировании без неё никуда.

Это всё чушь, конечно. Если вы плохо знаете математику, вы можете быть блестящим разработчиком. Вы вряд ли напишете драйверы для видеокарты, но вы запросто сделаете мобильное приложение или веб-сервис. А это — основные деньги в этой среде.

Но всё же, чтобы получить некоторое интеллектуальное превосходство, вот вам пара примеров из страшного мира математики. Пусть они покажут вам, что не все закорючки в математике — это ад и ужас. Вот две нестрашные закорючки.