Дробная степень числа
Число с дробным показателем степени равно корню с показателем, равным знаменателю, и подкоренным числом в степени, равной числителю.
Чтобы разобраться, почему число в дробной степени равно корню, надо вспомнить правило извлечения корня из степени:
Чтобы извлечь корень из степени, надо показатель степени разделить на показатель корня:
Следовательно, если показатель степени не делится на показатель корня, то получается дробная степень:
Поэтому извлечение корня всегда может быть заменено возведением в степень.
Действия над степенями с дробными показателями
Действия над степенями с дробными показателями совершаются по тем же правилам, которые установлены для степеней с целым показателем.
При доказательстве этого положения, будем сначала предполагать, что члены дробей: 
и 
, служащих показателями степеней, положительны.
В частном случае n или q могут равняться единице.
При умножении дробных степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются:
При делении дробных степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого вычитается показатель делителя:
Чтобы возвести степень в другую степень, в случае дробных показателей, достаточно перемножить показатели степеней:
Чтобы извлечь корень из дробной степени, достаточно показатель степени разделить на показатель корня:
Правила действий применимы не только к положительным дробным показателям, но и к отрицательным.
| Список литературы | | | contact@izamorfix.ru |
| 2018 − 2023 | © | izamorfix.ru |
Возведение числа в дробную степень
Возведение целого числа в дробную степень — это арифметический процесс, при котором находится значение степени числа, выраженной дробью.
Преимущества дробной степени над записью выражения с помощью корней
Использовать дробную степень проще, чем записывать выражения с помощью корней. Это связано с тем, что вычислить значение числа в определенной степени легче, чем применять свойства корней. Если возведение в степень займет один шаг, то вычисление корня производится в несколько шагов.
Правило возведения
Возведение числа в дробную степень осуществляется согласно правилу: пусть \(\frac pq\) — обыкновенная дробь, причём \(p\) и \(q\) больше нуля и \(q≠1\) . Тогда для возведения числа a в дробную степень нужно извлечь из него корень q-ой степени и возвести в степень числителя, которая равна \(p\) .
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
В математической форме это правило выглядит так:
Правило, когда показатель степени является дробью
Если показателем степени является десятичная дробь, то нужно перевести ее в обыкновенную:
В случае, если число смешанное, необходимо перевести его в неправильную дробь:
При возведении дроби в отрицательную степень следует использовать формулу:
\(\left(\frac ab\right)^\;=\;\left(\frac ba\right)^n\)
Решение в виде задачи, примеры
Пример 1
Решение
Пример 2
Решение
Пример 3
Решение
Возведение в дробную степень
Из статьи вы узнаете, как возвести число в дробную степень, что для этого нужно понимать и уметь. Приведены поучительные примеры с дробными степенями.
Как возводить в дробную степень
Как возвести число в натуральную степень, легко усваивают почти все учащиеся. Достаточно помножить его само на себя столько раз, сколько указано в показателе степени. Например, запись 2 3 означает, что число 2 нужно умножить само на себя три раза, а запись (1,4) 5 значит (1,4) 5 =1,4*1,4*1,4*1,4*1,4.
А вот запись типа 3 5/6 для многих совершенно не понятна. Возникает конфликт восприятия ранее усвоенного понимания возведения числа в степень со здравым смыслом, ведь написать число помноженным само на себя 5/6 раз, просто невозможно.
Подобный вопрос возникает у тех, кто не усвоил тему извлечения из чисел корня.
Напомним, что извлечение корня из числа, это математическая операция обратная операции возведения его в степень. Она подразумевает разложение его на одинаковые множители, число которых равно показателю корня. В частности, 3 √8 равно 2, ведь, как видно из приведённого ранее примера 2 3 = 2*2*2 = 8.
Некоторые, при изучении извлечения корня из числа упускают один факт. Корень записывается не только в виде q √a (где a некоторое число, а q – показатель корня) он может быть записан и в виде a 1/ q . Надеюсь, теперь смысл дробной степени вам становится ясен. q в знаменателе дроби, это и есть корень. В числителе стоит та степень, в которую указанное число нужно возвести. В данном случае она равна одному (p=1). Если бы она была равна двум (p=2), то следовало бы записать a 1/ q *a 1/ q . Эта запись равносильна a 2/ q . Если бы она равнялась трём (p=3), т. е. 3/ q √a, то вышло бы a 1/ q *a 1/ q *a 1/ q .
Теперь обобщим всё выше сказанное.
a p/q = q √a p . При этом a ≥ 0, p>0 и q>1.
Если в дробную степень требуется возвести неправильную либо десятичную дробь, сначала они приводятся к виду обычной дроби, чтобы ясно стали видны числитель и знаменатель, т. е. показатели корня и степени.
О свойствах дробных степеней
Приведём самые главные свойства дробных степеней, которые чаще всего приходится использовать в вычислениях.
- \[a^
* a^=a^\]
- \[a^
/ a^=a^\]
- \[\left(a^
\right)^=a^ q>\]
- \[\left(a^ b\right)^
=a^
b^
\]
- \[(a / b)^
=a^
/ b^
\]
Из свойства 3 следует, что \[\left(a^
\right)^=a^ <\left(p^<*>b\right) / q>\]
Нет времени решать самому?
Дробная степень
Какими свойствами обладает степень с дробным показателем (дробная степень)? Как выполнить возведение числа в дробную степень?
1) Степенью числа a (a>0) с рациональным показателем r
где m — целое число, n — натуральное число (n>1), называется число
Все свойства степеней из курса алгебры 7 класса выполняются и для степеней с рациональными показателями.
Для упрощения вычислений при возведении числа в дробную степень удобно использовать таблицу степеней и следующее свойство корня:
Выполнить возведение в дробную степень:
![\[2){128^{\frac{5}{7}}} = \sqrt[7]{{{{128}^5}}} = {(\sqrt[7]{{128}})^5} = {2^5} = 32;\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8ca6a763634d13ac35dbf3467b2cf0f7_l3.png)
Если показатель степени — десятичная дробь, нужно предварительно перевести ее в обыкновенную.
![\[3){625^{0,75}} = {625^{\frac{3}{4}}} = \sqrt[4]{{{{625}^3}}} = {(\sqrt[4]{{625}})^3} = \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-abfb203ce8ff41dfaa23131965c82484_l3.png)
![\[4){243^{0,4}} = {243^{\frac{2}{5}}} = \sqrt[5]{{{{243}^2}}} = {\left( {\sqrt[5]{{243}}} \right)^2} = \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-731fe49dd5b87247b4bf80db80498afb_l3.png)
Смешанное число нужно предварительно перевести в неправильную дробь:
![\[5){(15\frac{5}{8})^{\frac{2}{3}}} = {(\frac{{125}}{8})^{\frac{2}{3}}} = \sqrt[3]{{{{(\frac{{125}}{8})}^2}}} = {(\sqrt[3]{{\frac{{125}}{8}}})^2} = \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-530b6be83a2d080f4361a64df4a8d9a8_l3.png)
![\[6){(12\frac{1}{4})^{1,5}} = {(\frac{{49}}{4})^{\frac{3}{2}}} = \sqrt {{{(\frac{{49}}{4})}^3}} = {(\sqrt {\frac{{49}}{4}} )^3} = \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-de54a63484a07a1904de69d624a15066_l3.png)
![\[ = {(\frac{7}{2})^3} = \frac{{343}}{8} = 42\frac{7}{8}.\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-381d030dab138247c02474ffdd0a7b2d_l3.png)
А как вычисляется отрицательная дробная степень?
Степень с отрицательным рациональным показателем также определена только для a>0:
![\[ a^{ - \frac{m}{n}} = \frac{1}{{a^{\frac{m}{n}} }} = \frac{1}{{\sqrt[n]{{a^m }}}} = \frac{1}{{(\sqrt[n]{a})^m }} \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-04ccfa4d9f6d70590a9f629f91019965_l3.png)
При возведении обыкновенной дроби в степень с отрицательным показателем удобно использовать формулу:
Выполнить возведение в степень с отрицательным рациональным показателем: