Какие задания из 2 части по профильной математике легче
Узнайте, какие задания из 2 части по профильной математике являются более легкими. Получите полезные советы и стратегии для успешного решения задач и повышения своих навыков в математике.
Вторая часть по профильной математике является одной из самых сложных и требующих внимательного анализа. Однако, среди заданий этой части можно выделить две основные категории: задания по сравнению и задания по анализу.
Задания по сравнению позволяют сравнивать различные объекты или явления с математической точки зрения. В этих заданиях необходимо определить, какой объект или явление является большим, меньшим или равным по определенным критериям. Такие задания часто требуют применения различных методов сравнения, таких как сравнение чисел, геометрических фигур или функций.
Задания по анализу, в свою очередь, позволяют анализировать и интерпретировать математическую информацию. В этих заданиях необходимо провести детальный анализ предложенных данных и сделать выводы на основе полученных результатов. Такие задания требуют хорошего понимания математических концепций и умений применять их на практике.
В целом, задания по сравнению и анализу второй части по профильной математике имеют свои особенности и сложности. Однако, каждая из этих категорий может быть легче или труднее для различных учеников в зависимости от их индивидуальных способностей и предпочтений. Важно разбираться в обоих типах заданий и уметь применять соответствующие методы и стратегии для успешного решения.
Легкие задания из 2 части профильной математики
Во второй части профильной математики часто встречаются задания, которые можно отнести к категории «легких». Чаще всего это задания по сравнению и анализу различных математических объектов и явлений.
Одним из наиболее легких заданий является задание на сравнение чисел. Здесь требуется определить, какое из двух чисел больше или меньше. Для решения таких задач нужно просто сравнить цифры в числах и сделать вывод.
Также встречаются задания на определение свойств математических функций. Например, задание может состоять в том, чтобы определить, является ли функция возрастающей или убывающей на заданном интервале. Для решения таких задач необходимо знать основные свойства функций и уметь анализировать их графики.
Еще одним примером легких заданий являются задачи на определение максимума или минимума функции. Здесь требуется найти точку, в которой функция достигает наибольшего или наименьшего значения. Для решения таких задач нужно уметь дифференцировать функции и находить их экстремумы.
Также в контексте анализа функций встречаются задания на определение области определения и области значений функции. Задача может состоять в том, чтобы определить, на каком интервале функция определена и какие значения она может принимать. Для решения таких задач нужно уметь работать с различными типами функций и анализировать их свойства.
Все эти задания относятся к категории «легких» и не требуют сложных вычислений или глубокого математического анализа. Для успешного выполнения таких заданий достаточно хорошего знания основ математики и умения применять их в практических задачах.
Сравнение и анализ в заданиях
Задания, связанные с сравнением и анализом в профильной математике, представляют собой важный компонент второй части экзамена. Они помогают проверить не только знания учеников, но и их способность анализировать и сравнивать математические объекты и процессы.
В этих заданиях ученикам могут быть предложены различные математические объекты, например, графики функций, табличные данные, геометрические фигуры и другие. Задача ученика заключается в том, чтобы проанализировать представленные данные, сравнить их между собой и сделать выводы на основе полученных результатов.
Сравнение и анализ помогают ученикам развить навыки критического мышления, логического рассуждения и принятия обоснованных решений. Такие задания требуют не только знания математических концепций, но и умения применять их на практике.
Читать далее: Структура математической модели: основные компоненты и принципы
Чтобы успешно выполнить задания по сравнению и анализу, ученикам необходимо внимательно читать условия задачи, анализировать представленные данные, использовать математические методы и аргументировать свои ответы. Важно также уметь описывать свои рассуждения и выводы в письменной форме.
В целом, задания по сравнению и анализу представляют собой интересный и важный компонент экзамена по профильной математике. Они способствуют развитию учеников как математических, так и общих навыков, помогая им стать более аналитическими и критическими мыслителями. Поэтому проработка данного раздела математики является необходимой частью подготовки к экзамену.
Сложность задач: выбор и решение
Задачи второй части по профильной математике различаются по сложности и требуют разного уровня подготовки и аналитических навыков. Для определения сложности задачи необходимо учитывать не только математические знания, но и умение анализировать условие, применять различные методы решения, а также оценивать свои возможности и выбирать оптимальный путь решения.
Сравнительный анализ задач позволяет определить, какие из них более легкие или сложные. Легкие задачи обычно имеют более прямолинейное условие и требуют простых математических операций для решения. Они часто базируются на известных формулах и свойствах, которые изучаются в школьном курсе математики.
Анализ задач на сложность помогает определить, какие навыки и знания требуются для их решения. Сложные задачи часто требуют использования более глубоких знаний и навыков, а также более сложных алгоритмов решения. Они могут включать в себя нестандартные подходы и требовать логического мышления и творческого подхода к решению.
Выбор задачи для решения зависит от уровня подготовки и умений ученика. Некоторые ученики могут предпочитать легкие задачи, которые можно решить быстро и без особых усилий. Другие, наоборот, могут быть заинтересованы в решении сложных задач, которые требуют глубокого анализа и поиска нестандартных решений.
Однако, для эффективного обучения рекомендуется постепенное усложнение задач, чтобы развивать у ученика новые навыки и способности. Поэтому более опытные ученики могут постепенно переходить к решению более сложных задач, чтобы расширить свои математические знания и навыки.
Итак, сложность задач второй части по профильной математике может варьироваться, и выбор задачи для решения зависит от уровня подготовки и интересов ученика. Развивая аналитические навыки, ученик сможет справиться с различными уровнями сложности и достичь успеха в изучении математики.
Основные принципы сравнения
1. Ясная формулировка критериев сравнения. Перед началом сравнения необходимо определить и четко сформулировать критерии, по которым будут происходить оценка и сопоставление объектов. Критерии должны быть объективными, измеримыми и релевантными для сравниваемых объектов.
2. Выбор адекватных методов сравнения. Для разных объектов и задач могут быть применены различные методы сравнения. Необходимо выбирать методы, которые наиболее точно отражают особенности сравниваемых объектов и позволяют получить нужную информацию.
3. Сбор и анализ данных. Для проведения сравнения необходимо собрать достоверные данные о сравниваемых объектах. При этом важно учитывать качество и надежность источников информации. Собранные данные должны быть анализированы с использованием соответствующих методов и инструментов.
4. Учет контекста и условий сравнения. При сравнении необходимо учитывать контекст, в котором происходит сравнение, а также условия, которые могут влиять на результаты. Например, при сравнении производительности двух компаний необходимо учесть размеры компаний, отрасль, в которой они работают, и другие факторы, которые могут влиять на результаты.
5. Объективность и непредвзятость. При сравнении необходимо быть объективным и непредвзятым, исключая субъективные предпочтения и предубеждения. Сравниваемые объекты должны быть оценены и сопоставлены на основе объективных данных и фактов.
6. Интерпретация результатов. Полученные результаты сравнения должны быть адекватно интерпретированы и использованы для принятия решений или выводов. Важно уметь извлекать информацию из результатов сравнения и применять ее в практических ситуациях.
Читать далее: Период колебаний математического маятника длиной 40 м с учетом ускорения свободного падения g = 10 м/с²
Соблюдение этих основных принципов сравнения позволит получить более точные и объективные результаты, а также принять обоснованные решения на основе этих результатов.
Методы анализа заданий
Для успешного выполнения заданий по профильной математике важно уметь анализировать условия и выбирать наиболее подходящие методы решения. Существует несколько методов анализа заданий, которые могут помочь в этом процессе.
Во-первых, следует внимательно прочитать условие задачи и выделить ключевые слова и данные. Это позволит понять, какой тип задачи перед нами: задача на сравнение или задача на анализ. В задачах на сравнение требуется сравнить две величины или найти их отношение, а в задачах на анализ необходимо проанализировать данные и сделать выводы о свойствах представленных величин.
Во-вторых, стоит определить, какие математические понятия и методы можно применить для решения задачи. Например, в задачах на сравнение часто используются методы сравнения дробей, нахождения процентов или решения уравнений. В задачах на анализ, в свою очередь, могут потребоваться знания о пропорциях, геометрии или статистике.
Третий метод анализа заданий — это разбиение задачи на более простые подзадачи. Если условие задачи слишком сложное, можно разложить его на несколько более простых задач, которые можно решить поочередно. Это позволит более легко ориентироваться в условии и не потерять основную идею задачи.
В завершение, необходимо проверить полученное решение задачи и ответ на соответствие условию. Возможно, в ходе решения возникнут дополнительные вопросы или потребуется использовать дополнительные математические понятия.
Специфика сравнительного анализа
Сравнительный анализ позволяет оценивать и сопоставлять различные объекты или явления, выявлять их общие и отличительные признаки, исследовать зависимости и тренды.
Одним из ключевых навыков, развиваемых при выполнении заданий по сравнительному анализу, является умение анализировать и интерпретировать данные, проводить корректные выводы и делать обоснованные суждения на основе полученных результатов.
Задания в этом разделе могут включать в себя сравнение математических формул, графиков, таблиц, текстовых данных и других элементов. Часто требуется проанализировать различные аспекты и принять во внимание разные переменные или условия.
Сравнительный анализ способствует развитию логического мышления, абстрактного мышления, аналитических навыков и критического мышления. Также он помогает студентам улучшить свои навыки работы с данными, усовершенствовать умение аргументировать и рассуждать на основе фактов.
В целом, задания по сравнительному анализу требуют от студентов глубокого понимания математических концепций, умения рассуждать логически, анализировать информацию и делать выводы из полученных данных. Они помогают развить критическое мышление и способствуют формированию навыков аналитической работы.
Точность результатов и оценка заданий
Задания на сравнение обычно проверяют способность учащихся сравнивать различные математические объекты или процессы. Они требуют точных расчетов и сравнения результатов, что позволяет проверить понимание основных математических концепций. Такие задания могут включать сравнение функций, чисел, графиков или геометрических фигур. Оценка заданий на сравнение основывается на точности результатов и правильности сравнений.
Задания на анализ, с другой стороны, проверяют способность учеников анализировать и интерпретировать математическую информацию. Они могут включать в себя решение задач, обоснование выводов или объяснение математических концепций. Эти задания требуют более глубокого понимания математики и могут быть более сложными для выполнения. Оценка заданий на анализ основывается на логической последовательности аргументации и правильности выводов.
При оценке заданий из 2 части по профильной математике важно учитывать как точность результатов, так и способности учащихся к анализу математической информации. Оба аспекта являются важными для полного понимания и применения математических концепций.
| Задания на сравнение | Сравнение математических объектов или процессов | Точность результатов и правильность сравнений |
| Задания на анализ | Анализ и интерпретация математической информации | Логическая последовательность аргументации и правильность выводов |
Рациональность выбора задач
Когда речь заходит о выборе задач из 2 части по профильной математике, важно принять во внимание их уровень сложности и свои личные навыки. Многие ученики задаются вопросом, какие задания легче: сравнение или анализ.
Для принятия рационального решения следует учитывать свои сильные и слабые стороны в математике. Если вы отлично разбираетесь в применении формул и операций, то задания сравнения могут быть для вас проще. В таких задачах необходимо сравнивать различные функции, выражения или графики.
Читать далее: Зачем нужна математика в программировании: основные применения и преимущества
С другой стороны, если вы обладаете хорошими аналитическими навыками и умеете логически рассуждать, то задания анализа могут оказаться более доступными. В таких задачах требуется исследовать свойства функций, проводить анализ их поведения на заданном интервале, искать точки перегиба или экстремумы.
Кроме того, учитывайте время, которое вы готовы потратить на решение задач. Если у вас ограниченное время и вы чувствуете, что оно может быть не достаточно для более сложных задач анализа, то лучше сконцентрироваться на заданиях сравнения.
В конечном счете, рациональность выбора задач во второй части по профильной математике зависит от ваших индивидуальных способностей, навыков и времени, которое вы готовы уделить на решение задач. Следует адаптировать выбор под свои потребности и возможности, чтобы достичь наилучшего результата.
Вопрос-ответ:
Какие задания из 2 части по профильной математике легче?
Во второй части по профильной математике есть различные типы заданий, и они могут быть легкими или сложными для разных учеников. Однако, сравнительно с заданиями на анализ, задания на сравнение могут показаться проще, так как они требуют сравнения чисел, графиков или функций, анализа их свойств и отношений между ними. В то время как задания на анализ могут включать в себя более сложные концепции и требовать более глубокого понимания математических понятий и методов.
Какие задания из 2 части по профильной математике требуют большего анализа?
Во второй части по профильной математике задания, которые требуют большего анализа, могут включать в себя более сложные концепции и методы. Например, это могут быть задания на анализ графиков функций, нахождение точек пересечения функций, определение экстремумов и асимптот функций, анализ их поведения на различных интервалах. Такие задания требуют более глубокого понимания математических понятий и методов и могут быть сложными для решения.
Какие задания на сравнение чисел в 2 части по профильной математике могут встречаться?
Во второй части по профильной математике могут встречаться задания на сравнение чисел различных видов. Например, это могут быть задания на сравнение дробей, нахождение наименьшего и наибольшего значения функции на заданном интервале, сравнение сложных выражений с использованием различных математических операций. Все эти задания требуют анализа чисел и их свойств, а также применения математических методов для определения отношений между ними.
Какие конкретные задания на анализ графиков могут встречаться во 2 части по профильной математике?
Во второй части по профильной математике могут встречаться различные задания на анализ графиков функций. Например, это могут быть задания на определение точек пересечения графиков функций, нахождение экстремумов функций, определение асимптот графиков, анализ поведения функций на различных интервалах. Такие задания требуют глубокого понимания математических понятий и методов, а также умения анализировать и интерпретировать графики функций.
В чем различие между заданиями на сравнение и на анализ второй части по профильной математике?
Задания на сравнение второй части по профильной математике предполагают сравнение различных математических объектов, таких как функции, последовательности, графики и т.д. Анализ заданий второй части включает в себя более глубокое рассмотрение математических объектов, а именно выявление их свойств, характеристик, закономерностей и прочего.
Какие задания из второй части по профильной математике сложнее: задания на сравнение или на анализ?
Сложность заданий второй части по профильной математике зависит от индивидуальных предпочтений и уровня подготовки каждого конкретного ученика. Однако, в целом, задания на анализ могут быть более сложными, так как они требуют более глубокого понимания математических концепций и умения применять их для решения задач.
Примеры легких заданий для сравнения и анализа
Вот несколько примеров легких заданий для сравнения и анализа:
- Сравните два треугольника по площади и периметру.
- Исследуйте зависимость между объемом и высотой цилиндра.
- Сравните два графика и определите, какая функция растет быстрее.
- Проанализируйте два набора данных и определите, есть ли между ними корреляция.
- Сравните два уравнения и найдите их общее решение.
Эти примеры заданий помогут развить умение сравнивать и анализировать различные математические объекты и концепции. Они также помогут ученикам улучшить свои навыки работы с числами, графиками и данными.
Видео по теме:
2 комментария к “Какие задания из 2 части по профильной математике легче: сравнение и анализ”
Алексей Сидоров
Статья очень интересная и актуальная для меня, так как я тоже ученица и сталкиваюсь с заданиями по профильной математике. Отвечая на вопрос, какие задания из 2 части легче — сравнение или анализ, я бы сказала, что это зависит от моих личных предпочтений и навыков. Сравнение задач мне кажется более простым, так как в них нужно лишь сравнить два или несколько объектов или чисел и сделать выводы на основе этого сравнения. При этом не требуется глубокого анализа и сложных вычислений. Однако анализ задач может быть интереснее и сложнее, так как требует более глубокого понимания математических концепций и умения применять их на практике. В аналитических заданиях нужно проанализировать ситуацию, выделить основные факты и заключения, а затем использовать эти данные для решения задачи. Я лично предпочитаю анализ задач, так как это вызывает больший интерес и помогает мне развивать логическое мышление. Однако каждый ученик имеет свои сильные и слабые стороны, поэтому кому-то может быть легче сравнение задач, а кому-то анализ. В целом, я считаю, что и сравнение, и анализ — важные навыки, которые нужно развивать одновременно. И хотя задания по анализу могут быть сложнее, они помогают лучше понять материал и применять его на практике. Ответить
В данной статье рассматривается вопрос о том, какие задания из 2 части по профильной математике легче: сравнение и анализ. Я, как реальный читатель, хотел бы поделиться своим мнением на эту тему. Лично для меня, задания по сравнению математических объектов кажутся более простыми. Я чувствую, что там требуется всего лишь сравнить два или несколько чисел, выявить их отношение и сделать выводы на основе полученных результатов. Это проще для меня, поскольку мне необходимо всего лишь применить основные математические принципы и правила. С другой стороны, задания по анализу математических объектов представляют для меня большую сложность. Здесь требуется не только сравнить, но и проанализировать различные аспекты и свойства объектов, исследовать их взаимосвязи и выявить закономерности. Это требует не только знания математических принципов, но и умения применять их в конкретных ситуациях. В целом, я бы сказал, что задания по сравнению легче для меня, поскольку они требуют меньше умственных усилий и времени. Однако, я осознаю, что задания по анализу более сложные, но они также имеют свою важность, поскольку помогают развивать аналитическое мышление и способность решать сложные проблемы. В конечном счете, каждый человек имеет свои сильные и слабые стороны в математике, и то, что я считаю легким или сложным, может отличаться от мнения других людей. Важно развивать все аспекты математического мышления и стараться стать более компетентным и уверенным в решении различных математических задач. Ответить
3 особенности чисел в Python, о которых вы, возможно, не знали
Если вы писали код на Python, то весьма высока вероятность того, что вы, хотя бы в одной из своих программ, пользовались числами. Например, это могли быть целые числа для указания индекса значения в списке, или числа с плавающей точкой, представляющие суммы в некоей валюте.
Но числа в Python — это гораздо больше, чем, собственно, их числовые значения. Поговорим о трёх особенностях чисел в Python, с которыми вы, возможно, не знакомы.
№1: у чисел есть методы
В Python практически всё — это объект. Один из первых объектов, о котором узнаёт тот, кто начинает изучать Python — это str , используемый для представления строк. Возможно, вы сталкивались с использованием методов строк, вроде .lower() , который возвращает новую строку, все символы которой приведены к нижнему регистру:
>>> "HELLO".lower() 'hello'Числа в Python тоже, как и строки, являются объектами. У них тоже есть методы. Например, целое число можно преобразовать в байтовую строку с помощью метода .to_bytes() :
>>> n = 255 >>> n.to_bytes(length=2, byteorder="big") b'\x00\xff'Параметр length указывает на количество байт, которые нужно использовать при составлении байтовой строки, а параметр byteorder определяет порядок байт. Например, установка параметра byteorder в значение «big» приводит к возврату байтовой строки, в которой старший байт расположен первым, а установка этого параметра в значение «little» приводит к тому, что первым идёт младший байт.
255 — это максимальное значение, которое может принимать 8-битное целое число. Поэтому в нашем случае при вызове метода .to_bytes() можно без проблем воспользоваться параметром length=1 :
>>> n.to_bytes(length=1, byteorder="big") b'\xff'А вот если записать в n число 256 и вызвать для него . to_bytes() с параметром length=1 , будет выдана ошибка OverflowError :
>>> n = 256 >>> n.to_bytes(length=1, byteorder="big") Traceback (most recent call last): File "", line 1, in OverflowError: int too big to convertПреобразовать байтовую строку в целое число можно, воспользовавшись методом .from_bytes() класса int :
>>> int.from_bytes(b'\x06\xc1', byteorder="big") 1729Методы класса вызывают, используя имя класса, а не его экземпляр. Именно поэтому в предыдущем примере метод .from_bytes() вызывают, обращаясь к int .
Любопытный факт: 1729 — это самое маленькое положительное число, которое можно представить в виде суммы кубов двух положительных чисел двумя способами. Исторический анекдот связывает это число с индийским математиком Сринивасой Рамануджаном, который рассказал о нём своему наставнику Готфри Харолду Харди.
Харди часто навещал Рамануджана, когда тот, умирая, находился в больнице в Патни. Именно в одно из таких посещений произошёл «инцидент» с номером такси. Харди приехал в Патни на такси, воспользовавшись своим излюбленным транспортным средством. Он вошёл в палату, где лежал Рамануджан. Начинать разговор Харди всегда было мучительно трудно, и он произнёс свою первую фразу: «Если не ошибаюсь, то номер такси, на котором я приехал, 1729. Мне кажется, это скучное число». На что Рамануджан тотчас же ответил: «Нет, Харди! О нет! Это очень интересное число. Это самое малое из чисел, представимых в виде суммы двух кубов двумя различными способами».
Один из способов представления числа 1729 в виде суммы двух кубов — это 1 3 + 12 3 . Можете отыскать второй способ?
У чисел с плавающей точкой тоже есть методы. Возможно, самый полезный из них — это .is_integer() . Его используют для проверки того, есть ли у числа с плавающей точкой дробная часть:
>>> n = 2.0 >>> n.is_integer() True >>> n = 3.14 >>> n.is_integer() FalseВот — интересный метод .as_integer_ratio() . Он, вызванный для числа с плавающей точкой, возвращает кортеж, содержащий числитель и знаменатель дроби, представляющей это число:
>>> n.as_integer_ratio() (1, 2)Правда, из-за ошибки представления чисел с плавающей точкой, иногда этот метод возвращает неожиданные результаты:
>>> n = 0.1 >>> n.as_integer_ratio() (3602879701896397, 36028797018963968)Если надо — можно вызывать методы на числовых литералах, заключённых в круглые скобки:
>>> (255).to_bytes(length=1, byteorder="big") b'\xff' >>> (3.14).is_integer() FalseЕсли обойтись без скобок — при попытке вызова метода на целочисленном литерале будет выдана ошибка SyntaxError . А вот при вызове метода числового литерала с плавающей точкой отсутствие скобок, что странно, не приведёт к ошибке:
>>> 255.to_bytes(length=1, byteorder="big") File "", line 1 255.to_bytes(length=1, byteorder="big") ^ SyntaxError: invalid syntax >>> 3.14.is_integer() FalseПолный список методов числовых Python-типов можно найти в документации.
№2: числа обладают иерархией
В математике числа обладают естественной иерархией. Например, все натуральные числа являются целыми, а все целые числа — рациональными. Все рациональные числа — это вещественные числа, а все вещественные числа — это комплексные числа.
Похожие рассуждения применимы и к представлению чисел в Python. Здесь «числовая башня» выражается через абстрактные типы, содержащиеся в модуле numbers .
Числовая башня
Все числа в Python являются экземплярами класса Number :
>>> from numbers import Number >>> # Целые числа являются наследниками Number >>> isinstance(1729, Number) True >>> # Числа с плавающей точкой являются наследниками Number >>> isinstance(3.14, Number) True >>> # Комплексные числа являются наследниками Number >>> isinstance(1j, Number) TrueЕсли нужно узнать о том, является ли некое Python-значение числовым, но при этом неважно то, каким именно числовым типом оно представлено, воспользуйтесь конструкцией isinstance(value, Number) .
В Python имеется четыре дополнительных абстрактных типа, иерархия которых, начиная с наиболее общего числового типа, выглядит так:
- Класс Complex используется для представления комплексных чисел. Тут имеется один встроенный конкретный тип — complex .
- Класс Real — это представление вещественных чисел. Его единственный встроенный конкретный тип — float .
- Класс Rational представляет рациональные числа. Его единственным встроенным конкретным типом является Fraction .
- Класс Integral применяют для представления целых чисел. В нём имеется два встроенных конкретных типа — int и bool .
Так, погодите, а значения типа bool — это разве числа? Да — числа. Можете это проверить, воспользовавшись REPL:
>>> import numbers >>> # Комплексные числа являются наследниками Complex >>> isinstance(1j, numbers.Complex) True >>> # Комплексные числа не являются наследниками Real >>> isinstance(1j, numbers.Real) False >>> # Числа с плавающей точкой являются наследниками Real >>> isinstance(3.14, numbers.Real) True >>> # Числа с плавающей точкой не являются наследниками Rational >>> isinstance(3.14, numbers.Rational) False >>> # Объекты Fractions - это не наследники Rational >>> from fractions import Fraction >>> isinstance(Fraction(1, 2), numbers.Rational) True >>> # Объекты Fractions - это не наследники Integral >>> isinstance(Fraction(1, 2), numbers.Integral) False >>> # Целые числа - это наследники Integral >>> isinstance(1729, numbers.Integral) True >>> # Логические значения - это наследники Integral >>> isinstance(True, numbers.Integral) True >>> True == 1 True >>> False == 0 TrueВсё это, на первый взгляд, выглядит вполне нормально. Правда, порядок несколько нарушает то, что значения типа bool являются числами.
Странность Python: так как тип bool относится к классу Integral (на самом деле он — прямой наследник int ), со значениями True и False можно вытворять довольно необычные вещи.
Например, True можно использовать в роли индекса для того чтобы получить второй элемент итерируемого объекта. А если поделить число на False — будет выдана ошибка ZeroDivisionError .
Попробуйте выполнить «False»[True] и 1 / False в REPL!
Но если присмотреться к числовым типам поближе, окажется, что в иерархии Python-чисел имеется пара своеобразных моментов.
Числа типа Decimal не укладываются в иерархию
Как уже было сказано, в «числовой башне» Python есть 4 конкретных числовых типа, соответствующих четырём абстрактным типам: complex , float , Fraction и int . Но в Python имеется и пятый числовой тип, представленный классом Decimal . Этот тип используется для точного представления десятичных чисел и для преодоления ограничений арифметических операций с плавающей точкой.
Можно предположить, что числа типа Decimal являются наследниками Real , но это, на самом деле, не так:
>>> from decimal import Decimal >>> import numbers >>> isinstance(Decimal("3.14159"), numbers.Real) FalseЕдинственный класс, наследником которого является класс Decimal — это Number :
>>> isinstance(Decimal("3.14159"), numbers.Complex) False >>> isinstance(Decimal("3.14159"), numbers.Rational) False >>> isinstance(Decimal("3.14159"), numbers.Integral) False >>> isinstance(Decimal("3.14159"), numbers.Number) TrueЛогично то, что класс Decimal не является наследником Integral . В некоторой степени смысл есть и в том, что Decimal не является наследником Rational . Но почему Decimal не является наследником Real или Complex ?
Объекты Decimal обладают всеми методами, определёнными в классе Real, но эти объекты не должны регистрироваться в виде наследников Real, так как Decimal-числа не взаимодействуют с двоичными числами с плавающей точкой (например, результат операции Decimal(‘3.14’) + 2.71828 не определён). Но ожидается, что числа, классы которых являются наследниками абстрактного класса Real, способны взаимодействовать друг с другом (то есть — R1+R2 должно вычисляться в том случае, если числа R1 и R2 представлены типами, являющимися наследниками Real).
Получается, что объяснение странностей сводится к особенностям реализации.
Числа с плавающей точкой — странные создания
А вот числа с плавающей точкой, с другой стороны, реализуют абстрактный базовый класс Real . Они используются для представления вещественных чисел. Но, из-за того, что компьютерная память не является неограниченным ресурсом, числа с плавающей точкой — это лишь конечные аппроксимации вещественных чисел. Это приводит к возможности написания «ненормальных» образцов кода вроде такого:
>>> 0.1 + 0.1 + 0.1 == 0.3 FalseЧисла с плавающей точкой хранятся в памяти в виде двоичных дробей. Это приводит к появлению некоторых проблем. Например, у дроби 1/3 нет конечного десятичного представления (после десятичной точки идёт бесконечное множество троек). А у дроби 1/10 нет конечного представления в виде двоичной дроби.
Другими словами, в компьютере нельзя совершенно точно представить число 0,1 — если только этот компьютер не обладает бесконечной памятью.
Со строго математической точки зрения все числа с плавающей точкой — это рациональные числа, за исключением float(«inf») и float(«nan») . Но программисты используют их в роли аппроксимаций вещественных чисел и воспринимают их, по большей части, как вещественные числа.
Странность Python: float(«nan») — это особое значение с плавающей точкой, представляющее собой «не число». Такие значения часто обозначают как NaN . Но, так как float — это числовой тип, isinstance(float(«nan»), Number) возвращает True .
Получается, что «не числа» — это числа.
В общем, числа с плавающей точкой — странные создания.
№3: набор числовых типов Python можно расширять
Абстрактный числовой базовый тип Python позволяет программисту создавать собственные абстрактные и конкретные числовые типы.
В качестве примера рассмотрим класс ExtendedInteger , который реализует числа в форме a+b√p, где a и b — целые числа, а p — простое число (обратите внимание: класс не обеспечивает то, что число p является простым):
import math import numbers class ExtendedInteger(numbers.Real): def init(self, a, b, p = 2) -> None: self.a = a self.b = b self.p = p self._val = a + (b * math.sqrt(p)) def repr(self): return f"(, , )" def str(self): return f" + √" def trunc(self): return int(self._val) def float(self): return float(self._val) def hash(self): return hash(float(self._val)) def floor(self): return math.floor(self._val) def ceil(self): return math.ceil(self._val) def round(self, ndigits=None): return round(self._val, ndigits=ndigits) def abs(self): return abs(self._val) def floordiv(self, other): return self._val // other def rfloordiv(self, other): return other // self._val def truediv(self, other): return self._val / other def rtruediv(self, other): return other / self._val def mod(self, other): return self._val % other def rmod(self, other): return other % self._val def lt(self, other): return self._val < other def le(self, other): return self._val Для того чтобы обеспечить правильность реализации интерфейса Real конкретным типом — нужно создать реализации множества методов, в именах которых есть два символа подчёркивания. Ещё нужно поразмыслить о том, как методы вроде .add() и .mul() взаимодействуют с другими типами, являющимися наследниками Real .
Обратите внимание: вышеприведённый пример не создавался в расчёте на его полноту или абсолютную правильность. Его цель — продемонстрировать читателю возможности работы с числами.
При наличии реализации ExtendedInteger можно заниматься следующими вычислениями:
>>> a = ExtendedInteger(1, 2) >>> b = ExtendedInteger(2, 3) >>> a ExtendedInteger(1, 2, 2) >>> # Проверяем то, что a - это наследник Number >>> isinstance(a, numbers.Number) True >>> # Проверяем то, что a - это наследник Real >>> isinstance(a, numbers.Real) True >>> print(a) 1 + 2√2 >>> a * b ExtendedInteger(14, 7, 2) >>> print(a * b) 14 + 7√2 >>> float(a) 3.8284271247461903Иерархия числовых типов в Python — довольно гибкая структура. Но, конечно, всегда стоит очень внимательно относиться к реализации типов, являющихся наследниками встроенных абстрактных базовых типов Python. Нужно обеспечить их корректную работу друг с другом.
В документации по Python можно найти несколько советов по реализации собственных типов, которые стоит прочесть тому, кто решит заняться созданием собственных числовых типов. Такому человеку ещё полезно будет ознакомиться с реализацией Fraction .
Итоги
Вот — те три особенности Python-чисел, которые мы здесь обсуждали:
- У чисел есть методы, как и у практически всех остальных объектов в Python.
- Числа обладают иерархией, даже несмотря на то, что их чёткие взаимоотношения несколько портит наличие типов Decimal и float .
- Программисты могут создавать собственные числовые типы, которые вписываются в иерархию числовых типов Python.
Может быть, вы узнали из этого материала не только об этих особенностях чисел, но и ещё о чём-нибудь, что вам пригодится.
О, а приходите к нам работать? ��
Мы в wunderfund.io занимаемся высокочастотной алготорговлей с 2014 года. Высокочастотная торговля — это непрерывное соревнование лучших программистов и математиков всего мира. Присоединившись к нам, вы станете частью этой увлекательной схватки.
Мы предлагаем интересные и сложные задачи по анализу данных и low latency разработке для увлеченных исследователей и программистов. Гибкий график и никакой бюрократии, решения быстро принимаются и воплощаются в жизнь.
Сейчас мы ищем плюсовиков, питонистов, дата-инженеров и мл-рисерчеров.
Делимость натуральных чисел. Признаки делимости.
Сегодня мы расскажем про делители и кратные натуральных чисел. Вам будет интересно узнать про признаки делимости чисел и деление всех чисел на простые и составные. Мы рассмотрим разложение на простые множители и научимся находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное нескольких чисел.
Делители и кратные
Предположим, у нас с вами есть 6 яблок, и мы хотим разделить их поровну между двумя нашими друзьями. Мы можем это сделать - каждый получит по три яблока. А между тремя? Тогда каждый получит по 2 яблока. А между четырьмя друзьями? Можно ли разделить поровну, в том смысле, чтобы каждый получил целое количество яблок? Нельзя! Шесть на четыре нацело не делится. Между пятью тоже нельзя.
Всё просто. Шесть делится нацело на 1, 2, 3 и 6. Эти числа 1236 называются делителями числа 6. Они его делят нацело, а число 6, в свою очередь, делится на них нацело и называется кратным этим числам. Число 6 кратно одному, кратно двум, кратно трём и кратно 6.
Нетрудно заметить, что у любого натурального числа есть хотя бы как минимум два делителя - это единица и само это число, кроме единицы, потому что единица делится нацело только на единицу.
Делителем натурального числа А называется натуральное число, на которое А делится нацело.
Кратным числу А называется натуральное число, которое делится на А нацело.
Нетрудно заметить, что любое натуральное число имеет бесконечно много кратных, наименьшее из которых - само это число.
Признаки делимости
Какие бывают признаки делимости натуральных чисел? Рассмотрим число 123456, можете сказать об этом числе по внешнему виду. Как по внешнему виду определить, на что можно разделить это число. Это и есть признаки делимости натуральных чисел
Признак делимости на 2
На 2делится любое натуральное число, запись которых заканчивается на 0, 2, 4, 6
Например, очень большое число 120345876568 точно делится на два, так как его запись оканчивается цифрой 8
Так же следует запомнить, что любое число, которое делится на 2, а также число, которое заканчивается либо на 0, либо на 2, либо на 4, либо на 6, либо на 8, называются четным.
Любое число, которое не делится на два, то есть заканчивается либо на 1, либо на 3, либо 5, либо на 7 или 9, называется, соответственно, нечетным.
Признак делимости на 3
Если сумма цифр любого натурального числа делится на 3, то и само число делится на 3.
Число 156879 делится на 3, так как 1+5+6+8+7+9=36 делится на 3.
Признак делимости на 4
Если в записи числа последние две цифры образуют число, которое делится на 4, то такое число делится на 4.
Число 362836 делится на 4, так как последние 2 цифры образуют число 36, которое делятся на 4.
Признак делимости на 5
Если запись числа оканчивается на цифру либо 0, либо 5, такое число делится на 5.
Признак делимости на 6
Если число делится на 2 и на 3 одновременно, то оно делится на 6.
Признак делимости на 8
Если в записи числа последние три цифры образуют число, которое делится на 8, то такое число делится на 8.
Число 12586023064 делится на 8, так как последние 3 цифры образуют число 64, которое делятся на 8.
Признак делимости на 9
Этот признак делимости похож на 3. Если сумма цифр делится на 9, то и само число делится на 9.
Признак делимости на 25
Если в записи числа последние две цифры нули или образуют число, которое делится на 25, то такое число делится на 25.
Признак делимости на 10
Если число оканчивается на 0 то, оно делится на 10.
Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители
Натуральное число называют простым, если оно имеет 2 делителя - единица и самое это число. То есть, если натуральное число не делится нацело ни на что, кроме как на единицу и на само это число, то такое число – простое.
Теперь, зная определение простых чисел, узнаем, какое существует наименьшее простое число. Единица? Нет, единица имеет только один делитель, а по определению простое число имеет два.
Наименьшее простое число - это 2. Оно делится на 2 и на 1. 2 - это единственное чётное простое число. Все остальные простые числа – нечетные.
Но необязательно нечетное число является простым. Те числа, которые имеют больше двух делителей, называются составными.
Куда отнести тогда единицу, спросите вы? Единицу не относят ни к простым, ни к составным числам.
Любое составное число можно представить в виде двух множителей, каждый из которых больше единицы.
Разложение натурального числа на простые множители:
Выберите число, которое необходимо разложить на простые множители
Убедитесь в том, что это число составное, то есть делится еще на какие-то числа, кроме единицы и самого себя. В этом вам помогут признаки делимости чисел.
Шаг 3. Нарисуйте схему, как на рисунке. У нас есть черта, слева от неё записываем числа, которые будут получаться в результате разложения, а справа нужные нам простые множители. Сразу проверяем, делится ли исходное число на 2. В нашем случае делится. Записываем 2 справа. Результат деления исходного числа на 2, а именно 142, записываем слева. Таким образом, мы проверяем каждый раз, на какие простые числа делится следующий результат деления. Когда получилось 71, проверяем, на какие простые числа делится 71. Число 71 не делится ни на что, кроме как на единицу и на само себя. Поэтому записываем число 71 справа, как простое число, а результат деления единицу записываем слева. Именно единицей должна оканчиваться любая схема разложения. Проверяем, чтобы справа были все простые числа. Получилось следующее разложение: 284 равно 2 * 2 * 71
Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель (НОК и НОД)
Для того чтобы усвоить данную тему, следует хорошо разобраться в том, как раскладывать число на простые множители.
Наибольшим общим делителем (НОД) называют наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел.
Как найти НОД? Для этого нужно выполнить два пункта:
1. Разложите два числа на простые множители
2. Найдите произведение общих делителей этих чисел
Наименьшим общим кратным (НОК) называется наименьшее число, которое делится на каждое из этих чисел.
Как найти НОК двух чисел?
1. Разложите эти два числа на простые множители
2. Запишите разложение одного из этих чисел
3. Дописать в это разложение те множители другого разложения, которые еще не вошли в данное разложение, и вычислить произведение всех получившихся чисел.
Как из нескольких чисел выявить нестандартные
Любецкий Василий Александрович
Профессор кафедры, заведующий лабораторией математических методов и моделей в биоинформатике ИППИ РАН, д. ф.-м. н.
E-mail адрес lyubetsk at iitp.ru
Личная страница http://iitp.ru/ru/users/86.htm
Научные интересы Эволюция и функции живого; математические модели и алгоритмы; программирование для суперкомпьютера; биоинформатика. Полиномиальные по сложности (особенно, линейные) и точные алгоритмы оптимизации на графах, сведение к целочисленному линейному программированию. Абсолютно неразрешимые проблемы – простые утверждения из математического анализа, для которых невозможно обосновать как их правильность, так и ложность; случайные вещественные числа – их нельзя локализовать простым множеством; локализации колец. Теория множеств, теория моделей, нестандартный анализ.
Спецкурс:
«Современная теория множеств, дискретная оптимизация, математическая биология»
понедельник 16:45–18:20, начало 25 сентября, далее по чётным неделям
С В.А. Любецким можно сотрудничать по трём темам, которые объединяются (как ни покажется удивительным, на первый взгляд) понятием «когнитивные науки», студентам_2020:
- 1) «Математическая биология. Биоинформатика» (ВАКовская специальность 03.01.09) — см., включая сюда
- 1а) «Трудные задачи дискретной оптимизации» (01.01.06, 05.13.17) — см. 0+++, 1, 2, 3, 4;
- 2) «Теория множеств, теория моделей и нестандартный анализ» (ВАКовская специальность 01.01.06). см. + и ++.
Заметим, что можно заниматься направлением 1а как решением чисто математических задач, независимо от биологии или других приложений, хотя 1а, как и направления «Вычисления на суперкомпьютерах», «Большие данные», широко применяются в теме 1.
Ниже подробнее говорится о направлениях 1, 1а, 2, к которым относятся и исследования В.А. Любецкого, подробнее см. 2021, 2017-2018 , 2018-2019 и 2019-2020.
1) Модели и алгоритмы в биоинформатике 
Исследование направлено на создание и изучение математических и компьютерных моделей функционирования живой клетки (в первую очередь, процессов транскрипции и трансляции). А также – на создание моделей эволюции этих процессов, генов, белков, видов и т.д. На этой основе моделируются геномно обусловленные болезни; изучается задача компьютерной сборки (секвенирования) геномов. В качестве примера исследования приведём нашу гипотезу: «пониженная способность к регенерации и развитый передний мозг у человека возникли благодаря утрате генов, присутствующих у лягушки» – и действительно такие гены найдены нами с помощью алгоритмического и компьютерного анализов.
Это направление можно выразить тезисом, который несколько десятков лет назад казался невозможным, но сейчас кажется общепринятым: «ЖИВОЕ можно изучать с помощью МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ и АЛГОРИТМОВ (программ, суперкомпьютеров, баз данных, больших данных и т.п.)»; см. презентацю 1, презентацию 2, постер. Математическая сторона этой работы основана на решении чисто математических трудных задач дискретной оптимизации, которые можно решать, не касаясь приложений; см. презентацию 3 и презентации 4a, 4b, 4c, 4d.
1а) примеры Трудных задач дискретной оптимизации:
- Даны n натуральных чисел, можно ли разбить их множество на две части с одинаковыми суммами чисел в каждой части. Задача представляет интерес и при некоторых ограничениях: например, существует не более одного решения. Интересно, что в этом случае задача сводится к исследованию особых точек явно заданной кубической кривой в проективном пространстве. А с другой стороны – к элиминации кванторов в теории поля комплексных чисел.
- Даны два графа a и b и список естественных операций над графами, какова кратчайшая последовательность этих операций, преобразующая a в b. Получен линейный алгоритм решения этой задачи, а также – она сведена к Целочисленному линейному программированию с квадратичным числом ограничений. Эта задача рассмативается и в случае, когда каждая операция имеет свою цену и нужно минимизировать суммарную цену последовательности операций.
- Как определить/вычислить расстояние между графами.
- Что такое средний граф (=объединение графов) для данного набора графов. Получен кубический алгоритм решения этой задачи.
- Описать смену режимов в функционировании динамических систем определённых типов (важных в биологии). Одна из них – сочетание одномерной диффузии вдоль данной кривой и трёхмерной диффузии в среде, в которую погружена кривая.
Во всех случаях нужно найти низкой степени полиномиальный (практически – линейный) вычислительный алгоритм, который решает задачу. Важную роль в исследовании играют программирование для суперкомпьютеров (распределённых вычислительных систем) и создание/использование больших данных, в частности, Целочисленное линейное программирование.
2) Теория множеств, теория моделей и нестандартный анализ
Исследование направлено на изучение случайных точек/чисел и абсолютно неразрешимых проблем. Случайная точка (в частности, число) определяется как такая, которая не может быть локализована в пространстве с помощью простого описания (например, «прибором»). Абсолютная неразрешимость означает, что проблему нельзя решить в рамках теории, которая вмещает заведомо все рассуждения, – общей теории множеств; при этом не предполагаются ограничения на метод решения (например, не требуется алгоритмичности и т.п.). Такие проблемы встречаются среди очень простых вопросов об измеримости и топологии простых множеств вещественных чисел. Также большую важность имеет изучение взаимоотношений этих проблем между собой, которое даёт совершенно неожиданные результаты. Например, для проективных множеств измеримость, оказывается, влечёт топологическое свойство Бэра, что кажется очень удивительным.
Родственное исследование ведётся вокруг того наблюдения, что в определённом смысле все несчётные мощности равноценны. А также – вокруг модельно полных аксиоматик, которые подобны аксиомам вещественных и комплексных чисел. Оказывается, что хорошо известные из школы свойства этих чисел и их взаимоотношения воспроизводятся на совершенно не похожих на числа кольцах.
Приведём примеры таких проблем и результатов вокруг вещественных и комплексных чисел, которые таят трудные и неожиданные проблемы.
a) Например, существует вещественное число h, для которого множество Q+h (рациональные числа Q, сдвинутые на h) обладает (в модели теории множеств) необычными свойствами; в частности, Q+h описывается простой явно указанной формулой, но ни один его элемент не описывается вообще никакой формулой. Сформулируем проблему. Для проективных множеств, связаны ли свойства: измеримость по Лебегу, свойство Бэра, канторово подмножество.
b) Пример. Описаны обширные классы групп и колец со свойствами, характерными для указанных чисел: эквивалентными преобразованиями любую формулу можно привести к виду ∃xφ(x), где φ(x) не содержит никаких кванторов; алгебраическая система с коэффициентами в кольце, разрешимая в расширении, разрешима и в самом кольце. Для чисел характерен переход от их маленькой части – поля рациональных чисел к его расширению (алгебраически-замкнутому или вещественно-замкнутому). Для многих групп и колец можно определить такой же переход (который называется модельным компаньоном). Сформулируем проблему. Для любой аксиоматики Т модельным компаньоном называется аксиоматика Т*, для которой любая формула приводится к указанному выше виду, и модель одной из этих аксиоматик вкладывается в модель другой. Вместо «модель аксиоматики S» говорят S-модель. Пусть для кольца К все его локализации (фактор-кольца К/(р·К), где р – простой идеал в булевой алгебре центральных идемпотентов самого K) являются Т-моделями; будут ли модельным компаньоном таких колец кольца, у которых все их локализации Т*-модели; будет ли аксиоматизируем класс колец с Т*-локализациями.
c) Пример: период колебаний с бесконечно малой амплитудой нелинейного маятника бесконечно близок к периоду колебаний линейного маятника с той же амплитудой, что получается методом ломаных Эйлера с бесконечно малым шагом. Здесь для студента может быть интересно уже само понятие бесконечно малого вещественного числа. Интересно, что бесконечномерное пространство можно погрузить в конечномерное, у которого размерность – бесконечно большое натуральное число; и изучать его как конечномерное пространство. Проблема: можно ли эффективно описать такие числа, т.е. описать нестандартное расширение поля вещественных чисел, что связано с несколько загадочным понятием ультрафильтра и ультрастепени.
Известно несколько вариантов нестандартного анализа; выше говорилось о том, в котором «пределы заменяются на нестандартные числа»: например, последовательность n> – одна бесконечно малая, а n 2 > – другая меньшая бесконечно малая. В других своих вариантах нестандартный анализ (тогда называемый булевозначным или гейтинговозначным) позволяет изображать спектральные (самосопряжённые и нормальные) операторы в бесконечномерных гильбертовых (и более общих) пространствах вещественными и комплексными числами (как в символическом исчислении Хевисайда). Проблема в том, что так представленные алгебры операторов обязательно коммутативны. Переход к некоммутативному случаю является проблемой и, по-видимому, требует некоммутативного аналога булевой алгебры.