Вероятность в чем измеряется

Формирование понятия «Вероятность» в школьном курсе физики элементарных частиц Текст научной статьи по специальности «Философия, этика, религиоведение»

Аннотация научной статьи по философии, этике, религиоведению, автор научной работы — Басков С. В.

В статье раскрывается связь между понятиями «физическая величина» и «физический закон», проблема формирования понятия «вероятность» в школьном курсе физики элементарных частиц; раскрываются аспекты метода решения проблемы адаптации абстрактного понятия «вероятность» при изучении свойств частиц.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по философии, этике, религиоведению , автор научной работы — Басков С. В.

Фотонные процессы в связанном состоянии частиц

Место многозначных физических терминов в процессе развития мышления учащихся при изучении школьного курса физики

Проблема размерности пространства местоположений частиц физической системы
Начала теории пространства как идеальной квантовой жидкости
Проблемы формирования некоторых понятий курса «Электричество» на основе нелинейной физики
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Формирование понятия «Вероятность» в школьном курсе физики элементарных частиц»

ФОРМИРОВАНИЕ ПОНЯТИЯ «ВЕРОЯТНОСТЬ»

В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ФИЗИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ

Челябинский государственный педагогический университет, г. Челябинск

В статье раскрывается связь между понятиями «физическая величина» и «физический закон», проблема формирования понятия «вероятность» в школьном курсе физики элементарных частиц; раскрываются аспекты метода решения проблемы адаптации абстрактного понятия «вероятность» при изучении свойств частиц.

Все объекты и явления окружающей природы обладают определенными свойствами. Для того чтобы описать эти свойства, ученые ввели целый ряд строго определенных понятий, которые носят название физическая величина и физический закон (например, ускорение и закон Всемирного тяготения, электрический заряд и закон сохранения электрического заряда, импульс и закон сохранения импульса и т.д.).

По теории Л.С. Выготского понятие — это есть результат теоретического познания [1]. Между понятиями «физическая величина» и понятием «физический закон» возникает сложная связь, поскольку, закон, описывающий какое-либо физическое явление или процесс, выражается с помощью физических величин. В данном случае физические величины отображают определенные свойства конкретного реального объекта или явления, а физический закон отображает закономерности поведения объектов. Любушкина Л.М., Павлова М.С. в статье «К формированию понятия «физическая величина»» указывают на то, что «изучая физику, мы постоянно имеем дело с величинами, на основе которых определяем законы и строим теории. Следовательно, без осмысления содержания понятия «физическая величина» невозможно понять физические законы» [2, с. 110].

Поскольку, физическая величина является количественной характеристикой свойств состояния материи (вещества или поля) и результатом их измерения, то понятие «физическая величина» выступает как математическая характеристика, поскольку язык измерения носит чисто математическое описание (количественный результат какого-либо математического объекта, измеряемого в каких-то системных единицах).

Что отображает «физическая величина» в физическом законе? Понятие «физический закон» формируется (познается) в заключительный момент, когда многократно осуществляется эксперимент над реальными объектами и находят определенные количественные и качественные отличия и сходства в свойствах объектов. Сходные результаты экспериментов приобретают статус коли-

* Аспирант кафедры Теории и методики преподавания и воспитания.

чественной характеристики свойства объекта. Это еще не физическая величина и не закон. В результате формируется идеальный математический объект, который позволяет создать идеальную математическую формулировку закона.

Качественный поход к формированию понятия «физический закон», был предпринят еще давно. Примером качественного описания закона является формирование закона Всемирного тяготения. Кеплер пытался объяснить движение небесных тел с помощью математического моделирования (геометрии) и наблюдения за небесными телами. В результате его работы были сформированы три правила, качественно описывающие поведения объектов, движущихся вокруг Солнца. Ньютон на основе этих трех правил объяснил закон Всемирного тяготения, в результате чего получил идеальную математическую зависимость, но пока еще не закон, поскольку, он не знал количественного значения гравитационной постоянной. Он определил этот закон как обратную зависимость физической величины от квадрата расстояния между телами. Эта зависимость прямопропорциональна некоторой постоянной, которая сейчас уже известна как произведение гравитационной постоянной О и масс, взаимодействующих тел М и т, и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними Я. Только потом спустя некоторое время в опыте Кавендиша, который он называл «Измерение массы Земли», было экспериментально определено значение гравитационной постоянной.

Таким образом, физическая величина — это выражение качественной и количественной характеристик измеряемого свойства объекта, процесса или явления. Это есть произведение количества (числовое значение) на единицу измерения (качественное свойство материи). Она показывает, как измерять и в чем измерять.

Из понятия «физическая величина» формируется понятие «физический закон». Закон показывает, как осуществляется взаимодействие определенных свойств исследуемых объектов и явлений, которые образуют определенные закономерности, подчиняющие весь окружающий мир единому поведению. Определив понятия, физическая величина и физический закон, мы столкнулись с проблемой формирования понятий в процессе обучения учащихся физике элементарных частиц, без которых объяснить физику микромира невозможно. Эти понятия касаются не только физики элементарных частиц, но и всей фундаментальной науки, поскольку, на законах микромира строится общая физическая картина макромира, устанавливаются общие законы взаимодействия объектов природы.

Понятие «вероятность», сущность которого мы будем раскрывать ниже, невозможно отнести к понятию «физическая величина», потому что оно ему противоречит.

Что такое вероятность? Как ее можно измерить и в чем она измеряется? Понятие вероятности появилось в физике в связи с развитием кинетической теории газов, в которой модель газа представляла собой структуру материи, состоящую из большого числа движущихся частиц — молекул. Первый кто

применил это понятие в физике, был английский физик Джеймс Клерк Максвелл. Он построил теорию идеального газа, в которой состояние газа задавалось не положением и скоростью каждой частицы, а функцией распределения, то есть вероятностью найти молекулу с заданной скоростью в конкретном месте сосуда.

Вероятность является математической функцией, с помощью которой можно рассчитывать протекание различных физических процессов, в которых участвует много частиц (теплопроводность, диффузия, различные химические реакции, явления фотоэффекта). Конкретно для одной частицы это понятие не рассматривается. До создания квантовой механики считалось, что определение вероятности связано обычно с большим числом частиц, координаты и скорости которых практически нельзя измерить. Но квантовая механика показала, что конкретно для определенной частицы, помимо перечисленных выше физических величин, невозможно измерить координату и импульс одновременно. Такой результат может носить только вероятностный характер.

Ярким примером вероятности является соотношение неопределенностей Гейзенберга, которое изучается в школе. Мы можем зарегистрировать частицу, но возможность точно измерить траекторию частицы отсутствует. Можно лишь указать вероятность отклонения частицы на тот или иной угол. Дело в том, что в любом опыте существует большое количество неучтенных факторов. В случае определения положения частицы, ее скорости или импульса неучтенными факторами можно будет считать непостоянство температуры, неточность в измерении длины волны, излучаемой ускоренно движущейся частицей и т.д. Рассмотрим степень достоверности, что данная частица имеет конкретные свойства, описываемые физическими величинами, на примере свободного электрона.

— Частица электрон: е-;

— Заряд электрона равен: -1,602189-10-19 Кл;

— Масса частицы: 9,10953-10-31 кг;

— Классический радиус частицы: ~10-15м;

— Спин электрона: +1/2;

— Среднее время жизни: t = да.

Все эти утверждения имеют разный характер достоверности. Степень достоверности, которая определяет количественную характеристику свойства объекта вплоть до восьмого-девятого знака после запятой, называется вероятностью [3, с. 107]. Обозначим вероятность буквой Ж.

Теория вероятности очень важна при вычислении достоверных значений основных физических величин. Поскольку квантовая теория, построенная на понятии «вероятность», то она является базисной в познании мира элементарных частиц. Охарактеризуем физические величины, которые отображают свойства реального объекта — частицы электрона. Для того чтобы сформировать понятие вероятность как характеристики физической величины мы разработали обобщающий план:

1. Задать ряд свойств объекта (определить физические величины -следует подбирать такие свойства объекта, доказательность которых учащиеся уже знают);

2. Разбить все физические величины на две группы, в которых, по мнению учащихся количественные значения физических величин носят вероятностный (Ж = ?) или точный характер (Ж = 1);

3. Привести доказательства по каждой группе исследуемых свойств объекта (почему учащиеся отнесли данные физические величины к определенной группе);

4. Определить вероятность количественных значений по 8 или 9 знаку после запятой;

5. Сделать вывод.

Точное значение Вероятностное значение

Заряд электрона равен: -1,602189-10-19Кл Классический радиус частицы: =10’15м

Масса равна: 9,10953-10-31 кг Спин свободного электрона: ±У2

Среднее время жизни электрона: t = да

1. Заряд электрона равен минимальному отрицательному элементарному заряду. Опыт Милликена показывает, что данная физическая величина носит точный характер, степень достоверности которой составляет 1, то есть вероятность Ж = 1. Элементарный заряд имеет количественное значение 1,602189-10-19Кл. Единица измерения является [Кулон]. Таким образом, мы говорим, что если Ж = 1, то значение физической величины определено со стопроцентной точностью.

2. Примером вероятностной характеристики может выступать радиус электрона, поскольку экспериментальной проверки точности этой физической величины нет[4]. Классический радиус электрона вычисляется по формуле:

где е2 =——= 2,307113 -10 28 кг-м3-с2

ш„ = 9,10953 -10-31 кг

Он зависит от следующих параметров. Значения элементарного заряда, который мы указали с вероятностью = 1, массы электрона Жт = 1 и скорости света с. Поскольку точное определение физических величин для микромира чрезвычайно необходимо и труднодостигаемо, то в таблицах пишут, что скорость света равна 2,997924580(1,2)-108м/с; величина, которая указывается в скобках называется стандартным отклонением. Из теории вероятности следует, что истинная скорость света не может отличаться от написанной более чем на 1,2 единицы в последнем знаке с вероятностью 0,683. Таким образом, используя формулу для вычисления классического радиуса электрона, мы сможем узнать, как колеблется значение радиуса электрона при неточном значении определения скорости света:

9,10953 -10 31 • 2,997924580 -108

9,10953 • 10-31 • 2,997924581 • 108

9,10953 -10-31 • 2,997924582 -108

9,10953 • 10-31 • 2,997924579 • 108

(2,307113-10-28) 2,8179383702 -1045 м

9,10953 -10-31 • 2,997924578 -108

Таким образом, при определении скорости света с вероятностью 0,683 колебания значений в 1,2 единицы «вправо или влево» изменяется свойство реального объекта (мы говорим конкретно о частицах). Радиус электрона колеблется в пределах [37; 38] в 7-9 знаке после запятой. В данном случае из теории вероятности следует, что истинный радиус электрона не может отличаться от написанного более чем на 37,38 единиц в восьмом знаке с вероятностью 0,683.

Вывод: понятие «вероятность» необходимо внести в школьный курс изучения физики элементарных частиц, для того чтобы учащиеся умели оценивать отклонение физических величин от их истинного значения и понимали значимость определения точного значения порядка физической величины. Учащиеся должны знать к чему может приводить ошибочное определение той или иной физической величины, как получить истинное значение физической величины, что необходимо для того, чтобы вероятностная физическая величина приобрела статус точной физической величины, какие физические величины являются точными, какие вероятностными и понимать сущность понятия «вероятность».

1. Выготский Л.С. Собрание сочинений в шести томах. Т. 2 Проблемы общей психологии. — М.: Педагогика 1982. — 504 с.

2. Любушкина Л.М., Павлова М.С. К формированию понятия «физическая величина // Сборник материалов ФССО-11. — С. 110.

3. Теория вероятностей и математическая статистика / Н.Ш. Кремер. -М.: 2002. — 543 с.

4. Фейнман Р. Характер физических законов. — М.: Наука, 1987.

ПРЕЕМСТВЕННОСТЬ ШКОЛЬНОГО И ВУЗОВСКОГО ХИМИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Поволжская государственная социально-гуманитарная академия, г. Самара Школа с углублённым изучением отдельных предметов № 176, г. Самара

В статье рассматривается одна из актуальных проблем современного образования — преемственность школьного и вузовского образования.

Автор делится опытом проведения элективных курсов по химии как части профильной подготовки учащихся.

Переход к рыночным отношениям, реконструкция общественного производства и перспектива развития важнейших отраслей народного хозяйства выдвигают новый социальный заказ на подготовку современных специалистов. Старшекласснику необходимо определиться в современной социально-экономической ситуации, выбрать ту профессиональную деятельность, которая позволила бы максимально приблизиться к идеальному соотношению составляющих успеха в профессии — «хочу — могу — надо», то есть выбрать ту профессию, которая бы была востребована современной экономикой, соответствовала желанию и интересам личности, её возможностям и общеобразовательной подготовке. В подготовке учащихся к выбору профессии ведущая роль принадлежит современной школе. В то же время школа может рассматриваться только как начальное звено профессионального самоопределения личности, как её допрофессиональная подготовка.

Правильное профессиональное самоопределение наиболее значимы в старшем школьном возрасте. По уровню своего развития учащиеся данного возрастного периода уже психологически готовы к тому, чтобы переосмыслить эту проблему в своём личном плане, актуализировать его в конкретном выборе профессии. Это, в свою очередь, предполагает достижение определённого уровня сформированности личности, выражающегося в наличии у неё определённых знаний, опыта, установок, качеств характера, необходимых работнику

* Доцент кафедры Химии и методики её преподавания ПГСГ А, кандидат педагогических наук.

Что такое «сигма»?

Сигмой (σ) в статистическом анализе обозначают стандартное отклонение. Опуская тонкости, которые будут обсуждены ниже, можно сказать, что стандартное отклонение — это та погрешность, то «± сколько-то», которым обязательно сопровождают измерение величины. Если вы измерили массу предмета и получили результат 100 ± 5 грамм, то величина «110 грамм» отличается от измеренного результата на два стандартных отклонения (то есть на 2 сигмы), величина «50 грамм» отличается на 10 стандартных отклонений (на 10 сигм).

Зачем всё это нужно: сигмы и вероятности

При обсуждении погрешностей мы уже говорили, что фраза «измеренная масса равна 100 ± 5 грамм» вовсе не означает, что истинная масса гарантированно лежит в интервале от 95 до 105 грамм. Она может оказаться и за пределами этого интервала «± 1σ», но, как правило, недалеко. В небольшом проценте случаев может даже случиться, что она выходит за пределы интервала «± 2σ», и уж совсем редко она оказывается за пределами «± 3σ». В общем, тенденция ясна: количество сигм связано с вероятностью того, что истинное значение будет настолько отличаться от измеренного.

Вероятность того, что истинное значение попадет в определенный интервал около измеренного среднего значения при нормальном распределении ошибок. Изображение с сайта en.wikipedia.org

Пропустим все математические подробности и покажем результат для самого простого и распространенного случая, который называется «нормальное распределение» (см. рисунок). Вероятность попасть в интервал ± 1σ — примерно 68%, в интервал ± 2σ — примерно 95%, в интервал ± 3σ — примерно 99,8%, и т. д. Итак, можно сформулировать некую договоренность:

Договоренность: выражение какого-то отличия в количестве сигм — это сообщение о том, какова вероятность, что такое или еще более сильное отличие могло произойти за счет случайного стечения обстоятельств при измерении.

Использовать эту договоренность можно разными способами. Если вы просто сообщаете результат измерения (100 ± 5 грамм) и уверены в том, что нормальное распределение применимо, то вы можете сказать, что истинное значение массы с вероятностью 68% лежит в этом интервале, с вероятностью 95% лежит в интервале от 90 до 110 грамм, и т. д.

• Если отличие составляет меньше 1σ, то вероятность того, что два числа согласуются друг с другом, больше 32%. В таком случае просто говорят, что два результата совпадают в пределах погрешностей.
• Если отличие составляет меньше 3σ, то вероятность того, что два числа согласуются друг с другом, больше 0,2%. В физике элементарных частиц такой вероятности недостаточно для каких-либо серьезных выводов, и принято говорить: различие между двумя результатами не является статистически значимым.
• Если отличие от 3σ до 5σ, то это повод подозревать что-то серьезное. Впрочем, даже в этом случае физики говорят осторожно: данные указывают на существование различия между двумя результатами.
• И только если два результата отличаются на 5σ или больше, физики четко заявляют: два результата отличаются друг от друга.

Пример 1

Предположим, что вы изучаете какой-то редкий распад мезона и сравниваете его с теоретическим предсказанием в рамках Стандартной модели. Для удобства записи вы выразили результат измерения в виде такой величины: μ = (измеренная вероятность распада) / (теоретически предсказанная вероятность распада) и получили ответ: μ = 1,25 ± 0,25. Что вы можете сказать про этот результат? Во-первых, он отличается от нуля на пять сигм. Значит, он уже классифицируется как открытие, и поэтому вы можете смело заявлять: мы открыли искомый распад мезона (если, конечно, это уже не сделал кто-то до вас; тогда вам придется довольствоваться скромным «подтверждением открытия»). Во-вторых, он отличается от единицы на одну сигму. Такое отклонение «неинтересно», оно не позволяет вам сказать, что вы обнаружили какое-то статистически значимое отличие от теоретических расчетов. Поэтому вы добавляете: измеренное значение согласуется с предсказаниями Стандартной модели. Предположим далее, что вы набрали в 25 раз больше статистики, перемеряли эту вероятность и получили уточненное значение: μ = 1,20 ± 0,05. Отличие от нуля составляет уже 24 сигмы, так что сомнений в реальности эффекта больше не остается. Отличие от единицы составляет теперь 4 сигмы. Этого еще недостаточно для того, чтобы заявить, что вы открыли Новую физику. Но вы можете четко сказать, что ваши данные расходятся с теоретическими предсказаниями на уровне 4 сигм и указывают на существование эффекта вне Стандартной модели.

Пример 2

Вы изучаете рождение мюонов и антимюонов в каком-то процессе и хотите узнать, можно ли сделать вывод о том, что они рождаются с разной вероятностью. Для мюонов (μ – ) вы получили вероятность рождения x_– = 0,18 ± 0,03, а для антимюонов (μ + ) – x₊ = 0,30 ± 0,04. Разница получается 0,12, но насколько значимым является это различие? Если для обеих погрешностей справедливы нормальные распределения, а также если эти погрешности полностью независимы (между ними нет корреляций), то общая погрешность величины x₊ – x_– вычисляется по формуле суммирования квадратов. Поэтому результат измерения x₊ – x_– = 0,12 ± 0,05. Отличие составляет 2,4 сигмы, и этого еще недостаточно для каких-либо серьезных выводов.

«Уверенность» против «статистической значимости»

Заметьте, что в приведенных выше примерах нас интересовали вопросы, на которые можно ответить «да» или «нет». Проступает ли в полученных данных какая-то новая частица? Согласуется ли распределение по импульсу с теоретическими расчетами? Зависит ли сечение процесса от энергии столкновений? Совпадает ли масса у частицы и ее античастицы? Попытка ответить на эти вопросы с помощью данных называется на научном языке проверкой гипотез. Вопросы, которые требуют развернутого ответа (подсчитать что-то, объяснить что-то и т. п.), гипотезами не называются. В простейшем приближении результат экспериментальной проверки гипотезы выглядит так: ответ «да» с вероятностью p и ответ «нет» с вероятностью 1 – p. Эти вероятности очень важны для сообщения результата; физики обычно избегают абсолютных утверждений («мы открыли» или «мы опровергли») без указания вероятностей. Но тут сразу же надо сделать важное уточнение. Если его четко осознать, то станет понятным, почему такие стандартные для научно-популярных новостей фразы, как «Ученые на 99% уверены, что открыли что-то новое», — обманчивы. Точная формулировка, которую обычно используют ученые, такова: При проверке гипотезы получен ответ «да» на уровне статистической значимости p. При этом величина p часто выражается в виде количества сигм. В англоязычной литературе используется словосочетание confidence level, CL (доверительный уровень). В русскоязычной еще иногда говорят «статистическая достоверность», но такое выражение может привести к путанице в понимании. Отличие «популярной» фразы от истинного утверждения вот в чём. Во всяком измерении есть не только статистические, но и систематические погрешности. Описанные выше правила связи вероятностей и количества сигм работают только для статистических погрешностей — и то если к ним применимо нормальное распределение. Если статистические погрешности всегда можно обсчитать аккуратно, то систематические погрешности — это немножко искусство. Более того, из многолетнего опыта известно, что сильные систематические отклонения уж точно не описываются нормальным распределением, и потому для них эти правила пересчета не справедливы. Так что даже если экспериментаторы всё перепроверили много раз и указали систематическую погрешность, всегда остается риск, что они что-то упустили из виду. Корректно оценить этот риск невозможно, поэтому вы на самом деле не знаете, с какой истинной вероятностью ваш ответ верен. Конечно, по умолчанию систематическим погрешностям стоит доверять, особенно если они исходят от опытных экспериментальных групп. Но вековой опыт изучения элементарных частиц показывает, что несмотря на все предосторожности регулярно случаются проколы. Бывает, что коллаборация получает результат, сильно противоречащий какой-то гипотезе, перепроверяет анализ много раз и никаких ошибок у себя не находит. Однако этот результат затем не подтверждается другими — порой намного более точными! — экспериментами. Почему первый эксперимент дал такой странный результат, что в нём было не то, где там ошибка или неучтенная погрешность — всё это зачастую так и остается непонятым (впрочем, иногда источник ошибки быстро вскрывается, как это случилось со «сверхсветовыми» нейтрино в эксперименте OPERA). Физики к таким оборотам событий уже привыкли, поэтому каждый экспериментальный результат, сильно отличающийся от всей сложившейся к тому времени картины, вызывает оправданный скепсис. Физики так консервативны в своем отношении вовсе не потому, что они ретрограды и намертво уверовали в какую-то одну теорию, как это хотят представить опровергатели физики. Они просто научены всем предыдущим опытом в физике частиц и знают, чем это обычно кончается. Поэтому без независимого подтверждения другими экспериментами подобные сенсации они не поддерживают.

ФЭЧ в сравнении с другими науками

Надо сказать, что сформулированные выше жесткие критерии статистической достоверности характерны именно для физики элементарных частиц и некоторых смежных разделов. Во многих других разделах физики, а тем более в других дисциплинах (в особенности, в биомедицинских науках) критерии намного слабее. Предположим, вы измерили некие данные и хотите узнать, какова вероятность того, что они «вписываются в норму». Вы проводите статистический тест, который дает вам вероятность того, что «нормальная ситуация» без какого-либо реального отклонения только за счет статистической флуктуации даст вот такое или еще более сильное отклонение. Эта вероятность называется p-значение. В биологии пороговое p-значение, ниже которого уже уверенно говорят про реальное отличие, составляет один или даже несколько процентов. В физике элементарных частиц такое отличие вообще не считают значимым, тут нет даже «указания на существование» какого-то отличия! Ответственное заявление об отличии звучит в ФЭЧ только для p-значений меньше одной двухмиллионной (то есть отклонение больше 5σ). Такой жесткий подход к достоверности утверждений выработался в ФЭЧ примерно полвека назад, в эпоху, когда экспериментаторы видели много отклонений со значимостью в районе 3σ и смело заявляли об открытии новых частиц, хотя потом эти «открытия» не подтверждались. Подробный рассказ об истоках этого критерия см. в постах Tommaso Dorigo (часть 1, часть 2).

Теория вероятностей

Есть какая-то вероятность, что ты сорвешь в лотерее джек-пот. Для этого нужно купить один лотерейный билет.

Кстати, а какова вероятность выиграть, купив один лотерейный билет? А что если купить 2 билета? На сколько повысится вероятность того, что ты выиграешь джек-пот?

А если купить 100 или 1000 билетов? (спойлер: твои шансы сильно не увеличатся, так что если покупаешь билет, бери один).

Вот об этом сегодняшняя статья.

Теория вероятности — коротко о главном

Вероятность – это отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий.

Независимые события

Два события независимы, если при наступлении одного вероятность наступления другого не изменяется.

Полная вероятность

Вероятность всех возможных событий равна \( 1\) (\( 100\%\)).

Вероятность того, что событие не произойдет, равна \( 1\) минус вероятность того, что событие произойдет.

Правило умножения вероятностей независимых событий

Вероятность определенной последовательности независимых событий равна произведению вероятностей каждого из событий

Несовместные события

Несовместными называются события, которые никак не могут произойти одновременно в результате эксперимента. Ряд несовместных событий образуют полную группу событий.

Вероятности несовместных событий складываются.

Описав что должно произойти, используя союзы «И» или «ИЛИ»

Вместо «И» ставим знак умножения, а вместо «ИЛИ» — сложения.

Теория вероятности — подробнее

Что такое вероятность?

Рассмотрим пример. Допустим, мы бросаем игральную кость. Что это за кость такая, знаешь? Так называют кубик с цифрами на гранях. Сколько граней, столько и цифр: от \( 1\) до \( 6\).

Итак, мы бросаем кость и хотим, чтобы выпало \( 5\) или \( 6\). И нам выпадает \( 5\).

В теории вероятностей говорят, что произошло благоприятное событие.

Если бы выпало \( 6\), событие тоже было бы благоприятным. Итого может произойти всего два благоприятных события.

А сколько неблагоприятных?

Раз всего возможных событий \( 6\), значит, неблагоприятных из них \( 6-2=4\) события (это если выпадет \( 1,\text< >2,\text< >3\) или \( 4\)).

Вероятностью называется отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий.

То есть вероятность показывает, какая доля из всех возможных событий приходится на благоприятные.

Обозначают вероятность латинской буквой \( p\) (видимо, от английского слова probability — вероятность).

Принято измерять вероятность в процентах (см. темы «Дроби, рациональные числа» и «Проценты»).

Для этого значение вероятности нужно умножать на \( 100\%\).

В примере с игральной костью вероятность \( p=\frac=\frac=\frac\).

А в процентах: \( p=\frac\cdot 100\%=\frac\%\approx 33,3\%\).

Примеры

• С какой вероятностью при бросании монетки выпадет орел? А с какой вероятностью выпадет решка?
• С какой вероятностью при бросании игральной кости выпадет четное число? А с какой – нечетное?
• В ящике \( 3\) простых, \( 2\) синих и \( 5\) красных карандашей. Наугад тянем один карандаш. Какова вероятность вытащить простой?

Ответы:

• Сколько всего вариантов? Орел и решка – всего два. А сколько из них благоприятных? Только один – орел. Значит, вероятность \( p=\frac=0,5=50\%\). С решкой то же самое: \( p=\frac=0,5=50\%\).
• Всего вариантов: \( 6\) (сколько сторон у кубика, столько и различных вариантов). Благоприятных из них: \( 3\) (это все четные числа: \( 2,\text< >4,\text< >6\)). Вероятность \( p=\frac=\frac=0,5=50\%\). С нечетными, естественно, то же самое.
• Всего: \( 10\). Благоприятных: \( 3\). Вероятность: \( p=\frac=0,3=30\%\).

И еще события бывают зависимыми друг от друга и независимыми. Начнем с зависимых событий.

Зависимые события

Например, ты решил зайти к знакомому, помнишь подъезд и даже этаж на котором он живет. А вот номер и расположение квартиры забыл. И вот стоишь ты на лестничной клетке, а перед тобой \( 3\) двери на выбор.

Каков шанс (вероятность) того, что если ты позвонишь в первую дверь, тебе откроет твой друг? Всего квартиры \( 3\), а друг живет только за одной из них. С равным шансом мы можем выбрать любую дверь.

Но каков этот шанс?

Дверей \( 3\), нужная дверь \( 1\). Вероятность угадать, позвонив в первую дверь: \( \frac\). То есть один раз из трех ты точно угадаешь.

Мы хотим узнать, позвонив \( 1\) раз, как часто мы будем угадывать дверь? Давай рассмотри все варианты:

1. Ты позвонил в 1-ю дверь
2. Ты позвонил в 2-ю дверь
3. Ты позвонил в 3-ю дверь

А теперь рассмотрим все варианты, где может находиться друг:

а. За 1ой дверью
б. За 2ой дверью
в. За 3ей дверью

Сопоставим все варианты в виде таблицы. Галочкой обозначены варианты, когда твой выбор совпадает с местоположением друга, крестиком – когда не совпадает.

Как видишь, всего возможно \( 9\) вариантов местоположения друга и твоего выбора, в какую дверь звонить.

А благоприятных исходов всего \( 3\). То есть \( 3\) раза из \( 9\) ты угадаешь, позвонив в дверь \( 1\) раз, т.е. \( \frac=\frac\).

Это и есть вероятность – отношение благоприятного исхода (когда твой выбор совпал с местоположение друга) к количеству возможных событий.

Определение – это и есть формула. Вероятность принято обозначать p, поэтому:

Такую формулу писать не очень удобно, поэтому примем за \( \displaystyle _>\) – количество благоприятных исходов, а за \( N\) – общее количество исходов.

Вероятность можно записывать в процентах, для этого нужно умножить получившийся результат на \( 100\%\):

Наверное, тебе бросилось в глаза слово «исходы».

Поскольку математики называют различные действия (у нас такое действие – это звонок в дверь) экспериментами, то результатом таких экспериментов принято называть исход.

Ну а исходы бывают благоприятные и неблагоприятные.

Давай вернемся к нашему примеру. Допустим, мы позвонили в одну из дверей, но нам открыл незнакомый человек. Мы не угадали. Какова вероятность, что если позвоним в одну из оставшихся дверей, нам откроет наш друг?

Если ты подумал, что \( \displaystyle \frac\), то это ошибка. Давай разбираться.

У нас осталось две двери. Таким образом, у нас есть возможные шаги:

1. Позвонить в 1-ую дверь
2. Позвонить во 2-ую дверь

Друг, при всем этом, точно находится за одной из них (ведь за той, в которую мы звонили, его не оказалось):

а. Друг за 1-ой дверью
б. Друг за 2-ой дверью

Давай снова нарисуем таблицу:

Как видишь, всего есть \( 4\) варианта, \( 2\) из которых – благоприятны. То есть вероятность равна \( \displaystyle \frac=\frac\).

А почему не \( \displaystyle \frac\)?

Рассмотренная нами ситуация – пример зависимых событий. Первое событие – это первый звонок в дверь, второе событие – это второй звонок в дверь.

А зависимыми они называются потому что влияют на следующие действия. Ведь если бы после первого звонка в дверь нам открыл друг, то какова была бы вероятность того, что он находится за одной из двух других?

Но если есть зависимые события, то должны быть и независимые? Верно, бывают.

Независимые события

Два события независимы, если при наступлении одного вероятность наступления другого не изменяется.

Хрестоматийный пример – бросание монетки.

Бросаем монетку \( 1\) раз. Какова вероятность того, что выпадет, например, орел?

Правильно: \( \displaystyle \frac\), ведь вариантов всего \( 2\) (либо орел, либо решка, пренебрежем вероятностью монетки встать на ребро), а устраивает нас только \( 1\).

Но выпала решка. Ладно, бросаем еще раз. Какова сейчас вероятность выпадения орла? Ничего не изменилось, все так же \( \displaystyle \frac\).

Сколько вариантов? Два. А сколько нас устраивает? Один.

И пусть хоть тысячу раз подряд будет выпадать решка. Вероятность выпадения орла на \( \displaystyle 1001-й\) раз будет все также \( \displaystyle \frac\).

Вариантов всегда \( 2\), а благоприятных – \( 1\).

Отличить зависимые события от независимых легко:

Если эксперимент проводится \( 1\) раз (\( 1\) раз бросают монетку, 1 раз звонят в дверь и т.д.), то события всегда независимые.

Если эксперимент проводится несколько раз (монетку бросают \( 5\) раз, в дверь звонят несколько раз), то первое событие всегда независимое. А дальше, если количество благоприятных или количество всех исходов меняется, то события зависимые, а если нет – независимые.

Ошибка игрока или ложный вывод Монте-Карло

Знаешь, то, что я описал сверху, очень хорошо отражает явление под названием ложный вывод Монте-Карло.

Попробуй придумать и записать на листочке результаты подбрасывания монетки.

А потом попробуй действительно подбрасывать монетку и записывать результат.

Спорим, я без труда определю, какую последовательность ты выдумал?

В реальной последовательности может абсолютно спокойно выпасть 18 решек подряд. А вот ты, составляя последовательность, когда-нибудь точно подумаешь: «Так, что-то многовато решек уже, пора бы и орлу появиться»

В этом и заключается ложный вывод Монте-Карло. В знаменитом казино Монте-Карло люди часто думают, что следующее событие как-то связано с предыдущим, например, ставят на красное, если ранее много раз выпало черное.

В действительности это не так.

А теперь давай немного потренируемся определять вероятность.

Пример 1

Монетку бросают два раза. Какова вероятность того, что два раза подряд выпадет орел?

Решение

Рассмотрим все возможные варианты:

• Орел-орел
• Орел-решка
• Решка-орел
• Решка-решка

Как видишь, всего варианта \( 4\). Из них нас устраивает только \( 1\). То есть вероятность:

Если в условии просят просто найти вероятность, то ответ нужно давать в виде десятичной дроби. Если было бы указано, что ответ нужно дать в процентах, тогда мы умножили бы на \( 100\%\).

Ответ: \( \displaystyle 0,25\)

Пример 2

В коробке конфет все конфеты упакованы в одинаковую обертку. Однако из \( 20\) конфет – \( 6\) с орехами, \( 5\) с коньяком, \( 4\) с вишней, \( 3\) с карамелью и \( 2\) с нугой.

Какова вероятность, взяв одну конфету, достать конфету с орехами. Ответ дайте в процентах.

Решение:

Сколько всего возможных исходов? \( 6+5+4+3+2=20\).

То есть, взяв одну конфету, она будет одной из \( 20\), имеющихся в коробке.

А сколько благоприятных исходов?

\( 6\), потому что в коробке только \( 6\) конфет с орехами.

\( \displaystyle p=\frac_>>\cdot 100\%=\frac\cdot 100\%=0,3\cdot 100\%=30\%\)

Ответ: \( \displaystyle 30\)

Пример 3

В коробке \( 20\) шаров. \( 12\) из них белые, \( 8\) – черные.

• Какова вероятность вытащить белый шар?
• Мы добавили в коробку еще \( 10\) черных шаров. Какова теперь вероятность вытащить белый шар?

Решение:

1. В коробке всего \( \displaystyle N=20\) шаров. Из них \( \displaystyle _>=12\) белых.

2. Теперь шаров в коробке стало: \( \displaystyle N=20+10=30\).

А белых осталось столько же: \( \displaystyle _>=12\).
\( \displaystyle p=\frac<_>>=\frac=0,4\)

Ответы:

1. \( \displaystyle 0,6\)
2. \( \displaystyle 0,4\)

Полная вероятность

Вероятность всех возможных событий равна \( 1\) (\( 100\%\)).

Действительно, если мы будем считать, что все события для нас благоприятны, вероятность благоприятного исхода будет равна \( \displaystyle 1(100\%)\).

Допустим, в ящике \( \displaystyle 4\) красных и \( \displaystyle 5\) зеленых шаров. Какова вероятность вытащить красный шар? Зеленый шар? Красный или зеленый шар?

Вероятность вытащить красный шар:

Красный или зеленый шар:

Как видишь, сумма всех возможных событий равна \( 1\) (\( \displaystyle _>+_>=\frac+\frac=\frac\)).

Понимание этого момента поможет тебе решить многие задачи.

Пример 4

В ящике лежит \( \displaystyle 10\) фломастеров: \( \displaystyle 3\) зеленых, \( \displaystyle 2\) красных, \( \displaystyle 2\) синих, \( \displaystyle 2\) желтых, \( \displaystyle 1\) черный.

Какова вероятность вытащить НЕ красный фломастер?

Решение:

Давай посчитаем количество благоприятных исходов.

НЕ красный фломастер, это значит зеленый, синий, желтый или черный.

Всего их \( 3+2+2+1=8\). \( \displaystyle _>=8\).

Так мы учились считать раньше, но сейчас, зная что такое полная вероятность, можно поступить немного проще.

Вероятность всех событий \( 1\). А вероятность событий, которые мы считаем неблагоприятными (когда вытащим красный фломастер) – \( \displaystyle \frac\) .

Таким образом, вероятность вытащить НЕ красный фломастер – \( \displaystyle 1-\frac=0,8\).

Ответ: \( \displaystyle 0,8\)

Вероятность того, что событие НЕ произойдет, равна \( \displaystyle 1\) минус вероятность того, что событие произойдет.

Правило умножения вероятностей независимых событий

Что такое независимые события ты уже знаешь.

А если нужно найти вероятность того, что два (или больше) независимых события произойдут подряд?

Можно конечно посчитать, но есть способ проще.

Допустим мы хотим знать, какова вероятность того, что бросая монетку \( 2\) раза, мы два раза увидим орла?

Мы уже считали: \( p=0,25\).

А если бросаем монетку \( 3\) раза? Какова вероятность увидеть орла \( 3\) раза подряд?

Всего возможных вариантов \( 8\):

• Орел-орел-орел
• Орел-орел-решка
• Орел-решка-орел
• Орел-решка-решка
• Решка-орел-орел
• Решка-орел-решка
• Решка-решка-орел
• Решка-решка-решка

Не знаю, как ты, но я \( 3\) раза ошибся, составляя этот список. Ух! А подходит нам только \( 1\) вариант (первый).

Для 5 бросков можешь составить список возможных исходов сам. Но математики не столь трудолюбивы, как ты.

Поэтому они сначала заметили, а потом доказали, что вероятность определенной последовательности независимых событий каждый раз уменьшается на вероятность одного события.

Вероятность определенной последовательности независимых событий равна произведению вероятностей каждого из событий

Рассмотрим на примере все той же, злосчастной, монетки.

Вероятность выпадения орла в \( 1\) испытании? \( \displaystyle \frac\). Теперь мы бросаем монетку \( 5\) раз.

Какова вероятность выпадения \( 5\) раз подряд орла?

Это правило работает не только, если нас просят найти вероятность того, что произойдет одно и то же событие несколько раз подряд.

Если бы мы хотели найти последовательность РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА, при \( 3\) бросках подряд, мы поступили бы также.

Вероятность выпадения решка – \( \displaystyle \frac\), орла – \( \displaystyle \frac\).

Вероятность выпадения последовательности РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА-РЕШКА:

Можешь проверить сам, составив таблицу.

Примеры:

1. Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что оба раза выпадет \( 6\)?
2. Монетку бросают \( 3\) раза. Какова вероятность, что в первый раз выпадет орел, а потом два раза решка?
3. Игрок бросает две кости. Какова вероятность, что сумма чисел на них будет равна \( 12\)?

Решения:

1. События независимы, значит, работает правило умножения: \( p=\frac\cdot \frac=\frac\).
2. Вероятность орла равна \( \frac\). Вероятность решки – тоже \( \frac\). Перемножаем: \( p=\frac\cdot \frac\cdot \frac=\frac=0,125=12,5\%\)
3. 12 может получиться только, если выпадут две \( 6\)-ки: \( p=\frac\cdot \frac=\frac\).

Правило сложения вероятностей несовместных событий

Так стоп! Новое определение.

Несовместными называются события, которые никак не могут произойти одновременно в результате эксперимента.

Ряд несовместных событий образуют полную группу событий.

Давай разбираться. Возьмем нашу изношенную монетку и бросим её \( 3\) раза. Возможные варианты:

• Орел-орел-орел
• Орел-орел-решка
• Орел-решка-орел
• Орел-решка-решка
• Решка-орел-орел
• Решка-орел-решка
• Решка-решка-орел
• Решка-решка-решка

Так вот, несовместные события – это определенная, заданная последовательность событий. \( 1),\text< >2),\text< >3),\text< >4)\ldots \text< >8)\) – это несовместные события.

Вероятности несовместных событий складываются.

Если мы хотим определить, какова вероятность двух (или больше) несовместных событий, то мы складываем вероятности этих событий.

Нужно понять, что выпадение орла или решки – это два независимых события.

Если мы хотим определить, какова вероятность выпадения последовательности \( 1\)) (или любой другой), то мы пользуемся правилом умножения вероятностей.

Какова вероятность выпадения при первом броске орла, а при втором и третьем решки?

Но если мы хотим узнать, какова вероятность выпадения одной из нескольких последовательностей, например, когда орел выпадет ровно \( 1\) раз, т.е. варианты \( 4),\text< >6)\) и \( 7)\), то мы должны сложить вероятности этих последовательностей.

Всего вариантов \( 8\), нам подходит \( 3\).

То же самое мы можем получить, сложив вероятности появления каждой последовательности:

Таким образом, мы складываем вероятности, когда хотим определить вероятность некоторых, несовместных, последовательностей событий.

Правило, помогающее не запутаться, когда умножать, а когда складывать:

Опишите, что должно произойти, используя союзы «И» или «ИЛИ». Затем вместо «И» ставим знак умножения, а вместо «ИЛИ» — сложения.

Возвратимся к примеру, когда мы подбросили монетку \( 3\) раза, и хотим узнать вероятность увидеть орла \( 1\) раз.

Что должно произойти?

(орел И решка И решка) ИЛИ (решка И орел И решка) ИЛИ (решка И решка И орел).

Вот и получается:

\( \displaystyle \left( \frac\cdot \frac\cdot \frac \right)+\left( \frac\cdot \frac\cdot \frac \right)+\left( \frac\cdot \frac\cdot \frac \right)=\frac+\frac+\frac=\frac\)

Давай рассмотрим несколько примеров.

Пример 8

В коробке лежит \( 16\) карандашей. \( 2\) красных, \( 4\) зеленых, \( 5\) оранжевых и \( 3\) желтых и \( 2\) черных.

Какова вероятность вытащить красный или зеленый карандаши?

Решение:

Что должно произойти? Мы должны вытащить (красный ИЛИ зеленый).

Теперь понятно, складываем вероятности этих событий:

Ответ: \( \displaystyle 0,375\)

Пример 9

Игральную кость бросают дважды, какова вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков?

Решение:

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Регистрация

Тренировка

Думаю, теперь тебе стало понятно, когда нужно как считать вероятности, когда их складывать, а когда умножать. Не так ли? Давай немного потренируемся.

Примеры:

Возьмем карточную колоду, в которой \( 52\) карты, из них \( 13\) пик, \( 13\) червей, 13 треф и 13 бубен. От \( 2\) до туза каждой масти.

1. Какова вероятность вытащить \( 2\) трефы подряд (первую вытащенную карту мы кладем обратно в колоду и перемешиваем)?
2. Какова вероятность вытащить черную карту (пики или трефы)?
3. Какова вероятность вытащить картинку (вальта, даму, короля или туза)?
4. Какова вероятность вытащить две картинки подряд (первую вытащенную карту мы убираем из колоды)?
5. Какова вероятность, взяв две карты, собрать комбинацию — (валет, дама или король) и туз? Последовательность, в которой будут вытащены карты, не имеет значения.

Ответы:

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Регистрация

Задачи смешанного типа

Пример 16.

Монетку бросают два раза. Какова вероятность того, что результат бросков будет разный?

Решение.

Имеется в виду, что если первым выпал орел, второй должна быть решка, и наоборот. Получается, что здесь две пары независимых событий, и эти пары друг с другом несовместны. Как бы не запутаться, где умножать, а где складывать.

Есть простое правило для таких ситуаций.

Попробуй описать, что должно произойти, соединяя события союзами «И» или «ИЛИ».

Например, в данном случае:

Должны выпасть (орел и решка) или (решка и орел).

Там где стоит союз «и», будет умножение, а там где «или» – сложение:

Попробуй сам:

1. С какой вероятностью при двух бросаниях монетки оба раза выпадет одно и та же сторона?
2. Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что в сумме выпадет \( 10\) очков?
3. Бросаем монетку \( 3\) раза. Какова вероятность, что хотя-бы один раз выпадет орел?

Решения:

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Регистрация

Бонус: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ

Теория вероятности. ЕГЭ №4 (54 задачи)

Что вы узнаете на этом уроке?

20% урока — теория

• Мы разберём, что такое вероятность;
• Узнаем, что можно называть случайным событием;
• Рассмотрим, на какие типы можно разделить события:
  • Что такое совместные и несовместные события;
  • Что такое зависимые и независимые события;
  • Выучим формулы, которые нужно применять для разных типов событий.

  80% урока — решение задач

  • Мы решим 54 задачи на первом уроке и ещё 22 (посложнее) на втором;
  • Отработаем все 6 типов задач, которые могут встретиться в ЕГЭ.

  Математическая статистика

  Мы вам рекомендуем также ознакомиться с нашей статьей по родственной теме — математическая статистика.

  В статье вы найдете основные определения математической статистики и способы графического изображения данных.

  Подготовка к ЕГЭ на 90+

  

  Алексей Шевчук — ведущий мини-групп

  математика, информатика, физика

  +7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи

  • тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
  • автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
  • закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
  • репетиторский стаж — c 2003 года;
  • в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
  • отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».

  Добавить комментарий Отменить ответ

  11 комментариев

  Владимир Ворошилов :

  Вы знаете, в последнее время от безделья решил сделать небольшой анализ по лото 4 из 20 два раза. В этом лото теория вероятностей на 100% не работает: в последующих тиражах в обоих лототронах один номер из четырех предыдущих повторяется от 60 и выше процентах. И это постоянно. Многие любители этого лото в комментах иначе как лохотроном его не называют.

  Бурцев Егор :

  Я заметил одну закономерность
  это крайне похоже на таблицу истинности(не помню правильно назвал или нет) из информатики(8 класс)
  Таким образом, я спокойно составил таблицу и на 5, и на 6, и даже на 7 бросков
  ДА Я ЭТОТ БОЛЬНОЙ УБЛЮДОК)))
  Еще к слову это также и двоичный код, если присмотреться.
  Вот таблица на 7 бросков если кому интересно:
  о — орел r — решка o o o o o o o
  o o o o o o r
  o o o o o r o
  o o o o o r r
  o o o o r o o
  o o o o r o r
  o o o o r r o
  o o o o r r r
  o o o r o o o
  o o o r o o r
  o o o r o r o
  o o o r o r r
  o o o r r o o
  o o o r r o r
  o o o r r r o
  o o o r r r r
  o o r o o o o
  o o r o o o r
  o o r o o r o
  o o r o o r r
  o o r o r o o
  o o r o r o r
  o o r o r r o
  o o r o r r r
  o o r r o o o
  o o r r o o r
  o o r r o r o
  o o r r o r r
  o o r r r o o
  o o r r r o r
  o o r r r r o
  o o r r r r r
  o r o o o o o
  o r o o o o r
  o r o o o r o
  o r o o o r r
  o r o o r o o
  o r o o r o r
  o r o o r r o
  o r o o r r r
  o r o r o o o
  o r o r o o r
  o r o r o r o
  o r o r o r r
  o r o r r o o
  o r o r r o r
  o r o r r r o
  o r o r r r r
  o r r o o o o
  o r r o o o r
  o r r o o r o
  o r r o o r r
  o r r o r o o
  o r r o r o r
  o r r o r r o
  o r r o r r r
  o r r r o o o
  o r r r o o r
  o r r r o r o
  o r r r o r r
  o r r r r o o
  o r r r r o r
  o r r r r r o
  o r r r r r r
  r o o o o o o
  r o o o o o r
  r o o o o r o
  r o o o o r r
  r o o o r o o
  r o o o r o r
  r o o o r r o
  r o o o r r r
  r o o r o o o
  r o o r o o r
  r o o r o r o
  r o o r o r r
  r o o r r o o
  r o o r r o r
  r o o r r r o
  r o o r r r r
  r o r o o o o
  r o r o o o r
  r o r o o r o
  r o r o o r r
  r o r o r o o
  r o r o r o r
  r o r o r r o
  r o r o r r r
  r o r r o o o
  r o r r o o r
  r o r r o r o
  r o r r o r r
  r o r r r o o
  r o r r r o r
  r o r r r r o
  r o r r r r r
  r r o o o o o
  r r o o o o r
  r r o o o r o
  r r o o o r r
  r r o o r o o
  r r o o r o r
  r r o o r r o
  r r o o r r r
  r r o r o o o
  r r o r o o r
  r r o r o r o
  r r o r o r r
  r r o r r o o
  r r o r r o r
  r r o r r r o
  r r o r r r r
  r r r o o o o
  r r r o o o r
  r r r o o r o
  r r r o o r r
  r r r o r o o
  r r r o r o r
  r r r o r r o
  r r r o r r r
  r r r r o o o
  r r r r o o r
  r r r r o r o
  r r r r o r r
  r r r r r o o
  r r r r r o r
  r r r r r r o
  r r r r r r r

  Алексей Шевчук :

  Егор, да, всё так, отличное наблюдение! И в информатике, и в логике, и в теорвере всё основано на комбинаторике (подсчитваем количество подходящих комбинаций и делим на количество всех).

  Доброго времени суток! У меня вопрос: как посчитать вероятность выпадения того или иного номера лото в мною, веденою таблицей? Таблица, созданная в EXCELL, ведет автоматически подсчет количество выпадений каждого номера 6х49. Учитывается также количество тиражей.

  Большое спасибо!
  Александр Кель :
  Вам спасибо!
  Это идеальный материал
  Спасибо большое!
  Александр Кель :
  Спасибо, LOL. Рады помочь!
  Nadzey :
  все очень супер понятно. Спасибо! удачи!
  Александр Кель :
  Спасибо, Nadzey! И вам удачи!
  Александр Кель :

  Руслан
  13 марта 2020
  Здравствуйте. Разъясните пожалуйста, казалось бы простую вещь. В коробке бесконечное множество карандашей, половина красные, половина зеленые. Не будем считать что карандаши убавляются, то есть события в принципе не зависимые. Если я достал по очереди три красных карандаша, то какова вероятность что я достану четвертый карандаш тоже красным. 50%? Алексей Шевчук
  20 марта 2020
  Руслан, верно, 50%. Как с монеткой, один в один. Александр
  02 июля 2020
  Если предположить, что задача решается, как с монеткой, то речь идет о выпадении четвертого раза одного из двух вариантов подряд, нет? То есть вероятность вытащить красный карандаш, как описано в примере выше — 50%, вытащить второй раз подряд красный карандаш — 25%, вытащить третий раз подряд красный карандаш — 12,5%. соответственно вероятность вытащить четвертый раз подряд красный карандаш — 6,25%, нет? P.S. С бесконечными карандашами странная аналогия — проще представить казино — красное и черное) Какова вероятность в казино, поставив четыре раза подряд на красное — выиграть?) Алексей Шевчук
  07 июля 2020
  Ваши расчёты (6,25%) — это решение другой задачи: какова вероятность вытянуть 4 красных карандаша подряд, если мы пока что ещё ничего не вытаскивали. Но если мы знаем на 100%, что первыми тремя вытащим именно красные, наши расчёты ведь изменятся, верно? Аналогия с бесконечными карандашами вполне нормальная, это же просто математическая модель. Если хотите, можно просто каждый взятый караднаш возвращать обратно в коробку, чтобы их снова становилось поровну. Алексей Шевчук
  07 июля 2020
  А с казино ситуация действительно очень похожая, за исключением одного маленького нюанса — сектора зеро. В рулетке 18 красных, 18 чёрных секторов, и один зеро — следовательно, вероятность выпадения красного не 1/2, а 18/37. Это нужно обязательно учитывать при расчёте вероятностей. Например, благодаря зеро не работает популярная когда-то стратегия: ставим рубль на красное, если он выпадает, забираем выигрыш, если нет, то удваиваем ставку. Теперь если выиграем, казино нам даст 2 рубля, что покроет предыдущий проигрыш и даст «заработок» в 1 рубль. Если снова не повезло — снова удваиваем ставку, таким образом, покрывая все прошлые проигрыши. Как только выиграли, возвращаемся к начальной ставке в 1 рубль. Весь расчёт здесь строится на том, что вероятность выиграть, умноженная на размер выигрыша, равна нашей ставке, поэтому мы как минимум ничего не теряем, а если вовремя остановиться, то и выигрываем. Но это не так (казино и рулетку не дураки придумали): именно благодаря зеро вероятность чуть меньше 1/2, но выигрыш всё равно в 2 раза больше ставки. Поэтому, играя много игр, мы проигрываем в среднем 1/37 поставленных денег — недостаточно много, чтобы мы что-то заподозрили, но достаточно, чтобы казино осталось в плюсе) Хорошо, что есть математика, и мы можем всё заранее расчитать, правда? Александр (админ)
  07 июля 2020
  С казино стратегия удвоения не работает не только по причине зеро. В каждом казино есть минимальный и максимальный размер ставки и поэтому удваивать получится не больше 4-5 раз. Рано или поздно игрок проиграет все, если будет придерживаться этой стратегии.

  Возможность и вероятность

  Вероятность — это степень возможности. Она измеряется количественно. Невозможности ставят в соответствие нуль, неизбежности — единицу, а бесчисленному множеству слу­чайных возможностей, расположенных между этими двумя крайностями, — бесконечное множество дробей, находя­щихся между нулем и единицей.

  Возможность, степень которой равна нулю, — это невоз­можность. Она так же не является возможностью, как и дви­жение с нулевой скоростью — движением. Это вырожденный случай возможности. Возможность, степень которой равна единице, — это необходимая возможность. В объективном мире никакой другой возможности не существует. Словом “вероятность”, как и словом “случайность”, мы оцениваем уровень нашей информированности о реальном положении дел. Мы говорим, что вероятность наступления данного собы­тия равна единице, в том случае, когда нам удается доказать. что его наступление неизбежно. Наука исторически началась с исследования неизбежности и невозможности. Именно не­избежность описывают динамические законы (напомню, что мы условились различать динамические и детерминистские законы). Лишь века спустя наука созрела методологически настолько, чтобы перейти к исследованию законов случая.

  Источник: Левин Г. Д.. Философские категории в современном дискурсе. 2007

  Похожие публикации:

  1. Как проверить opencl
  2. Как слушать музыку на пк бесплатно
  3. Как хранить изображения на сервере
  4. Некропостинг что это