Мцу как найти

16) Мгновенный центр ускорений (МЦУ). Способы нахождения.

При определении скоростей точек плоской фигуры было установлено, что в каждый момент времени существует такая точка Р фигуры (МЦС), скорость которой равна нулю. Покажем, что в каждый момент времени существует точка фигуры, ускорение которой равно нулю. Такая точка называется мгновенным центром ускорений (МЦУ). Обозначим ее через Q.

Рассмотрим плоскую фигуру, совершающую движение в плоскости рисунка (рис.). Примем за полюс какую-либо точку А, модуль и направление ускорения аА которой известны в рассматриваемый момент времени. Пусть в этот момент времени известны угловая скорость и угловое ускорение фигуры. Из формулы следует, что точка Q будет МЦУ, если , т. е. когда . Так как вектор aQA составляет с линией AQ угол «альфа» , то параллельный ему вектор аА направлен к линии, соединяющей полюс А с точкой Q, также под углом «альфа» (см. рис.).

Проведем через полюс А прямую MN, составляющую с вектором его ускорения угол «альфа», откладываемый от вектора аА в направлении дуговой стрелки углового ускорения. Тогда на луче AN найдется точка Q, для которой . Поскольку, согласно , , точка Q (МЦУ) будет отстоять от полюса А на расстоянии .

Таким образом, в каждый момент движения плоской фигуры, если угловая скорость и угловое ускорение не равны нулю одновременно, имеется единственная точка этой фигуры, ускорение которой равно нулю. В каждый последующий момент времени МЦУ плоской фигуры будет находиться в различных ее точках.

Если МЦУ — точку Q выбрать за полюс, то ускорение любой точки А плоской фигуры
, так как aQ = 0. Тогда . Ускорение аА составляет с отрезком QA, соединяющим эту точку с МЦУ, угол «альфа», откладываемый от QA в сторону, противоположную направлению дуговой стрелки углового ускорения. Ускорения точек фигуры при плоском движении пропорциональны расстояниям от МЦУ до этих точек.

Таким образом, ускорение всякой точки фигуры при ее плоском движении определяется в данный момент времени так же, как и при вращательном движении фигуры вокруг МЦУ.

Рассмотрим случаи, когда положение МЦУ можно определить с помощью геометрических построений.

1) Пусть известны направления ускорений двух точек плоской фигуры, ее угловые скорость и ускорение. Тогда МЦУ лежит на пересечении прямых линий, проведенных к векторам ускорений точек фигуры под одним и тем же острым углом:, отложенным от векторов ускорений точек в направлении дуговой стрелки углового ускорения.

2) Пусть известны направления ускорений хотя бы двух точек плоской фигуры, ее угловое ускорение = 0, а угловая скорость не равна 0.

3) Угловая скорость= 0, угловое ускорение не равно 0. Угол прямой.

5.5. Мгновенный центр ускорений (мцу)

Если в данный момент времени задано ускорение какой-то точки А – , причемиизвестны, то положение МЦУ определяется следующим образом:

Проведем из точки А полупрямую АN под углом к ускорению, отсчитывая этот угол отв сторону вращения плоской фигуры, если вращение является ускоренным, и против вращения, если оно замедленное.

На полупрямой отложим отрезок .

Полученная т.о. точка и есть МЦУ.

Ускорение точек плоской фигуры, как ускорение во вращательном движении вокруг МЦУ.

Примем точку за полюс.

Имеем .

Таким образом, ускорение любой точки плоской фигуры можно определить как ускорение этой точки при вращении вокруг неподвижной оси, проходящей через МЦУ.

Частные случаи определения МЦУ.

Известна точка, ускорение которой равно нулю. Эта точка и является МЦУ.

Например, качение без скольжения колеса по прямолинейному рельсу с постоянной скоростью центра С.

Так как , то, то есть точка С – есть МЦУ.

Ускорение любой точки, например В

;

Рис. 2.34 , т.к..

Таким образом .

Ускорение каждой точки колеса направлено к МЦУ.

Равномерное вращение: .

Следовательно, ускорения всех точек направлены к МЦУ, причем расстояния от точки до МЦУ определяются по формуле

Момент, когда угловая скорость становится равной нулю:

В этом случае

то есть ускорения всех точек направлены перпендикулярно к отрезкам, соединяющим эти точки с МЦУ.

Расстояние вычисляется по формуле.

Момент времени, когда угловая скорость и угловое ускорение становится равным нулю при непоступательном движении твердого тела .

В этом случае ускорение любой точки равно ускорению полюса, то есть ускорения всех точек плоской фигуры геометрически равны

Основные способы вычисления углового ускорения при плоском движении.

Если известен закон изменения угла поворота или угловой скорости от времени, то угловое ускорение определены путем дифференцирования, то есть

Второй способ применяется в том случае, когда расстояние от точки, ускорение которой известно, до МЦС остается постоянным во время движения плоской фигуры.

Рассмотрим, например, качение без скольжения колеса по неподвижной прямой линии.

Угловую скорость.

Дифференцируем по времени ()

Так как в данном случае центр колеса двигается прямолинейно, то

6. Сложное движение твердого тела.

6.1. Сложение поступательных движений.

Пусть твердое тело движется поступательно со скоростью относительно системы отсчета 0хуz, которая в свою очередь, движется поступательно со скоростью по отношению к неподвижной системе отсчета 0х₁у₁.

Так как относительное движение – поступательное, то относительные скорости всех точек тела геометрически равны .

Переносное движение также поступательное, то есть переносные скорости всех точек тела геометрически равны .

Следовательно, по теореме сложения скоростей, все точки тела в абсолютном движении будут иметь одну и туже скорость , то есть абсолютное движение тела будет поступательным.

Итак, при сложении двух поступательных движений со скоростями и, результирующие движения тела также является поступательным со скоростью

. (33)

Задача сложения скоростей в этом случае сводится к задаче кинематической точки.

Примеры нахождения МЦУ.

Определяем угол α = arctg ( ε ω 2 ) . Откладываем угол α в направлении уг-

лового ускорения (т. е. в сторону вращения при ускоренном вращении и против — при замедленном), от направления известного ускорения точки и строим луч. На построенном луче откладываем отрезок длиной AQ.

Рис. 1. 16. Примеры нахождения МЦУ: пример №1 (а), пример№2 (б)

Пример № 2. Известны ускорения двух точек А и В: a A и a B (рис.1.16 б).

Одну из точек с известным ускорением принимаем за полюс и определяем относительное ускорение другой точки путём геометрических построений. Измерением находим угол α и под этим углом проводим лучи от известных ускорений. Точка пересечения этих лучей является МЦУ. Угол откладывается от векторов ускорений в ту же сторону, в какую идёт угол от вектора относительного ускорения к прямой ВА.

Следует отметить, что МЦУ и МЦС разные точки тела, причём ускорение МЦС не равно нулю и скорость МЦУ не равна нулю (рис 1.17).

v C = const a C = 0, ε = 0,

α = 0, a P = ω 2 CP , v P = 0,

Рис. 1. 17. Положение МЦС и МЦУ в случае качения катка без скольжения

В тех случаях, когда ускорения точек параллельны друг другу возможны следующие частныйслучаи нахождения МЦУ (рис.1.17)

Мгновенный центр ускорений

Мгновенным центром ускорений (сокр. — МЦУ) при движении фигуры в плоскости называют точку плоской фигуры, ускорение которой в этот момент равно нулю.

Такая точка существует в каждый момент времени.

В наших рассуждениях будем обозначать ее буквой Q. Взяв эту точку за полюс, получим формулу для определения ускорения произвольной точки:

мгновенный центр ускорений

Угол, который составляет вектор ускорения точки М с линией MQ определится из соотношения:

Т.е. у всех точек плоской фигуры этот угол одинаков. Из рис. 1.12 видно, что мгновенный центр ускорений лежит в точке пересечения линий, составляющих угол
γ с соответствующими ускорениями точек.

На рис. 1.13-1.15 приведены частные случаи определения положения мгновенного центра ускорений.

Рис. 1.13а