Что такое матрица в математике

Что такое матрица в математике

Матрицей называют прямоугольную таблицу, заполненную числами. Важнейшие характеристики матрицы – число строк и число столбцов. Если у матрицы одинаковое число строк и столбцов, ее называют квадратной. Обозначают матрицы большими латинскими буквами.

Сами числа называют элементами матрицы и характеризуют их положением в матрице, задавая номер строки и номер столбца и записывая их в виде двойного индекса, причем вначале записывают номер строки, а затем столбца. Например, a₁₄ есть элемент матрицы, стоящий в первой строке и четвертом столбце, a₃₂ стоит в третьей строке и втором столбце.

Главной диагональю квадратной матрицы называют элементы, имеющие одинаковые индексы, то есть те элементы, у которых номер строки совпадает с номером столбца. Побочная диагональ идет «перпендикулярно» главной диагонали.

Особую важность представляют собой так называемые единичные матрицы. Это квадратные матрицы, у которых на главной диагонали стоят 1, а все остальные числа равны 0. Обозначают единичные матрицы E. Матрицы называют равными, если у них равны число строк, число столбцов, и все элементы, имеющие одинаковые индексы, равны. Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны 0. Обозначается нулевая матрица О.

Простейшие действия с матрицами

1. Умножение матрицы на число. Для этого необходимо умножить каждый элемент матрицы на данное число.

2. Сложение матриц. Складывать можно только матрицы одинакового размера, то есть имеющие одинаковое число строк и одинаковое число столбцов. При сложении матриц соответствующие их элементы складываются.

3. Транспонирование матрицы. При транспонировании у матрицы строки становятся столбцами и наоборот. Полученная матрица называется транспонированной и обозначается A T . Для транспонирования матриц справедливы следующие свойства:

4. Умножение матриц. Для произведения матриц существуют следующие свойства:

• Умножать можно матрицы, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
• В результате получится матрица, число строк которой равно числу строк первой матрицы, а число столбцов равно числу столбцов второй матрицы.
• Умножение матриц некоммутативно. Это значит, что от перестановки местами матриц в произведении результат меняется. Более того, если можно посчитать произведение A∙B, это совсем не означает, что можно посчитать произведение B∙A.
• Пусть C = A∙B. Для определения элемента матрицы С, стоящего в i-той строке и k-том столбце необходимо взять i-тую строку первой умножаемой матрицы и k-тый столбец второй. Далее поочередно брать элементы этих строки и столбца и умножать их. Берем первый элемент из строки первой матрицы и умножаем на первый элемент столбца второй матрицы. Далее берем второй элемент строки первой матрицы и умножаем на второй элемент столбца второй матрицы и так далее. А потом все эти произведения надо сложить.

Свойства произведения матриц:

Определитель матрицы

Определителем (детерминантом) квадратной матрицы А называется число, которое обозначается detA, реже |A| или просто Δ, и вычисляется определённым образом. Для матрицы размера 1х1 определителем является сам единственный элемент матрицы. Для матрицы размера 2х2 определитель находят по следующей формуле:

Миноры и алгебраические дополнения

Рассмотрим матрицу А. Выберем в ней s строк и s столбцов. Составим квадратную матрицу из элементов, стоящих на пересечении полученных строк и столбцов. Минором матрицы А порядка s называют определитель полученной матрицы.

Рассмотрим квадратную матрицу А. Выберем в ней s строк и s столбцов. Дополнительным минором к минору порядка s называют определитель, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания данных строк и столбцов.

Алгебраическим дополнением к элементу a_ik квадратной матрицы А называют дополнительный минор к этому элементу, умноженный на (–1) i+k , где i+k есть сумма номеров строки и столбца элемента a_ik. Обозначают алгебраическое дополнение A_ik.

Вычисление определителя матрицы через алгебраические дополнения

Рассмотрим квадратную матрицу А. Для вычисления ее определителя необходимо выбрать любую ее строку или столбец и найти произведения каждого элемента этой строки или столбца на алгебраическое дополнение к нему. А дальше надо просуммировать все эти произведения.

Когда будете считать алгебраические дополнения, не забывайте про множитель (–1) i+k . Чтобы счет был более простым, выбирайте ту строку или столбец матрицы, который содержит наибольшее число нулей.

Расчет алгебраического дополнения может сводиться к расчету определителя размером более чем 2х2. В этом случае такой расчет также нужно проводить через алгебраические дополнения, и так далее до тех пор, пока алгебраические дополнения, которые нужно будет считать, не станут размером 2х2, после чего воспользоваться формулой выше.

Обратная матрица

Рассмотрим квадратную матрицу А. Матрица A –1 называется обратной к матрице А, если их произведения равны единичной матрице. Обратная матрица существует только для квадратных матриц. Обратная матрица существует, только если матрица А невырождена, то есть ее определитель не равен нулю. В противном случае обратную матрицу посчитать невозможно. Для построения обратной матрицы необходимо:

1. Найти определитель матрицы.
2. Найти алгебраическое дополнение для каждого элемента матрицы.
3. Построить матрицу из алгебраических дополнений и обязательно транспонировать ее. Часто про транспонирование забывают.
4. Разделить полученную матрицу на определитель исходной матрицы.

Таким образом, в случае, если матрица А имеет размер 3х3, обратная к ней матрица имеет вид:

Матрицы. Вся теория и задачи с решениями или ответами

ЗАПРЕЩЕНО использование представленных на сайте материалов или их частей в любых коммерческих целях, а также их копирование, перепечатка, повторная публикация или воспроизведение в любой форме. Нарушение прав правообладателей преследуется по закону. Подробнее.

© 2014 — 2023 EDUCON.BY — Физика и Математика — Теория и Задачи.

Что такое матрица в математике

Матрица представляет собой прямоугольную таблицу элементов, в качестве которых могут выступать числа, функции, символы, слова и так далее — при условии, что заданы определенные правила математических действий с этими элементами.

Примеры матриц:

, .

Матричный элемент, расположенный на пересечении i-ой строки и j-го столбца, записывается в виде a_{i j} , а выражение A = || a_{i j} || означает, что матрица A составлена из элементов a_{i j} :

.

Матричная алгебра имеет обширные применения в различных отраслях знания – в математике, физике, информатике, экономике. Например, матрицы используется для решения систем алгебраических и дифференциальных уравнений, нахождения значений физических величин в квантовой теории, шифрования сообщений в Интернете.

Матрица обозначается одной из заглавных букв латинского алфавита, а набор ее элементов помещается в круглые скобки:

(1)

Представленная формулой (1) матрица A имеет m строк и n столбцов и называется m×n матрицей (“эм на эн матрицей”) или матрицей размера m×n. Строки матрицы нумеруются сверху вниз, а столбцы – слева направо.

Рис. 1. Порядок нумерации строк и столбцов матрицы.

Матричный элемент, расположенный на пересечении i-ой строки и j-го столбца, называется i,j-м элементом и записывается в виде a_{i j} , а выражение A = || a_{i j} || означает, что матрица A составлена из элементов a_{i j} .

Матрица размера 1×n называется строчной или вектор-строкой.

Матрица размера n×1 называется столбцевой или вектор-столбцом. Для краткости вектор-строку и вектор-столбец обычно называют просто векторами.

Особую роль играют матрицы, у которых число строк совпадает с числом столбцов, то есть матрицы размера n×n. Такие матрицы называются квадратными При ссылке на квадратную матрицу достаточно указать ее порядок. Например, матрица третьего порядка имеет размер 3×3.

Квадратная матрица порядка 1 отождествляется с единственным ее элементом.

Что такое матрица в математике простыми словами

Матрица имеет множество значений в разных областях науки и техники. Конкретно в математике это объект, который облегчает вычисления и позволяет легко систематизировать любую информацию. Именно поэтому так необходимо знать, как ею пользоваться. Что же такое матрица?

Что такое матрицы в математике

Матрица — это таблица элементов, которая состоит из строк (m) и столбцов (n).

Может иметь разные размеры и формы в зависимости от количества находящихся в ней элементов. Элементы фиксированы: если переставить хотя бы один, то получится иная матрица с иными свойствами.

Откуда они взялись, чем полезны

Первые упоминания найдены еще в Древнем Китае, однако широкую известность матрицы приобрели только в середине XVIII, аккурат после выхода книги «Введение в анализ алгебраических кривых» Габриэля Крамера. В своей работе знаменитый математик описал совершенно новый способ решения систем линейных уравнений, который прозвали «методом волшебных квадратов». Сам термин «матрица» появился лишь в XIX веке благодаря трудам английского математика Д.Д. Сильвестра.

В современном мире матрицы используют повсюду. Телефонные справочники, табели успеваемости, отчеты и счета тоже являются матричными моделями. Они полезны, так как имеют прикладное значение.

Основные определения и обозначения матриц

В большинстве случаев матрицы обозначают прописными латинскими буквами (A, B, C), а ее элементы — строчными.

Виды матриц зависят от количества строк m и столбцов n. Основные из них:

• квадратная (m = n);
• прямоугольная (m ≠ n).

Также существует понятие детерминант — это определитель свойств квадратной матрицы, который чаще всего используют в решении систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Применение матриц в математико-экономическом моделировании

В математико-экономическом моделировании матрицы считаются самым удобным способом хранения различных структурированных данных и решения задач с ними. Приведем простой пример из экономической модели «затраты-выпуск».

Дана таблица распределения ресурсов по различным отраслям:

Так, элемент а23 = 5,8 обозначает то, сколько водных ресурсов потребляется в торговле, а элемент а11 = 4,8 обозначает, сколько трудовых ресурсов потребляется в промышленности.

Данная матрица может использоваться при сравнении и оценке востребованности ресурсов в различных отраслях экономики, решении экономических задач предприятий и организаций, анализе затраченных средств в ходе производства.

Решение матриц, основные операции с примерами и объяснением

Матрицы можно складывать и вычитать, умножать на определенное число, умножать между собой. Подробнее остановимся на основных операциях.

Сложение и вычитание матриц

Сложение и вычитание матриц возможно только в том случае, если они равны по размеру.

Чтобы сложить две матрицы, нужно сложить их соответствующие элементы.

С вычитанием действуем аналогичным образом.

Умножение матрицы на число

Чтобы умножить целую матрицу на число, необходимо умножить каждый элемент матрицы на это число.

Подметим, что дроби вносить в матрицу не нужно, поскольку это затрудняет дальнейшие операции.

Вынесение общего множителя за знак матрицы

Для вынесения общего множителя за знак матрицы необходимо найти общий множитель для всех элементов.

Подметим, что вынести общий множитель из строки или столбца невозможно.

Вынесение знака (минуса) за матрицу

При выполнении различных действий с матрицами большое количество минусов может привести к ошибкам и просчетам, поэтому обычно их выносят за матричную модель. Делается это при помощи замены всех знаков элементов. К примеру:

Таким образом, вероятность путаницы уменьшается за счет увеличения положительных коэффициентов.

Изучение матричных моделей не самое простое занятие. Если у вас нет времени на учебу, Феникс.Хелп может помочь в написании контрольных работ, статей и диссертаций. Переходите по ссылке и получаете квалифицированную помощь прямо сейчас!

• Лайфхаки для жизни и учебы
• Залипательная наука
• Подготовка к тестам, экзаменам, зачетам

Матрицы в математике: основные принципы и области применения

Матрицы в математике – это удобный инструмент, который позволяет представлять и анализировать сложные системы и взаимосвязи. Они используются для решения широкого круга задач, начиная от простых арифметических операций и заканчивая решением систем линейных уравнений. Понимая, как работать с матрицами, можно существенно упростить и ускорить решение математических задач и применять их в различных областях, включая физику, экономику, компьютерное моделирование и другие.

Матрицы — это одно из основных понятий линейной алгебры, которые широко используются в математике, физике, экономике и других науках. Они представляют собой таблицу чисел, расположенных в определенном порядке и разделенных на строки и столбцы. Матрицы играют важную роль в решении систем линейных уравнений, векторной алгебре, анализе данных и многих других областях.

Основное назначение матриц — представление и обработка данных, организованных в виде таблицы. Каждый элемент матрицы может быть числом, переменной или даже функцией. Матрицы могут быть одномерными (векторами) или двумерными (матрицами).

Векторы — это одномерные матрицы, состоящие из одной строки или одного столбца. Они представляют собой упорядоченные наборы чисел и используются для описания направления и магнитуды векторов в физике и геометрии.

Матрицы же обычно используются для представления и обработки многомерных данных. Они позволяют эффективно хранить и оперировать большими объемами информации. В матрицах можно выполнять арифметические операции, транспонирование, нахождение обратной матрицы и многое другое.

Что такое матрицы в математике

Матрицы используются для представления и обработки различных типов данных, таких как линейные системы уравнений, векторы и операции над ними, трансформации геометрических объектов и другие математические операции.

Матрицы состоят из строк и столбцов, и каждый элемент матрицы имеет свои координаты, которые указывают его положение в матрице. Обычно элементы матрицы обозначаются буквами и числами, например, aij, где i — номер строки, j — номер столбца.

Матрицы могут быть разных типов, в зависимости от их размерности. Квадратная матрица имеет одинаковое количество строк и столбцов, прямоугольная матрица имеет разное количество строк и столбцов, а столбцовая и строковая матрицы имеют только одну строку или столбец соответственно.

Читать далее: Ключевые темы ОГЭ по математике в 2021 году: подготовка и актуальные задания

Определенные операции можно выполнять над матрицами, такие как сложение, вычитание, умножение на число, умножение матрицы на матрицу и другие. Эти операции позволяют решать математические задачи и решать системы уравнений.

Матрицы играют важную роль во многих областях науки и техники, таких как физика, экономика, компьютерная графика, статистика и другие. Понимание матриц и умение работать с ними является неотъемлемой частью математической подготовки.

Какие операции можно выполнять с матрицами

• Сложение матриц – это операция, при которой каждый элемент одной матрицы суммируется с элементом соответствующей позиции другой матрицы. Для выполнения сложения матриц необходимо, чтобы обе матрицы имели одинаковую размерность.
• Умножение матрицы на скаляр – это операция, при которой каждый элемент матрицы умножается на заданное число, называемое скаляром. В результате получается новая матрица с тем же размером.
• Умножение матриц – это операция, при которой элементы матрицы A умножаются на элементы матрицы B и складываются по правилу умножения матрицы. Результатом является новая матрица, размер которой определяется размерностью исходных матриц.
• Транспонирование матрицы – это операция, при которой строки исходной матрицы становятся столбцами в новой матрице, а столбцы исходной матрицы становятся строками. Транспонирование не меняет значения элементов матрицы, но меняет их расположение.
• Определитель матрицы – это число, которое вычисляется для квадратной матрицы и является мерой невырожденности системы линейных уравнений, представленных матрицей.
• Обратная матрица – это такая матрица, при умножении на которую исходная матрица дает единичную матрицу. Обратная матрица существует только для квадратных матриц, определитель которых не равен нулю.

Это лишь некоторые из основных операций, которые можно выполнять с матрицами. Знание этих операций позволяет математикам и инженерам эффективно работать с линейными системами, моделировать физические явления и решать различные задачи.

Применение матриц в физике

Одно из основных применений матриц в физике — описание линейных преобразований. Векторы в физике могут быть представлены в виде столбцов или строк матрицы, а линейные преобразования, такие как повороты, масштабирование и смещения, могут быть представлены с помощью матриц. Это позволяет удобно описывать и анализировать сложные пространственные трансформации.

Матрицы также используются для решения систем линейных уравнений, которые встречаются во многих физических задачах. Например, для определения движения тела в пространстве или распределения электрического потенциала внутри проводника.

В квантовой механике матрицы широко используются для описания квантовых состояний и операторов. Они позволяют предсказывать результаты измерений и процессы перехода между состояниями, что является ключевым в квантовой физике.

Читать далее: Математика, география, русский: в какие вузы поступить?

Кроме того, матрицы применяются в физических моделях и уравнениях, таких как уравнение Шредингера, уравнения Максвелла и другие. Они позволяют удобно и компактно записывать эти уравнения и решать их численно с помощью методов матричной алгебры.

Пример применения матриц в физикеОписание

Матрицы плотности	Используются для описания квантовых состояний и эволюции системы во времени
Матрицы Гамильтона	Описывают энергетические уровни и динамику квантовых систем
Матрицы Мюллера	Используются для описания прохождения света через оптические системы

Применение матриц в компьютерной графике

Одним из основных применений матриц в компьютерной графике является преобразование объектов. Например, чтобы переместить объект на плоскости, можно использовать матрицу смещения. Для изменения размера объекта используется матрица масштабирования, а для его вращения – матрица поворота.

Более сложные преобразования могут быть выполнены путем комбинирования нескольких матриц. Например, чтобы сначала сместить и затем повернуть объект, применяются матрицы смещения и поворота в определенной последовательности.

Матрицы также используются для реализации трехмерной графики. Они позволяют задать проекцию трехмерных объектов на двумерную плоскость, что позволяет создавать реалистичные изображения. Для этого применяются матрицы проекции, которые определяют, как трехмерные координаты должны быть преобразованы в двумерные.

В компьютерной графике матрицы часто используются для управления положением, размером и ориентацией объектов, а также для создания эффектов, таких как трансформации, иллюзии глубины и анимации. Они играют важную роль в разработке графических приложений, включая компьютерные игры, виртуальную реальность и визуализацию данных.

Примеры применения матриц в компьютерной графике:

1. Трансформация и перемещение объектов на экране.

2. Определение отражения и симметрии объектов.

3. Определение перспективы и пространственного положения объектов.

4. Создание анимации и эффектов.

Применение матриц в экономике

Одним из основных применений матриц в экономике является моделирование внешнеэкономических связей. С помощью матриц внешней торговли можно оценить влияние изменений в экспорте и импорте на внутреннюю экономику страны. Экономические модели на основе матриц позволяют предсказывать эффекты изменений в торговле и принимать решения по оптимизации экономической политики.

Еще одним важным применением матриц в экономике является анализ внутрифирменной структуры и производственных процессов. С помощью матриц планирования и учета затрат можно определить оптимальные структуры производства, распределение ресурсов и оценить эффективность предприятий.

Матрицы также широко используются в финансовом анализе. С помощью матриц рисков и доходности можно определить оптимальное распределение инвестиций и оценить финансовые риски. Матрицы корреляции позволяют оценить взаимосвязь между различными активами и портфельным риском.

Читать далее: Требования к построению математической модели: основные принципы и приемы

Наконец, матрицы применяются в экономике для моделирования нелинейных процессов и систем. С помощью матриц дифференциальных уравнений можно описать динамику экономических переменных и исследовать их стабильность и устойчивость.

В итоге, применение матриц в экономике позволяет увидеть взаимосвязи между различными экономическими переменными, оценить их влияние на общий результат и принимать обоснованные экономические решения.

Применение матриц в теории игр

Матрицы широко применяются в теории игр для моделирования и анализа стратегических решений. Теория игр изучает математические модели конфликтов и взаимодействий между участниками игры, такими как игроки или компании.

Одним из основных инструментов теории игр являются матрицы оплат, которые представляют возможные результаты каждого игрока в зависимости от выбора вариантов действий. В этих матрицах игроки представлены как строки и столбцы, а каждая ячейка содержит вознаграждение или потерю для каждого игрока при определенном сочетании выбранных стратегий.

С помощью матриц оплат и других математических инструментов теории игр можно найти оптимальные стратегии для каждого игрока и предсказать итоговый результат игры. Например, с помощью таких методов можно определить, какие стратегии будут доминирующими для каждого игрока или найти равновесия Нэша, которые представляют собой такие комбинации стратегий, когда ни одному игроку нет выгоды менять свой выбор.

Теория игр находит применение в различных областях, таких как экономика, политика, биология и психология. Она помогает анализировать стратегические ситуации и принимать решения на основе математических моделей.

Таким образом, использование матриц в теории игр позволяет моделировать и анализировать сложные стратегические взаимодействия и предсказывать итоговые результаты различных игровых ситуаций.